段考詳解範圍：第二章指數與對數函數（指數函數與對數函數的圖形、指對數方程式與不等式、對數律與常用對數、指數與對數的應用）

建國中學 111 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

多選題 2 題，每題 8 分（只錯一個選項得 5 分，錯兩個選項得 2 分，錯三個選項以上或均未作答不給分），共 16 分；填充題 15 格共 74 分，依答對格數給分，答對 1～15 格依序得 7、14、20、26、32、37、42、47、52、56、60、64、68、71、74 分；計算題 1 題分 (1)(2) 兩小題，每小題 5 分，共 10 分；合計 100 分。本頁第 1、2 題是原卷多選題 1、2，第 3～17 題是填充題 1～15，第 18、19 題是計算題 1 的 (1)(2)。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、多選題(佔 16 分)　說明:每題至少有一個選項是正確。每題全部答對得 8 分，只錯一個選項得 5 分，錯兩個選項得 2 分，錯三個選項以上或均未作答者不給分。

設函數

f (x) = lo g_{a} x

，其中

a > 0, a \neq = 1

。請選出正確的選項。

(1) 給定相異正數 $x_{1}, x_{2}$ ，則 $f (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}) > \frac{1}{2} {f (x_{1}) + f (x_{2})}$
(2) 給定相異正數 $x_{1}, x_{2}$ ，則 $A (x_{1}, f (x_{1}))$ ， $B (x_{2}, f (x_{2}))$ ， $C (x_{2}, f (5 x_{2}))$ ， $D (x_{1}, f (5 x_{1}))$ 四點必為平行四邊形
(3) 函數 $y = f (x)$ 的圖形必以 $y$ 軸為漸近線，且通過 $(0, 1)$
(4) 對任意實數 $k$ ，方程式 $f (x) + x - k = 0$ 均恰有一實根
(5) 當 $a = 10$ 時，函數 $y = f (x)$ 的圖形有兩點 $P (t, f (t))$ ， $Q (s, f (s))$ ，已知直線 $\overline{P Q}$ 的斜率為 $\frac{1}{5}$ ，且 $s - t = 10$ ，則 $s + t = \frac{1010}{99}$

設函數

f (x) = 2^{x}

，

g (x) = 5 \times 2^{x}

。請選出正確的選項。

(1) 給定相異實數 $x_{1}, x_{2}$ ，則 $\frac{1}{2} {g (x_{1}) + g (x_{2})} > g (\frac{x _{1} + x _{2}}{2})$
(2) 給定相異正數 $t_{1} > t_{2}$ ，若直線 $y = t_{1}$ 與函數 $y = f (x)$ ， $y = g (x)$ 的圖形分別交於 $P_{1}, Q_{1}$ 兩點；直線 $y = t_{2}$ 與函數 $y = f (x)$ ， $y = g (x)$ 的圖形分別交於 $P_{2}, Q_{2}$ 兩點，則 $P_{1} Q_{1} Q_{2} P_{2}$ 四點必為平行四邊形
(3) 函數 $y = g (x)$ 的圖形必以 $x$ 軸為漸近線，且通過 $(0, 1)$
(4) 對任意實數 $k$ ，方程式 $f (x) + x - k = 0$ 均恰有一實根
(5) $f (100)$ 和 $g (100)$ 有相同的位數。(已知 $lo g 2 \approx 0.3010$ )

二、填充題(佔 74 分)

函數

y = 4^{x}

與

y = 2^{x + 2}

圖形的交點坐標為 ____。

函數

y = 5 \times 4^{x}

與

y = 2^{3 x + 2}

圖形的交點坐標為 ____。

方程式

5 \times 4^{x} - 2^{x + 2} - 9 = 0

的解為 ____。

不等式

4^{x} + 4^{x + 1} + 4^{x + 2} \geq 9^{x} + 9^{x + 1} + 9^{x + 2}

的解為 ____。

設實數

a, b

且

b > 0, b \neq = 1

，下表是函數

f (x) = a + lo g_{b} x

的

4

個函數值：

x f (x) 0.25 m 2 n 4 10 - m 32 n + 4

則數對

(m, n) =

____。

坐標平面上，直線

x = 2

與函數

y = lo g_{16} x

，

y = lo g_{2} x

的圖形分別交於

P, Q

兩點；直線

x = 16

與函數

y = lo g_{16} x

，

y = lo g_{2} x

的圖形分別交於

R, S

兩點，則四邊形

P QS R

面積為 ____。

假設光線通過一塊透明板，它的強度就會減弱一成。如果要把

n

塊相同的透明板重疊一處，使通過這

n

塊透明板的光線強度是原來光線強度的

\frac{1}{1000}

以下，則

n

的最小值為 ____。(已知

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

)

