段考詳解範圍：指數函數與圖形、對數、對數函數與圖形、指數與對數函數的應用

建國中學 111 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 建國中學 111 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 15 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 建國中學 111 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 4 題第五個選項兩個對數都是負數，互為倒數，大小要看絕對值是否超過一，舉一組數字就能看出不一定成立；第 5 題取對數後兩個係數非常接近，近似值取太粗會選錯；第 9 題底數大於零且不等於一、真數大於零三個條件都要列，別漏掉底數不可等於一（所以 x 等於三要挖掉）；第 15 題第二小題底數是未知數，要分底數大於一與介於零到一之間兩種情形討論。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 15 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 15 題，照原卷順序

直接作答題 2 題（每題 5 分，共 10 分）、選擇題 3 題（每題 5 分，共 15 分）、計算題 10 題（每(小)題 5 分，共 75 分；第 6 題有 4 個小題，第 8、15 題各有 2 個小題），合計 100 分。第 4 題卷面列在選擇題，依題目條件不只一個選項成立，請把成立的選項全部選出。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、直接作答題（每題 5 分，共 10 分）

連連看：如下圖，曲線

A

、

B

、

C

分別為下列哪個函數的圖形？

y = lo g_{2} x

A

y = - lo g_{2} x

B

y = 2^{x}

C

載入中...

連連看：試將下列的各對數函數與其圖形連接起來。

y = lo g_{2} x

y = 2 lo g_{2} x

y = - lo g_{2} x

載入中...

二、選擇題（每題 5 分，共 15 分）

已知

lo g x = 5 + lo g 7.456

，則

x =

？

(1) $12.456$
(2) $37.28$
(3) $7.45 6^{5}$
(4) $745600$
(5) $745600000$

設

a > 1 > b > 0

，關於下列不等式，請選出正確的選項。

(1) $(- a)^{7} > (- a)^{9}$
(2) $b^{- 9} > b^{- 7}$
(3) $lo g_{10} \frac{1}{a} > lo g_{10} \frac{1}{b}$
(4) $lo g_{a} 1 > lo g_{b} 1$
(5) $lo g_{a} b \geq lo g_{b} a$

在養分充足的情況下，細菌的數量會以指數函數的方式成長，假設細菌

A

的數量每兩個小時會成長為兩倍，細菌

B

的數量每三個小時會成長為三倍。若養分充足且一開始兩種細菌的數量相等，則大約幾小時後細菌

B

的數量除以細菌

A

的數量最接近

10

？

(1) $24$ 小時
(2) $48$ 小時
(3) $69$ 小時
(4) $96$ 小時
(5) $117$ 小時

三、計算題（每(小)題 5 分，共 75 分）

試解下列方程式或不等式： (1)

lo g (x + 1) + lo g (3 x + 2) > 1 + lo g 3

(2)

2 lo g_{2} (x + 1) = 1 + lo g_{2} (x + 2)

(3)

lo g (x - 1) + lo g (x + 2) < lo g (3 x + 1)

(4)

lo g_{2} (lo g x) > 0

某種細菌每過

1

天數量會增加為原本的

3

倍，已知原有這種細菌

500

隻，試問：幾天之後，數量會超過

5 \times 1 0^{8}

隻？（取至整數位）（已知

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

，

lo g 7 \approx 0.8451

）

已知

a = lo g 2

，

b = lo g 3

，

c = lo g 7

，試將下列各數以

a, b, c

表示。 (1)

lo g 350

(2)

lo g 0.42

求實數

x

的範圍，使得

lo g_{(4 - x)} (2 x^{2} - 5 x + 3)

有意義。

若

a, b, c

為整數，且

a lo g_{270} 2 + b lo g_{270} 3 + c lo g_{270} 5 = 2

，求序組

(a, b, c)

。

測量聲音大小的分貝（

s

）與聲音的強度（

w

）有下列的關係式：

s = 10 \cdot lo g w

，如果一般人的交談音量約為

60

分貝，演唱會中的音量約為

120

分貝，那麼演唱會中的聲音的強度是一般人的交談聲音的強度的幾倍？

已知

f (x) = 2 (lo g_{2} (2 x))^{2} + lo g_{2} (2 x^{2}) + 2 (lo g_{2} x) + 2

，其中

x > 0

，試求

f (x)

