段考詳解範圍：指數函數、對數與對數律、指數與對數函數的圖形、指數對數方程式與不等式、常用對數的應用

苑裡高中 110 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 苑裡高中 110 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 26 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 苑裡高中 110 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 11 題底數不可等於 1，容易漏掉 x 不等於 2；第 14 題底數 0.4 小於 1，比較指數時不等號要反向；第 9 題負的對數要寫成負整數加尾數；第 22 題要先把 b、c 化成 log 以 2 為底 3 與 log 以 3 為底 2 再比較。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 26 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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這一章有整理好的單元冊：《指數與對數函數》

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 26 題，照原卷順序

單選題 5 題與填充題 17 題（第 10 題分兩格，共 18 格）合併計分，共 23 格，依答對格數給分，共 80 分：答對 1～23 格依序得 6、12、18、24、30、33、36、39、42、45、48、51、54、57、60、63、66、69、72、74、76、78、80 分；多重選擇題 4 題，每題 5 分，答錯一個選項扣 2 分，扣至該題零分為止，共 20 分。卷面全卷連續編號，本頁題號與卷面相同。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單選題 (與填充題合併計分)

下列何者是最小的數？

(A) $3^{- 5}$
(B) $3^{- 2}$
(C) $3^{- 3}$
(D) $3^{- 1.5}$
(E) $3^{- \frac{1}{2}}$

將

y = 3^{x}

的圖形，向左平移

1

單位，再向下平移

2

單位，會得到哪一個函數的圖形？

(A) $y = 3^{x - 1} + 2$
(B) $y = 3^{x + 1} - 2$
(C) $y = 3^{x - 1} - 2$
(D) $y = 3^{x + 1} + 2$
(E) $y = - 3^{x - 1} - 2$

如圖為

y = a + b^{x}

的部分圖形，其中

a

，

b

為常數，則下列何者正確？

(A) $a > 0$ ， $b > 1$
(B) $a < 0$ ， $b > 1$
(C) $a > 0$ ， $b < 0$
(D) $a < 0$ ， $0 < b < 1$
(E) $a > 1$ ， $0 < b < 1$

載入中...

已知

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

，溶液中的 pH 值是溶液中氫離子濃度的對數值加上負號，以

[H^{+}]

表示氫離子濃度，則

pH = - lo g [H^{+}]

。現在把 pH 值為

3

與

4

的酸性溶液依

1 : 2

混合，求此混合溶液的 pH 值最接近？

(A) $3.2$
(B) $3.3$
(C) $3.4$
(D) $3.6$
(E) $3.8$

如下圖，各指數函數的底數分別為

a

，

b

，

c

，

d

，則

a

，

b

，

c

，

d

大小關係為

(A) $c > d > b > a$
(B) $a > b > d > c$
(C) $a > b > c > d$
(D) $d > c > a > b$
(E) $c > d > a > b$

載入中...

二、多重選擇題 (4題每題5分答錯一個選項扣2分扣至該題零分為止共20分)

試問下列哪些選項正確？

(A) $lo g_{(- 2)} (- 8) = 3$
(B) $lo g 2 + lo g 3 = lo g 5$
(C) $lo g 11 - lo g 7 = \frac{lo g 11}{lo g 7}$
(D) $(lo g_{3} 8) (lo g_{8} 3) = 1$
(E) $\frac{lo g 32}{lo g 16} = \frac{lo g 16}{lo g 8}$

設

x \in R

，則下列各方程式何者恰有一實數解？

(A) $x = 2^{x}$
(B) $x^{2} = 2^{x}$
(C) $x + 3 = 2^{- x}$
(D) $x - 3 = 2^{- x}$
(E) $2^{x + 3} = x - 2$

下列敘述何者正確？

(A) $y = 3^{x}$ 與 $y = (\frac{1}{3})^{x}$ 的圖形對稱於 $x$ 軸
(B) $y = lo g_{3} x$ 與 $y = lo g_{\frac{1}{3}} x$ 的圖形對稱於 $x$ 軸
(C) $y = lo g_{3} x$ 與 $y = lo g_{3} (- x)$ 的圖形對稱於 $y$ 軸
(D) $y = 3^{x}$ 與 $y = lo g_{3} x$ 的圖形對稱於直線 $y = x$
(E) $y = 3^{- x}$ 與 $y = - lo g_{3} x$ 的圖形對稱於直線 $y = x$