設函數

y = 2^{x}

的圖形與斜率為

\frac{1}{3}

的直線相交於

A, B

兩點，

A, B

兩點的

x

坐標分別為

a, b (a < b)

，已知

\overline{A B} = 310

且

n \leq a < n + 1

，

n

為整數，則

n =

____。

給定實數

a, α, β

且

a > 0, a \neq = 1

，函數

f (x) = \frac{a ^{x} + 2 a ^{- x}}{a ^{x} - 2 a ^{- x}}

。若

f (α) = 9

，

f (β) = 7

，則

f (α + β) =

____。

當

\frac{1}{100} \leq x \leq 1000

時，則函數

f (x) = x^{3 - l o g x}

的最小值＝____。

設

x_{0}, y_{0}

為正實數。若坐標平面上的點

(10 x_{0}, 15 y_{0})

在函數

y = 1 0^{x}

的圖形上，則點

(x_{0}, lo g y_{0})

會在直線

y = a x + b

的圖形上，其中

a, b

為實數。試問

a^{b}

的值為 ____。

二十項實數數列

a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{20}

的每一項都大於

1

，且每相鄰的兩項中，都有一數是另一數的兩倍。若

a_{1} = lo g_{10} 360

，則

a_{20}

的可能的值有 ____ 種。

連續投擲一公正骰子三次，設出現的點數依序為

a, b, c

，則發生

lo g (a^{3}) + lo g (b^{2}) + lo g c \leq 2

的機率為 ____。

方程式

2^{2 x} + (m - 8) 2^{x} + 9 = 0

有兩相異正根，則實數

m

的範圍為 ____。

坐標平面上有一點

A (- 4, 3)

，若

P, Q

兩點分別為指數函數

f (x) = 2^{x}

與對數函數

g (x) = lo g_{2} x

之圖形上的點，且

P, Q

兩點對稱於直線

y = x

，則

\overline{A P} + \overline{A Q}

之最小值為 ____。

三、計算題(佔 10 分)　說明:每小題 5 分，合計 10 分，未寫計算過程不計分

計算題 1（第 18～19 題）　一杯

360

ml 黑咖啡含有

100

mg 的咖啡因，假設咖啡因以每小時

15%

的速度從人體代謝出去。設喝一杯黑咖啡

t

小時後人體含有

f (t)

mg 的咖啡因。

(1) 請寫出

f (t)

與

t

的關係式。

(2) 使用

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 17 \approx 1.2304

，求此咖啡因的半衰期。(四捨五入至小數點後第一位)

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)(5)

第 2 題(1)(2)(4)(5)

第 3 題

(2, 16)

第 4 題

(lo g_{2} \frac{5}{4}, \frac{125}{16})

第 5 題

x = lo g_{2} \frac{9}{5}

第 6 題

x \leq lo g_{\frac{4}{9}} \frac{13}{3}

第 7 題

(3, 6)

第 8 題

\frac{105}{4}

第 9 題

66

第 10 題

- 8

第 11 題

\frac{13}{7}

第 12 題

1 0^{- 10}

第 13 題

\frac{1}{15}

第 14 題

11

第 15 題

\frac{11}{54}

第 16 題

- 2 < m < 2

第 17 題

72

第 18 題

f (t) = 100 \times 0.8 5^{t}

（

t \geq 0

）

第 19 題約

4.3

小時

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01第 1、2 題（多選題）：對數函數與指數函數的圖形性質