的最小值。

若

(lo g 2 x) (lo g 3 x) = k

，則此方程式的兩根之積為何？

將

a, b, c, d, e, f

從小排到大，其中

a = 0

，

b = 1

，

c = lo g_{3} 2

，

d = lo g_{3} 5

，

e = lo g_{\frac{1}{3}} 2

，

f = lo g_{\frac{1}{3}} 0.4

。

解下列方程式或不等式： (1)

lo g_{3} (3^{x} + 6) = \frac{x}{2} + lo g_{3} 5

(2)

lo g_{x} (5 x - 4) > 2

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題

y = lo g_{2} x

是

B

，

y = - lo g_{2} x

是

C

，

y = 2^{x}

是

A

第 2 題

y = lo g_{2} x

接中圖，

y = 2 lo g_{2} x

接左圖，

y = - lo g_{2} x

接右圖

第 3 題(4)

第 4 題(1)(2)

第 5 題(5)

第 6 題(1)

x > \frac{7}{3}

　(2)

x = 3

　(3)

1 < x < 3

　(4)

x > 10

第 7 題

13

天

第 8 題(1)

2 - a + c

　(2)

a + b + c - 2

第 9 題

x < 1

或

\frac{3}{2} < x < 3

或

3 < x < 4

第 10 題

(2, 6, 2)

第 11 題

1 0^{6}

倍

第 12 題

- 3

第 13 題

\frac{1}{6}

第 14 題

e < a < c < d < f < b

第 15 題(1)

x = 2

或

x = lo g_{3} 4

　(2)

\frac{4}{5} < x < 1

或

1 < x < 4

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01直接作答第 1、2 題：由圖形辨認函數

第 1 題

$y = 2^{x}$ 在 $x = 0$ 時 $y = 1$ ，圖形過 $(0, 1)$ ，並且往右上升、往左貼近 $x$ 軸，所以是 $A$ 。

$y = lo g_{2} x$ 與 $y = - lo g_{2} x$ 在 $x = 1$ 時都是 $0$ ，圖形都過 $(1, 0)$ 。底數 $2 > 1$ ， $y = lo g_{2} x$ 遞增，是往右上升的 $B$ ； $y = - lo g_{2} x$ 是 $y = lo g_{2} x$ 對 $x$ 軸的對稱圖形，遞減，是往右下降的 $C$ 。

A

與

B

對稱於直線

y = x

：

y = 2^{x}

與

y = lo g_{2} x

互為反函數。

第 2 題

右圖由左往右下降，是三個函數中唯一遞減的 $y = - lo g_{2} x$ 。

左圖與中圖都遞增、都過 $(1, 0)$ ，看 $x = 4$ 時的高度： $lo g_{2} 4 = 2$ ， $2 lo g_{2} 4 = 4$ 。左圖在 $x = 4$ 附近已經升到 $4$ 左右，中圖在 $x = 4$ 時只到 $2$ 左右，所以 $y = 2 lo g_{2} x$ 接左圖， $y = lo g_{2} x$ 接中圖。

y = 2 lo g_{2} x

是把

y = lo g_{2} x

的圖形鉛直方向伸長為

2

倍，所以上升得比較快；

y = - lo g_{2} x

是對

x

軸翻轉。

辨認對數函數圖形先看遞增或遞減，再找一個好算的點（例如

x = 4

）比較高度。

02選擇第 3～5 題：由對數求真數、大小比較、細菌成長

第 3 題

5 = lo g 1 0^{5}

，所以

lo g x = lo g 1 0^{5} + lo g 7.456 = lo g (7.456 \times 1 0^{5})

，

x = 7.456 \times 1 0^{5} = 745600

，選 (4)。

常用對數的整數部分加

5

，就是真數的小數點往右移

5

位。

第 4 題

(1) 正確。 $(- a)^{7} = - a^{7}$ ， $(- a)^{9} = - a^{9}$ 。 $a > 1$ ，所以 $a^{9} > a^{7}$ ，兩邊變號： $- a^{7} > - a^{9}$ 。

(2) 正確。 $b^{- 9} = (\frac{1}{b})^{9}$ ， $b^{- 7} = (\frac{1}{b})^{7}$ 。 $0 < b < 1$ ，所以 $\frac{1}{b} > 1$ ，底數大於 $1$ 時指數越大值越大： $(\frac{1}{b})^{9} > (\frac{1}{b})^{7}$ 。

(3) 錯誤。 $a > 1$ 得 $0 < \frac{1}{a} < 1$ ； $0 < b < 1$ 得 $\frac{1}{b} > 1$ 。所以 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ， $y = lo g_{10} x$ 遞增， $lo g_{10} \frac{1}{a} < lo g_{10} \frac{1}{b}$ 。