已知

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

，若

a = (\frac{3}{2})^{100}

，則下列哪些正確？

(A) $a$ 的整數部分為 $17$ 位數
(B) $a$ 的最左邊的數字為 $6$
(C) $\frac{1}{a}$ 小數點後第 $18$ 位數字始不為 $0$
(D) $\frac{1}{a}$ 在小數點後始不為 $0$ 的數字為 $2$
(E) $2 a$ 的整數部分為 $18$ 位數

三、填充題 (與單選題合併計分)

試求下列各值： (1)

lo g_{2} 32 =

____。 (2)

lo g_{27} 3 =

____。

若對數

lo g_{(x - 1)} (3 - x)

有意義，求

x

的範圍為 ____。

求

lo g_{3} 12 + lo g_{3} 15 - lo g_{3} 20 =

____。

化簡

(lo g_{2} 3 + lo g_{4} 9) (lo g_{3} 8 + lo g_{9} 2)

的值為 ____。

已知

(0.16)^{3 x^{2}} < (0.4)^{10 x + 4}

，則

x

的範圍為 ____。

解方程式

2^{2 x} - 7 \times 2^{x} - 2^{3} = 0

，可得

x =

____。

設

lo g 5 = a

，

lo g 7 = b

，試以

a

、

b

表示

lo g_{14} 35 =

____。

解方程式

lo g_{3} (x - 3) + lo g_{3} (x - 5) = 1

，可得

x =

____。

不等式

lo g_{3} (x - 1) > lo g_{9} (7 - x)

的解為 ____。

y = - x + 8

分別與

y = 2^{x}

，

y = lo g_{2} x

相交於

A

、

B

兩點，則

A B

之中點坐標為 ____。

y = lo g_{a} (x - 2)

之圖形如圖，此圖形通過

(4, 1)

，

(b, 0)

，

(10, c)

三點，則

(a, b, c) =

____。

載入中...

設

P

、

Q

分別為直線

y = 3

，

y = 6

與

y = 4^{x}

的交點，試求直線

P Q

的斜率為 ____。

設

a = lo g_{7} 4

，

b = \frac{1}{2} lo g_{2} 3

，

c = lo g_{\frac{1}{3}} 0.5

，

d = lo g_{4} 7

，試比較

a

，

b

，

c

，

d

之大小 ____。

設

a

，

b

為正實數，且

lo g_{7} a = 15

，

lo g_{7} b = 17

，則

lo g_{7} (a + b)

的值最接近的整數為 ____。

設

a = \frac{1}{16}

，且

x = \frac{1}{2} (a^{\frac{1}{n}} + a^{- \frac{1}{n}})

，

n

為自然數，求

(x + x^{2} - 1)^{2 n}

之值 ____。

假設灣麗銀行定期存款的年利率為

5

％，每一年為一期，複利計息。陳先生存進

10, 000

元後，經過

10

年之後陳先生可以領回的金額為 ____ 元。（已知

lo g 1.05 \approx 0.0212

，

lo g 1.63 \approx 0.2120

）

「十二平均律」又稱十二等程律，音樂律式的一種，也是當今最主流的律式。鋼琴音階的依循規則：每一個音的弦長都是前一個音弦長的

122

倍。設第一個音的弦長為

1

，則第

2

個音的弦長為

122

，依此類推，若第

N

個音的弦長最接近

\frac{5}{2}

，則正整數

N

的值為 ____。（已知

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)

第 2 題(B)

第 3 題(D)

第 4 題(C)

第 5 題(E)

第 6 題(D)

第 7 題(C)(D)

第 8 題(B)(C)(D)(E)

第 9 題(C)(D)(E)

第 10 題(1)

5

　(2)

\frac{1}{3}

第 11 題

1 < x < 3

，但

x \neq = 2

第 12 題

2

第 13 題

7

第 14 題

x < - \frac{1}{3}

或

x > 2

第 15 題

3

第 16 題

\frac{a + b}{1 - a + b}

第 17 題

6

第 18 題

3 < x < 7

第 19 題

(4, 4)

第 20 題

(2, 3, 3)

