段考詳解範圍：高三數學乙（數列的極限、Σ 的運算與級數求和、無窮等比級數、循環小數、函數的定義域與值域、合成函數、高斯函數）

苑裡高中 110 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 苑裡高中 110 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 24 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 苑裡高中 110 上 高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題要用鉛直線檢查圖形並看清楚端點是空心還是實心；第 6 題循環小數相加會進位到前一節，要先化成分數；第 7 題的值域要看整條曲線的最高與最低點，方程式的根要數曲線與直線的交點；第 10 題公比等於 1 時收斂、等於負 1 時發散；第 24 題負數取高斯符號要往更小的整數取。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 24 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 24 題，照原卷順序

單一選擇題 4 題共 16 分，多重選擇題 4 題共 20 分，填充題 A～N 共 15 格、卷面印共 60 分，混合題 9 分（卷面印的配分合計 105 分）；印了答案的那一版填充題印共 45 分、每格 3 分。本頁題號全卷連續：單選是第 1～4 題，多選是第 5～8 題，填充 A～N 是第 9～22 題，混合題是第 23～24 題。答案已與學校公布的答案逐題核對，只有第 3 題本站的看法不同，該題照學校的答案並加註說明。

一、單一選擇題（每題4分，共16分）：1至4題，每題選出最適當的一個選項；每題答對得4分，答錯不倒扣

關於

Σ

的運算，試選出正確的選項。

(A) $k = 1 \sum 10 (1 - k) = 1 - k = 1 \sum 10 k$
(B) $k = 1 \sum 5 5 < k = 6 \sum 10 5$
(C) $k = 1 \sum 5 2 k = (k = 1 \sum 5 2) \times (k = 1 \sum 5 k)$
(D) $k = 1 \sum 5 2 k < k = 1 \sum 5 3 k$
(E) $k = 1 \sum 10 \frac{1}{k} = \frac{1}{k = 1 \sum 10 k}$

請判斷下列數列有幾個是收斂數列：

⟨(4 - π)^{n} ⟩

，

⟨ \frac{4}{3 ^{n}} ⟩

，

⟨ \frac{n + 1}{n} ⟩

，

⟨ 1 + (- 1)^{n} ⟩

，

⟨ (- \frac{11}{10})^{n} ⟩

，

⟨ - 5 \cdot (\frac{1}{2})^{n} ⟩

。

(A) $1$
(B) $2$
(C) $3$
(D) $4$
(E) $5$ 個

下列哪個圖形不是為

y

是

x

的函數圖形。

(A) 如圖 (A)
(B) 如圖 (B)
(C) 如圖 (C)
(D) 如圖 (D)
(E) 如圖 (E)

載入中...

試問函數

f (x) = \frac{x ^{3} - 2 x ^{2} - 2 x - 3}{x ^{2} + x + 1}

與下列哪個函數相等。

(A) $x - 1$
(B) $x - 2$
(C) $g (x) = x - 3$
(D) $x^{2} + x + 1$
(E) 都不相等

二、多重選擇題（每題5分，共20分）：第1至4題，每題至少有一個選項是正確的；每題答對得5分，每錯一個選項扣2分，錯三個選項以上者則該題扣5分

關於數列極限的運算，試選出正確的選項。

(A) 若 $⟨ a_{n} ⟩$ 、 $⟨ b_{n} ⟩$ 均為收斂數列，則 $⟨ a_{n} - 3 b_{n} ⟩$ 為收斂數列。
(B) 若 $⟨ a_{n} ⟩$ 為收斂數列、 $⟨ b_{n} ⟩$ 為發散數列，則 $⟨ \frac{a _{n}}{b _{n}} ⟩$ 為發散數列
(C) 若 $⟨ a_{n} ⟩$ 為發散數列，則 $⟨ a_{n}^{2} ⟩$ 亦為發散數列
(D) 若 $⟨ a_{n} + b_{n} ⟩$ 為收斂數列，則 $⟨ a_{n} ⟩$ 、 $⟨ b_{n} ⟩$ 均為收斂數列
(E) 若 $⟨ a_{n} ⟩$ 、 $⟨ a_{n} + b_{n} ⟩$ 均為收斂數列，則 $⟨ b_{n} ⟩$ 為收斂數列。