(4) 錯誤。 $lo g_{a} 1 = lo g_{b} 1 = 0$ ，兩邊相等，不會有大於的關係。

(5) 錯誤。 舉例： $a = 10$ ， $b = 0.01$ ，則 $lo g_{a} b = lo g 0.01 = - 2$ ， $lo g_{b} a = \frac{l o g 10}{l o g 0.01} = - \frac{1}{2}$ ，此時 $lo g_{a} b < lo g_{b} a$ ，不等式不成立。

(5) 一般來說，令

t = lo g_{a} b < 0

，則

lo g_{b} a = \frac{1}{t}

；

t \geq \frac{1}{t}

只在

- 1 \leq t < 0

（即

b \geq \frac{1}{a}

）時成立，所以不一定成立。卷面把這題放在選擇題，但有兩個選項成立。

第 5 題

設一開始兩種細菌都有 $N$ 隻， $t$ 小時後細菌 $A$ 有 $N \cdot 2^{\frac{t}{2}}$ 隻，細菌 $B$ 有 $N \cdot 3^{\frac{t}{3}}$ 隻。要 $\frac{3 ^{\frac{t}{3}}}{2 ^{\frac{t}{2}}} = 10$ ，兩邊六次方： $\frac{3 ^{2 t}}{2 ^{3 t}} = (\frac{9}{8})^{t} = 1 0^{6}$ 。

兩邊取常用對數： $t (2 lo g 3 - 3 lo g 2) = 6$ ， $t = \frac{6}{2 l o g 3 - 3 l o g 2} \approx \frac{6}{0.9542 - 0.9030} = \frac{6}{0.0512} \approx 117.2$ ，最接近 $117$ 小時，選 (5)。

2 lo g 3 - 3 lo g 2 = lo g \frac{9}{8}

是很小的數，近似值要保留到小數點後第四位，否則誤差很大。

比較兩個指數成長，先把比值寫成同一個指數的形式，再取對數求時間。

03計算第 6 題：對數方程式與不等式

第 6 題

(1) 真數要大於 $0$ ： $x + 1 > 0$ 且 $3 x + 2 > 0$ ，得 $x > - \frac{2}{3}$ 。右邊 $1 + lo g 3 = lo g 30$ ，左邊 $= lo g ((x + 1) (3 x + 2))$ ，底數 $10 > 1$ ： $(x + 1) (3 x + 2) > 30$ ， $3 x^{2} + 5 x - 28 > 0$ ， $(3 x - 7) (x + 4) > 0$ ， $x > \frac{7}{3}$ 或 $x < - 4$ 。與 $x > - \frac{2}{3}$ 取交集，得 $x > \frac{7}{3}$ 。

(2) 真數要大於 $0$ ： $x > - 1$ 。左邊 $= lo g_{2} (x + 1)^{2}$ ，右邊 $= lo g_{2} (2 (x + 2))$ ，所以 $(x + 1)^{2} = 2 (x + 2)$ ， $x^{2} = 3$ ， $x = \pm 3$ 。 $x = - 3 < - 1$ 不合，得 $x = 3$ 。

(3) 真數要大於 $0$ ： $x - 1 > 0$ 、 $x + 2 > 0$ 、 $3 x + 1 > 0$ ，得 $x > 1$ 。 $lo g ((x - 1) (x + 2)) < lo g (3 x + 1)$ ，底數 $10 > 1$ ： $(x - 1) (x + 2) < 3 x + 1$ ， $x^{2} - 2 x - 3 < 0$ ， $(x - 3) (x + 1) < 0$ ， $- 1 < x < 3$ 。與 $x > 1$ 取交集，得 $1 < x < 3$ 。

(4) $0 = lo g_{2} 1$ ，底數 $2 > 1$ ： $lo g x > 1$ （這時真數 $lo g x$ 自然大於 $0$ ）。再由 $lo g x > lo g 10$ ，得 $x > 10$ 。

對數方程式與不等式一律先寫真數大於

0

的條件，最後與解出來的範圍取交集。

04計算第 7、8 題：細菌繁殖天數、以已知的對數表示

第 7 題設

n

天後數量為

500 \times 3^{n}

。要

500 \times 3^{n} > 5 \times 1 0^{8}

，即

3^{n} > 1 0^{6}

。兩邊取常用對數：

n lo g 3 > 6

，

n > \frac{6}{0.4771} \approx 12.58

，所以

13

天之後數量會超過

5 \times 1 0^{8}

隻。

檢查：

3^{12} = 531441 < 1 0^{6}

，

3^{13} = 1594323 > 1 0^{6}

。

第 8 題

(1) $350 = 7 \times 5 \times 10$ ， $lo g 5 = lo g \frac{10}{2} = 1 - a$ 。所以 $lo g 350 = lo g 7 + lo g 5 + lo g 10 = c + (1 - a) + 1 = 2 - a + c$ 。

