段考詳解範圍：指數函數及其圖形、對數與對數律、對數函數及其圖形、指數與對數的應用

苑裡高中 110 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 17 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

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元，不用註冊

01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

單選題 6 題與填充題 13 格合併計分，共 19 格，依答對格數給分，共 80 分：答對 1～19 格依序得 6、12、18、24、30、35、40、44、48、52、56、60、63、66、69、71、74、77、80 分；多選題 4 題，每題 5 分，每答錯一格扣 2 分，扣至該題 0 分為止，共 20 分。原卷各大題各自從 1 編號，本頁第 1～6 題是單選 1～6，第 7～10 題是多選 1～4，第 11～17 題是填充 1～7。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單選題：(與填充題一起合計答對格數)

已知

lo g 2 \approx 0.3010

，則

lo g 8

最接近

(A) $0.9$
(B) $0.8$
(C) $0.7$
(D) $0.6$

求

lo g_{2} 3 \times lo g_{7} 25 \times lo g_{3} 2 \times lo g_{5} 7 =

(A) $5$
(B) $2$
(C) $7$
(D) $3$

已知

lo g_{2} 3 = a

，

lo g_{2} 5 = b

，則

lo g_{3} 15 =

(A) $a + b$
(B) $ab$
(C) $\frac{a + b}{a}$
(D) $\frac{ab}{a + b}$

若

a > 1

，則下面哪個選項為

y = a^{x}

的圖形？

載入中...

若

0 < a < 1

，則下面哪個選項為

y = lo g_{a} x

的圖形？

載入中...

在某實驗中發現每過

30

分鐘，A 細菌會變成原來數量的

2

倍。已知一開始有

100

個 A 細菌，設過

t

分鐘後 A 細菌的數量為

f (t)

，則

f (t) =

(A) $100 + 2 \times (\frac{t}{30})$
(B) $100 + 2^{\frac{t}{30}}$
(C) $100 \times (\frac{t}{30})^{2}$
(D) $100 \times 2^{\frac{t}{30}}$

二、多選題：(4題，每題5分，每答錯一格扣2分，扣至該題0分為止，共20分)

已知

lo g_{a} (b^{2})

有意義，請問下列哪些是

a

，

b

的可能數值？

(A) $a = 1$
(B) $a = 2$
(C) $b = 1$
(D) $b = 2$
(E) $b = - 2$

已知

lo g x

、

lo g y

皆有意義，請問下列選項何者必定正確？

(A) $lo g x + lo g y = lo g (x + y)$
(B) $lo g x - lo g y = lo g \frac{x}{y}$
(C) $lo g x \times lo g y = lo g x y$
(D) $lo g x \div lo g y = lo g_{y} x$
(E) $lo g x^{y} = y lo g x$

下列大小關係哪些正確？

(A) $2^{\frac{1}{2}} > 2^{\frac{1}{3}}$
(B) $(\frac{1}{2})^{2} > (\frac{1}{3})^{2}$
(C) $lo g_{2} \frac{1}{2} > lo g_{2} \frac{1}{3}$
(D) $lo g_{\frac{1}{2}} 2 > lo g_{\frac{1}{3}} 2$
(E) $lo g_{2} \frac{1}{2} > lo g_{3} \frac{1}{3}$

下圖為

a

、

b

、

c

、

d

4 個函數的圖形，請問關於此 4 函數下列何者可能正確？

(A) $a$ 為 $f_{1} (x) = 2^{x}$ 且 $b$ 為 $f_{2} (x) = 3^{x}$
(B) $a$ 為 $f_{1} (x) = lo g_{2} x$ 且 $b$ 為 $f_{2} (x) = lo g_{3} x$
(C) $c$ 為 $f_{3} (x) = 2^{x}$ 且 $d$ 為 $f_{4} (x) = 3^{x}$
(D) $c$ 為 $f_{3} (x) = lo g_{2} x$ 且 $d$ 為 $f_{4} (x) = lo g_{3} x$
(E) $a$ 為 $f_{1} (x) = 2^{x}$ 且 $d$ 為 $f_{4} (x) = lo g_{2} x$

載入中...

三、填充題：(共13格，配分請參閱答案卷)

請求出以下方程式中

x

的數值。（答案請化到最簡） (1)

lo g_{3} 27 = x

(2)

lo g_{2} x = 3

(3)

lo g_{x} 64 = 3

(4)

lo g_{3} 2 + 2 lo g_{3} 5 - lo g_{2} 2 = lo g_{3} x

(5)

lo g_{x} 4 - lo g_{2} x = - 1

(6)

lo g_{2} (x - 1) = lo g_{4} (- x + 3)

試比較

2^{150}

和

3^{100}

的大小。

2^{150}

____（大於 or 等於 or 小於）

3^{100}

。（

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

）

方程式：

2^{x - 3} = lo g_{2} 2 x

，有 ____ 個實根。

芮氏規模

(r)

與地震所釋放的能量

(E)

之間的關係為：

lo g E = 11.8 + 1.5 r

。已知台灣最近紀錄的 106 號及 107 號有感地震規模分別為

5.3

及

5.2

。求 107 號地震的釋放能量為 106 號能量的 ____ 倍。（用

1 0^{a}

形式表達即可）

在

2 5^{\circ} C

的水溶液中，解離出的

[H^{+}]

(mol/L) 與

[OH^{-}]

(mol/L) 的乘積基本上固定為

1 0^{- 14}

，如果

[H^{+}] > [OH^{-}]

我們就判定為酸性，反之為鹼性。通常使用 pH 值來表示一溶液的酸鹼度，算法為：

pH = - lo g [H^{+}]

。 (1) 一般而言雨水會呈現弱酸性，但若雨水

pH < 5

則稱為酸雨。試問酸雨的

[H^{+}]

濃度範圍為 ____。 (2) 若將等容量的

pH = 3

的雨水及

pH = 5

的雨水混合，則 pH 值會 ____（大於 or 小於 or 等於）

4

。

在考古上常使用碳 14 定年法來測定年代，基本想法是利用碳 14 會隨時間衰變而導致數量減少，其半衰期約為

5730

年，所以只要知道原本的碳 14 的量再與現在的量比較就可估算出古物的年代；至於如何知道原本的量則是利用碳 12 與碳 14 的比例，簡單點是假設比例與現在相同約為