下列有關循環小數的敘述中，請選出正確的選項。（卷面的選項 (B) 與 (C) 印得完全相同，照卷面原樣列出）

(A) $0. \overline{7} + 0. \overline{3} = 0. \overline{6} + 0. \overline{4}$
(B) $0. \overline{72} + 0. \overline{28} = 1. \overline{1}$
(C) $0. \overline{72} + 0. \overline{28} = 1. \overline{1}$
(D) $0. \overline{5} + 0. \overline{5} = 1. \overline{1}$
(E) $0.4 \overline{9} = 0.5$

如下圖，函數

f (x)

的定義域為

{x ∣ x \in R, - 2 \leq x \leq 5}

，試選出正確的選項。

(A) 函數的值域為 ${y ∣ y \in R, 1 \leq y \leq 2}$
(B) $(f \circ f) (0) = - 1$
(C) 方程式 $f (x) = 0$ 有兩相異實根
(D) 不等式 $1 \leq f (x) \leq 2$ 的解為 $x = - 2$ 或 $x = 5$
(E) 方程式 $f (x) = \frac{x}{10}$ 恰有一實根。

載入中...

下列有關高斯函數

f (x) = [x]

的敘述中，請選出正確的選項。

(A) 函數值為超過 $x$ 的最大整數
(B) 定義域為 $R$ ，值域為 $R$
(C) $[- 2.7] = - 3$
(D) 對於任意實數 $x$ ， $x - 1 < [x] \leq x$
(E) 對於任意正實數 $x$ ， $[x + 0.5]$ 等於 $x$ 四捨五入至整數位的值。

三、填充題（共60分）：第A至N題，每格全對才給分

已知數列

⟨ \frac{1}{n} ⟩

的極限值為

0

，意即只要

n

足夠大，

\frac{1}{n}

與

0

的差距可以任意的小，試問：若想要

\frac{1}{n} - 0 < 0.01

，則

n

至少要取多大？ ____。

設數列

⟨ (1 - \frac{4 x}{5})^{n} ⟩

收斂，試求

x

的範圍。 ____。

試求出下列各極限值。

n \to \infty lim ((2 + \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}) (1 - \frac{1}{3 ^{n}})) =

____。

試將下列各式展開，並求其和：

k = 1 \sum 3 (- \frac{1}{3})^{k + 1} =

____。

試用

Σ

表示下列各級數：

(- 3) + (- 1) + 1 + 3 + 5 + 7

____。

試求下列等比級數之和：

2^{8} + 2^{7} + \dots + 2 + 1 =

____。

試求其和：

\frac{3}{5} - \frac{3}{25} + \frac{3}{125} + \dots + \frac{3}{( - 5 ) ^{n - 1}} + \dots =

____。（卷面印的一般項

\frac{3}{( - 5 ) ^{n - 1}}

與前三項對不上，依前三項，第

n

項應為

\frac{3 \cdot ( - 1 ) ^{n - 1}}{5 ^{n}}

）

如下圖，設黑色三角形邊長

8

，如圖（一），連接其各邊中點得

1

個白色三角形，如圖（二），在圖（二）三個黑色三角形中，再連接各邊中點得

3

個白色三角形，如圖（三）。試問在無限重複這樣的步驟後，白色三角形面積的總和為何。 ____。

載入中...

試問函數

f (x) = \frac{∣ x ∣}{x}

的值域為何 ____。

函數

f (x) = {x^{2} + 1, - x, x \geq 0 x < 0

，請問

f (- 5) + f (3)

的值為何 ____。

函數

f (x) = ∣ x - 1∣ + ∣ x + 2∣

，解方程式

∣ x - 1∣ + ∣ x + 2∣ = 7

____。

試求函數

f (x) = \frac{x + 6}{∣ x ∣ - 3}

的定義域。 ____。

設

[x]

為不大於

x

的最大整數，試求

[1] + [2] + \dots + [12]

的值為何 ____。

已知

f (x) = x^{3} + 1

、

g (x) = x - 2

，試求：(1)

