段考詳解範圍：第二章指數與對數函數（對數的定義與對數律、常用對數、指數與對數函數的圖形、指對數方程式、指對數的應用）

建國中學 110 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 17 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

單選題 5 題，每題 5 分；多重選擇題 4 題，每題 8 分（每題至少有一個選項正確，各題之選項獨立判斷；所有選項均答對得 8 分，只錯 1 個選項得 5 分、只錯 2 個得 2 分、未作答或錯多於 2 個 0 分）；填充題 5 題，每題 6 分；計算題共 13 分（(1) 5 分、(2) 5 分、(3) 3 分）；共 100 分。本頁第 1～5 題是原卷單選題 1～5，第 6～9 題是多重選擇題 1～4，第 10～14 題是填充題 1～5，第 15～17 題是計算題 (1)(2)(3)。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、單選題（每題5分，共25分）

使對數

lo g_{(x - 2)} (- x^{2} + 8 x - 7)

有意義的整數

x

共有多少個？

(A) $2$
(B) $3$
(C) $4$
(D) $5$
(E) $6$

下列哪一個選項中的數最小？

(A) $(\frac{1}{3})^{\frac{1}{3}}$
(B) $(\frac{1}{2})^{\frac{1}{3}}$
(C) $(\frac{1}{3})^{\frac{1}{2}}$
(D) $(\frac{1}{3})^{l o g_{3} 2}$
(E) $(\frac{1}{2})^{l o g_{2} 3}$

兩直線

y = 2

及

y = 6

與曲線

y = 3^{x}

分別交於

P, Q

兩點，則

\overline{P Q} =

？

(A) $13$
(B) $15$
(C) $17$
(D) $19$
(E) $21$

若

6 lo g_{n} 81

為正整數，則符合條件的正整數

n

共有多少個？

(A) $2$
(B) $4$
(C) $8$
(D) $10$
(E) $12$

若正實數

a, b, c

滿足

lo g_{5} a = 10

，

lo g_{5} b = 11

，

lo g_{5} c = 12

，則

lo g_{5} (a + b + c)

最接近下列哪一個選項的值？

(A) $7$
(B) $12$
(C) $17$
(D) $22$
(E) $37$

二、多重選擇題（每題 8 分，共 32 分）

對於函數

y = lo g_{2} x

圖形的描述，下列敘述何者正確？

(A) 若 $k$ 為實數，則 $y = lo g_{2} x$ 圖形和直線 $y = k$ 都恰有一個交點
(B) $y = lo g_{2} x$ 圖形和 $y = - lo g_{2} x$ 圖形對稱於 $Y$ 軸
(C) $y = lo g_{2} x$ 圖形和 $y = 2^{x}$ 圖形對稱於直線 $y = x$
(D) 將 $y = lo g_{2} x$ 圖形向右移 $3$ 單位，再向上移 $1$ 單位，可得新圖形方程式為 $y = lo g_{2} (2 x - 3)$
(E) 若 $x_{1}$ 與 $x_{2}$ 均為正數，則 $lo g_{2} (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}) \geq \frac{lo g _{2} x _{1} + lo g _{2} x _{2}}{2}$

下列敘述何者正確？

(A) $2^{x} = 2^{- x}$ 恰有 $1$ 個實根
(B) $2^{x} = 2 x$ 恰有 $1$ 個實根
(C) $2^{x} = x^{2}$ 恰有 $3$ 個實根
(D) $2^{- x} = - lo g_{2} x$ 恰有 $1$ 個實根
(E) $2^{- ∣ x ∣} = ∣ lo g_{2} x ∣$ 恰有 $2$ 個實根

已知

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

且

x = 2^{2021}

，則下列敘述哪些是正確的？

(A) $x$ 的個位數字為 $2$
(B) $x$ 為 $608$ 位數
(C) $x$ 的最高位數字為 $2$
(D) 當 $\frac{1}{x}$ 表成小數時，在小數點後第 $607$ 位始出現不為 $0$ 的數字
(E) 當 $\frac{1}{x}$ 表成小數時，在小數點後的第 $1$ 個不為 $0$ 的數字為 $4$