(2) $0.42 = \frac{42}{100} = \frac{2 \times 3 \times 7}{1 0 ^{2}}$ ，所以 $lo g 0.42 = lo g 2 + lo g 3 + lo g 7 - 2 = a + b + c - 2$ 。

lo g 5

不在已知裡，用

5 = \frac{10}{2}

換成

1 - lo g 2

。

05計算第 9～11 題：對數有意義的條件、對數律、分貝

第 9 題

底數的條件： $4 - x > 0$ 且 $4 - x \neq = 1$ ，得 $x < 4$ 且 $x \neq = 3$ 。

真數的條件： $2 x^{2} - 5 x + 3 > 0$ ， $(2 x - 3) (x - 1) > 0$ ，得 $x < 1$ 或 $x > \frac{3}{2}$ 。

三個條件同時成立： $x < 1$ 或 $\frac{3}{2} < x < 3$ 或 $3 < x < 4$ 。

底數不可以等於

1

，所以要把

x = 3

挖掉。

第 10 題

由對數律，左邊 $= lo g_{270} (2^{a} \cdot 3^{b} \cdot 5^{c}) = 2$ ，所以 $2^{a} \cdot 3^{b} \cdot 5^{c} = 27 0^{2}$ 。

$270 = 2 \times 3^{3} \times 5$ ， $27 0^{2} = 2^{2} \times 3^{6} \times 5^{2}$ 。 $a, b, c$ 都是整數，由質因數分解的唯一性， $a = 2$ ， $b = 6$ ， $c = 2$ ，序組 $(a, b, c) = (2, 6, 2)$ 。

a, b, c

是整數這個條件不能少：若只是實數，會有無限多組解。

第 11 題設交談聲音的強度為

w_{1}

，演唱會的強度為

w_{2}

。

60 = 10 lo g w_{1}

，

lo g w_{1} = 6

，

w_{1} = 1 0^{6}

；

120 = 10 lo g w_{2}

，

lo g w_{2} = 12

，

w_{2} = 1 0^{12}

。所以

\frac{w _{2}}{w _{1}} = \frac{1 0 ^{12}}{1 0 ^{6}} = 1 0^{6}

倍。

分貝數差

60

，強度比是

1 0^{\frac{60}{10}} = 1 0^{6}

；分貝數變成

2

倍，強度不是

2

倍。

06計算第 12～14 題：換元求最小值、兩根之積、大小比較

第 12 題

令 $t = lo g_{2} x$ ， $x > 0$ 時 $t$ 可以是任何實數。

$lo g_{2} (2 x) = 1 + t$ ， $lo g_{2} (2 x^{2}) = 1 + 2 t$ ，所以 $f (x) = 2 (1 + t)^{2} + (1 + 2 t) + 2 t + 2 = 2 t^{2} + 8 t + 5 = 2 (t + 2)^{2} - 3$

當 $t = - 2$ ，即 $x = \frac{1}{4}$ 時， $f (x)$ 有最小值 $- 3$ 。

把每一項都用對數律拆成

lo g_{2} x

的式子，就變成

t

的二次函數。

第 13 題

由對數律， $lo g 2 x = lo g 2 + lo g x$ ， $lo g 3 x = lo g 3 + lo g x$ 。令 $t = lo g x$ ，方程式變成 $(t + lo g 2) (t + lo g 3) = k$

即 $t^{2} + (lo g 2 + lo g 3) t + lo g 2 \cdot lo g 3 - k = 0$ 。設兩根為 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，對應的 $t_{1} = lo g x_{1}$ 、 $t_{2} = lo g x_{2}$ 是這個二次方程式的兩根，由根與係數的關係： $lo g x_{1} + lo g x_{2} = - (lo g 2 + lo g 3) = - lo g 6$ 。所以 $lo g (x_{1} x_{2}) = lo g \frac{1}{6}$ ，兩根之積 $x_{1} x_{2} = \frac{1}{6}$ 。