第 1 題

答案 (2)(5)。

(1) 錯誤。 結論要看底數。 $a > 1$ 時：由算幾不等式 $\frac{x _{1} + x _{2}}{2} > x_{1} x_{2}$ ，而 $f$ 遞增，所以 $f (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}) > lo g_{a} x_{1} x_{2} = \frac{1}{2} {f (x_{1}) + f (x_{2})}$ ，成立。但 $0 < a < 1$ 時 $f$ 遞減，不等號反向。例如 $a = \frac{1}{2}$ ， $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = 4$ ：左邊是 $lo g_{\frac{1}{2}} \frac{5}{2}$ ，因為 $\frac{5}{2} > 2$ 且底數小於 $1$ ，所以 $lo g_{\frac{1}{2}} \frac{5}{2} < lo g_{\frac{1}{2}} 2 = - 1$ ；右邊是 $\frac{1}{2} (0 - 2) = - 1$ 。左邊比右邊小，不成立。

(2) 正確。 $f (5 x) = lo g_{a} 5 + lo g_{a} x = f (x) + lo g_{a} 5$ 。所以 $D$ 是 $A$ 鉛直平移 $lo g_{a} 5$ ， $C$ 是 $B$ 鉛直平移同樣的 $lo g_{a} 5$ ，即 $A D = B C = (0, lo g_{a} 5)$ ，且 $lo g_{a} 5 \neq = 0$ 。兩個向量相等、而 $x_{1} \neq = x_{2}$ 使 $A, B, C, D$ 不共線，所以 $A B C D$ 是平行四邊形。

(3) 錯誤。 對數函數的圖形以 $y$ 軸為漸近線沒錯，但它通過的是 $(1, 0)$ ； $x = 0$ 不在定義域內，不會通過 $(0, 1)$ 。

(4) 錯誤。 取 $a = \frac{1}{2}$ ， $k = 1$ ：方程式是 $lo g_{\frac{1}{2}} x + x - 1 = 0$ 。代 $x = 1$ ： $0 + 1 - 1 = 0$ ；代 $x = 2$ ： $- 1 + 2 - 1 = 0$ 。有兩個實根，不是恰有一實根。（ $a > 1$ 時 $f (x) + x$ 遞增才會恰有一根，但題目沒有限定 $a > 1$ 。）

(5) 正確。 斜率 $\frac{l o g s - l o g t}{s - t} = \frac{1}{5}$ ，而 $s - t = 10$ ，所以 $lo g s - lo g t = 2$ ， $\frac{s}{t} = 100$ ， $s = 100 t$ 。代回 $s - t = 10$ ： $99 t = 10$ ， $t = \frac{10}{99}$ ， $s = \frac{1000}{99}$ ， $s + t = \frac{1010}{99}$ 。

(1) 的中點不等式只在

a > 1

（圖形凹口向下）時成立；底數沒有限定時，要把

0 < a < 1

的情形也想一遍，(4) 也是同一個陷阱。

第 2 題

答案 (1)(2)(4)(5)。

(1) 正確。 由算幾不等式， $\frac{1}{2} {g (x_{1}) + g (x_{2})} = \frac{5}{2} (2^{x_{1}} + 2^{x_{2}}) \geq 5 2^{x_{1}} \cdot 2^{x_{2}} = 5 \cdot 2^{\frac{x _{1} + x _{2}}{2}} = g (\frac{x _{1} + x _{2}}{2})$ ；等號只在 $2^{x_{1}} = 2^{x_{2}}$ 時成立，而 $x_{1} \neq = x_{2}$ ，所以是嚴格大於。

(2) 正確。 $g (x) = 5 \times 2^{x} = 2^{x + l o g_{2} 5}$ ，所以 $g$ 的圖形是 $f$ 的圖形向左平移 $lo g_{2} 5$ 。同一條水平線 $y = t$ 上， $P$ 的橫坐標是 $lo g_{2} t$ 、 $Q$ 的橫坐標是 $lo g_{2} t - lo g_{2} 5$ ，所以 $P_{1} Q_{1} = P_{2} Q_{2} = (- lo g_{2} 5, 0)$ 。 $P_{1} Q_{1}$ 與 $P_{2} Q_{2}$ 等長、平行，又在兩條不同的水平線上，所以 $P_{1} Q_{1} Q_{2} P_{2}$ 是平行四邊形。

