段考詳解範圍：極限與函數（數列的極限、無窮等比級數、函數的極限、連續函數與中間值定理、合成函數）

苑裡高中 110 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 21 題，照原卷順序

多選題 2 題，每題 5 分，錯一個選項扣 5 分，扣至該題 0 分為止，共 10 分；填充題 12 題共 18 格，90 分，依答對格數給分；計算證明題 1 題 5 分。卷面三個大題的配分合計 105 分。本頁題號全卷連續：第 1～2 題是多選題，第 3～20 題依序是填充題的第 (1)～(18) 格，第 21 題是計算證明題。答案已與學校公布的答案逐題核對，全部一致。

一、多選題（每題 5 分，錯一個選項扣 5 分，扣至該題 0 分為止，本大題共 10 分）

已知

n \to \infty lim a_{n}

、

n \to \infty lim b_{n}

均存在，下列敘述，何者正確？

(1) $n \to \infty lim a_{n} + n \to \infty lim b_{n} = n \to \infty lim (a_{n} + b_{n})$
(2) $n \to \infty lim a_{n} - n \to \infty lim b_{n} = n \to \infty lim (a_{n} - b_{n})$
(3) $n \to \infty lim a_{n} \times n \to \infty lim b_{n} = n \to \infty lim (a_{n} \times b_{n})$
(4) $n \to \infty lim a_{n} \div n \to \infty lim b_{n} = n \to \infty lim (a_{n} \div b_{n})$
(5) $n \to \infty lim (c \cdot a_{n}) = c \cdot n \to \infty lim a_{n}$

右圖為函數

y = f (x)

的圖形，下列敘述，哪些是正確的？

(1) $x \to 2 lim f (x) = f (2)$
(2) $x \to 3 lim f (x) = f (3)$
(3) $x \to 4 lim f (x) = f (4)$
(4) $x \to 5 lim f (x) = 1$
(5) $x \to 3 lim f (x) = 4$

載入中...

二、填充題（90 分）　答對 1～18 格的得分依序為 7、14、21、27、33、38、43、48、53、58、63、68、73、77、81、84、87、90 分

填充第 1 題（第 3～5 題）　求下列各式極限，若不存在，則填「不存在」

【填充 1-i】

n \to \infty lim (8 + \frac{2}{n}) =

＿(1)＿。

【填充 1-ii】

n \to \infty lim (\frac{3 n ^{2} - 1000 n + 400}{n ^{2} + 4 n - 1000}) =

＿(2)＿。

【填充 1-iii】

n \to \infty lim (\frac{2 n ^{2} + 7}{600 n + 300}) =

＿(3)＿。

【填充 2】已知

n \to \infty lim (\frac{a n ^{2} - 4 bn + 5}{3 n - 2}) = 8

，則數對

(a, b) =

＿(4)＿。

【填充 3】

n \to \infty lim (n^{2} + 2 n + 6 - n^{2} - 5 n + 4) =

＿(5)＿。

【填充 4】計算

k = 1 \sum 20 (2 k^{2} + 3 k + 1) =

＿(6)＿。

【填充 5】求

n \to \infty lim (\frac{5}{5} + \frac{13}{25} + \frac{35}{125} + \dots + \frac{2 ^{n} + 3 ^{n}}{5 ^{n}}) =

＿(7)＿。

【填充 6】將循環小數

0.3 \overline{24}

化為分數＿(8)＿。（須化為最簡分數）

【填充 7】已知無窮數列

⟨ a_{n} ⟩

中的每一項

a_{n}

都滿足

2 n^{2} - n + 4 < n^{2} a_{n} < 2 n^{2} + 3 n + 7

，則

n \to \infty lim a_{n} =

＿(9)＿。

填充第 8 題（第 12～16 題）　求下列各式極限，如果不存在就填「不存在」

【填充 8-i】

x \to 3 lim (3 x^{2} - 5 x + 2) =

＿(10)＿。

【填充 8-ii】

x \to 3 lim [x] =

＿(11)＿。

【填充 8-iii】

x \to 0 lim \frac{x ^{2} + 2∣ x ∣}{∣ x ∣} =

＿(12)＿。

【填充 8-iv】

x \to - 1 lim (\frac{3}{x + 1} + \frac{12}{x ^{2} - 2 x - 3}) =

＿(13)＿。

【填充 8-v】

x \to 5 lim ([x] + x - [x]) =

＿(14)＿。（其中符號

[]