設

y = x^{4 - l o g x}

，且

10 \leq x \leq 10000

，則下列敘述何者正確？

(A) $1 \leq lo g x \leq 4$
(B) 當 $x = 10$ 時， $y$ 有最小值
(C) 當 $x = 10000$ 時， $y$ 有最大值
(D) $y$ 的最小值為 $1$
(E) $y$ 的最大值為 $4$

三、填充題（每題 6 分，共 30 分）

設

y = b + lo g_{a} x

的圖形通過點

(1, 2)

，而其與直線

y = x

成對稱的圖形通過點

(4, 25)

，則

a + b

之值為 ____。

已知

lo g_{7} (7^{x} + 49) = \frac{x}{2} + 1 + lo g_{7} 2

，則實數

x =

____。

設實數

x

滿足

0 < x < 1

，且

lo g_{x} 8 - lo g_{2} x = 2

，則

x

之值為 ____。

某種濾過性病毒有害人體，某人將此病毒

100

個吸進體內，已知此病毒在人體內每隔

6

小時就會分裂成

2

個，當體內達到

1

億個病毒時身體就會出現異常反應，在此期間則稱為潛伏期，請問此病毒在體內的潛伏期大約有 ____ 天（

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

）。

設地震的芮氏規模

r

和震央所釋放出來的能量

E

，有如下的關係：

lo g E = a r + b

，其中

a, b

為實數，已知每當地震的震級規模增加兩級時，震央所釋放出來的能量是原來的

1000

倍，則每當地震的震級規模增加一級時，震央所釋放出來的能量會是原來的 ____ 倍。

四、計算題（共13分）請寫出計算過程或證明過程，否則不予計分

計算題 1（第 15～17 題）　設

x

為實數且函數

f (x) = 2 (4^{x} + 4^{- x}) - 3 (2^{x} + 2^{- x}) - 1

，則

(1) 令

t = 2^{x} + 2^{- x}

，求

t

的範圍，並將此函數

f (x)

表示為

t

的函數。(5 分)

(2) 函數

f (x)

的最小值為？及此時的

x

值為？(5 分)

(3) 解方程式

f (x) = 0

(3 分)

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)

第 2 題(E)

第 3 題(C)

第 4 題(C)

第 5 題(B)

第 6 題(A)(C)(E)

第 7 題(A)(C)(D)(E)

第 8 題(A)(C)(E)

第 9 題(A)(D)

第 10 題

7

第 11 題

2

第 12 題

\frac{1}{8}

第 13 題

5

第 14 題

1010

第 15 題

t \geq 2

，

f (x) = 2 t^{2} - 3 t - 5

第 16 題最小值

- 3

，此時

x = 0

第 17 題

x = 1

或

x = - 1

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01第 1～5 題：單選題

第 1 題

答案 (B)。

① 底數條件： $x - 2 > 0$ 且 $x - 2 \neq = 1$ ，即 $x > 2$ 且 $x \neq = 3$ 。

② 真數條件： $- x^{2} + 8 x - 7 > 0$ ，即 $x^{2} - 8 x + 7 < 0$ ， $(x - 1) (x - 7) < 0$ ，得 $1 < x < 7$ 。

③ 兩個條件同時成立： $2 < x < 7$ 且 $x \neq = 3$ ，整數只有 $4$ 、 $5$ 、 $6$ 。

共 $3$ 個，答案 (B)。

載入中...

