建國中學 111 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (1)(3)。(1) 正確。 $x$ 從左邊靠近 $1$ 時，走的是由原點往上的那段曲線，函數值趨近空心點的高度 $2$，所以 $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=2$。

(2) 錯誤。 $x$ 靠近 $2$ 時（不管從哪一邊），走的都是高度 $1$ 的水平線段，左右極限都是 $1$，所以 $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=1$ 存在；$f(2)=2$ 是那個實心點，極限不看 $x=2$ 本身的函數值。

(3) 正確。 原點左右兩段曲線都接到原點，$x$ 從左、右靠近 $0$ 時函數值都趨近 $0$，所以 $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=0$。

(4) 錯誤。 在 $-1<x<0$ 這一段，圖形由 $(-1,1)$ 往下走到原點，是遞減的，切線往右下傾斜，斜率為負，所以 $f^{\prime }\left(-\frac{1}{2}\right)<0$。

(5) 錯誤。 圖形在原點是一個尖角：左邊的曲線往右下降到原點，切線斜率是負的；右邊的曲線由原點往右上升，切線斜率是正的。左右兩側的導數不相等，所以 $f^{\prime }(0)$ 不存在，當然不等於 $0$。

答案 (1)(3)(5)。$f^{\prime }(x)$ 的圖形是過 $(-1,0)$、$(2,0)$ 且開口向下的拋物線，所以可設 $f^{\prime }(x)=k(x+1)(x-2)$，其中 $k<0$。由此可知 $f^{\prime }(x)$ 在 $x<-1$ 與 $x>2$ 時為負、在 $-1<x<2$ 時為正。

(1) 正確。 $f^{\prime }(x)$ 是二次式，而多項式 $x^n$ 的導函數是 $n{x}^{n-1}$，次數降一次，所以 $f(x)$ 是三次多項式函數（$x^3$ 的係數是 $\frac{k}{3}<0$）。

(2) 錯誤。 在 $-1<x<2$ 時 $f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 是遞增函數，不是遞減。

(3) 正確。 $f^{\prime }(x)$ 在 $x=-1$ 由負變正，$f(-1)$ 是極小值；在 $x=2$ 由正變負，$f(2)$ 是極大值。只有這兩個點，所以恰有兩個極值。

(4) 錯誤。 $f(x)$ 在 $-1\le x\le 2$ 一路遞增，由 $f(-1)$ 增加到 $f(2)$。若 $f(-1)f(2)<0$，則 $f(-1)<0<f(2)$，圖形在這一段由 $x$ 軸下方連續地升到上方，一定穿過 $x$ 軸恰好一次，所以 $f(x)$ 在 $(-1,2)$ 內恰有一個實根，不是沒有實根。

(5) 正確。 $f(-1)f(2)>0$ 表示極小值與極大值同號。若兩者都正：$x\le -1$ 時 $f(x)$ 遞減到 $f(-1)>0$，所以 $f(x)>0$；$-1\le x\le 2$ 時 $f(x)\ge f(-1)>0$；$x\ge 2$ 時 $f(x)$ 由 $f(2)>0$ 一路遞減，而三次項係數為負，$x$ 很大時 $f(x)$ 為負，所以恰穿過 $x$ 軸一次。若兩者都負：$x\ge -1$ 時 $f(x)\le f(2)<0$ 沒有根；$x\le -1$ 時 $f(x)$ 由很大的正值遞減到 $f(-1)<0$，恰穿過一次。兩種情形都只有一個實根。

答案 (1)(3)(4)(5)。由題意 $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$，$f^{\prime \prime }(x)=6ax+2b$。

(1) 正確。 圖形往右邊延伸時一路往下（$x$ 很大時 $f(x)$ 為很大的負數），三次項主導，所以 $a<0$。

(2) 錯誤。 $(0,-2)$ 是反曲點，三次函數的反曲點是二階導數為 $0$ 的點：$f^{\prime \prime }(0)=2b=0$，所以 $b=0$，不是 $b<0$。