(f \circ g) (x) =

____。　(2)

(g \circ f) (2) =

____。

四、混合題（9分）：本部分共有1題組，每一子題配分標於題末；非選擇題必須寫出計算過程或理由，否則將酌予扣分

混合題（第 23～24 題）　在臺灣，各縣市計程車費率不盡相同。以台中為例，前

1.5

公里內（含

1.5

公里），起跳運價為

80

元，之後每

300

公尺加收

5

元，未滿

300

公尺，以

300

公尺計算。若將上述關係表示為函數

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ a, 80 - 5 [\frac{1.5 - x}{b}], 0 < x \leq 1.5 x > 1.5

，其中

[]

為高斯符號，則

(1) 數對

(a, b)

。(4分)

(2) 某天一位同學騎單車到學校，騎到大甲光田醫院附近車子爆胎，只能選擇搭計程車到學校，這位同學在 Google 地圖上查詢到學校距離為

14.3

公里，請幫這位同學試算車資為多少元。(5分)

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(D)

第 2 題(D)

第 3 題(A)（照學校答案；卷面圖 (A) 兩個端點都是空心，照圖五個都是函數圖形，見詳解）

第 4 題(C)

第 5 題(A)(E)

第 6 題(A)(D)(E)

第 7 題(B)(C)

第 8 題(C)(D)(E)

第 9 題

101

第 10 題

0 \leq x < \frac{5}{2}

第 11 題

2

第 12 題

\frac{7}{81}

第 13 題

k = 1 \sum 6 (2 k - 5)

（寫法不唯一，展開後是這六項即可）

第 14 題

511

第 15 題

\frac{1}{2}

（照前三項

\frac{3}{5}

、

- \frac{3}{25}

、

\frac{3}{125}

決定的首項與公比計算，與學校公布的答案相同）

第 16 題

163

第 17 題

{y ∣ y = \pm 1}

第 18 題

15

第 19 題

x = 3

或

x = - 4

第 20 題

x \geq - 6

且

x \neq = \pm 3

第 21 題

25

第 22 題(1)

x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 7

　(2)

7

第 23 題

(a, b) = (80, 0.3)

第 24 題

295

元

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題：Σ 的運算、數列的收斂、函數的圖形、函數相等

第 1 題答案 (D)。每個選項兩邊都直接算出來比。 (A) 左邊是十個

(1 - k)

相加，

1

加了十次：

10 - 55 = - 45

；右邊

1 - 55 = - 54

，不相等。 (B) 左邊是五個

5

相加

= 25

；右邊

k

從

6

到

10

也是五項，

= 25

，兩邊相等，不是小於。 (C) 左邊

= 2 (1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 30

；右邊

= 10 \times 15 = 150

，不相等。 (D) 左邊

= 30

，右邊

= 3 \times 15 = 45

，

30 < 45

，正確。 (E) 左邊

= 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{10}

比

1

大；右邊

= \frac{1}{55}

，不相等。

Σ

只能拆加減、提出常數倍：常數

c

加

n

次是

n c

不是

c

；乘積與倒數都不能分開各自求和。

第 2 題答案 (D)，共

4

個收斂。

⟨(4 - π)^{n} ⟩

：公比

4 - π \approx 0.86

，介於

- 1

與

1

之間，收斂到

0

。

⟨ \frac{4}{3 ^{n}} ⟩

：公比

\frac{1}{3}

的等比數列，收斂到

0

。

⟨ \frac{n + 1}{n} ⟩

：

\frac{n + 1}{n} = 1 + \frac{1}{n}

，收斂到

1

。

⟨ 1 + (- 1)^{n} ⟩

：各項是

0, 2, 0, 2, \dots

，不趨近單一的值，發散。

⟨ (- \frac{11}{10})^{n} ⟩

：公比的絕對值大於

1

，發散。

⟨ - 5 \cdot (\frac{1}{2})^{n} ⟩

：公比

\frac{1}{2} \approx 0.71

，收斂到

0

。

等比數列

⟨ r^{n} ⟩

收斂的條件是

- 1 < r \leq 1

。

第 3 題學校公布的答案是 (A)。

y

是

x

的函數，表示每一個

x

值至多對應一個

y

值；在圖形上就是任何一條鉛直線與圖形至多交於一點。 (B) 鉛直虛線右側的曲線一路往右上，沒有往回走；(C) 上下起伏的曲線由左往右畫；(D) 斜線、水平線、斜線接成的折線由左往右畫；(E) 水平虛線上方的曲線一路往右上。這四個圖每條鉛直線都至多交一點，都是函數圖形。 (A) 是兩段水平線，上面那段在