1 0^{10} : 1

，因為碳 12 不會衰變，所以透過上面比例便可推估原本的碳 14 的量了。若現在有一件古物檢測出的碳 12 與碳 14 的比例為

(2 \cdot 1 0^{10}) : 1

，則此物約為 ____ 年之前的東西。

開心銀行推出開心存款方案，每年計息一次，利息為

10%

。今天存

10

萬在此方案，則至少 ____ 年後本利和會超過

100

萬。（

lo g 1.1 \approx 0.0414

）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)

第 2 題(B)

第 3 題(C)

第 4 題(D)

第 5 題(A)

第 6 題(D)

第 7 題(B)(C)(D)(E)

第 8 題(B)(E)

第 9 題(A)(B)(C)

第 10 題(D)(E)

第 11 題(1)

3

　(2)

8

　(3)

4

　(4)

\frac{50}{3}

　(5)

4

或

\frac{1}{2}

　(6)

2

第 12 題小於

第 13 題

2

第 14 題

1 0^{- 0.15}

第 15 題(1)

[H^{+}] > 1 0^{- 5}

　(2) 小於

第 16 題

5730

第 17 題

25

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題：由 log 2 求 log 8、換底連乘、以已知對數表示

第 1 題

① $8 = 2^{3}$ ，由對數律 $lo g 8 = lo g 2^{3} = 3 lo g 2$ 。

② $3 lo g 2 \approx 3 \times 0.3010 = 0.903$ 。

③ 最接近 $0.9$ 。

答案 (A)。

第 2 題

① 每個對數都換成常用對數： $lo g_{2} 3 = \frac{lo g 3}{lo g 2}$ ， $lo g_{7} 25 = \frac{lo g 25}{lo g 7} = \frac{2 lo g 5}{lo g 7}$ 。

② $lo g_{3} 2 = \frac{lo g 2}{lo g 3}$ ， $lo g_{5} 7 = \frac{lo g 7}{lo g 5}$ 。

③ 四個相乘： $\frac{lo g 3}{lo g 2} \times \frac{2 lo g 5}{lo g 7} \times \frac{lo g 2}{lo g 3} \times \frac{lo g 7}{lo g 5} = 2$

答案 (B)。

第 3 題

① 換成以 $2$ 為底： $lo g_{3} 15 = \frac{lo g _{2} 15}{lo g _{2} 3}$ 。

② 分子 $lo g_{2} 15 = lo g_{2} (3 \times 5) = lo g_{2} 3 + lo g_{2} 5 = a + b$ ，分母 $lo g_{2} 3 = a$ 。

③ 所以 $lo g_{3} 15 = \frac{a + b}{a}$ 。

答案 (C)。

連乘的對數一律換成同一個底，分子分母自然消去；已知以 2 為底的對數，就把所求也換成以 2 為底。

02單選題：指數與對數函數的圖形、倍增模型

第 4 題

① $y = a^{x}$ 是指數函數：對任何 $x$ ， $a^{x} > 0$ ，圖形整個在 $x$ 軸上方，而且一定通過 $(0, 1)$ 。

② 底數 $a > 1$ 時， $x$ 越大 $a^{x}$ 越大，圖形由左下往右上；往左延伸時越來越貼近 $x$ 軸。

③ 四張圖中，(A)(B) 有一部分在 $x$ 軸下方、貼近的是 $y$ 軸，是對數函數的樣子；(C) 由左上往右下，是底數介於 $0$ 與 $1$ 的指數函數；只有 (D) 在 $x$ 軸上方且由左下往右上。

答案 (D)。

載入中...

第 5 題

① $y = lo g_{a} x$ 只在 $x > 0$ 有定義，圖形整個在 $y$ 軸右側，而且一定通過 $(1, 0)$ 。

② 底數 $0 < a < 1$ 時， $x$ 越大 $lo g_{a} x$ 越小，圖形由左上往右下； $x$ 靠近 $0$ 時函數值越來越大，圖形貼近 $y$ 軸往上。

③ 四張圖中，(C)(D) 整個在 $x$ 軸上方，是指數函數；(B) 遞增，是底數大於 $1$ 的對數函數；(A) 在 $y$ 軸右側、由左上往右下。

答案 (A)。

載入中...

第 6 題

① 每過 $30$ 分鐘乘以 $2$ ： $t = 0$ 時 $100$ 個， $t = 30$ 時 $100 \times 2$ 個， $t = 60$ 時 $100 \times 2^{2}$ 個。

② 過了 $t$ 分鐘，相當於經過 $\frac{t}{30}$ 個「 $30$ 分鐘」，乘了 $\frac{t}{30}$ 次 $2$ 。

③ 所以 $f (t) = 100 \times 2^{\frac{t}{30}}$ 。檢查： $f (60) = 100 \times 2^{2} = 400$ ，符合。

答案 (D)。

載入中...

(A) 是每

30

分鐘「加」固定的數，是直線成長；(B) 是

100

加上一個倍增的量，

t = 0

時就是

101

個，也不對。

指數函數

y = a^{x}

一定過

(0, 1)

、整個在

x

軸上方；對數函數

y = lo g_{a} x

一定過

(1, 0)

、整個在

y

軸右側。底數大於

1

遞增，介於

0

與

1

遞減。

03多選題：對數有意義的條件、對數律

第 7 題

① $lo g_{a} (b^{2})$ 有意義的條件：底數 $a > 0$ 且 $a \neq = 1$ ；真數 $b^{2} > 0$ ，也就是 $b \neq = 0$ 。

(A) 錯誤。 底數不可等於 $1$ 。

(B) 正確。 $a = 2$ 大於 $0$ 且不等於 $1$ 。

(D) 正確。 $b = 2$ 時 $b^{2} = 4 > 0$ 。

(E) 正確。 $b = - 2$ 時 $b^{2} = 4 > 0$ ， $b$ 本身是負數沒有關係，真數是 $b^{2}$ 。

答案 (B)(C)(D)(E)。

載入中...