底數除了要大於

0

，還不可以等於

1

；

x = 3

時底數是

1

，要排除。

第 2 題

答案 (E)。

① 先算兩個特別的： $(\frac{1}{3})^{l o g_{3} 2} = 3^{- l o g_{3} 2} = \frac{1}{3 ^{l o g_{3} 2}} = \frac{1}{2}$ ， $(\frac{1}{2})^{l o g_{2} 3} = \frac{1}{2 ^{l o g_{2} 3}} = \frac{1}{3}$ 。

② (C)： $(\frac{1}{3})^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3}$ ，而 $3 < 3$ ，所以 $\frac{1}{3} > \frac{1}{3}$ 。

③ (A)：底數 $\frac{1}{3} < 1$ ，指數越小值越大， $\frac{1}{3} < \frac{1}{2}$ ，所以 (A) $>$ (C) $> \frac{1}{3}$ 。

④ (B)：底數 $\frac{1}{2} < 1$ ， $\frac{1}{3} < 1$ ，所以 $(\frac{1}{2})^{\frac{1}{3}} > (\frac{1}{2})^{1} = \frac{1}{2} > \frac{1}{3}$ 。

⑤ 其他四個都比 $\frac{1}{3}$ 大，最小的是 (E)。

載入中...

a^{l o g_{a} b} = b

是這題的關鍵；(D)(E) 化簡後都是漂亮的分數。各選項的近似值：(A) 約

0.693

、(B) 約

0.794

、(C) 約

0.577

、(D)

0.5

、(E) 約

0.333

。

第 3 題

答案 (C)。

① $P$ 在 $y = 2$ 上： $3^{x} = 2$ ， $x = lo g_{3} 2$ ， $P (lo g_{3} 2, 2)$ 。

② $Q$ 在 $y = 6$ 上： $3^{x} = 6$ ， $x = lo g_{3} 6$ ， $Q (lo g_{3} 6, 6)$ 。

③ 水平距離 $lo g_{3} 6 - lo g_{3} 2 = lo g_{3} \frac{6}{2} = lo g_{3} 3 = 1$ ；鉛直距離 $6 - 2 = 4$ 。

④ $\overline{P Q} = 1^{2} + 4^{2} = 17$ ，答案 (C)。

載入中...

不必算出

lo g_{3} 2

的值，兩個對數相減直接用對數律合併。

第 4 題

答案 (C)。

① $6 lo g_{n} 81 = 6 lo g_{n} 3^{4} = 24 lo g_{n} 3$ 。設它等於正整數 $k$ 。

② $lo g_{n} 3^{24} = k$ 即 $n^{k} = 3^{24}$ 。 $n$ 是大於 $1$ 的正整數（底數不可為 $1$ ），而 $3^{24}$ 的質因數只有 $3$ ，所以 $n = 3^{m}$ ， $m$ 為正整數。

③ 代入得 $3^{mk} = 3^{24}$ ， $mk = 24$ ， $m$ 必須是 $24$ 的正因數。

④ $24$ 的正因數有 $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$ ，共 $8$ 個，每一個都對應一個 $n = 3^{m}$ 。

答案 (C)。

n = 3, 9, 27, 81, 729, 6561, 531441, 3^{24}

，代回

24 lo g_{n} 3 = \frac{24}{m}

都是正整數。

第 5 題

答案 (B)。

① $a = 5^{10}$ ， $b = 5^{11}$ ， $c = 5^{12}$ 。

② $a + b + c = 5^{10} (1 + 5 + 25) = 31 \cdot 5^{10}$ 。

③ $lo g_{5} (a + b + c) = 10 + lo g_{5} 31$ 。

④ $25 < 31 < 125$ ，所以 $2 < lo g_{5} 31 < 3$ ， $lo g_{5} (a + b + c)$ 介於 $12$ 與 $13$ 之間。

選項中最接近的是 $12$ ，答案 (B)。

lo g_{5} 31 = 2 + lo g_{5} 1.24 \approx 2.13

，所以

lo g_{5} (a + b + c) \approx 12.13

。真數的和不能拆成對數的和，要先提公因式。

對數先檢查底數與真數條件；比大小、估值先把式子化成同一個底數，再用對數律合併。

02第 6～9 題：多重選擇題

第 6 題

答案 (A)(C)(E)。

(A) 正確。 $lo g_{2} x = k$ 恰有一解 $x = 2^{k}$ ； $y = lo g_{2} x$ 遞增且值域是全體實數，每條水平線都恰交一次。