第 21 題

6

第 22 題

b > d > a > c

第 23 題

17

第 24 題

256

第 25 題

16300

（依題給對數值）

第 26 題

17

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題：同底指數比大小、圖形平移、由圖形判斷常數

第 1 題

① 五個數的底數都是 $3 > 1$ ， $y = 3^{x}$ 是嚴格遞增函數，指數越小，數就越小。

② 比較五個指數： $5 > 4 = 2$ ，所以 $- 5 < - 2$ ； $3 \approx 1.732 > 1.5$ ，所以 $- 2 < - 3 < - 1.5$ 。

③ 由小到大： $- 5 < - 2 < - 3 < - 1.5 < - \frac{1}{2}$ ，最小的指數是 $- 5$ 。

答案 (A)。

載入中...

第 2 題

① 向左平移 $1$ 單位：把 $x$ 換成 $x + 1$ ，得 $y = 3^{x + 1}$ 。

② 再向下平移 $2$ 單位：整個函數值減 $2$ ，得 $y = 3^{x + 1} - 2$ 。

③ 檢查：原圖形上的點 $(0, 1)$ 移到 $(- 1, - 1)$ ，代入 $y = 3^{x + 1} - 2$ ： $3^{0} - 2 = - 1$ ，成立；水平漸近線由 $y = 0$ 移到 $y = - 2$ 。

答案 (B)。

載入中...

第 3 題

① 圖形由左上往右下，是遞減函數，所以底數 $0 < b < 1$ 。

② $x$ 越往右， $b^{x}$ 越接近 $0$ ， $y = a + b^{x}$ 越接近 $a$ ，水平線 $y = a$ 是漸近線。

③ 圖上曲線往右延伸到 $x$ 軸下方而逐漸變平，所以漸近線在 $x$ 軸下方， $a < 0$ 。

④ 另外 $y$ 截距是 $a + b^{0} = a + 1$ ，圖上在 $0$ 與 $1$ 之間，可知 $- 1 < a < 0$ ，與 ③ 一致。

答案 (D)。

載入中...

看指數函數的圖形先找兩件事：遞增還是遞減決定底數大於 1 或介於 0 與 1 之間；水平漸近線的位置就是加在外面的常數。

02單選題：混合溶液的 pH 值、由圖形比較底數

第 4 題

① pH 值為 $3$ 的溶液 $[H^{+}] = 1 0^{- 3}$ ，pH 值為 $4$ 的溶液 $[H^{+}] = 1 0^{- 4}$ 。

② 依 $1 : 2$ 混合，取 $1$ 份與 $2$ 份，混合後濃度 $[H^{+}] = \frac{1 \times 1 0 ^{- 3} + 2 \times 1 0 ^{- 4}}{3} = \frac{1.2 \times 1 0 ^{- 3}}{3} = 4 \times 1 0^{- 4}$

③ $pH = - lo g (4 \times 1 0^{- 4}) = 4 - lo g 4 = 4 - 2 lo g 2 \approx 4 - 0.602 = 3.398$ 。

④ 最接近 $3.4$ 。

答案 (C)。

常見的錯誤是把兩個 pH 值直接加權平均（

\frac{3 + 2 \times 4}{3} \approx 3.67

）；要先換回濃度再平均。

第 5 題

① 四條曲線都通過 $(0, 1)$ 。 $y = a^{x}$ 、 $y = b^{x}$ 由左上往右下，是遞減的，所以 $0 < a < 1$ 、 $0 < b < 1$ ； $y = c^{x}$ 、 $y = d^{x}$ 遞增，所以 $c > 1$ 、 $d > 1$ 。

② 看直線 $x = 1$ ：曲線 $y = c^{x}$ 與 $y = d^{x}$ 在這裡的高度分別是 $c$ 與 $d$ 。 $y = c^{x}$ 比較靠近 $y$ 軸、升得比較快，在 $x = 1$ 處較高，所以 $c > d$ 。

③ 看直線 $x = - 1$ ： $y = a^{x}$ 與 $y = b^{x}$ 在這裡的高度分別是 $\frac{1}{a}$ 與 $\frac{1}{b}$ 。 $y = b^{x}$ 比較靠近 $y$ 軸，在 $x = - 1$ 處較高，所以 $\frac{1}{b} > \frac{1}{a}$ ，即 $a > b$ 。

④ 合起來： $c > d > 1 > a > b$ 。

答案 (E)。

載入中...