第 8 題

① $lo g x$ 、 $lo g y$ 有意義，表示 $x > 0$ 、 $y > 0$ 。

(A) 錯誤。 $lo g x + lo g y = lo g x y$ ，不是 $lo g (x + y)$ 。例如 $x = y = 10$ ：左邊 $2$ ，右邊 $lo g 20 \approx 1.30$ 。

(B) 正確。 對數律： $lo g x - lo g y = lo g \frac{x}{y}$ 。

(D) 錯誤。 換底公式 $\frac{lo g x}{lo g y} = lo g_{y} x$ 要求 $y \neq = 1$ 。若 $y = 1$ ，則 $lo g y = 0$ ，左邊不能相除，右邊的底數也不可以是 $1$ ，所以不一定成立。

(E) 正確。 對數律： $lo g x^{y} = y lo g x$ （ $x > 0$ ）。

答案 (B)(E)。

(D) 在

y \neq = 1

時是換底公式，這題考的是「必定」：

y = 1

時式子沒有意義。

對數要有意義：底數大於 0 且不等於 1，真數大於 0。對數律只有「積變和、商變差、次方變係數」，沒有把和、積拆開的公式。

04多選題：大小比較、由圖形辨認函數

第 9 題

(A) 正確。 底數 $2 > 1$ ， $y = 2^{x}$ 遞增； $\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$ ，所以 $2^{\frac{1}{2}} > 2^{\frac{1}{3}}$ 。

(B) 正確。 $(\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}$ ， $(\frac{1}{3})^{2} = \frac{1}{9}$ ， $\frac{1}{4} > \frac{1}{9}$ 。

(C) 正確。 底數 $2 > 1$ ， $y = lo g_{2} x$ 遞增； $\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$ ，所以 $lo g_{2} \frac{1}{2} > lo g_{2} \frac{1}{3}$ 。

(D) 錯誤。 $lo g_{\frac{1}{2}} 2 = - 1$ ； $lo g_{\frac{1}{3}} 2 = - lo g_{3} 2$ ，而 $0 < lo g_{3} 2 < 1$ ，所以 $lo g_{\frac{1}{3}} 2$ 介於 $- 1$ 與 $0$ 之間，比 $- 1$ 大。圖上看直線 $x = 2$ ： $y = lo g_{\frac{1}{3}} x$ 的點在 $y = lo g_{\frac{1}{2}} x$ 的點上方。

(E) 錯誤。 $lo g_{2} \frac{1}{2} = - 1$ ， $lo g_{3} \frac{1}{3} = - 1$ ，兩者相等，不是大於。

答案 (A)(B)(C)。

載入中...

第 10 題

① 看形狀： $a$ 、 $b$ 整個在 $x$ 軸上方、通過 $(0, 1)$ 、往左貼近 $x$ 軸，是底數大於 $1$ 的指數函數。

$c$ 、 $d$ 在 $y$ 軸右側、通過 $(1, 0)$ 、往下貼近 $y$ 軸，是底數大於 $1$ 的對數函數。

② 比較 $a$ 、 $b$ ：在 $x > 0$ 的部分 $a$ 比 $b$ 高，表示 $a$ 的底數比較大。

③ 比較 $c$ 、 $d$ ：在 $x > 1$ 的部分 $c$ 比 $d$ 高。 $lo g_{2} x$ 與 $lo g_{3} x$ 在 $x > 1$ 時， $lo g_{2} x$ 比較大（例如 $x = 9$ ： $lo g_{2} 9 > 3 > 2 = lo g_{3} 9$ ），所以 $c$ 的底數比較小。

(A) 錯誤。 若 $a$ 為 $2^{x}$ 、 $b$ 為 $3^{x}$ ，則 $x > 0$ 時 $b$ 會比 $a$ 高，與圖不合。

(B) 錯誤。 $a$ 、 $b$ 是指數函數的形狀，不是對數函數。

(D) 正確。 $c$ 的底數比 $d$ 小， $c$ 為 $lo g_{2} x$ 、 $d$ 為 $lo g_{3} x$ 與圖相符。

(E) 正確。 $a$ 是指數函數、 $d$ 是對數函數，形狀都對。 $y = 2^{x}$ 與 $y = lo g_{2} x$ 互為反函數，圖形對稱於直線 $y = x$ ，圖上 $a$ 與 $d$ 也正好對稱於 $y = x$ 。

此時 $b$ 的底數介於 $1$ 與 $2$ ， $c$ 的底數也小於 $2$ ，都與圖不衝突，所以可能正確。

答案 (D)(E)。

載入中...

題目問「可能正確」：圖上沒有刻度數字，只能從形狀與相對高低判斷，所以只要不與圖衝突就算可能。

比較同類函數的底數，找一條直線去切：指數函數看 x＝1 的高度（就是底數）；對數函數在 x 大於 1 時，底數越小圖形越高。

05填充題：解對數方程式

第 11 題

(1) $lo g_{3} 27 = x$ 表示 $3^{x} = 27 = 3^{3}$ ，所以 $x = 3$ 。

(2) $lo g_{2} x = 3$ 表示 $x = 2^{3} = 8$ 。

(3) $lo g_{x} 64 = 3$ 表示 $x^{3} = 64$ ，且底數 $x > 0$ 、 $x \neq = 1$ ，所以 $x = 4$ 。

(4) ① $lo g_{2} 2 = 1 = lo g_{3} 3$ ，左邊化成 $lo g_{3} 2 + lo g_{3} 5^{2} - lo g_{3} 3 = lo g_{3} \frac{2 \times 25}{3} = lo g_{3} \frac{50}{3}$

② 所以 $x = \frac{50}{3}$ 。

(5) ① 設 $t = lo g_{2} x$ ，換底得 $lo g_{x} 4 = \frac{lo g _{2} 4}{lo g _{2} x} = \frac{2}{t}$ 。

② 方程式變成 $\frac{2}{t} - t = - 1$ ，兩邊乘 $t$ ： $2 - t^{2} = - t$ ，即 $t^{2} - t - 2 = 0$ ， $(t - 2) (t + 1) = 0$ 。