(B) 錯誤。 點 $(x, y)$ 換成 $(x, - y)$ 是對 $X$ 軸的對稱，所以兩圖形對稱於 $X$ 軸，不是 $Y$ 軸。

(D) 錯誤。 右移 $3$ 單位得 $y = lo g_{2} (x - 3)$ ，再上移 $1$ 單位得 $y = lo g_{2} (x - 3) + 1 = lo g_{2} (2 x - 6)$ ，不是 $lo g_{2} (2 x - 3)$ 。

(E) 正確。 由算幾不等式， $\frac{x _{1} + x _{2}}{2} \geq x_{1} x_{2}$ ；底數 $2 > 1$ ，真數大的對數值也大。

$lo g_{2} \frac{x _{1} + x _{2}}{2} \geq lo g_{2} x_{1} x_{2} = \frac{lo g _{2} x _{1} + lo g _{2} x _{2}}{2}$

載入中...

(D) 的「上移

1

」要寫成

+ 1 = lo g_{2} 2

再合併，合併後是

lo g_{2} (2 x - 6)

；容易誤把

2

只乘到

x

。

第 7 題

答案 (A)(C)(D)(E)。

(A) 正確。 $2^{x} = 2^{- x}$ ，底數相同、指數相等： $x = - x$ ，只有 $x = 0$ 。

(B) 錯誤。 $x = 1$ 時 $2 = 2$ ， $x = 2$ 時 $4 = 4$ ，已經有 $2$ 個實根。 $y = 2^{x}$ 圖形凹口向上，與直線 $y = 2 x$ 最多兩個交點，恰有 $2$ 個，不是 $1$ 個。

(C) 正確。 $x < 0$ 時， $2^{x}$ 遞增、 $x^{2}$ 遞減，最多一個交點； $x = - 1$ 時 $\frac{1}{2} < 1$ ， $x = 0$ 時 $1 > 0$ ，在 $(- 1, 0)$ 恰一根。

$x > 0$ 時兩邊都正，開平方得 $(2)^{x} = x$ ；凹口向上的 $y = (2)^{x}$ 與直線 $y = x$ 最多兩個交點，而 $x = 2$ 、 $x = 4$ 都是根。共 $3$ 個實根。

(D) 正確。 $2^{- x} = (\frac{1}{2})^{x}$ ， $- lo g_{2} x = lo g_{\frac{1}{2}} x$ ，兩者互為反函數，圖形對稱於 $y = x$ 。

$x \geq 1$ 時 $- lo g_{2} x \leq 0 < 2^{- x}$ ，沒有根；根都在 $0 < x < 1$ 。

在 $y = x$ 上的交點： $(\frac{1}{2})^{x} = x$ ，左邊遞減、右邊遞增，最多一個； $x = \frac{1}{2}$ 時 $(\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}} \approx 0.71 > \frac{1}{2}$ ， $x = 1$ 時 $\frac{1}{2} < 1$ ，恰有一個。

不在 $y = x$ 上的交點不存在（說明見下方補充），所以恰有 $1$ 個實根。

(E) 正確。 定義域 $x > 0$ ， $∣ x ∣ = x$ ，方程式是 $2^{- x} = ∣ lo g_{2} x ∣$ 。

$0 < x < 1$ 時 $∣ lo g_{2} x ∣ = - lo g_{2} x$ ，這段就是 (D) 的方程式，恰一根。

$x \geq 1$ 時方程式是 $2^{- x} = lo g_{2} x$ ，左邊遞減、右邊遞增，最多一根； $x = 1$ 時 $\frac{1}{2} > 0$ ， $x = 2$ 時 $\frac{1}{4} < 1$ ，在 $(1, 2)$ 恰一根。

共 $2$ 個實根。

載入中...