比較底數就找

x = 1

這條直線：

y = a^{x}

在

x = 1

的高度正好是

a

；遞減的曲線改看

x = - 1

，高度是底數的倒數。

03多選題：對數的定義與對數律、方程式的實數解個數

第 6 題

答案 (D)。

(A) 錯誤。 對數的底數必須大於 $0$ 且不等於 $1$ ，真數必須大於 $0$ ； $lo g_{(- 2)} (- 8)$ 的底數與真數都是負數，沒有意義。

(B) 錯誤。 $lo g 2 + lo g 3 = lo g (2 \times 3) = lo g 6 \neq = lo g 5$ 。

(C) 錯誤。 $lo g 11 - lo g 7 = lo g \frac{11}{7}$ ，是「先除再取對數」，不是兩個對數相除。用數值檢查： $lo g \frac{11}{7} \approx 0.196$ ，而 $\frac{lo g 11}{lo g 7} = lo g_{7} 11 \approx 1.232$ 。

(D) 正確。 換底： $lo g_{3} 8 \times lo g_{8} 3 = \frac{lo g 8}{lo g 3} \times \frac{lo g 3}{lo g 8} = 1$ 。

(E) 錯誤。 $\frac{lo g 32}{lo g 16} = \frac{5 lo g 2}{4 lo g 2} = \frac{5}{4}$ ， $\frac{lo g 16}{lo g 8} = \frac{4 lo g 2}{3 lo g 2} = \frac{4}{3}$ ，兩者不相等。

第 7 題

答案 (C)(D)。

先說明一個事實：對所有實數 $t$ ， $2^{t} > t$ 。

分段看： $t < 0$ 時 $2^{t} > 0 > t$ ； $0 \leq t < 1$ 時 $2^{t} \geq 1 > t$ 。

$t \geq 1$ 時取整數 $k \geq 1$ 使 $k \leq t < k + 1$ ，則 $2^{t} \geq 2^{k} \geq k + 1 > t$ （ $2^{k} \geq k + 1$ 由 $2^{1} = 2$ 起每次乘 $2$ 至少多 $1$ 可知）。

(A) 錯誤。 由上面的事實， $2^{x} > x$ 恆成立， $x = 2^{x}$ 沒有實數解。

(B) 錯誤。 $x = 2$ 時 $4 = 4$ ， $x = 4$ 時 $16 = 16$ ，已有兩個解；而且 $x = - 1$ 時 $x^{2} = 1 > \frac{1}{2} = 2^{x}$ 、 $x = 0$ 時 $x^{2} = 0 < 1 = 2^{x}$ ，兩個圖形在 $- 1$ 與 $0$ 之間還交一次。不只一個解。

(D) 正確。 $y = x - 3$ 遞增、 $y = 2^{- x}$ 遞減，最多交一點； $x = 3$ 時左邊 $0$ 小於右邊 $\frac{1}{8}$ ， $x = 4$ 時左邊 $1$ 大於右邊 $\frac{1}{16}$ ，兩圖形連續，在 $3$ 與 $4$ 之間恰交一次。

(E) 錯誤。 令 $t = x + 3$ ，方程式變成 $2^{t} = t - 5$ ；但 $2^{t} > t > t - 5$ ，沒有實數解。

載入中...

數方程式的實數解就是數兩個圖形的交點：一條遞增、一條遞減最多交一次，再找一處左邊小、一處左邊大，就確定恰交一次。

04多選題：圖形的對稱、首數與尾數

第 8 題

答案 (B)(C)(D)(E)。

(A) 錯誤。 $(\frac{1}{3})^{x} = 3^{- x}$ ，是把 $y = 3^{x}$ 的 $x$ 換成 $- x$ ，兩圖形對稱於 $y$ 軸，不是 $x$ 軸。

(B) 正確。 換底： $lo g_{\frac{1}{3}} x = \frac{lo g x}{lo g \frac{1}{3}} = \frac{lo g x}{- lo g 3} = - lo g_{3} x$ 。點 $(s, t)$ 在 $y = lo g_{3} x$ 上若且唯若 $(s, - t)$ 在 $y = - lo g_{3} x$ 上，兩圖形對稱於 $x$ 軸。