題目說有兩根，表示這個二次方程式的判別式

(lo g 3 - lo g 2)^{2} + 4 k

大於

0

；兩根之積與

k

無關。即

k > - \frac{1}{4} (lo g \frac{3}{2})^{2}

；判別式等於

0

時為重根，兩根之積仍是

\frac{1}{6}

。

第 14 題

換底： $e = lo g_{\frac{1}{3}} 2 = \frac{l o g 2}{l o g \frac{1}{3}} = - lo g_{3} 2$ ， $f = lo g_{\frac{1}{3}} 0.4 = - lo g_{3} 0.4 = lo g_{3} \frac{1}{0.4} = lo g_{3} 2.5$ 。

$y = lo g_{3} x$ 遞增，而 $1 < 2 < 5 < 2.5 < 3$ （因為 $4 < 5 < 6.25$ ），所以 $0 < lo g_{3} 2 < lo g_{3} 5 < lo g_{3} 2.5 < 1$

即 $a < c < d < f < b$ 。又 $e = - lo g_{3} 2 < 0 = a$ 。合起來 $e < a < c < d < f < b$ 。

以

\frac{1}{3}

為底的對數先換成以

3

為底，全部化成同一個遞增函數再比較真數。

07計算第 15 題：指數代換的對數方程式、底數未知的對數不等式

第 15 題

(1) 右邊 $= lo g_{3} 3^{\frac{x}{2}} + lo g_{3} 5 = lo g_{3} (5 \cdot 3^{\frac{x}{2}})$ ，所以 $3^{x} + 6 = 5 \cdot 3^{\frac{x}{2}}$ 。令 $u = 3^{\frac{x}{2}} > 0$ ，則 $3^{x} = u^{2}$ ， $u^{2} - 5 u + 6 = 0$ ， $(u - 2) (u - 3) = 0$ ， $u = 2$ 或 $u = 3$ （都大於 $0$ ，這時真數 $3^{x} + 6$ 也大於 $0$ ）。

$u = 3$ ： $3^{\frac{x}{2}} = 3$ ， $x = 2$ 。 $u = 2$ ： $3^{\frac{x}{2}} = 2$ ， $\frac{x}{2} = lo g_{3} 2$ ， $x = 2 lo g_{3} 2 = lo g_{3} 4$ 。

(2) 底數的條件： $x > 0$ 且 $x \neq = 1$ ；真數的條件： $5 x - 4 > 0$ ， $x > \frac{4}{5}$ 。所以 $x > \frac{4}{5}$ 且 $x \neq = 1$ 。 $2 = lo g_{x} x^{2}$ ，分兩種情形：

當 $x > 1$ ： $lo g_{x}$ 遞增， $5 x - 4 > x^{2}$ ， $x^{2} - 5 x + 4 < 0$ ， $(x - 1) (x - 4) < 0$ ， $1 < x < 4$ ，與 $x > 1$ 取交集得 $1 < x < 4$ 。

當 $\frac{4}{5} < x < 1$ ： $lo g_{x}$ 遞減，不等號反向， $5 x - 4 < x^{2}$ ， $(x - 1) (x - 4) > 0$ ， $x < 1$ 或 $x > 4$ ，與 $\frac{4}{5} < x < 1$ 取交集得 $\frac{4}{5} < x < 1$ 。

合起來： $\frac{4}{5} < x < 1$ 或 $1 < x < 4$ 。

底數是未知數時，一定要分「底數大於

1

」與「底數介於

0

與

1

之間」兩種情形，後者不等號要反向。

對數方程式把常數也寫成同底的對數再比較真數；對數不等式除了真數條件，還要看底數大於

1

或小於

1

決定不等號方向。

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第 4 題第五個選項兩個對數都是負數，互為倒數，大小要看絕對值是否超過一，舉一組數字就能看出不一定成立；第 5 題取對數後兩個係數非常接近，近似值取太粗會選錯；第 9 題底數大於零且不等於一、真數大於零三個條件都要列，別漏掉底數不可等於一（所以 x 等於三要挖掉）；第 15 題第二小題底數是未知數，要分底數大於一與介於零到一之間兩種情形討論。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自建國中學 111 學年度上學期高二第二次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：指數函數與圖形、對數、對數函數與圖形、指數與對數函數的應用

建國中學 111 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 15 題，照原卷順序

一、直接作答題（每題 5 分，共 10 分）

連連看：如下圖，曲線

A

、

B

、

C

分別為下列哪個函數的圖形？

y = lo g_{2} x

A

y = - lo g_{2} x

B

y = 2^{x}

C

載入中...

連連看：試將下列的各對數函數與其圖形連接起來。

y = lo g_{2} x

y = 2 lo g_{2} x

y = - lo g_{2} x

載入中...