(D) 為什麼不在

y = x

上的交點不存在： ① 設交點

(a, b)

不在

y = x

上。由對稱

(b, a)

也是交點，所以不妨設

a < b

。兩個點都在

y = (\frac{1}{2})^{x}

上：

(\frac{1}{2})^{a} = b

、

(\frac{1}{2})^{b} = a

。 ② 兩式相減得

(\frac{1}{2})^{a} - (\frac{1}{2})^{b} = b - a

。令

d = b - a > 0

，左邊

= (\frac{1}{2})^{a} (1 - (\frac{1}{2})^{d}) < 1 - (\frac{1}{2})^{d}

（因為

a > 0

）。 ③

y = 2^{x}

凹口向上，在

0 \leq x \leq 1

時圖形在弦

y = 1 + x

下方，所以

0 < d \leq 1

時

2^{d} \leq 1 + d

，

(\frac{1}{2})^{d} \geq \frac{1}{1 + d} > 1 - d

，左邊

< d

；

d \geq 1

時

1 - (\frac{1}{2})^{d} < 1 \leq d

，左邊也

< d

。 ④ 兩種情形左邊都

< d =

右邊，矛盾。所以交點只有

y = x

上那一個。 (E) 的兩根約在

x \approx 0.64

與

x \approx 1.32

。

第 8 題

答案 (A)(C)(E)。

① $lo g x = 2021 lo g 2 \approx 2021 \times 0.3010 = 608.321$ ，首數 $608$ 、尾數約 $0.321$ 。

② $lo g \frac{1}{x} = - 608.321 = - 609 + 0.679$ ，首數 $- 609$ 、尾數約 $0.679$ 。

(A) 正確。 $2$ 的次方個位數字依 $2, 4, 8, 6$ 循環， $2021 = 4 \times 505 + 1$ ，個位數字是 $2$ 。

(B) 錯誤。 首數 $608$ ， $x$ 是 $609$ 位數。

(D) 錯誤。 首數 $- 609$ ，在小數點後第 $609$ 位才出現不為 $0$ 的數字。

(E) 正確。 $lo g 4 \approx 0.6020 < 0.679 < lo g 5 \approx 0.6990$ ，第一個不為 $0$ 的數字是 $4$ 。

載入中...

用卷面的近似值

0.3010

乘上

2021

，誤差會放大到約

0.06

（較精確的

lo g x \approx 608.38

），但兩個尾數仍落在同樣的區間內，結論不變；本站也以精確整數計算確認

2^{2021}

是

609

位數、首位是

2

。

第 9 題

答案 (A)(D)。

① 兩邊取常用對數： $lo g y = (4 - lo g x) lo g x$ 。

② 令 $t = lo g x$ ， $10 \leq x \leq 10000$ 對應 $1 \leq t \leq 4$ 。

③ $lo g y = 4 t - t^{2} = - (t - 2)^{2} + 4$ ，是開口向下的拋物線，頂點 $t = 2$ 。

④ $t = 2$ （ $x = 100$ ）時 $lo g y$ 最大為 $4$ ， $y$ 最大為 $1 0^{4} = 10000$ 。

⑤ 端點 $t = 1$ 時 $lo g y = 3$ ， $t = 4$ 時 $lo g y = 0$ ；最小在 $t = 4$ （ $x = 10000$ ）， $y$ 最小為 $1 0^{0} = 1$ 。

(A) 正確。 $1 \leq lo g x \leq 4$ 。

(B) 錯誤。 $x = 10$ 時 $y = 1000$ ，不是最小值。

(D) 正確。 最小值是 $1$ 。

(E) 錯誤。 最大值是 $10000$ ； $4$ 是 $lo g y$ 的最大值。

載入中...

取對數後要記得最後換回

y

：

lo g y

的最大值

4

對應

y = 1 0^{4}

。

數實根個數畫兩條曲線看交點：一增一減最多一個交點，凹口向上的圖形與直線最多兩個交點；位數看首數、最高位數字看尾數。

03第 10～14 題：填充題

第 10 題

① 過點 $(1, 2)$ ： $2 = b + lo g_{a} 1 = b$ ，得 $b = 2$ 。

② 對稱於 $y = x$ 的圖形過 $(4, 25)$ ，所以原圖形過 $(25, 4)$ 。

③ 代入： $4 = 2 + lo g_{a} 25$ ， $lo g_{a} 25 = 2$ ， $a^{2} = 25$ 。

④ 底數 $a > 0$ ，所以 $a = 5$ 。

$a + b = 5 + 2 = 7$ 。

載入中...