(3) 錯誤。 $g (x) = 5 \times 2^{x}$ 以 $x$ 軸為漸近線沒錯，但 $g (0) = 5$ ，圖形通過 $(0, 5)$ ，不通過 $(0, 1)$ 。

(4) 正確。 $2^{x}$ 與 $x$ 都是遞增函數，所以 $h (x) = 2^{x} + x$ 遞增； $x$ 很小時 $h (x)$ 趨近負無限大， $x$ 很大時趨近正無限大，且圖形連續，所以對每個實數 $k$ ， $h (x) = k$ 恰有一個實根。

(5) 正確。 $lo g f (100) = 100 lo g 2 \approx 30.10$ ，所以 $f (100)$ 是 $31$ 位數。 $lo g g (100) = lo g 5 + 100 lo g 2 = (1 - lo g 2) + 100 lo g 2 \approx 0.6990 + 30.10 = 30.799$ ，也在 $30$ 與 $31$ 之間，所以 $g (100)$ 也是 $31$ 位數，位數相同。

(5) 乘上

5

會不會進位，要看

lo g 5

加上

100 lo g 2

的小數部分

0.10

之後有沒有超過

1

：

0.10 + 0.699 < 1

，沒有進位。

對數函數的底數沒有限定時，大於

1

與小於

1

兩種圖形都要檢查；

f (5 x)

與

5 \times 2^{x}

分別是圖形的鉛直平移與水平平移，平移出來的對應點連成平行四邊形。

02第 3～7 題（填充 1～5）：交點、指數方程式與不等式、由函數值求底數

第 3 題

4^{x} = 2^{2 x}

，所以

2^{2 x} = 2^{x + 2}

，

2 x = x + 2

，

x = 2

，

y = 4^{2} = 16

。交點為

(2, 16)

。

第 4 題

5 \times 2^{2 x} = 2^{3 x + 2} = 4 \times 2^{3 x}

，兩邊除以

2^{2 x}

：

5 = 4 \times 2^{x}

，

2^{x} = \frac{5}{4}

，

x = lo g_{2} \frac{5}{4}

。此時

y = 5 \times (2^{x})^{2} = 5 \times \frac{25}{16} = \frac{125}{16}

。交點為

(lo g_{2} \frac{5}{4}, \frac{125}{16})

。

橫坐標也可以寫成

lo g_{2} 5 - 2

。

第 5 題令

u = 2^{x} > 0

，則

4^{x} = u^{2}

，

2^{x + 2} = 4 u

，方程式化成

5 u^{2} - 4 u - 9 = 0

，即

(5 u - 9) (u + 1) = 0

，

u = \frac{9}{5}

或

u = - 1

。

u > 0

，所以

2^{x} = \frac{9}{5}

，

x = lo g_{2} \frac{9}{5}

。

第 6 題左邊

= 4^{x} (1 + 4 + 16) = 21 \cdot 4^{x}

，右邊

= 9^{x} (1 + 9 + 81) = 91 \cdot 9^{x}

。不等式即

21 \cdot 4^{x} \geq 91 \cdot 9^{x}

，兩邊除以正數

21 \cdot 9^{x}

：

(\frac{4}{9})^{x} \geq \frac{91}{21} = \frac{13}{3}

。底數

\frac{4}{9} < 1

，函數

(\frac{4}{9})^{x}

遞減，所以取對數時不等號反向：

x \leq lo g_{\frac{4}{9}} \frac{13}{3}

。

也可以寫成

x \leq \frac{lo g 13 - lo g 3}{2 lo g 2 - 2 lo g 3}

，約為

x \leq - 1.81

。

第 7 題設

L = lo g_{b} 2

，則

lo g_{b} 0.25 = - 2 L

，

lo g_{b} 4 = 2 L

，

lo g_{b} 32 = 5 L

。表格給出四個式子：

a - 2 L = m

，

a + L = n

，

a + 2 L = 10 - m

，

a + 5 L = n + 4

。第四式減第二式：

4 L = 4

，

L = 1

，即

b = 2

。第一式加第三式：

2 a = 10

，

a = 5

。所以

m = 5 - 2 = 3

，

n = 5 + 1 = 6

，

(m, n) = (3, 6)