(C) 正確。 點 $(s, t)$ 在 $y = lo g_{3} x$ 上（ $t = lo g_{3} s$ ）若且唯若 $(- s, t)$ 在 $y = lo g_{3} (- x)$ 上（ $lo g_{3} (- (- s)) = lo g_{3} s = t$ ），兩圖形對稱於 $y$ 軸。

(D) 正確。 $y = 3^{x}$ 與 $y = lo g_{3} x$ 互為反函數： $t = 3^{s}$ 若且唯若 $s = lo g_{3} t$ ，點 $(s, t)$ 與 $(t, s)$ 對稱於直線 $y = x$ 。

(E) 正確。 把 $y = 3^{- x}$ 的 $x$ 、 $y$ 互換： $x = 3^{- y}$ ， $- y = lo g_{3} x$ ， $y = - lo g_{3} x$ 。所以兩圖形對稱於直線 $y = x$ 。

載入中...

第 9 題

答案 (C)(D)(E)。

先算 $lo g a = 100 (lo g 3 - lo g 2) \approx 100 \times (0.4771 - 0.3010) = 100 \times 0.1761 = 17.61$ 。

(A) 錯誤。 首數 $17$ ， $1 0^{17} \leq a < 1 0^{18}$ ，整數部分是 $18$ 位數。

(B) 錯誤。 尾數 $0.61$ ： $lo g 4 = 2 lo g 2 \approx 0.6020 < 0.61 < 0.6990 \approx 1 - lo g 2 = lo g 5$ ，所以 $4 \times 1 0^{17} < a < 5 \times 1 0^{17}$ ，最左邊的數字是 $4$ 。

(C) 正確。 $lo g \frac{1}{a} \approx - 17.61 = - 18 + 0.39$ ，所以 $\frac{1}{a} = 1 0^{0.39} \times 1 0^{- 18}$ ，而 $1 < 1 0^{0.39} < 10$ ，第一個不為 $0$ 的數字在小數點後第 $18$ 位。

(D) 正確。 $lo g 2 \approx 0.3010 < 0.39 < 0.4771 \approx lo g 3$ ， $2 < 1 0^{0.39} < 3$ ，所以那個數字是 $2$ 。

(E) 正確。 $lo g 2 a = lo g 2 + lo g a \approx 0.3010 + 17.61 = 17.911$ ，首數 $17$ ，整數部分是 $18$ 位數。

負的對數要寫成「負整數＋介於 0 與 1 的尾數」：

- 17.61 = - 18 + 0.39

，不是

- 17 - 0.61

。

對稱看「點怎麼換」：對 x 軸換 y 的正負、對 y 軸換 x 的正負、對 y＝x 交換 x 與 y。位數看首數，最高位數字看尾數夾在哪兩個 log 之間。

05填充題：對數的定義、有意義的條件、對數律與換底

第 10 題

(1) $32 = 2^{5}$ ，所以 $lo g_{2} 32 = 5$ 。

(2) $2 7^{\frac{1}{3}} = 3$ ，所以 $lo g_{27} 3 = \frac{1}{3}$ 。

答案 (1) $5$ 　(2) $\frac{1}{3}$ 。

第 11 題

① 底數條件： $x - 1 > 0$ 且 $x - 1 \neq = 1$ ，即 $x > 1$ 且 $x \neq = 2$ 。

② 真數條件： $3 - x > 0$ ，即 $x < 3$ 。

③ 三個條件同時成立，在數線上取交集。

答案 $1 < x < 3$ ，但 $x \neq = 2$ 。

載入中...

底數不可以等於

1

，最常漏掉

x \neq = 2

。

第 12 題

① 用對數律合併： $lo g_{3} 12 + lo g_{3} 15 - lo g_{3} 20 = lo g_{3} \frac{12 \times 15}{20} = lo g_{3} 9$

② $9 = 3^{2}$ ，所以值為 $2$ 。

答案 2。

第 13 題

① 第一個括號： $lo g_{4} 9 = lo g_{2^{2}} 3^{2} = lo g_{2} 3$ ，所以 $lo g_{2} 3 + lo g_{4} 9 = 2 lo g_{2} 3$ 。

② 第二個括號： $lo g_{3} 8 = 3 lo g_{3} 2$ ， $lo g_{9} 2 = \frac{1}{2} lo g_{3} 2$ ，所以 $lo g_{3} 8 + lo g_{9} 2 = \frac{7}{2} lo g_{3} 2$ 。