對稱於

y = x

就是把點的

x

、

y

坐標對調；不必寫出對稱圖形的方程式。

第 11 題

① 右邊寫成同一個對數： $\frac{x}{2} + 1 + lo g_{7} 2 = lo g_{7} 7^{\frac{x}{2}} + lo g_{7} 7 + lo g_{7} 2 = lo g_{7} (14 \cdot 7^{\frac{x}{2}})$ 。

② 真數相等： $7^{x} + 49 = 14 \cdot 7^{\frac{x}{2}}$ 。

③ 令 $u = 7^{\frac{x}{2}} > 0$ ， $7^{x} = u^{2}$ ： $u^{2} - 14 u + 49 = 0$ ， $(u - 7)^{2} = 0$ ， $u = 7$ 。

④ $7^{\frac{x}{2}} = 7$ ， $\frac{x}{2} = 1$ ， $x = 2$ 。

驗算：左邊

lo g_{7} (49 + 49) = lo g_{7} 98

，右邊

1 + 1 + lo g_{7} 2 = lo g_{7} (49 \cdot 2) = lo g_{7} 98

，相等。

第 12 題

① 換底： $lo g_{x} 8 = \frac{l o g _{2} 8}{l o g _{2} x} = \frac{3}{l o g _{2} x}$ 。

② 令 $t = lo g_{2} x$ ； $0 < x < 1$ ，所以 $t < 0$ 。

③ 方程式變成 $\frac{3}{t} - t = 2$ ，兩邊乘 $t$ ： $3 - t^{2} = 2 t$ ， $t^{2} + 2 t - 3 = 0$ 。

④ $(t + 3) (t - 1) = 0$ ， $t = - 3$ 或 $t = 1$ ； $t < 0$ ，取 $t = - 3$ 。

⑤ $lo g_{2} x = - 3$ ， $x = 2^{- 3} = \frac{1}{8}$ 。

t = 1

對應

x = 2

，不符合

0 < x < 1

，要捨去。

第 13 題

① 經過 $n$ 個 $6$ 小時，病毒有 $100 \cdot 2^{n}$ 個。

② 達到 $1$ 億 $= 1 0^{8}$ 個： $100 \cdot 2^{n} = 1 0^{8}$ ， $2^{n} = 1 0^{6}$ 。

③ 取常用對數： $n lo g 2 = 6$ ， $n = \frac{6}{0.3010} \approx 19.93$ 。

④ 時間約 $6 \times 19.93 \approx 119.6$ 小時， $119.6 \div 24 \approx 4.98$ 。

潛伏期大約 $5$ 天。

也可以這樣想：

2^{20} = 1048576

剛好超過

1 0^{6}

，分裂

20

次需

120

小時，正好

5

天。卷面給的

lo g 3

這題用不到。

第 14 題

① 規模 $r$ 時 $lo g E = a r + b$ ；規模 $r + 2$ 時能量為 $1000 E$ ， $lo g (1000 E) = a (r + 2) + b$ 。

② 兩式相減： $lo g 1000 = 2 a$ ， $3 = 2 a$ ， $a = \frac{3}{2}$ 。

③ 規模增加一級，能量變成 $E^{'}$ ： $lo g E^{'} - lo g E = a = \frac{3}{2}$ 。

④ $\frac{E ^{'}}{E} = 1 0^{\frac{3}{2}} = 1010$ 。

能量會是原來的 $1010$ 倍（約 $31.6$ 倍）。

b

在相減時消掉，不必求出來。

指對數方程式的套路：先化成同底或同一個對數，再整體代換成二次方程式，最後回頭檢查底數、真數與題目給的範圍。

04第 15～17 題：計算題

第 15 題

① $2^{x} > 0$ 、 $2^{- x} > 0$ ，由算幾不等式： $t = 2^{x} + 2^{- x} \geq 2 2^{x} \cdot 2^{- x} = 2$ 。