。

驗算：

f (4) = 5 + 2 = 7 = 10 - 3

，

f (32) = 5 + 5 = 10 = 6 + 4

，都對。

指數方程式先化成同底，或以

2^{x}

代換化成二次方程式，記得代換的量是正數；底數小於

1

時不等號要反向。

03第 8～12 題（填充 6～10）：梯形面積、衰減、交點範圍、代換、取對數求極值

第 8 題

P (2, lo g_{16} 2) = (2, \frac{1}{4})

，

Q (2, lo g_{2} 2) = (2, 1)

，

R (16, lo g_{16} 16) = (16, 1)

，

S (16, lo g_{2} 16) = (16, 4)

。

\overline{P Q}

與

\overline{R S}

都是鉛直線段，所以

P QS R

是梯形：兩底長

\overline{P Q} = \frac{3}{4}

、

\overline{R S} = 3

，高是

16 - 2 = 14

。面積

= \frac{1}{2} (\frac{3}{4} + 3) \times 14 = \frac{105}{4}

。

第 9 題每通過一塊，強度變成原來的

0.9

倍，通過

n

塊後是原來的

0. 9^{n}

倍。要

0. 9^{n} \leq \frac{1}{1000}

，兩邊取常用對數：

n lo g 0.9 \leq - 3

。

lo g 0.9 = lo g \frac{9}{10} = 2 lo g 3 - 1 \approx - 0.0458

，是負數，除過去不等號反向：

n \geq \frac{3}{0.0458} \approx 65.5

。所以

n

的最小值是

66

。

減弱一成是乘以

0.9

，不是乘以

0.1

。用較精確的

lo g 0.9 \approx - 0.04576

算出

n \geq 65.6

，答案一樣是

66

。

第 10 題設

b - a = d > 0

。直線斜率是

\frac{1}{3}

，所以

A, B

的縱坐標差是

\frac{d}{3}

，

\overline{A B} = d^{2} + \frac{d ^{2}}{9} = \frac{10}{3} d = 310

，得

d = 9

。斜率：

\frac{2 ^{b} - 2 ^{a}}{b - a} = \frac{2 ^{a} ( 2 ^{9} - 1 )}{9} = \frac{1}{3}

，所以

2^{a} = \frac{3}{511}

。因為

\frac{1}{256} < \frac{3}{511} < \frac{1}{128}

（

511 < 768

且

3 \times 128 = 384 < 511

），即

2^{- 8} < 2^{a} < 2^{- 7}

，所以

- 8 < a < - 7

，

n = - 8

。

a = lo g_{2} \frac{3}{511} \approx - 7.41

。注意

a

是負數，介於

- 8

與

- 7

之間時

n

取比較小的

- 8

。

第 11 題分子分母同乘

a^{x}

：

f (x) = \frac{a ^{2 x} + 2}{a ^{2 x} - 2}

。令

u = a^{2 α}

：

\frac{u + 2}{u - 2} = 9

，

u + 2 = 9 u - 18

，

u = \frac{5}{2}

。令

v = a^{2 β}

：

\frac{v + 2}{v - 2} = 7

，

v + 2 = 7 v - 14

，

v = \frac{8}{3}

。所以

a^{2 (α + β)} = uv = \frac{5}{2} \cdot \frac{8}{3} = \frac{20}{3}

，

f (α + β) = \frac{\frac{20}{3} + 2}{\frac{20}{3} - 2} = \frac{26}{14} = \frac{13}{7}

。

第 12 題

f (x) > 0

，兩邊取常用對數：

lo g f (x) = (3 - lo g x) lo g x

。令

t = lo g x

，

\frac{1}{100} \leq x \leq 1000

即

- 2 \leq t \leq 3

，

lo g f (x) = 3 t - t^{2} = - (t - \frac{3}{2})^{2} + \frac{9}{4}

。這是開口向下的拋物線，在

- 2 \leq t \leq 3

上的最小值在離頂點

t = \frac{3}{2}

較遠的端點

t = - 2

：

3 (- 2) - 4 = - 10

（另一端

t = 3

時是

0

）。所以

lo g f (x)