③ 相乘： $2 lo g_{2} 3 \times \frac{7}{2} lo g_{3} 2 = 7 \times (lo g_{2} 3 \times lo g_{3} 2) = 7 \times 1 = 7$ 。

答案 7。

對數有意義要同時檢查三件事：底數大於 0、底數不等於 1、真數大於 0。換底時把底數與真數都寫成同一個數的次方，係數就能提出來。

06填充題：指數對數不等式與方程式、換底

第 14 題

① 化成同底： $0.16 = 0. 4^{2}$ ，所以 $(0.16)^{3 x^{2}} = (0.4)^{6 x^{2}}$ ，不等式變成 $(0.4)^{6 x^{2}} < (0.4)^{10 x + 4}$ 。

② 底數 $0.4$ 介於 $0$ 與 $1$ ， $y = 0. 4^{x}$ 遞減，比較指數時不等號要反向： $6 x^{2} > 10 x + 4$ 。

③ 整理： $3 x^{2} - 5 x - 2 > 0$ ， $(3 x + 1) (x - 2) > 0$ 。

④ 所以 $x < - \frac{1}{3}$ 或 $x > 2$ 。

答案 $x < - \frac{1}{3}$ 或 $x > 2$ 。

載入中...

第 15 題

① 令 $t = 2^{x}$ （ $t > 0$ ）， $2^{2 x} = t^{2}$ ，方程式變成 $t^{2} - 7 t - 8 = 0$ 。

② 因式分解： $(t - 8) (t + 1) = 0$ ， $t = 8$ 或 $t = - 1$ 。

③ $t = 2^{x} > 0$ ，捨去 $- 1$ ； $2^{x} = 8 = 2^{3}$ ， $x = 3$ 。

答案 3。

第 16 題

① 換底成常用對數： $lo g_{14} 35 = \frac{lo g 35}{lo g 14}$ 。

② 分子： $lo g 35 = lo g 5 + lo g 7 = a + b$ 。

③ 分母： $lo g 14 = lo g 2 + lo g 7$ ，而 $lo g 2 = lo g \frac{10}{5} = 1 - lo g 5 = 1 - a$ ，所以 $lo g 14 = 1 - a + b$ 。

④ 所以 $lo g_{14} 35 = \frac{a + b}{1 - a + b}$ 。

答案 $\frac{a + b}{1 - a + b}$ 。

第 17 題

① 真數條件： $x - 3 > 0$ 且 $x - 5 > 0$ ，所以 $x > 5$ 。

② 合併： $lo g_{3} ((x - 3) (x - 5)) = 1$ ， $(x - 3) (x - 5) = 3$ 。

③ 展開： $x^{2} - 8 x + 15 = 3$ ， $x^{2} - 8 x + 12 = 0$ ， $(x - 2) (x - 6) = 0$ 。

④ $x = 2$ 不滿足 $x > 5$ ，捨去； $x = 6$ 符合。

答案 6。

檢查：

lo g_{3} 3 + lo g_{3} 1 = 1 + 0 = 1

。

第 18 題

① 真數條件： $x - 1 > 0$ 且 $7 - x > 0$ ，所以 $1 < x < 7$ 。

② 化成同底： $lo g_{3} (x - 1) = lo g_{9} (x - 1)^{2}$ ，不等式變成 $lo g_{9} (x - 1)^{2} > lo g_{9} (7 - x)$ 。

③ 底數 $9 > 1$ ，對數函數遞增，真數照原方向比較： $(x - 1)^{2} > 7 - x$ ， $x^{2} - x - 6 > 0$ ， $(x - 3) (x + 2) > 0$ ， $x > 3$ 或 $x < - 2$ 。

④ 與 $1 < x < 7$ 取交集，得 $3 < x < 7$ 。

答案 $3 < x < 7$ 。

載入中...