y

軸右邊，下面那段在

y

軸左邊，唯一可能出問題的是

y

軸這條鉛直線。學校的答案是把它看成

x = 0

同時對到上下兩個

y

值，所以不是函數圖形。但是卷面的圖 (A) 兩段在

y

軸上的端點都印成空心圓，表示這兩點都不在圖形上，

y

軸與圖形沒有交點；照圖來看，(A) 也是函數圖形（定義域是

x \neq = 0

），五個選項就沒有一個符合題目。若兩個端點都是實心，或上下兩段在

y

軸附近有重疊，答案才是 (A)。本頁答案照學校公布的寫。

空心點表示那一點不屬於圖形，實心點才屬於；判斷時要看清楚端點。

第 4 題答案 (C)。兩個函數相等，要定義域相同，而且每個

x

對應的函數值都相同。分母

x^{2} + x + 1 = (x + \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}

恆為正，不會是

0

，所以

f (x)

的定義域是全體實數。用除法：

x^{3} - 2 x^{2} - 2 x - 3 = (x^{2} + x + 1) (x - 3)

，所以對每個實數

x

都有

f (x) = x - 3

。

g (x) = x - 3

的定義域也是全體實數，對應的值也相同，所以

f

與

g

相等。

如果分母會等於

0

（例如分母是

x - 1

），約分之後定義域就不一樣，兩個函數不相等；這題的分母恆不為

0

才能直接約。

Σ 只能拆加減與提出常數倍；判斷函數圖形用鉛直線檢查，並看清楚端點是空心還是實心。

02多選題：極限的運算、循環小數、函數圖形、高斯函數

第 5 題答案 (A)(E)。 (A) 對：設

⟨ a_{n} ⟩

收斂到

α

、

⟨ b_{n} ⟩

收斂到

β

，由極限的運算性質，

⟨ a_{n} - 3 b_{n} ⟩

收斂到

α - 3 β

。 (B) 錯：取

a_{n} = 1

、

b_{n} = n

，

⟨ a_{n} ⟩

收斂、

⟨ b_{n} ⟩

發散，但

\frac{a _{n}}{b _{n}} = \frac{1}{n}

收斂到

0

。 (C) 錯：取

a_{n} = (- 1)^{n}

，發散，但

a_{n}^{2} = 1

是常數數列，收斂。 (D) 錯：取

a_{n} = n

、

b_{n} = - n

，

a_{n} + b_{n} = 0

收斂，但兩個數列都發散。 (E) 對：

b_{n} = (a_{n} + b_{n}) - a_{n}

是兩個收斂數列的差，所以收斂。

「則…為發散」「則…均為收斂」這類敘述，找到一個反例就不成立；正確的選項要用極限的運算性質說明。

第 6 題答案 (A)(D)(E)。把循環小數化成分數再算。 (A) 對：左邊

= \frac{7}{9} + \frac{3}{9} = \frac{10}{9}

，右邊

= \frac{6}{9} + \frac{4}{9} = \frac{10}{9}

。 (B) 錯：左邊

= \frac{72}{99} + \frac{28}{99} = \frac{100}{99}

，寫成小數是

1. \overline{01}

；右邊

1. \overline{1} = 1 + \frac{1}{9} = \frac{10}{9} = \frac{110}{99}

，不相等。 (C) 錯：卷面印的式子與 (B) 完全相同，理由同 (B)。 (D) 對：左邊

= \frac{5}{9} + \frac{5}{9} = \frac{10}{9} = 1. \overline{1}

。 (E) 對：

0.4 \overline{9} = 0.4 + 0.0 \overline{9}

，而

0.0 \overline{9} = \frac{1}{10} \times 0. \overline{9} = \frac{1}{10} \times 1 = 0.1

，所以等於

0.5

。

循環小數不能像有限小數那樣逐位相加再把循環的橫線照抄：

0. \overline{72} + 0. \overline{28}

每一節是

72 + 28 = 100

，會進位到前一節。

第 7 題答案 (B)(C)。 (A) 錯：圖形最高點是

(0, 3)

、最低點是

(3, - 1)