③ $t = 2$ 得 $x = 4$ ； $t = - 1$ 得 $x = \frac{1}{2}$ 。兩個都大於 $0$ 且不等於 $1$ ，都可以當底數。

(6) ① 真數條件： $x - 1 > 0$ 且 $- x + 3 > 0$ ，所以 $1 < x < 3$ 。

② 換成以 $4$ 為底： $lo g_{2} (x - 1) = lo g_{4} (x - 1)^{2}$ ，所以 $(x - 1)^{2} = - x + 3$ 。

③ 展開： $x^{2} - 2 x + 1 = - x + 3$ ， $x^{2} - x - 2 = 0$ ， $(x - 2) (x + 1) = 0$ ， $x = 2$ 或 $x = - 1$ 。

④ $x = - 1$ 不在 $1 < x < 3$ 內，捨去。

所以六格依序是 $3$ 、 $8$ 、 $4$ 、 $\frac{50}{3}$ 、 $4$ 或 $\frac{1}{2}$ 、 $2$ 。

第 (5) 格兩個解都要寫；第 (6) 格解出二次方程式後一定要回頭檢查真數條件。

對數方程式的三步：先寫底數與真數的條件、再換成同底或換元成二次方程式、最後回頭檢查條件。

06填充題：比較大數、數實根個數、地震能量

第 12 題

① 取常用對數： $lo g 2^{150} = 150 lo g 2 \approx 150 \times 0.3010 = 45.15$ 。

② $lo g 3^{100} = 100 lo g 3 \approx 100 \times 0.4771 = 47.71$ 。

③ $45.15 < 47.71$ ，而 $y = lo g x$ 遞增，所以 $2^{150} < 3^{100}$ 。

答案小於。

也可以不用對數：

2^{150} = (2^{3})^{50} = 8^{50}

，

3^{100} = (3^{2})^{50} = 9^{50}

，

8^{50} < 9^{50}

。

第 13 題

① 右邊 $lo g_{2} 2 x = 1 + lo g_{2} x$ （ $x > 0$ ）。實根個數就是 $y = 2^{x - 3}$ 與 $y = 1 + lo g_{2} x$ 兩個圖形的交點個數。

② 列幾個點比較： $x 2^{x - 3} 1 + lo g_{2} x \frac{1}{4} 2^{- 2.75} - 1 1 \frac{1}{4} 1 2 \frac{1}{2} 2 31 1 + lo g_{2} 3 423 54 1 + lo g_{2} 5$

③ $x = \frac{1}{4}$ 時指數函數較高， $x = 1$ 時對數函數較高，所以兩圖形在 $\frac{1}{4}$ 與 $1$ 之間交一次。

④ $x = 4$ 時對數函數較高（ $2 < 3$ ）， $x = 5$ 時指數函數較高（ $4 > 1 + lo g_{2} 5$ ，因為 $lo g_{2} 5 < 3$ ），所以在 $4$ 與 $5$ 之間再交一次。

⑤ $1$ 與 $4$ 之間分兩段看： $1 \leq x \leq 3$ 時 $2^{x - 3} \leq 1 \leq 1 + lo g_{2} x$ ，兩個等號不會同時成立（左邊在 $x = 3$ 、右邊在 $x = 1$ ）。

$3 \leq x \leq 4$ 時 $2^{x - 3} \leq 2 < 1 + lo g_{2} 3 \leq 1 + lo g_{2} x$ 。

所以 $1$ 到 $4$ 之間指數函數一直在對數函數下方，沒有交點。

⑥ $0 < x \leq \frac{1}{4}$ 時 $1 + lo g_{2} x \leq - 1 < 0 < 2^{x - 3}$ ，也沒有交點。

從圖形看， $x$ 比 $5$ 大時 $2^{x - 3}$ 每過一單位就翻倍， $1 + lo g_{2} x$ 卻增加得越來越慢，不會再相交。

答案 2。

載入中...

第 14 題

① 106 號： $lo g E_{1} = 11.8 + 1.5 \times 5.3$ ；107 號： $lo g E_{2} = 11.8 + 1.5 \times 5.2$ 。

② 相減： $lo g E_{2} - lo g E_{1} = 1.5 \times (5.2 - 5.3) = - 0.15$ 。

③ $lo g \frac{E _{2}}{E _{1}} = - 0.15$ ，所以 $\frac{E _{2}}{E _{1}} = 1 0^{- 0.15}$ 。

所以 107 號的能量是 106 號的 $1 0^{- 0.15}$ 倍。

規模每差

1

，能量差

1 0^{1.5} \approx 31.6

倍；這題規模少

0.1

，能量約是

0.71

倍。

兩個大數比大小，先取對數比次方乘上對數；方程式的實根個數，把兩邊各畫成一個圖形數交點。

07填充題：pH 值、半衰期、複利

第 15 題

(1) ① $pH < 5$ 即 $- lo g [H^{+}] < 5$ ，也就是 $lo g [H^{+}] > - 5$ 。

② $y = lo g x$ 遞增，所以 $[H^{+}] > 1 0^{- 5}$ 。

(2) ① pH 值 $3$ 的雨水 $[H^{+}] = 1 0^{- 3}$ ，pH 值 $5$ 的雨水 $[H^{+}] = 1 0^{- 5}$ 。

② 等容量混合，濃度取平均： $[H^{+}] = \frac{1 0 ^{- 3} + 1 0 ^{- 5}}{2} = 5.05 \times 1 0^{- 4}$

③ $5.05 \times 1 0^{- 4} > 1 0^{- 4}$ ，所以 $pH = - lo g [H^{+}] < 4$ 。

所以 (1) 酸雨的 $[H^{+}] > 1 0^{- 5}$ ；(2) pH 值小於 $4$ 。

載入中...