把

lo g_{3} (x - 1)

寫成

lo g_{9} (x - 1)^{2}

時用到

x - 1 > 0

；所以真數條件要先寫出來。

指對數不等式先化成同底，底數大於 1 照原方向、介於 0 與 1 反向；對數的題目最後一定要回頭用真數條件篩掉不合的範圍。

07填充題：指數與對數函數的圖形

第 19 題

① $y = 2^{x}$ 與 $y = lo g_{2} x$ 互為反函數，兩圖形對稱於直線 $y = x$ 。

② 直線 $y = - x + 8$ 的斜率是 $- 1$ ，與 $y = x$ 垂直，它對 $y = x$ 作對稱還是自己。

③ 所以 $A$ 對 $y = x$ 的對稱點既在 $y = lo g_{2} x$ 上、又在 $y = - x + 8$ 上，就是 $B$ ； $A$ 、 $B$ 對稱於 $y = x$ ，中點在 $y = x$ 上。

④ 中點也在 $y = - x + 8$ 上：解 $y = x$ 、 $y = - x + 8$ ，得 $(4, 4)$ 。

答案 $(4, 4)$ 。

載入中...

不必解出

A

、

B

的坐標（

2^{x} = - x + 8

解不出整齊的數）；用對稱就能直接求中點。

第 20 題

① 通過 $(4, 1)$ ： $lo g_{a} (4 - 2) = 1$ ， $lo g_{a} 2 = 1$ ， $a = 2$ 。

② 通過 $(b, 0)$ ： $lo g_{2} (b - 2) = 0$ ， $b - 2 = 1$ ， $b = 3$ 。

③ 通過 $(10, c)$ ： $c = lo g_{2} (10 - 2) = lo g_{2} 8 = 3$ 。

答案 $(2, 3, 3)$ 。

載入中...

第 21 題

① $P$ ： $4^{x} = 3$ ， $x = lo g_{4} 3$ ， $P (lo g_{4} 3, 3)$ 。

② $Q$ ： $4^{x} = 6$ ， $x = lo g_{4} 6$ ， $Q (lo g_{4} 6, 6)$ 。

③ 橫坐標的差： $lo g_{4} 6 - lo g_{4} 3 = lo g_{4} 2 = \frac{1}{2}$ 。

④ 斜率 $= \frac{6 - 3}{\frac{1}{2}} = 6$ 。

答案 6。

載入中...

第 22 題

① 先化簡： $b = \frac{1}{2} lo g_{2} 3 = \frac{1}{2} \cdot \frac{lo g 3}{\frac{1}{2} lo g 2} = lo g_{2} 3$ ； $c = lo g_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2} = \frac{- lo g 2}{- lo g 3} = lo g_{3} 2$ 。

② 和 $1$ 比： $a = lo g_{7} 4 < 1$ 、 $c = lo g_{3} 2 < 1$ ； $b = lo g_{2} 3 > 1$ 、 $d = lo g_{4} 7 > 1$ 。

③ 大於 $1$ 的兩個： $b = lo g_{2} 3 > lo g_{2} 2^{1.5} = 1.5$ （因為 $3 > 22$ ）； $d = lo g_{4} 7 < lo g_{4} 8 = 1.5$ 。所以 $b > d$ 。

④ 小於 $1$ 的兩個： $a = \frac{1}{d}$ 、 $c = \frac{1}{b}$ ，由 $b > d > 1$ 得 $\frac{1}{d} > \frac{1}{b}$ ，所以 $a > c$ 。

⑤ 合起來 $b > d > a > c$ 。

答案 $b > d > a > c$ 。

載入中...

近似值：

b \approx 1.585

、

d \approx 1.404

、

a \approx 0.712

、

c \approx 0.631

。

對數比大小先換成好比較的形式，再拿 1、1.5 這種整齊的數當中間的尺；兩個對數互為倒數時，大小關係會反過來。

08填充題：對數估計、指數律、複利與十二平均律

第 23 題

① $a = 7^{15}$ ， $b = 7^{17}$ ，所以 $a + b = 7^{15} + 7^{17} = 7^{15} (1 + 49) = 50 \times 7^{15}$ 。

② $lo g_{7} (a + b) = 15 + lo g_{7} 50$ 。

③ $49 < 50 < 343$ ，所以 $2 < lo g_{7} 50 < 3$ ；而且 $50$ 只比 $49 = 7^{2}$ 多一點， $lo g_{7} 50$ 很接近 $2$ （ $7^{2.5} = 497 > 50$ ，所以 $lo g_{7} 50 < 2.5$ ）。

