建國中學 111 上
高一第二次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (3)。直線 $LM$ 的斜率 $\frac{11-3}{8-2}=\frac{4}{3}$，方程式 $y-3=\frac{4}{3}(x-2)$，整理成 $4x-3y+1=0$。圓與直線相切時，半徑等於圓心到直線的距離：

$$r=\frac{|4\cdot 1-3\cdot 5+1|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{10}{5}=2$$

所以圓 $O$ 為 $(x-1{)}^2+(y-5{)}^2=4$。

本題卷面只寫「對稱點恰為 $B$」，沒有印出 $B$ 點的坐標，條件不足，$a+b$ 不能確定。做法本身是：$L$ 是 $\overline{AB}$ 的垂直平分線，所以 $L$ 的斜率 $a$ 與 $\overline{AB}$ 的斜率相乘為 $-1$，且 $L$ 通過 $\overline{AB}$ 的中點，由這兩個條件定出 $a$、$b$。

例如取 $B$ 在直線 $y=x+2$ 上，$B(t,t+2)$（$t\ne 1$）：$\overline{AB}$ 的斜率是 $1$，所以 $a=-1$；中點 $\left(\frac{1+t}{2},\frac{5+t}{2}\right)$ 代入 $y=-x+b$ 得 $b=3+t$，於是 $a+b=t+2$。$t=-3$、$-1$、$2$、$5$、$9$（即 $B(-3,-1)$、$(-1,1)$、$(2,4)$、$(5,7)$、$(9,11)$）時，$a+b$ 分別是 $-1$、$1$、$4$、$7$、$11$，五個選項都可能成立。

答案 (3)。以 $B$ 為原點，讓 $A$ 在 $y$ 軸正向、$C$ 在 $x$ 軸負向：$B(0,0)$，$A(0,30)$，$C(-18,0)$。$\overline{CD}\perp \overline{BC}$，所以 $D$ 在直線 $x=-18$ 上，且依圖 $D$ 與 $A$ 在直線 $BC$ 的兩側，$D(-18,-6)$。

設圓 $x^2+y^2+dx+ey+f=0$。過 $B$：$f=0$。過 $A$：$900+30e=0$，$e=-30$。過 $D$：$324+36-18d+180=0$，$d=30$。圓為 $x^2+y^2+30x-30y=0$，即 $(x+15{)}^2+(y-15{)}^2=450$。半徑平方 $450$，面積 $450\pi$ 平方公尺。

答案 (2)(3)。$L:y-\frac{3}{2}=\frac{3}{4}(x+6)$，即 $y=\frac{3}{4}x+6$，整理成 $3x-4y+24=0$。令 $y=0$ 得 $x=-8$；令 $x=0$ 得 $y=6$。三角形三頂點是 $(0,0)$、$(-8,0)$、$(0,6)$，兩股 $8$、$6$，斜邊 $10$。

(1) 錯誤。 $x$ 軸截距是 $-8$，不是 $8$。 (2) 正確。 $y$ 軸截距是 $6$。 (3) 正確。 面積 $\frac{1}{2}\times 8\times 6=24$。 (4) 錯誤。 直角三角形內切圓半徑 $r=\frac{8+6-10}{2}=2$。三角形在第二象限，內心到兩軸距離都是 $2$，所以內心是 $(-2,2)$，不是 $(4,4)$。 (5) 錯誤。 內切圓面積 $\pi r^2=4\pi$。

答案 (1)(3)(4)。先求頂點：$x-2y=0$ 與 $2x-y=0$ 交於 $(0,0)$；$x-2y=0$ 與 $x+y=3$ 交於 $(2,1)$；$2x-y=0$ 與 $x+y=3$ 交於 $(1,2)$。設 $O(0,0)$、$P(2,1)$、$Q(1,2)$（三點就是 $△ABC$ 的三頂點）。