二、選擇題（每題 5 分，共 15 分）

已知

lo g x = 5 + lo g 7.456

，則

x =

？

(1) $12.456$
(2) $37.28$
(3) $7.45 6^{5}$
(4) $745600$
(5) $745600000$

設

a > 1 > b > 0

，關於下列不等式，請選出正確的選項。

(1) $(- a)^{7} > (- a)^{9}$
(2) $b^{- 9} > b^{- 7}$
(3) $lo g_{10} \frac{1}{a} > lo g_{10} \frac{1}{b}$
(4) $lo g_{a} 1 > lo g_{b} 1$
(5) $lo g_{a} b \geq lo g_{b} a$

在養分充足的情況下，細菌的數量會以指數函數的方式成長，假設細菌

A

的數量每兩個小時會成長為兩倍，細菌

B

的數量每三個小時會成長為三倍。若養分充足且一開始兩種細菌的數量相等，則大約幾小時後細菌

B

的數量除以細菌

A

的數量最接近

10

？

(1) $24$ 小時
(2) $48$ 小時
(3) $69$ 小時
(4) $96$ 小時
(5) $117$ 小時

三、計算題（每(小)題 5 分，共 75 分）

試解下列方程式或不等式： (1)

lo g (x + 1) + lo g (3 x + 2) > 1 + lo g 3

(2)

2 lo g_{2} (x + 1) = 1 + lo g_{2} (x + 2)

(3)

lo g (x - 1) + lo g (x + 2) < lo g (3 x + 1)

(4)

lo g_{2} (lo g x) > 0

某種細菌每過

1

天數量會增加為原本的

3

倍，已知原有這種細菌

500

隻，試問：幾天之後，數量會超過

5 \times 1 0^{8}

隻？（取至整數位）（已知

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

，

lo g 7 \approx 0.8451

）

已知

a = lo g 2

，

b = lo g 3

，

c = lo g 7

，試將下列各數以

a, b, c

表示。 (1)

lo g 350

(2)

lo g 0.42

求實數

x

的範圍，使得

lo g_{(4 - x)} (2 x^{2} - 5 x + 3)

有意義。

若

a, b, c

為整數，且

a lo g_{270} 2 + b lo g_{270} 3 + c lo g_{270} 5 = 2

，求序組

(a, b, c)

。

測量聲音大小的分貝（

s

）與聲音的強度（

w

）有下列的關係式：

s = 10 \cdot lo g w

，如果一般人的交談音量約為

60

分貝，演唱會中的音量約為

120

分貝，那麼演唱會中的聲音的強度是一般人的交談聲音的強度的幾倍？

已知

f (x) = 2 (lo g_{2} (2 x))^{2} + lo g_{2} (2 x^{2}) + 2 (lo g_{2} x) + 2

，其中

x > 0

，試求

f (x)

的最小值。

若

(lo g 2 x) (lo g 3 x) = k

，則此方程式的兩根之積為何？

將

a, b, c, d, e, f

從小排到大，其中

a = 0

，

b = 1

，

c = lo g_{3} 2

，

d = lo g_{3} 5

，

e = lo g_{\frac{1}{3}} 2

，

f = lo g_{\frac{1}{3}} 0.4

。

解下列方程式或不等式： (1)

lo g_{3} (3^{x} + 6) = \frac{x}{2} + lo g_{3} 5

(2)

lo g_{x} (5 x - 4) > 2

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題

y = lo g_{2} x

是

B

，

y = - lo g_{2} x

是

C

，

y = 2^{x}

是

A

第 2 題

y = lo g_{2} x

接中圖，

y = 2 lo g_{2} x

接左圖，

y = - lo g_{2} x

接右圖

第 3 題(4)

第 4 題(1)(2)

第 5 題(5)

第 6 題(1)

x > \frac{7}{3}

　(2)

x = 3

　(3)

1 < x < 3

　(4)

x > 10

第 7 題

13

天

第 8 題(1)

2 - a + c

　(2)

a + b + c - 2

第 9 題

x < 1

或

\frac{3}{2} < x < 3

或

3 < x < 4

第 10 題

(2, 6, 2)

第 11 題

1 0^{6}

倍

第 12 題

- 3

第 13 題

\frac{1}{6}

第 14 題

e < a < c < d < f < b

第 15 題(1)

x = 2

或

x = lo g_{3} 4

　(2)