不可以把兩個 pH 值直接平均成

4

：pH 是對數，要先換回濃度再平均。實際約為

pH \approx 3.30

。

第 16 題

① 碳 12 不會衰變，碳 12 的量固定。原本碳 12 與碳 14 是 $1 0^{10} : 1$ ，現在是 $2 \cdot 1 0^{10} : 1$ 。

② 碳 12 一樣多時，現在的碳 14 只有原本的 $\frac{1}{2}$ 。

③ 碳 14 剩下一半，正好經過一個半衰期，約 $5730$ 年。

答案 5730。

第 17 題

① 每年本利和乘 $1.1$ ， $n$ 年後是 $10 \times 1. 1^{n}$ 萬。

② 要 $10 \times 1. 1^{n} > 100$ ，即 $1. 1^{n} > 10$ 。

③ 取常用對數： $n lo g 1.1 > 1$ ， $n > \frac{1}{0.0414} \approx 24.2$ 。

④ $n$ 是正整數，最小取 $25$ 。

答案 25。

應用題的關鍵是把「乘幾次」寫成指數：倍增、半衰期、複利都是首項乘上倍率的次方，再取對數把次方拉下來。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

苑裡高中 110 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

苑裡高中 110 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 10 題問的是可能正確，只要不與圖形衝突就算，a 與 d 對稱於 y 等於 x 正好對應互為反函數；第 8 題換底要求底數不等於 1，所以相除那個選項不是必定正確；填充 1 第 5 格有兩個解；第 6 格解出負根要用真數條件捨去；填充 5 的混合溶液不可以直接平均 pH 值。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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這份段考卷可以下載列印嗎？

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題目取自苑裡高中 110 學年度上學期高二第二次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：指數函數及其圖形、對數與對數律、對數函數及其圖形、指數與對數的應用

苑裡高中 110 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 17 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

一、單選題：(與填充題一起合計答對格數)

已知

lo g 2 \approx 0.3010

，則

lo g 8

最接近

(A) $0.9$
(B) $0.8$
(C) $0.7$
(D) $0.6$

求

lo g_{2} 3 \times lo g_{7} 25 \times lo g_{3} 2 \times lo g_{5} 7 =

(A) $5$
(B) $2$
(C) $7$
(D) $3$

已知

lo g_{2} 3 = a

，

lo g_{2} 5 = b

，則

lo g_{3} 15 =

(A) $a + b$
(B) $ab$
(C) $\frac{a + b}{a}$
(D) $\frac{ab}{a + b}$

若

a > 1

，則下面哪個選項為

y = a^{x}

的圖形？

載入中...

若

0 < a < 1

，則下面哪個選項為

y = lo g_{a} x

的圖形？

載入中...

在某實驗中發現每過

30

分鐘，A 細菌會變成原來數量的

2

倍。已知一開始有

100

個 A 細菌，設過

t

分鐘後 A 細菌的數量為

f (t)

，則

f (t) =

(A) $100 + 2 \times (\frac{t}{30})$
(B) $100 + 2^{\frac{t}{30}}$
(C) $100 \times (\frac{t}{30})^{2}$
(D) $100 \times 2^{\frac{t}{30}}$

二、多選題：(4題，每題5分，每答錯一格扣2分，扣至該題0分為止，共20分)

已知

lo g_{a} (b^{2})

有意義，請問下列哪些是

a

，

b

的可能數值？

(A) $a = 1$
(B) $a = 2$
(C) $b = 1$
(D) $b = 2$
(E) $b = - 2$

已知

lo g x

、

lo g y

皆有意義，請問下列選項何者必定正確？

(A) $lo g x + lo g y = lo g (x + y)$
(B) $lo g x - lo g y = lo g \frac{x}{y}$
(C) $lo g x \times lo g y = lo g x y$
(D) $lo g x \div lo g y = lo g_{y} x$
(E) $lo g x^{y} = y lo g x$

下列大小關係哪些正確？

(A) $2^{\frac{1}{2}} > 2^{\frac{1}{3}}$
(B) $(\frac{1}{2})^{2} > (\frac{1}{3})^{2}$
(C) $lo g_{2} \frac{1}{2} > lo g_{2} \frac{1}{3}$
(D) $lo g_{\frac{1}{2}} 2 > lo g_{\frac{1}{3}} 2$
(E) $lo g_{2} \frac{1}{2} > lo g_{3} \frac{1}{3}$

下圖為

a

、

b

、

c

、

d

4 個函數的圖形，請問關於此 4 函數下列何者可能正確？

(A) $a$ 為 $f_{1} (x) = 2^{x}$ 且 $b$ 為 $f_{2} (x) = 3^{x}$
(B) $a$ 為 $f_{1} (x) = lo g_{2} x$ 且 $b$ 為 $f_{2} (x) = lo g_{3} x$
(C) $c$ 為 $f_{3} (x) = 2^{x}$ 且 $d$ 為 $f_{4} (x) = 3^{x}$
(D) $c$ 為 $f_{3} (x) = lo g_{2} x$ 且 $d$ 為 $f_{4} (x) = lo g_{3} x$
(E) $a$ 為 $f_{1} (x) = 2^{x}$ 且 $d$ 為 $f_{4} (x) = lo g_{2} x$

載入中...

三、填充題：(共13格，配分請參閱答案卷)

請求出以下方程式中

x

的數值。（答案請化到最簡） (1)

lo g_{3} 27 = x

(2)

lo g_{2} x = 3

(3)

lo g_{x} 64 = 3

(4)

lo g_{3} 2 + 2 lo g_{3} 5 - lo g_{2} 2 = lo g_{3} x

(5)

lo g_{x} 4 - lo g_{2} x = - 1

(6)

lo g_{2} (x - 1) = lo g_{4} (- x + 3)

試比較

2^{150}

和

3^{100}

的大小。

2^{150}

____（大於 or 等於 or 小於）

3^{100}

。（

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

）

方程式：

2^{x - 3} = lo g_{2} 2 x

，有 ____ 個實根。

芮氏規模

(r)

與地震所釋放的能量

(E)

之間的關係為：

lo g E = 11.8 + 1.5 r

。已知台灣最近紀錄的 106 號及 107 號有感地震規模分別為

5.3

及

5.2

。求 107 號地震的釋放能量為 106 號能量的 ____ 倍。（用

1 0^{a}

形式表達即可）

在

2 5^{\circ} C

的水溶液中，解離出的

[H^{+}]