(1) 正確。 $\overline{OP}=\overline{OQ}=\sqrt{5}$，等腰三角形的外心在頂角平分線 $y=x$ 上，設外心 $(t,t)$，到 $O$ 與到 $P$ 等距：$2t^2=(t-2{)}^2+(t-1{)}^2$，得 $6t=5$，$t=\frac{5}{6}$。 (2) 錯誤。 垂心也在 $y=x$ 上，設為 $(s,s)$。它與 $P$ 的連線要垂直 $\overline{OQ}$（$\overline{OQ}$ 斜率 $2$），所以 $\frac{s-1}{s-2}=-\frac{1}{2}$，得 $2s-2=-s+2$，$s=\frac{4}{3}$。垂心是 $\left(\frac{4}{3},\frac{4}{3}\right)$。 (3) 正確。 重心 $\left(\frac{0+2+1}{3},\frac{0+1+2}{3}\right)=(1,1)$。 (4) 正確。 外心 $\left(\frac{5}{6},\frac{5}{6}\right)$、重心 $(1,1)$、垂心 $\left(\frac{4}{3},\frac{4}{3}\right)$ 都在 $y=x$ 上，斜率 $1$。 (5) 錯誤。 面積 $\frac{1}{2}\left|2\cdot 2-1\cdot 1\right|=\frac{3}{2}$，不是 $3$。

答案 (1)(2)(4)(5)。光束從原點射向 $(1,a)$，是直線 $y=ax$（即 $ax-y=0$）在 $x\ge 0$ 的那一半。半徑 $1$ 的靶子被擊中，等於圓心到直線 $ax-y=0$ 的距離 $\le 1$（三個靶子都在 $x>0$ 的範圍，直線碰到靶子的地方一定在光束那一半上）。

(1) 正確。 光束通過原點與 $(1,a)$，斜率 $\frac{a-0}{1-0}=a$。 (2) 正確。 通過 $(5,4)$ 時斜率為 $\frac{4}{5}$，所以 $a=\frac{4}{5}$。 (3) 錯誤。 $a=2$ 時，$(3,3)$ 到 $2x-y=0$ 的距離 $\frac{|6-3|}{\sqrt{5}}=\frac{3}{\sqrt{5}}$，而 $9>5$，所以 $\frac{3}{\sqrt{5}}>1$，打不中。 (4) 正確。 擊中 $(10,1)$ 的靶子：$\frac{|10a-1|}{\sqrt{a^2+1}}\le 1$，平方得 $100a^2-20a+1\le a^2+1$，即 $99a^2-20a\le 0$，$a(99a-20)\le 0$，$0\le a\le \frac{20}{99}$；又 $a$ 為正數，所以 $0<a\le \frac{20}{99}$。 (5) 正確。 同法，擊中 $(3,3)$ 的靶子要 $(3a-3{)}^2\le a^2+1$，即 $4a^2-9a+4\le 0$，$a\ge \frac{9-\sqrt{17}}{8}$；擊中 $(5,4)$ 的靶子要 $(5a-4{)}^2\le a^2+1$，即 $24a^2-40a+15\le 0$，$a\ge \frac{10-\sqrt{10}}{12}$。這兩個下界都大於 $\frac{20}{99}$（$\sqrt{17}<4.2$ 得 $\frac{9-\sqrt{17}}{8}>0.6$；$\sqrt{10}<3.2$ 得 $\frac{10-\sqrt{10}}{12}>0.56$），所以沒有一道光束能同時打中 $(10,1)$ 與另外任一個靶子，一道不夠。兩道就夠：$a=\frac{4}{5}$ 同時打中 $(3,3)$ 與 $(5,4)$（$(3,3)$ 到 $4x-5y=0$ 的距離 $\frac{3}{\sqrt{41}}<1$），再用 $a=\frac{1}{10}$ 打中 $(10,1)$。最少兩道。

由 $x\ge 0$、$y\ge 0$、$x+2y\le 6$ 得 $0\le x\le 6$。第一式改寫成 $y\le 3x+1$，第二式改寫成 $y\le \frac{6-x}{2}$。對每個整數 $x$ 數 $y$：

$$\begin{array}{cccccccc}x& 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ y\text{的範圍}& 0\sim 1& 0\sim 2& 0\sim 2& 0\sim 1& 0\sim 1& 0& 0\\ \text{個數}& 2& 3& 3& 2& 2& 1& 1\end{array}$$