② 等號在 $2^{x} = 2^{- x}$ ，即 $x = 0$ 時成立；而且每個 $t \geq 2$ 都取得到（說明見下方補充），所以 $t \geq 2$ 。

③ $4^{x} + 4^{- x} = (2^{x})^{2} + (2^{- x})^{2} = (2^{x} + 2^{- x})^{2} - 2 = t^{2} - 2$ 。

④ $f (x) = 2 (t^{2} - 2) - 3 t - 1 = 2 t^{2} - 3 t - 5$ 。

答： $t \geq 2$ ， $f (x) = 2 t^{2} - 3 t - 5$ 。

載入中...

每個

t \geq 2

都取得到：令

u = 2^{x} > 0

，

u + \frac{1}{u} = t

即

u^{2} - t u + 1 = 0

。判別式

t^{2} - 4 \geq 0

，有實根；兩根乘積

1

、和

t

都是正的，所以兩根都是正數，取

x = lo g_{2} u

即可。平方展開時中間項是

2 \cdot 2^{x} \cdot 2^{- x} = 2

，所以減

2

。

第 16 題

① 配方： $2 t^{2} - 3 t - 5 = 2 (t - \frac{3}{4})^{2} - \frac{49}{8}$ ，頂點在 $t = \frac{3}{4}$ 。

② 但 $t \geq 2$ ，頂點不在範圍內；在 $t \geq 2$ 時拋物線往右一路上升。

③ 所以最小值在 $t = 2$ ： $2 \cdot 4 - 3 \cdot 2 - 5 = - 3$ 。

④ $t = 2$ 時 $2^{x} + 2^{- x} = 2$ ，等號成立， $x = 0$ 。

答：最小值 $- 3$ ，此時 $x = 0$ 。

載入中...

直接用頂點的

- \frac{49}{8}

當答案是常見錯誤：代換後一定要看新變數

t

的範圍。

第 17 題

① $f (x) = 0$ 即 $2 t^{2} - 3 t - 5 = 0$ ， $(2 t - 5) (t + 1) = 0$ 。

② $t = \frac{5}{2}$ 或 $t = - 1$ ； $t \geq 2$ ，取 $t = \frac{5}{2}$ 。

③ $2^{x} + 2^{- x} = \frac{5}{2}$ ，令 $u = 2^{x} > 0$ ： $u + \frac{1}{u} = \frac{5}{2}$ ， $2 u^{2} - 5 u + 2 = 0$ 。

④ $(2 u - 1) (u - 2) = 0$ ， $u = 2$ 或 $u = \frac{1}{2}$ 。

⑤ $2^{x} = 2$ 得 $x = 1$ ； $2^{x} = \frac{1}{2}$ 得 $x = - 1$ 。

答： $x = 1$ 或 $x = - 1$ 。

載入中...

f (x)

中

x

換成

- x

不變（圖形對稱於

y

軸），所以兩個根一正一負、互為相反數。

看到

a^{x} + a^{- x}

與

a^{2 x} + a^{- 2 x}

同時出現，就令

t = a^{x} + a^{- x}

；先用算幾不等式定出

t \geq 2

，再在這個範圍內處理二次函數。

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《指數與對數函數》單元冊 09・高二上（數A）

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本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

建國中學 110 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 7 題要逐一判斷實根個數，第四個選項兩條曲線互為反函數，要說明除了直線 y＝x 上那一點之外不會再相交，第五個選項在零與一之間的那一根就是第四個選項的根；第 8 題用近似值算出的首數與尾數，要分清楚位數、小數點後第幾位與最高位數字各看哪一個；第 9 題取對數後化成二次函數，最大值是 log y 的 4，換回 y 是一萬；第 16 題代換後頂點不在 t 至少為 2 的範圍內。詳解逐題寫在本頁。

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建國中學 110 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

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數學試題、答案與詳解

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