(mol/L) 與

[OH^{-}]

(mol/L) 的乘積基本上固定為

1 0^{- 14}

，如果

[H^{+}] > [OH^{-}]

我們就判定為酸性，反之為鹼性。通常使用 pH 值來表示一溶液的酸鹼度，算法為：

pH = - lo g [H^{+}]

。 (1) 一般而言雨水會呈現弱酸性，但若雨水

pH < 5

則稱為酸雨。試問酸雨的

[H^{+}]

濃度範圍為 ____。 (2) 若將等容量的

pH = 3

的雨水及

pH = 5

的雨水混合，則 pH 值會 ____（大於 or 小於 or 等於）

4

。

在考古上常使用碳 14 定年法來測定年代，基本想法是利用碳 14 會隨時間衰變而導致數量減少，其半衰期約為

5730

1 0^{10} : 1

，因為碳 12 不會衰變，所以透過上面比例便可推估原本的碳 14 的量了。若現在有一件古物檢測出的碳 12 與碳 14 的比例為

(2 \cdot 1 0^{10}) : 1

，則此物約為 ____ 年之前的東西。

開心銀行推出開心存款方案，每年計息一次，利息為

10%

。今天存

10

萬在此方案，則至少 ____ 年後本利和會超過

100

萬。（

lo g 1.1 \approx 0.0414

）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)

第 2 題(B)

第 3 題(C)

第 4 題(D)

第 5 題(A)

第 6 題(D)

第 7 題(B)(C)(D)(E)

第 8 題(B)(E)

第 9 題(A)(B)(C)

第 10 題(D)(E)

第 11 題(1)

3

　(2)

8

　(3)

4

　(4)

\frac{50}{3}

　(5)

4

或

\frac{1}{2}

　(6)

2

第 12 題小於

第 13 題

2

第 14 題

1 0^{- 0.15}

第 15 題(1)

[H^{+}] > 1 0^{- 5}

　(2) 小於

第 16 題

5730

第 17 題

25

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題：由 log 2 求 log 8、換底連乘、以已知對數表示

第 1 題

① $8 = 2^{3}$ ，由對數律 $lo g 8 = lo g 2^{3} = 3 lo g 2$ 。

② $3 lo g 2 \approx 3 \times 0.3010 = 0.903$ 。

③ 最接近 $0.9$ 。

答案 (A)。

第 2 題

① 每個對數都換成常用對數： $lo g_{2} 3 = \frac{lo g 3}{lo g 2}$ ， $lo g_{7} 25 = \frac{lo g 25}{lo g 7} = \frac{2 lo g 5}{lo g 7}$ 。

② $lo g_{3} 2 = \frac{lo g 2}{lo g 3}$ ， $lo g_{5} 7 = \frac{lo g 7}{lo g 5}$ 。

③ 四個相乘： $\frac{lo g 3}{lo g 2} \times \frac{2 lo g 5}{lo g 7} \times \frac{lo g 2}{lo g 3} \times \frac{lo g 7}{lo g 5} = 2$

答案 (B)。

第 3 題

① 換成以 $2$ 為底： $lo g_{3} 15 = \frac{lo g _{2} 15}{lo g _{2} 3}$ 。

② 分子 $lo g_{2} 15 = lo g_{2} (3 \times 5) = lo g_{2} 3 + lo g_{2} 5 = a + b$ ，分母 $lo g_{2} 3 = a$ 。

③ 所以 $lo g_{3} 15 = \frac{a + b}{a}$ 。

答案 (C)。

連乘的對數一律換成同一個底，分子分母自然消去；已知以 2 為底的對數，就把所求也換成以 2 為底。

02單選題：指數與對數函數的圖形、倍增模型

第 4 題

① $y = a^{x}$ 是指數函數：對任何 $x$ ， $a^{x} > 0$ ，圖形整個在 $x$ 軸上方，而且一定通過 $(0, 1)$ 。

② 底數 $a > 1$ 時， $x$ 越大 $a^{x}$ 越大，圖形由左下往右上；往左延伸時越來越貼近 $x$ 軸。

答案 (D)。

載入中...

第 5 題

① $y = lo g_{a} x$ 只在 $x > 0$ 有定義，圖形整個在 $y$ 軸右側，而且一定通過 $(1, 0)$ 。

② 底數 $0 < a < 1$ 時， $x$ 越大 $lo g_{a} x$ 越小，圖形由左上往右下； $x$ 靠近 $0$ 時函數值越來越大，圖形貼近 $y$ 軸往上。

③ 四張圖中，(C)(D) 整個在 $x$ 軸上方，是指數函數；(B) 遞增，是底數大於 $1$ 的對數函數；(A) 在 $y$ 軸右側、由左上往右下。

答案 (A)。

載入中...

第 6 題

① 每過 $30$ 分鐘乘以 $2$ ： $t = 0$ 時 $100$ 個， $t = 30$ 時 $100 \times 2$ 個， $t = 60$ 時 $100 \times 2^{2}$ 個。

② 過了 $t$ 分鐘，相當於經過 $\frac{t}{30}$ 個「 $30$ 分鐘」，乘了 $\frac{t}{30}$ 次 $2$ 。

③ 所以 $f (t) = 100 \times 2^{\frac{t}{30}}$ 。檢查： $f (60) = 100 \times 2^{2} = 400$ ，符合。

答案 (D)。

載入中...

(A) 是每

30

分鐘「加」固定的數，是直線成長；(B) 是

100

加上一個倍增的量，

t = 0

時就是

101

個，也不對。

指數函數

y = a^{x}

一定過

(0, 1)

、整個在

x

軸上方；對數函數

y = lo g_{a} x

一定過

(1, 0)

、整個在

y

軸右側。底數大於

1

遞增，介於

0

與

1

遞減。

03多選題：對數有意義的條件、對數律

第 7 題

① $lo g_{a} (b^{2})$ 有意義的條件：底數 $a > 0$ 且 $a \neq = 1$ ；真數 $b^{2} > 0$ ，也就是 $b \neq = 0$ 。

(A) 錯誤。 底數不可等於 $1$ 。

(B) 正確。 $a = 2$ 大於 $0$ 且不等於 $1$ 。

(D) 正確。 $b = 2$ 時 $b^{2} = 4 > 0$ 。

(E) 正確。 $b = - 2$ 時 $b^{2} = 4 > 0$ ， $b$ 本身是負數沒有關係，真數是 $b^{2}$ 。

答案 (B)(C)(D)(E)。

載入中...