，而且曲線連續不斷，值域是

{y ∣ - 1 \leq y \leq 3}

。 (B) 對：

f (0) = 3

，

f (3) = - 1

，所以

(f \circ f) (0) = f (f (0)) = f (3) = - 1

。 (C) 對：曲線從

(0, 3)

下降到

(3, - 1)

時穿過

x

軸一次，從

(3, - 1)

上升到

(5, 1)

時再穿過一次；

x

在

- 2

到

0

之間圖形都在高度

2

以上，沒有交點。共兩個相異實根。 (D) 錯：

x = - 2

、

x = 5

的函數值是

2

、

1

，確實滿足，但不只這兩個。曲線從

(0, 3)

下降到

(3, - 1)

的途中，高度由

2

降到

1

的那一整段

x

也都滿足。

x

在

- 2

與

0

之間（不含

- 2

）函數值都大於

2

，在

3

與

5

之間（不含

5

）函數值都小於

1

，所以解是

x = - 2

、

x = 5

，再加上

0

與

3

之間的一段區間。 (E) 錯：直線

y = \frac{x}{10}

在

x = 0, 3, 5

的高度是

0

、

0.3

、

0.5

。

x = 0

時曲線在直線上方（

3 > 0

），

x = 3

時在下方（

- 1 < 0.3

），

x = 5

時又在上方（

1 > 0.5

），所以在

0

與

3

之間、

3

與

5

之間各有交點，實根不只一個。

值域要看整條曲線的最高與最低，不是只看兩個端點的高度。

第 8 題答案 (C)(D)(E)。高斯符號

[x]

表示不大於

x

的最大整數。 (A) 錯：是「不超過

x

」的最大整數；超過

x

的整數沒有最大的。 (B) 錯：定義域是全體實數，但函數值都是整數，值域是全體整數。 (C) 對：

- 3 \leq - 2.7 < - 2

，不大於

- 2.7

的最大整數是

- 3

。 (D) 對：由定義

[x] \leq x < [x] + 1

，右半移項得

x - 1 < [x]

。 (E) 對：設正實數

x

的整數部分是

m

、小數部分是

d

（

0 \leq d < 1

）。

d < 0.5

時

m \leq x + 0.5 < m + 1

，

[x + 0.5] = m

，是捨去；

d \geq 0.5

時

m + 1 \leq x + 0.5 < m + 2

，

[x + 0.5] = m + 1

，是進位。

負數取高斯符號是往更小的整數走：

[- 2.7]

是

- 3

不是

- 2

。

循環小數先化成分數再運算；高斯符號記住 [x] ≤ x < [x] + 1 這個不等式。

03填充題：數列的極限

第 9 題

n

是正整數，

\frac{1}{n} - 0 = \frac{1}{n}

。

\frac{1}{n} < 0.01 = \frac{1}{100}

即

n > 100

，所以

n

至少要取

101

。

n = 100

時

\frac{1}{n}

恰好等於

0.01

，不滿足「小於」。

第 10 題這是公比

r = 1 - \frac{4 x}{5}

的等比數列

⟨ r^{n} ⟩

，收斂的條件是

- 1 < r \leq 1

。由

r \leq 1

：

1 - \frac{4 x}{5} \leq 1

，得

x \geq 0

。由

r > - 1

：

1 - \frac{4 x}{5} > - 1

，

\frac{4 x}{5} < 2

，得

x < \frac{5}{2}

。所以

0 \leq x < \frac{5}{2}

。

x = 0

時公比是

1

，每一項都是

1

，收斂，要包含；

x = \frac{5}{2}

時公比是

- 1

，數列在

- 1

與

1

之間跳動，發散，不包含。

第 11 題分成兩個括號各自求極限。

\frac{( - 1 ) ^{n}}{n} = \frac{1}{n}

趨近

0

，所以

\frac{( - 1 ) ^{n}}{n}

的極限是

0

，第一個括號趨近

2

。

\frac{1}{3 ^{n}}

是公比

\frac{1}{3}

的等比數列，趨近

0

，所以第二個括號趨近

1

。兩個數列都收斂，乘積的極限等於極限的乘積：

2 \times 1 = 2

。

等比數列收斂的條件是公比大於 −1 且小於等於 1，兩個端點要分開檢查。

04填充題：Σ、等比級數與無窮等比級數

第 12 題

k = 1, 2, 3

依序代入：

(- \frac{1}{3})^{2} + (- \frac{1}{3})^{3} + (- \frac{1}{3})^{4} = \frac{1}{9} - \frac{1}{27} + \frac{1}{81}