(3) 正確。 $c=f^{\prime }(0)$ 就是過 $(0,-2)$ 的切線斜率；虛線往右下傾斜，斜率為負，所以 $c<0$。

(4) 正確。 $d=f(0)=-2<0$。

(5) 正確。 $b=0$，所以 $b^2-3ac=-3ac$。$a<0$、$c<0$，$ac>0$，故 $-3ac<0$。

答案 (2)(3)(4)。切線斜率 $f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+b$ 是開口向上的二次函數，在頂點 $x=-\frac{2a}{6}=-\frac{a}{3}$ 處最小。題目說切點 $x=2$ 時斜率最小，所以 $-\frac{a}{3}=2$，$a=-6$。

切線過切點 $(2,-10)$ 與原點，斜率為 $\frac{-10-0}{2-0}=-5$，所以 $f^{\prime }(2)=12+4a+b=12-24+b=-5$，$b=7$。

切點在曲線上：$f(2)=8+4a+2b+c=8-24+14+c=-10$，$c=-8$。

(1) 錯誤。 $a+b+c=-6+7-8=-7\ne 10$。

(2) 正確。 同上，$a+b+c=-7$。

(3) 正確。 最小斜率就是 $f^{\prime }(2)=-5$。

(4) 正確。 切線過原點、斜率 $-5$：$y=-5x$，即 $5x+y=0$。

(5) 錯誤。 法線與切線垂直，斜率為 $\frac{1}{5}$，且過切點 $(2,-10)$：$y+10=\frac{1}{5}(x-2)$，整理得 $x-5y=52$。法線不過原點（原點代入左邊得 $0\ne 52$），所以不是 $x-5y=0$。

答案 (3)(4)。$f^{\prime }(x)=4a{x}^3-12a{x}^2=4a{x}^2(x-3)$。因為 $a>0$，在 $1<x<3$ 時 $f^{\prime }(x)<0$（遞減），在 $3<x<4$ 時 $f^{\prime }(x)>0$（遞增）。

所以在 $1\le x\le 4$ 上，最小值是 $f(3)=81a-108a+b=b-27a$；最大值要比較兩端點：$f(1)=a-4a+b=b-3a$，$f(4)=256a-256a+b=b$，因為 $a>0$，$b>b-3a$，最大值是 $f(4)=b$。

由題意 $b=3$，$b-27a=-6$，得 $a=\frac{1}{3}$。

(1) 錯誤。 $a=\frac{1}{3}$，不是 $\frac{1}{2}$。

(2) 錯誤。 $b=3$。

(3) 正確。 $a=\frac{1}{3}$。

(4) 正確。 $ab=\frac{1}{3}\times 3=1$。

(5) 錯誤。 $b=3>1$。

$f^{\prime }(-1)$ 存在，$f$ 在 $x=-1$ 必須先連續：$\underset{x\to -1^{-}}{\lim }(ax+b)=-a+b$ 要等於 $f(-1)=(-1{)}^2+(-1)=0$，得 $b=a$。

再看 $x=-1$ 的左右導數：右邊用 $x^2+x$，$\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(-1+h)-f(-1)}{h}=\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{(-1+h{)}^2+(-1+h)}{h}=\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{h^2-h}{h}=-1$；左邊用 $ax+b$（已知 $-a+b=0$），$\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{a(-1+h)+b-0}{h}=\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{ah}{h}=a$。

兩者相等，$a=-1$，所以 $b=-1$，$(a,b)=(-1,-1)$。

設 $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$，$f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$。

在 $x=0$ 有極小值 $1$：$f^{\prime }(0)=c=0$，$f(0)=d=1$。

在點 $(-1,3)$ 與 $y=-3x$ 相切：切點在曲線上 $f(-1)=-a+b+1=3$，即 $b-a=2$；切線斜率 $f^{\prime }(-1)=3a-2b=-3$。