第 8 題

① $lo g x$ 、 $lo g y$ 有意義，表示 $x > 0$ 、 $y > 0$ 。

(A) 錯誤。 $lo g x + lo g y = lo g x y$ ，不是 $lo g (x + y)$ 。例如 $x = y = 10$ ：左邊 $2$ ，右邊 $lo g 20 \approx 1.30$ 。

(B) 正確。 對數律： $lo g x - lo g y = lo g \frac{x}{y}$ 。

(E) 正確。 對數律： $lo g x^{y} = y lo g x$ （ $x > 0$ ）。

答案 (B)(E)。

(D) 在

y \neq = 1

時是換底公式，這題考的是「必定」：

y = 1

時式子沒有意義。

對數要有意義：底數大於 0 且不等於 1，真數大於 0。對數律只有「積變和、商變差、次方變係數」，沒有把和、積拆開的公式。

04多選題：大小比較、由圖形辨認函數

第 9 題

(A) 正確。 底數 $2 > 1$ ， $y = 2^{x}$ 遞增； $\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$ ，所以 $2^{\frac{1}{2}} > 2^{\frac{1}{3}}$ 。

(B) 正確。 $(\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}$ ， $(\frac{1}{3})^{2} = \frac{1}{9}$ ， $\frac{1}{4} > \frac{1}{9}$ 。

(C) 正確。 底數 $2 > 1$ ， $y = lo g_{2} x$ 遞增； $\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$ ，所以 $lo g_{2} \frac{1}{2} > lo g_{2} \frac{1}{3}$ 。

(E) 錯誤。 $lo g_{2} \frac{1}{2} = - 1$ ， $lo g_{3} \frac{1}{3} = - 1$ ，兩者相等，不是大於。

答案 (A)(B)(C)。

載入中...

第 10 題

① 看形狀： $a$ 、 $b$ 整個在 $x$ 軸上方、通過 $(0, 1)$ 、往左貼近 $x$ 軸，是底數大於 $1$ 的指數函數。

$c$ 、 $d$ 在 $y$ 軸右側、通過 $(1, 0)$ 、往下貼近 $y$ 軸，是底數大於 $1$ 的對數函數。

② 比較 $a$ 、 $b$ ：在 $x > 0$ 的部分 $a$ 比 $b$ 高，表示 $a$ 的底數比較大。

(A) 錯誤。 若 $a$ 為 $2^{x}$ 、 $b$ 為 $3^{x}$ ，則 $x > 0$ 時 $b$ 會比 $a$ 高，與圖不合。

(B) 錯誤。 $a$ 、 $b$ 是指數函數的形狀，不是對數函數。

(D) 正確。 $c$ 的底數比 $d$ 小， $c$ 為 $lo g_{2} x$ 、 $d$ 為 $lo g_{3} x$ 與圖相符。

此時 $b$ 的底數介於 $1$ 與 $2$ ， $c$ 的底數也小於 $2$ ，都與圖不衝突，所以可能正確。

答案 (D)(E)。

載入中...

題目問「可能正確」：圖上沒有刻度數字，只能從形狀與相對高低判斷，所以只要不與圖衝突就算可能。

比較同類函數的底數，找一條直線去切：指數函數看 x＝1 的高度（就是底數）；對數函數在 x 大於 1 時，底數越小圖形越高。

05填充題：解對數方程式

第 11 題

(1) $lo g_{3} 27 = x$ 表示 $3^{x} = 27 = 3^{3}$ ，所以 $x = 3$ 。

(2) $lo g_{2} x = 3$ 表示 $x = 2^{3} = 8$ 。

(3) $lo g_{x} 64 = 3$ 表示 $x^{3} = 64$ ，且底數 $x > 0$ 、 $x \neq = 1$ ，所以 $x = 4$ 。

(4) ① $lo g_{2} 2 = 1 = lo g_{3} 3$ ，左邊化成 $lo g_{3} 2 + lo g_{3} 5^{2} - lo g_{3} 3 = lo g_{3} \frac{2 \times 25}{3} = lo g_{3} \frac{50}{3}$

② 所以 $x = \frac{50}{3}$ 。

(5) ① 設 $t = lo g_{2} x$ ，換底得 $lo g_{x} 4 = \frac{lo g _{2} 4}{lo g _{2} x} = \frac{2}{t}$ 。

② 方程式變成 $\frac{2}{t} - t = - 1$ ，兩邊乘 $t$ ： $2 - t^{2} = - t$ ，即 $t^{2} - t - 2 = 0$ ， $(t - 2) (t + 1) = 0$ 。

③ $t = 2$ 得 $x = 4$ ； $t = - 1$ 得 $x = \frac{1}{2}$ 。兩個都大於 $0$ 且不等於 $1$ ，都可以當底數。

(6) ① 真數條件： $x - 1 > 0$ 且 $- x + 3 > 0$ ，所以 $1 < x < 3$ 。

② 換成以 $4$ 為底： $lo g_{2} (x - 1) = lo g_{4} (x - 1)^{2}$ ，所以 $(x - 1)^{2} = - x + 3$ 。

③ 展開： $x^{2} - 2 x + 1 = - x + 3$ ， $x^{2} - x - 2 = 0$ ， $(x - 2) (x + 1) = 0$ ， $x = 2$ 或 $x = - 1$ 。