\frac{4}{5} < x < 1

或

1 < x < 4

03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01直接作答第 1、2 題：由圖形辨認函數

第 1 題

$y = 2^{x}$ 在 $x = 0$ 時 $y = 1$ ，圖形過 $(0, 1)$ ，並且往右上升、往左貼近 $x$ 軸，所以是 $A$ 。

A

與

B

對稱於直線

y = x

：

y = 2^{x}

與

y = lo g_{2} x

互為反函數。

第 2 題

右圖由左往右下降，是三個函數中唯一遞減的 $y = - lo g_{2} x$ 。

y = 2 lo g_{2} x

是把

y = lo g_{2} x

的圖形鉛直方向伸長為

2

倍，所以上升得比較快；

y = - lo g_{2} x

是對

x

軸翻轉。

辨認對數函數圖形先看遞增或遞減，再找一個好算的點（例如

x = 4

）比較高度。

02選擇第 3～5 題：由對數求真數、大小比較、細菌成長

第 3 題

5 = lo g 1 0^{5}

，所以

lo g x = lo g 1 0^{5} + lo g 7.456 = lo g (7.456 \times 1 0^{5})

，

x = 7.456 \times 1 0^{5} = 745600

，選 (4)。

常用對數的整數部分加

5

，就是真數的小數點往右移

5

位。

第 4 題

(1) 正確。 $(- a)^{7} = - a^{7}$ ， $(- a)^{9} = - a^{9}$ 。 $a > 1$ ，所以 $a^{9} > a^{7}$ ，兩邊變號： $- a^{7} > - a^{9}$ 。

(4) 錯誤。 $lo g_{a} 1 = lo g_{b} 1 = 0$ ，兩邊相等，不會有大於的關係。

(5) 一般來說，令

t = lo g_{a} b < 0

，則

lo g_{b} a = \frac{1}{t}

；

t \geq \frac{1}{t}

只在

- 1 \leq t < 0

（即

b \geq \frac{1}{a}

）時成立，所以不一定成立。卷面把這題放在選擇題，但有兩個選項成立。

第 5 題

2 lo g 3 - 3 lo g 2 = lo g \frac{9}{8}

是很小的數，近似值要保留到小數點後第四位，否則誤差很大。

比較兩個指數成長，先把比值寫成同一個指數的形式，再取對數求時間。

03計算第 6 題：對數方程式與不等式

第 6 題

(4) $0 = lo g_{2} 1$ ，底數 $2 > 1$ ： $lo g x > 1$ （這時真數 $lo g x$ 自然大於 $0$ ）。再由 $lo g x > lo g 10$ ，得 $x > 10$ 。

對數方程式與不等式一律先寫真數大於

0

的條件，最後與解出來的範圍取交集。

04計算第 7、8 題：細菌繁殖天數、以已知的對數表示

第 7 題設

n

天後數量為

500 \times 3^{n}

。要

500 \times 3^{n} > 5 \times 1 0^{8}

，即

3^{n} > 1 0^{6}

。兩邊取常用對數：

n lo g 3 > 6

，

n > \frac{6}{0.4771} \approx 12.58

，所以

13

天之後數量會超過

5 \times 1 0^{8}

隻。

檢查：

3^{12} = 531441 < 1 0^{6}

，

3^{13} = 1594323 > 1 0^{6}

。

第 8 題

(1) $350 = 7 \times 5 \times 10$ ， $lo g 5 = lo g \frac{10}{2} = 1 - a$ 。所以 $lo g 350 = lo g 7 + lo g 5 + lo g 10 = c + (1 - a) + 1 = 2 - a + c$ 。

(2) $0.42 = \frac{42}{100} = \frac{2 \times 3 \times 7}{1 0 ^{2}}$ ，所以 $lo g 0.42 = lo g 2 + lo g 3 + lo g 7 - 2 = a + b + c - 2$ 。

lo g 5

不在已知裡，用

5 = \frac{10}{2}

換成

1 - lo g 2

。

05計算第 9～11 題：對數有意義的條件、對數律、分貝

第 9 題

底數的條件： $4 - x > 0$ 且 $4 - x \neq = 1$ ，得 $x < 4$ 且 $x \neq = 3$ 。

真數的條件： $2 x^{2} - 5 x + 3 > 0$ ， $(2 x - 3) (x - 1) > 0$ ，得 $x < 1$ 或 $x > \frac{3}{2}$ 。