的最小值是

- 10

，而

f (x) = 1 0^{l o g f (x)}

，最小值是

1 0^{- 10}

，發生在

x = \frac{1}{100}

。

開口向下的二次函數，最小值不在頂點，要比較兩個端點。

次方上有

lo g x

的函數，先取對數再令

t = lo g x

，就化成二次函數在區間上的極值。

04第 13～17 題（填充 11～15）：取對數化直線、數列的可能值、機率、根的分布、對稱求最短

第 13 題

(10 x_{0}, 15 y_{0})

在

y = 1 0^{x}

上：

15 y_{0} = 1 0^{10 x_{0}}

。兩邊取常用對數：

lo g 15 + lo g y_{0} = 10 x_{0}

，即

lo g y_{0} = 10 x_{0} - lo g 15

。所以點

(x_{0}, lo g y_{0})

在直線

y = 10 x - lo g 15

上，

a = 10

，

b = - lo g 15

，

a^{b} = 1 0^{- l o g 15} = \frac{1}{1 0 ^{l o g 15}} = \frac{1}{15}

。

第 14 題相鄰兩項中一數是另一數的兩倍，所以每一項是前一項的

2

倍或

\frac{1}{2}

倍。設

a_{k} = a_{1} \cdot 2^{e_{k}}

，則

e_{1} = 0

，每往後一項

e

加

1

或減

1

。

a_{1} = lo g 360

，因為

100 < 360 < 1000

，所以

2 < a_{1} < 3

。每一項大於

1

：

a_{1} \cdot \frac{1}{2} > 1

成立，

a_{1} \cdot \frac{1}{4} < \frac{3}{4} < 1

不成立，所以必須

e_{k} \geq - 1

。從

e_{1} = 0

走

19

步，每步加減

1

，

e_{20}

與

19

同奇偶，是奇數，而且

- 1 \leq e_{20} \leq 19

。每一個這樣的奇數

e

都走得到：先一路往上（或往下）走到

e

，用掉的步數

∣ e ∣ \leq 19

且與

19

同奇偶，剩下偶數步在

e

與

e + 1

之間來回，過程中都不小於

- 1

。所以

e_{20}

可以是

- 1, 1, 3, \dots, 19

，共

11

個值，

a_{20}

的可能值有

11

種。

a_{1} = lo g 360 \approx 2.556

，

a_{1}

除以

4

會小於

1

，所以最多只能比

a_{1}

小一半；

20

項只走

19

步，

e_{20}

一定是奇數。

第 15 題由對數律，

lo g (a^{3}) + lo g (b^{2}) + lo g c = lo g (a^{3} b^{2} c) \leq 2

，即

a^{3} b^{2} c \leq 100

。依

a

分類計數

b^{2} c

的上限：

a = 1

：

b^{2} c \leq 100

，

b = 1, 2, 3, 4

時

c

各有

6

種，

b = 5

時

c \leq 4

有

4

種，

b = 6

時

c \leq 2

有

2

種，共

30

種。

a = 2

：

b^{2} c \leq 12.5

，

b = 1

有

6

種，

b = 2

時

c \leq 3

有

3

種，

b = 3

時

c = 1

有

1

種，共

10

種。

a = 3

：

b^{2} c \leq \frac{100}{27}

，只有

b = 1

、

c \leq 3

，共

3

種。

a = 4

：

b^{2} c \leq \frac{100}{64}

，只有

b = c = 1

，

1

種。

a \geq 5

時

a^{3} \geq 125 > 100

，沒有。合計

30 + 10 + 3 + 1 = 44

種，機率

= \frac{44}{216} = \frac{11}{54}

。

第 16 題令

u = 2^{x}

，方程式化成

u^{2} + (m - 8) u + 9 = 0

。

x > 0

相當於

u > 1

，而且不同的

u

對應不同的

x

，所以題目等於要求這個二次方程式有兩個相異實根，而且都大於

1

。設

h (u) = u^{2} + (m - 8) u + 9

：判別式

(m - 8)^{2} - 36 > 0

，得

m < 2

或

m > 14

；對稱軸

u = \frac{8 - m}{2} > 1

，得

m < 6

；

h (1) = 1 + m - 8 + 9 = m + 2 > 0

，得

m > - 2

。三個條件同時成立：

- 2 < m < 2

。

邊界檢查：

m = - 2

時

h (u) = (u - 1) (u - 9)