④ $x = - 1$ 不在 $1 < x < 3$ 內，捨去。

所以六格依序是 $3$ 、 $8$ 、 $4$ 、 $\frac{50}{3}$ 、 $4$ 或 $\frac{1}{2}$ 、 $2$ 。

第 (5) 格兩個解都要寫；第 (6) 格解出二次方程式後一定要回頭檢查真數條件。

對數方程式的三步：先寫底數與真數的條件、再換成同底或換元成二次方程式、最後回頭檢查條件。

06填充題：比較大數、數實根個數、地震能量

第 12 題

① 取常用對數： $lo g 2^{150} = 150 lo g 2 \approx 150 \times 0.3010 = 45.15$ 。

② $lo g 3^{100} = 100 lo g 3 \approx 100 \times 0.4771 = 47.71$ 。

③ $45.15 < 47.71$ ，而 $y = lo g x$ 遞增，所以 $2^{150} < 3^{100}$ 。

答案小於。

也可以不用對數：

2^{150} = (2^{3})^{50} = 8^{50}

，

3^{100} = (3^{2})^{50} = 9^{50}

，

8^{50} < 9^{50}

。

第 13 題

① 右邊 $lo g_{2} 2 x = 1 + lo g_{2} x$ （ $x > 0$ ）。實根個數就是 $y = 2^{x - 3}$ 與 $y = 1 + lo g_{2} x$ 兩個圖形的交點個數。

② 列幾個點比較： $x 2^{x - 3} 1 + lo g_{2} x \frac{1}{4} 2^{- 2.75} - 1 1 \frac{1}{4} 1 2 \frac{1}{2} 2 31 1 + lo g_{2} 3 423 54 1 + lo g_{2} 5$

③ $x = \frac{1}{4}$ 時指數函數較高， $x = 1$ 時對數函數較高，所以兩圖形在 $\frac{1}{4}$ 與 $1$ 之間交一次。

④ $x = 4$ 時對數函數較高（ $2 < 3$ ）， $x = 5$ 時指數函數較高（ $4 > 1 + lo g_{2} 5$ ，因為 $lo g_{2} 5 < 3$ ），所以在 $4$ 與 $5$ 之間再交一次。

⑤ $1$ 與 $4$ 之間分兩段看： $1 \leq x \leq 3$ 時 $2^{x - 3} \leq 1 \leq 1 + lo g_{2} x$ ，兩個等號不會同時成立（左邊在 $x = 3$ 、右邊在 $x = 1$ ）。

$3 \leq x \leq 4$ 時 $2^{x - 3} \leq 2 < 1 + lo g_{2} 3 \leq 1 + lo g_{2} x$ 。

所以 $1$ 到 $4$ 之間指數函數一直在對數函數下方，沒有交點。

⑥ $0 < x \leq \frac{1}{4}$ 時 $1 + lo g_{2} x \leq - 1 < 0 < 2^{x - 3}$ ，也沒有交點。

從圖形看， $x$ 比 $5$ 大時 $2^{x - 3}$ 每過一單位就翻倍， $1 + lo g_{2} x$ 卻增加得越來越慢，不會再相交。

答案 2。

載入中...

第 14 題

① 106 號： $lo g E_{1} = 11.8 + 1.5 \times 5.3$ ；107 號： $lo g E_{2} = 11.8 + 1.5 \times 5.2$ 。

② 相減： $lo g E_{2} - lo g E_{1} = 1.5 \times (5.2 - 5.3) = - 0.15$ 。

③ $lo g \frac{E _{2}}{E _{1}} = - 0.15$ ，所以 $\frac{E _{2}}{E _{1}} = 1 0^{- 0.15}$ 。

所以 107 號的能量是 106 號的 $1 0^{- 0.15}$ 倍。

規模每差

1

，能量差

1 0^{1.5} \approx 31.6

倍；這題規模少

0.1

，能量約是

0.71

倍。

兩個大數比大小，先取對數比次方乘上對數；方程式的實根個數，把兩邊各畫成一個圖形數交點。

07填充題：pH 值、半衰期、複利

第 15 題

(1) ① $pH < 5$ 即 $- lo g [H^{+}] < 5$ ，也就是 $lo g [H^{+}] > - 5$ 。

② $y = lo g x$ 遞增，所以 $[H^{+}] > 1 0^{- 5}$ 。

(2) ① pH 值 $3$ 的雨水 $[H^{+}] = 1 0^{- 3}$ ，pH 值 $5$ 的雨水 $[H^{+}] = 1 0^{- 5}$ 。

② 等容量混合，濃度取平均： $[H^{+}] = \frac{1 0 ^{- 3} + 1 0 ^{- 5}}{2} = 5.05 \times 1 0^{- 4}$

③ $5.05 \times 1 0^{- 4} > 1 0^{- 4}$ ，所以 $pH = - lo g [H^{+}] < 4$ 。

所以 (1) 酸雨的 $[H^{+}] > 1 0^{- 5}$ ；(2) pH 值小於 $4$ 。

載入中...

不可以把兩個 pH 值直接平均成

4

：pH 是對數，要先換回濃度再平均。實際約為

pH \approx 3.30

。

第 16 題

① 碳 12 不會衰變，碳 12 的量固定。原本碳 12 與碳 14 是 $1 0^{10} : 1$ ，現在是 $2 \cdot 1 0^{10} : 1$ 。

② 碳 12 一樣多時，現在的碳 14 只有原本的 $\frac{1}{2}$ 。

③ 碳 14 剩下一半，正好經過一個半衰期，約 $5730$ 年。

答案 5730。

第 17 題

① 每年本利和乘 $1.1$ ， $n$ 年後是 $10 \times 1. 1^{n}$ 萬。

② 要 $10 \times 1. 1^{n} > 100$ ，即 $1. 1^{n} > 10$ 。

③ 取常用對數： $n lo g 1.1 > 1$ ， $n > \frac{1}{0.0414} \approx 24.2$ 。

④ $n$ 是正整數，最小取 $25$ 。

答案 25。

應用題的關鍵是把「乘幾次」寫成指數：倍增、半衰期、複利都是首項乘上倍率的次方，再取對數把次方拉下來。

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04多選題：大小比較、由圖形辨認函數

05填充題：解對數方程式

06填充題：比較大數、數實根個數、地震能量

07填充題：pH 值、半衰期、複利

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