④ $lo g_{7} (a + b)$ 介於 $17$ 與 $17.5$ 之間，最接近的整數是 $17$ 。

答案 17。

實際值

lo g_{7} (a + b) \approx 17.010

：大的數

b

主導了和，

a

只占

b

的

\frac{1}{49}

。

第 24 題

① 令 $u = a^{\frac{1}{n}}$ ，則 $a^{- \frac{1}{n}} = \frac{1}{u}$ ， $x = \frac{1}{2} (u + \frac{1}{u})$ 。

② $x^{2} - 1 = \frac{1}{4} (u + \frac{1}{u})^{2} - 1 = \frac{1}{4} (u - \frac{1}{u})^{2}$ ，所以 $x^{2} - 1 = \frac{1}{2} u - \frac{1}{u}$ 。

③ $a = \frac{1}{16} < 1$ ，所以 $u = a^{\frac{1}{n}} < 1 < \frac{1}{u}$ ， $x^{2} - 1 = \frac{1}{2} (\frac{1}{u} - u)$ 。

④ $x + x^{2} - 1 = \frac{1}{2} (u + \frac{1}{u}) + \frac{1}{2} (\frac{1}{u} - u) = \frac{1}{u} = a^{- \frac{1}{n}}$ 。

⑤ $(x + x^{2} - 1)^{2 n} = (a^{- \frac{1}{n}})^{2 n} = a^{- 2} = 1 6^{2} = 256$ 。

答案 256。

開根號時要注意正負：

x^{2} - 1

一定是非負的，所以取

\frac{1}{u} - u

而不是

u - \frac{1}{u}

。

第 25 題

① 每年本利和乘 $1.05$ ， $10$ 年後是 $10000 \times 1.0 5^{10}$ 元。

② 取對數： $lo g (10000 \times 1.0 5^{10}) = 4 + 10 lo g 1.05 \approx 4 + 10 \times 0.0212 = 4.212$ 。

③ 由題目給的 $lo g 1.63 \approx 0.2120$ ： $1 0^{4.212} = 1 0^{4} \times 1 0^{0.212} \approx 1.63 \times 1 0^{4} = 16300$ 。

答案 16300。

實際值

10000 \times 1.0 5^{10} \approx 16288.9

元；本題依題目給的對數值求近似值。

第 26 題

① 第 $N$ 個音的弦長是 $(122)^{N - 1} = 2^{\frac{N - 1}{12}}$ 。

② 要它接近 $\frac{5}{2}$ ：取對數， $\frac{N - 1}{12} lo g 2 \approx lo g \frac{5}{2} = lo g \frac{10}{4} = 1 - 2 lo g 2 \approx 0.3980$ 。

③ $N - 1 \approx \frac{12 \times 0.3980}{0.3010} \approx 15.87$ ，介於 $15$ 與 $16$ 之間，要比較 $N = 16$ 與 $N = 17$ 。

④ $N = 17$ ：弦長 $2^{\frac{16}{12}} = 2^{\frac{4}{3}} = 316$ ，而 $2.5 2^{3} \approx 16.003$ ，所以約 $2.52$ ，與 $2.5$ 差約 $0.02$ 。

⑤ $N = 16$ ：弦長 $2^{\frac{15}{12}} = 2^{\frac{5}{4}} = 432$ ，而 $2.3 8^{4} \approx 32.09$ ，所以約 $2.38$ ，與 $2.5$ 差約 $0.12$ 。

⑥ 第 $17$ 個音最接近 $\frac{5}{2}$ 。

答案 17。

等比成長的問題（複利、弦長）都寫成「首項乘公比的次方」，取對數把次方拉下來；要求最接近的整數時，把兩邊的候選都代回去比。

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《指數與對數函數》單元冊 09・高二上（數A）

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第 11 題底數不可等於 1，容易漏掉 x 不等於 2；第 14 題底數 0.4 小於 1，比較指數時不等號要反向；第 9 題負的對數要寫成負整數加尾數；第 22 題要先把 b、c 化成 log 以 2 為底 3 與 log 以 3 為底 2 再比較。詳解逐題寫在本頁。

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03多選題：對數的定義與對數律、方程式的實數解個數

04多選題：圖形的對稱、首數與尾數

05填充題：對數的定義、有意義的條件、對數律與換底

06填充題：指數對數不等式與方程式、換底

07填充題：指數與對數函數的圖形

08填充題：對數估計、指數律、複利與十二平均律

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