把 $b=a+2$ 代入：$3a-2a-4=-3$，$a=1$，$b=3$。所以 $f(x)=x^3+3x^2+1$。

$f^{\prime }(x)=3x^2+2px+q$。$x=0$ 有極值：$f^{\prime }(0)=q=0$；極大值為 $4$：$f(0)=r=4$。

此時 $f^{\prime }(x)=3x^2+2px=x(3x+2p)$，另一個極值點是 $x=-\frac{2p}{3}$。$x=0$ 要是極大，$f^{\prime }(x)$ 在 $0$ 的左邊為正、右邊為負，所以另一個根 $-\frac{2p}{3}$ 在 $0$ 的右邊，$p<0$，且 $x=-\frac{2p}{3}$ 處是極小值。

圖形與 $x$ 軸相切，切點必是水平切線的點；極大值 $4>0$ 不在 $x$ 軸上，所以是極小值為 $0$。令 $t=-\frac{2p}{3}$（$t>0$），則 $p=-\frac{3t}{2}$，$f(t)=t^3-\frac{3t}{2}\cdot t^2+4=4-\frac{t^3}{2}=0$，得 $t^3=8$，$t=2$，$p=-3$。

所以 $(p,q,r)=(-3,0,4)$。

設 $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$，$f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$，$f^{\prime \prime }(x)=6ax+2b$。四個條件：

反曲點 $(1,14)$：$f^{\prime \prime }(1)=6a+2b=0$，且 $f(1)=a+b+c+d=14$。

$x=3$ 有極小值 $-2$：$f^{\prime }(3)=27a+6b+c=0$，且 $f(3)=27a+9b+3c+d=-2$。

由第一式 $b=-3a$；代入 $f^{\prime }(3)$：$27a-18a+c=0$，$c=-9a$。$f(3)-f(1)=26a+8b+2c=-16$，代入得 $26a-24a-18a=-16a=-16$，$a=1$。所以 $b=-3$，$c=-9$，$d=14-a-b-c=14-1+3+9=25$。

$f(x)=x^3-3x^2-9x+25$。

令 $g(x)=x^4+3x^2+10x$，不等式恆成立就是 $g(x)\ge a$ 對所有實數 $x$ 都成立，也就是 $a$ 不超過 $g(x)$ 的最小值。

$g^{\prime }(x)=4x^3+6x+10$。代 $x=-1$ 得 $-4-6+10=0$，所以 $x+1$ 是因式：$g^{\prime }(x)=(x+1)(4x^2-4x+10)$。$4x^2-4x+10$ 的判別式 $16-160<0$，恆正。所以 $g^{\prime }(x)$ 在 $x<-1$ 為負、$x>-1$ 為正，$g$ 先減後增，最小值是 $g(-1)=1+3-10=-6$。

故 $a\le -6$。

長方形內接於圓，對角線就是直徑：$x^2+y^2=10^2=100$，其中 $0<x<10$，$y=\sqrt{100-x^2}$。

$T=k(xy{)}^2=k{x}^2(100-x^2)=k(100x^2-x^4)$，$k>0$，所以只要求 $g(x)=100x^2-x^4$ 在 $0<x<10$ 的最大值。

$g^{\prime }(x)=200x-4x^3=4x(50-x^2)$。在 $0<x<5\sqrt{2}$ 時 $g^{\prime }(x)>0$，在 $5\sqrt{2}<x<10$ 時 $g^{\prime }(x)<0$，所以 $x=5\sqrt{2}$ 時 $g$ 最大，$T$ 也最大。此時 $y=\sqrt{100-50}=5\sqrt{2}$。

數對 $(x,y)=\left(5\sqrt{2},5\sqrt{2}\right)$，也就是鋸成正方形時耐用度最大。

$V(x)=\pi \left(x^3-24x^2+144x\right)$，$V^{\prime }(x)=\pi \left(3x^2-48x+144\right)=3\pi (x-4)(x-12)$。

在 $0<x<12$ 內，$x-12<0$：當 $0<x<4$ 時 $V^{\prime }(x)>0$，$V$ 遞增；當 $4<x<12$ 時 $V^{\prime }(x)<0$，$V$ 遞減。所以 $x=4$ 時 $V$ 有最大值。

$V(4)=\pi \times 4\times (12-4{)}^2=\pi \times 4\times 64=256\pi$。

答：直圓柱體積的最大值為 $256\pi$（此時高 $\overline{AB}=4$、底面半徑 $\overline{AD}=8$）。