，有一根

u = 1

對應

x = 0

，不是正根；

m = 2

時

h (u) = (u - 3)^{2}

是重根。兩端都不能取。

第 17 題

y = 2^{x}

與

y = lo g_{2} x

的圖形對稱於直線

y = x

，

Q

是

P

對

y = x

的對稱點。設

A

對

y = x

的對稱點為

A^{'} (3, - 4)

，對稱保持距離，所以

\overline{A Q} = \overline{A^{'} P}

，

\overline{A P} + \overline{A Q} = \overline{A P} + \overline{A^{'} P} \geq \overline{A A^{'}} = 7^{2} + 7^{2} = 72

。等號在

P

落在線段

\overline{A A^{'}}

上時成立：

A (- 4, 3)

在

y = 2^{x}

圖形上方（

3 > 2^{- 4}

），

A^{'} (3, - 4)

在下方（

- 4 < 2^{3}

），直線

A A^{'}

為

y = - x - 1

；

x = - 2

時

2^{- 2} = \frac{1}{4} < 1

，

x = - 1

時

2^{- 1} = \frac{1}{2} > 0

，所以圖形與線段

\overline{A A^{'}}

在

- 2 < x < - 1

之間有交點，取它為

P

即可。最小值為

72

。

相鄰兩項差

2

倍的數列，每一項寫成首項乘以

2

的次方，次方每步加減

1

；以

2^{x}

代換時「

x > 0

」要換成「

2^{x} > 1

」；兩條互為反函數的圖形，用對

y = x

的對稱把兩段距離接成一條折線。

05第 18、19 題（計算題）：咖啡因的代謝與半衰期

第 18 題每小時代謝掉

15%

，剩下原來的

85%

，也就是每過一小時，體內的咖啡因變成前一小時的

0.85

倍。一開始

f (0) = 100

，所以

t

小時後

f (t) = 100 \times 0.8 5^{t}

（

t \geq 0

）。

第 19 題半衰期是咖啡因剩下一半所需的時間：

100 \times 0.8 5^{t} = 50

，即

0.8 5^{t} = \frac{1}{2}

。兩邊取常用對數：

t lo g 0.85 = - lo g 2

。

lo g 0.85 = lo g \frac{17}{20} = lo g 17 - lo g 2 - 1 \approx 1.2304 - 0.3010 - 1 = - 0.0706

。所以

t = \frac{- l o g 2}{l o g 0.85} \approx \frac{0.3010}{0.0706} \approx 4.26

，四捨五入至小數點後第一位，半衰期約為

4.3

小時。

0.85 = \frac{17}{20}

，

lo g 20 = 1 + lo g 2

，題目給的

lo g 17

就是為了這一步。

固定比率衰減寫成「初始量乘以剩下比率的

t

次方」，求時間就兩邊取對數。

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每個題型挑各校段考原題當例題（少數改寫會註明），由易到難；每一題都附圖或表，詳解寫到每一步。PDF 電子檔，可以先下載試閱。

《指數與對數函數》單元冊 09・高二上（數A）

同一次段考的其他學校

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建國中學 111 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 19 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

建國中學 111 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 1 題底數沒有限定，選項 (1) 與 (4) 在底數小於 1 時不成立；第 6 題底數九分之四小於 1，不等號要反向；第 12 題開口向下的二次函數最小值在端點；第 14 題首項的四分之一已經小於 1，次方最低只能到負 1，答案是 11 種。詳解逐題寫在本頁。

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自建國中學 111 學年度上學期高二第二次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

建國中學 111 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

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01第 1、2 題（多選題）：對數函數與指數函數的圖形性質

02第 3～7 題（填充 1～5）：交點、指數方程式與不等式、由函數值求底數

03第 8～12 題（填充 6～10）：梯形面積、衰減、交點範圍、代換、取對數求極值

04第 13～17 題（填充 11～15）：取對數化直線、數列的可能值、機率、根的分布、對稱求最短

05第 18、19 題（計算題）：咖啡因的代謝與半衰期

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建國中學 111 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

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