三個條件同時成立： $x < 1$ 或 $\frac{3}{2} < x < 3$ 或 $3 < x < 4$ 。

底數不可以等於

1

，所以要把

x = 3

挖掉。

第 10 題

由對數律，左邊 $= lo g_{270} (2^{a} \cdot 3^{b} \cdot 5^{c}) = 2$ ，所以 $2^{a} \cdot 3^{b} \cdot 5^{c} = 27 0^{2}$ 。

a, b, c

是整數這個條件不能少：若只是實數，會有無限多組解。

第 11 題設交談聲音的強度為

w_{1}

，演唱會的強度為

w_{2}

。

60 = 10 lo g w_{1}

，

lo g w_{1} = 6

，

w_{1} = 1 0^{6}

；

120 = 10 lo g w_{2}

，

lo g w_{2} = 12

，

w_{2} = 1 0^{12}

。所以

\frac{w _{2}}{w _{1}} = \frac{1 0 ^{12}}{1 0 ^{6}} = 1 0^{6}

倍。

分貝數差

60

，強度比是

1 0^{\frac{60}{10}} = 1 0^{6}

；分貝數變成

2

倍，強度不是

2

倍。

06計算第 12～14 題：換元求最小值、兩根之積、大小比較

第 12 題

令 $t = lo g_{2} x$ ， $x > 0$ 時 $t$ 可以是任何實數。

$lo g_{2} (2 x) = 1 + t$ ， $lo g_{2} (2 x^{2}) = 1 + 2 t$ ，所以 $f (x) = 2 (1 + t)^{2} + (1 + 2 t) + 2 t + 2 = 2 t^{2} + 8 t + 5 = 2 (t + 2)^{2} - 3$

當 $t = - 2$ ，即 $x = \frac{1}{4}$ 時， $f (x)$ 有最小值 $- 3$ 。

把每一項都用對數律拆成

lo g_{2} x

的式子，就變成

t

的二次函數。

第 13 題

由對數律， $lo g 2 x = lo g 2 + lo g x$ ， $lo g 3 x = lo g 3 + lo g x$ 。令 $t = lo g x$ ，方程式變成 $(t + lo g 2) (t + lo g 3) = k$

題目說有兩根，表示這個二次方程式的判別式

(lo g 3 - lo g 2)^{2} + 4 k

大於

0

；兩根之積與

k

無關。即

k > - \frac{1}{4} (lo g \frac{3}{2})^{2}

；判別式等於

0

時為重根，兩根之積仍是

\frac{1}{6}

。

第 14 題

換底： $e = lo g_{\frac{1}{3}} 2 = \frac{l o g 2}{l o g \frac{1}{3}} = - lo g_{3} 2$ ， $f = lo g_{\frac{1}{3}} 0.4 = - lo g_{3} 0.4 = lo g_{3} \frac{1}{0.4} = lo g_{3} 2.5$ 。

$y = lo g_{3} x$ 遞增，而 $1 < 2 < 5 < 2.5 < 3$ （因為 $4 < 5 < 6.25$ ），所以 $0 < lo g_{3} 2 < lo g_{3} 5 < lo g_{3} 2.5 < 1$

即 $a < c < d < f < b$ 。又 $e = - lo g_{3} 2 < 0 = a$ 。合起來 $e < a < c < d < f < b$ 。

以

\frac{1}{3}

為底的對數先換成以

3

為底，全部化成同一個遞增函數再比較真數。

07計算第 15 題：指數代換的對數方程式、底數未知的對數不等式

第 15 題

$u = 3$ ： $3^{\frac{x}{2}} = 3$ ， $x = 2$ 。 $u = 2$ ： $3^{\frac{x}{2}} = 2$ ， $\frac{x}{2} = lo g_{3} 2$ ， $x = 2 lo g_{3} 2 = lo g_{3} 4$ 。

(2) 底數的條件： $x > 0$ 且 $x \neq = 1$ ；真數的條件： $5 x - 4 > 0$ ， $x > \frac{4}{5}$ 。所以 $x > \frac{4}{5}$ 且 $x \neq = 1$ 。 $2 = lo g_{x} x^{2}$ ，分兩種情形：

當 $x > 1$ ： $lo g_{x}$ 遞增， $5 x - 4 > x^{2}$ ， $x^{2} - 5 x + 4 < 0$ ， $(x - 1) (x - 4) < 0$ ， $1 < x < 4$ ，與 $x > 1$ 取交集得 $1 < x < 4$ 。

合起來： $\frac{4}{5} < x < 1$ 或 $1 < x < 4$ 。

底數是未知數時，一定要分「底數大於

1

」與「底數介於

0

與

1

之間」兩種情形，後者不等號要反向。

對數方程式把常數也寫成同底的對數再比較真數；對數不等式除了真數條件，還要看底數大於

1

或小於

1

決定不等號方向。

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