$x=0$ 時 $y\le 1$ 是第一式限制的，其餘都是 $y\le \frac{6-x}{2}$ 限制的。合計 $2+3+3+2+2+1+1=14$ 個。

$P$、$Q$ 所在的邊 $\overline{AB}$、$\overline{BC}$ 都不經過頂點 $O$。設正方形邊長為 $s$。直角三角形 $OAP$ 與 $OCQ$ 中，$\overline{OA}=\overline{OC}=s$，斜邊 $\overline{OP}=\overline{OQ}=2$，所以兩三角形全等（RHS），$\overline{AP}=\overline{CQ}$，於是 $\overline{BP}=\overline{BQ}$。

$O$ 與 $B$ 都到 $P$、$Q$ 等距，所以對角線 $\overline{OB}$ 落在 $\overline{PQ}$ 的中垂線上，並通過 $\overline{PQ}$ 的中點 $M\left(\frac{2+\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)$。

${\overline{OM}}^2=\frac{(2+\sqrt{3}{)}^2+1}{4}=\frac{8+4\sqrt{3}}{4}=2+\sqrt{3}$，所以 $\overline{OM}=\sqrt{2+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$。

${\overline{PQ}}^2=(2-\sqrt{3}{)}^2+1^2=8-4\sqrt{3}$，${\overline{PM}}^2=\frac{8-4\sqrt{3}}{4}=2-\sqrt{3}$，$\overline{PM}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$。

$△PBQ$ 是等腰直角三角形（$\angle B=90^{\circ }$），斜邊上的中線等於斜邊的一半，$\overline{MB}=\overline{PM}$。$B$ 在 $M$ 的外側，所以

$$\overline{OB}=\overline{OM}+\overline{MB}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}=\sqrt{6}$$

正方形面積是對角線平方的一半：$\frac{(\sqrt{6}{)}^2}{2}=3$。

正方形 $ABCD$ 中 $\overline{AB}\parallel \overline{CD}$，$\overline{CD}$ 在直線 $x-2y=10$ 上，所以直線 $AB$ 可設為 $x-2y=c$（$c\ne 10$）。

邊長 $\overline{AB}$ 等於兩平行線的距離：$\overline{AB}=\frac{|c-10|}{\sqrt{5}}$。

另一方面 $\overline{AB}$ 是圓 $(x-2{)}^2+y^2=4$ 的弦，弦心距 $d=\frac{|2-c|}{\sqrt{5}}$（圓心 $(2,0)$ 到直線的距離），弦長 $\overline{AB}=2\sqrt{4-d^2}$。兩者相等，平方：

$$\frac{(c-10{)}^2}{5}=4\left(4-\frac{(c-2{)}^2}{5}\right)$$

$(c-10{)}^2=80-4(c-2{)}^2$，展開 $c^2-20c+100=80-4c^2+16c-16$，整理成 $5c^2-36c+36=0$，即 $(c-6)(5c-6)=0$，$c=6$ 或 $c=\frac{6}{5}$。兩者的弦心距 $\frac{4}{\sqrt{5}}$、$\frac{4}{5\sqrt{5}}$ 都小於半徑 $2$，直線確實與圓交於兩點。

再看「恰交於 $A$、$B$ 兩點」： ① $c=6$：邊長 $\frac{4}{\sqrt{5}}$。正方形夾在 $x-2y=6$ 與 $x-2y=10$ 之間，而圓心 $(2,0)$ 代入 $x-2y$ 得 $2<6$，圓在直線 $AB$ 另一側的部分只是一小段弓形；邊 $\overline{AD}$、$\overline{BC}$ 從 $A$、$B$ 垂直往遠離圓心的方向走，不會再碰到圓。正方形與圓恰交於 $A$、$B$，合。 ② $c=\frac{6}{5}$：圓心代入 $x-2y$ 得 $2>\frac{6}{5}$，圓的大半部在直線 $AB$ 往 $x-2y=10$ 那一側。邊 $\overline{AD}$ 從圓上的 $A$ 垂直 $\overline{AB}$ 往圓內走，會在 $x-2y=2\cdot 2-\frac{6}{5}=\frac{14}{5}$ 處再穿出圓（$A$ 關於過圓心且平行 $\overline{AB}$ 的直線的對稱點），而 $\frac{14}{5}<10$，這一點在邊 $\overline{AD}$ 上；$\overline{BC}$ 同理。正方形的邊與圓共有四個交點，不合「恰交於 $A$、$B$ 兩點」。

所以通過 $A$、$B$ 的直線是 $x-2y=6$。