通分成分母

81

：

\frac{9 - 3 + 1}{81} = \frac{7}{81}

。

指數是

k + 1

，第一項是平方不是一次方。

第 13 題這六項是首項

- 3

、公差

2

的等差數列，第

k

項是

- 3 + 2 (k - 1) = 2 k - 5

，共

6

項，所以可以寫成

k = 1 \sum 6 (2 k - 5)

。

寫法不唯一，例如

k = 0 \sum 5 (2 k - 3)

也對；檢查方法是把首項與末項代回去：

k = 1

得

- 3

，

k = 6

得

7

。

第 14 題倒過來看是

1 + 2 + 2^{2} + \dots + 2^{8}

，首項

1

、公比

2

、共

9

項的等比級數，和

= \frac{1 \times ( 2 ^{9} - 1 )}{2 - 1} = 512 - 1 = 511

。

指數從

0

到

8

，項數是

9

不是

8

。

第 15 題由前三項看，首項

a = \frac{3}{5}

，公比

r = (- \frac{3}{25}) \div \frac{3}{5} = - \frac{1}{5}

，第三項

\frac{3}{5} \times \frac{1}{25} = \frac{3}{125}

也符合。

∣ r ∣ < 1

，級數收斂，和

= \frac{a}{1 - r} = \frac{\frac{3}{5}}{1 + \frac{1}{5}} = \frac{3}{5} \times \frac{5}{6} = \frac{1}{2}

。

卷面印的一般項

\frac{3}{( - 5 ) ^{n - 1}}

代

n = 1

得

3

、代

n = 2

得

- \frac{3}{5}

，與前三項的正負和大小都對不上；照前三項，第

n

項是

\frac{3 \cdot ( - 1 ) ^{n - 1}}{5 ^{n}}

。本頁依前三項計算，結果與學校公布的答案相同。

第 16 題邊長

8

的正三角形面積是

\frac{3}{4} \times 8^{2} = 163

。連接三邊中點把一個三角形分成四個全等的小三角形，中間那個變白，所以每做一次，黑色部分的面積變成原來的

\frac{3}{4}

，新變白的面積是做之前黑色面積的

\frac{1}{4}

。第

1

次新增的白色面積是

163 \times \frac{1}{4} = 43

，之後每次新增的是前一次的

\frac{3}{4}

倍，是首項

43

、公比

\frac{3}{4}

的無窮等比級數。總和

= \frac{4 3}{1 - \frac{3}{4}} = 163

。

答案正好等於原來整個三角形的面積：黑色面積

163 \times (\frac{3}{4})^{n}

趨近

0

，白色就趨近全部。

無窮等比級數先確認公比的絕對值小於 1，再用首項除以 1 減公比。

05填充題：函數的值域、定義域、絕對值、高斯符號、合成函數

第 17 題分母不可為

0

，定義域是

x \neq = 0

。

x > 0

時

∣ x ∣ = x

，

f (x) = 1

；

x < 0

時

∣ x ∣ = - x

，

f (x) = - 1

。函數值只有

1

與

- 1

兩個，值域是

{y ∣ y = \pm 1}

，也就是

{1, - 1}

。

第 18 題

- 5 < 0

，用第二式：

f (- 5) = - (- 5) = 5

。

3 \geq 0

，用第一式：

f (3) = 3^{2} + 1 = 10

。所以

f (- 5) + f (3) = 15

。

第 19 題依

x = - 2

、

x = 1

分三段去掉絕對值。

x \geq 1

：

(x - 1) + (x + 2) = 2 x + 1 = 7

，

x = 3

，符合

x \geq 1

。

- 2 \leq x < 1

：

- (x - 1) + (x + 2) = 3

，不等於

7

，無解。

x < - 2

：

- (x - 1) - (x + 2) = - 2 x - 1 = 7

，

x = - 4

，符合

x < - 2

。所以

x = 3

或

x = - 4

。

幾何意義：

x

到

1

與到

- 2

的距離和是

7

；兩點相距

3

，

x

在外側多走

2

，得

1 + 2 = 3

或

- 2 - 2 = - 4

。

第 20 題兩個條件要同時成立。根號內不可為負：

x + 6 \geq 0

，

x \geq - 6

。分母不可為

0

：

∣ x ∣ - 3 \neq = 0

，

x \neq = 3

且

x \neq = - 3

。定義域是

x \geq - 6

且

x \neq = \pm 3

。

- 3

落在

x \geq - 6

的範圍裡，要記得挖掉；根號在分子，根號內可以等於

0

，所以

x = - 6

要含。

第 21 題用完全平方數分段。

k = 1, 2, 3

時

1 \leq k < 2

，

[k] = 1

，有

3

項；

k = 4

到

8

時

2 \leq k < 3

，

[k] = 2

，有

5

項；

k = 9

到

12

時

3 \leq k < 4

，

[k] = 3

，有

4

項。總和

= 1 \times 3 + 2 \times 5 + 3 \times 4 = 25

。

第 22 題(1)

(f \circ g) (x) = f (g (x)) = f (x - 2) = (x - 2)^{3} + 1

。展開

(x - 2)^{3} = x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8

，所以

(f \circ g) (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 7

。 (2)

(g \circ f) (2) = g (f (2))

。

f (2) = 2^{3} + 1 = 9

，

g (9) = 9 - 2 = 7

。

合成的順序是由右往左：

f \circ g

是先做

g

再做

f

。

定義域把所有限制同時列出再取共同部分；合成函數先算裡面那一個。

06混合題：用高斯符號表示計程車車資

第 23 題

x

的單位是公里。前

1.5

公里內車資都是起跳價，所以

a = 80

。

x > 1.5

時，超過起跳里程的距離是

x - 1.5

公里。每

300

公尺（

0.3

公里）算一段，未滿一段也算一段，所以段數是「不小於

\frac{x - 1.5}{0.3}

的最小整數」。「不小於

t

的最小整數」可以用高斯符號寫成

- [- t]

，所以段數

= - [\frac{1.5 - x}{0.3}]

。車資

= 80 + 5 \times

段數

= 80 - 5 [\frac{1.5 - x}{0.3}]

，與題目的式子比較得

b = 0.3

。所以

(a, b) = (80, 0.3)

。

檢查：

x = 1.6

時

[\frac{- 0.1}{0.3}] = - 1

，車資

85

元，多走不到

300

公尺加收一次；

x = 1.8

時

[- 1] = - 1

，仍是

85

元。

b

要換成公里，是

0.3

不是

300

。

第 24 題

x = 14.3 > 1.5

，用第二式。

\frac{1.5 - 14.3}{0.3} = \frac{- 12.8}{0.3} = - 42.66 \dots

，介於

- 43

與

- 42

之間，所以

[\frac{1.5 - 14.3}{0.3}] = - 43

。

f (14.3) = 80 - 5 \times (- 43) = 80 + 215 = 295

（元）。

直接想也一樣：超過起跳里程

12.8

公里，

12.8 \div 0.3 = 42.66 \dots

，未滿一段算一段，共

43

段，加收

215

元。負數取高斯符號要往更小的整數取，

- 42.66 \dots

取成

- 43

。

無條件進位可以寫成負的高斯符號裡放負的數；負數取高斯符號往更小的整數取。

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第 3 題要用鉛直線檢查圖形並看清楚端點是空心還是實心；第 6 題循環小數相加會進位到前一節，要先化成分數；第 7 題的值域要看整條曲線的最高與最低點，方程式的根要數曲線與直線的交點；第 10 題公比等於 1 時收斂、等於負 1 時發散；第 24 題負數取高斯符號要往更小的整數取。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自苑裡高中 110 學年度上學期高三第一次段考數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

苑裡高中 110 上高三第一次段考數學試題、答案與詳解

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01單選題：Σ 的運算、數列的收斂、函數的圖形、函數相等

02多選題：極限的運算、循環小數、函數圖形、高斯函數

03填充題：數列的極限

04填充題：Σ、等比級數與無窮等比級數

05填充題：函數的值域、定義域、絕對值、高斯符號、合成函數

06混合題：用高斯符號表示計程車車資

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高三第一次段考
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