為高斯符號）

【填充 9】已知

x \neq = 0

，不等式

- 1 \leq sin \frac{1}{x} \leq 1

，求

x \to 0 lim 2 x sin \frac{1}{x} =

＿(15)＿。

【填充 10】若

x \to 4 lim \frac{x ^{2} + a x + b}{x - 4} = 6

，則數對

(a, b) =

＿(16)＿。

【填充 11】函數

f (x) = {2 x^{2} - 3 x - 5, a x + 3, x \geq 2 x < 2

為連續函數，則

a =

＿(17)＿。

【填充 12】已知

f (x) = x + 4

，

g (x) = k x - 2

，若

f \circ g (x) = g \circ f (x)

，則

k =

＿(18)＿。

三、計算證明題（5 分）

已知

f (x) = (x - 100)^{2} (x - 200)^{3} + 2 x

，試證至少有一實數

c

，使得

f (c) = 300

。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)(2)(3)(5)

第 2 題(3)(5)

第 3 題

8

第 4 題

3

第 5 題不存在

第 6 題

(0, - 6)

第 7 題

\frac{7}{2}

第 8 題

6390

第 9 題

\frac{13}{6}

第 10 題

\frac{107}{330}

第 11 題

2

第 12 題

14

第 13 題不存在

第 14 題

2

第 15 題

- \frac{3}{4}

第 16 題

5

第 17 題

0

第 18 題

(- 2, - 8)

第 19 題

- 3

第 20 題

1

第 21 題證明見詳解（

f (100) = 200 < 300 < 400 = f (200)

，由中間值定理得證）

03 · 勾錯題號

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選題：極限的運算性質、由圖形看極限

第 1 題答案 (1)(2)(3)(5)。設

n \to \infty lim a_{n} = α

、

n \to \infty lim b_{n} = β

。(1) 對：兩個收斂數列的和仍收斂，極限是

α + β

。(2) 對：差的極限是

α - β

。(3) 對：積的極限是

α β

。(4) 錯：商的性質還要

β \neq = 0

。取

a_{n} = 1

、

b_{n} = \frac{1}{n}

，兩個極限都存在（

1

與

0

），但左邊是

1 \div 0

沒有意義，右邊

a_{n} \div b_{n} = n

也發散，等式不成立。(5) 對：

c

是常數時，

n \to \infty lim (c \cdot a_{n}) = c α

。

四則運算裡只有除法多一個條件：分母數列的極限不可以是

0

。

第 2 題答案 (3)(5)。極限看的是

x

從左、右兩邊接近時圖形接近的高度，與那一點本身的函數值無關；實心點才是函數值，空心點表示圖形不含那一點。(1) 錯：

x

接近

2

時，左、右兩段都接近空心點的高度

2

，

x \to 2 lim f (x) = 2

；但

f (2)

是上方實心點的高度

3

，兩者不相等。(2) 錯：

x

接近

3

時兩邊都接近高度

4

，極限是

4

；但

x = 3

處只有空心點，

f (3)

沒有定義，等式不成立。(3) 對：

x

接近

4

時兩邊都接近高度

2

，而

(4, 2)

是實心點，

f (4) = 2

。(4) 錯：

x

從左邊接近

5

時圖形接近高度

3

，從右邊接近時接近高度

1

，左、右極限不相等，

x \to 5 lim f (x)

不存在。(5) 對：理由同 (2) 的前半，極限是

4

。

(2) 與 (5) 是同一個點：極限存在而且等於

4

，但函數在那一點沒有定義，所以「極限等於函數值」不成立。

極限的除法性質要分母的極限不為 0；看圖求極限只看兩邊接近的高度，不看那一點的實心點。

02填充第 1～3 題（第 (1)～(5) 格）：數列的極限

第 3 題答案

8

。

n \to \infty

時

\frac{2}{n} \to 0

，所以極限是

8 + 0 = 8

。

第 4 題答案

3

。分子、分母同除以

n^{2}

：

\frac{3 - \frac{1000}{n} + \frac{400}{n ^{2}}}{1 + \frac{4}{n} - \frac{1000}{n ^{2}}} \to \frac{3}{1} = 3

。

係數

1000

再大也只是常數，

\frac{1000}{n}

仍然趨近

0

；極限只由最高次項的係數決定。

第 5 題答案「不存在」。分子、分母同除以

n

：

\frac{2 n + \frac{7}{n}}{600 + \frac{300}{n}}

。分母趨近

600

，分子隨

n

無限增大，所以整個式子無限增大，不會接近任何一個實數，極限不存在。

第 6 題答案

(a, b) = (0, - 6)

。分子、分母同除以

n

：

\frac{an - 4 b + \frac{5}{n}}{3 - \frac{2}{n}}

。分母趨近

3

。若

a \neq = 0

，分子的

an

會無限增大（或無限減小），極限不存在，所以

a = 0

。此時極限是

\frac{- 4 b}{3} = 8

，得

b = - 6

。

第 7 題答案

\frac{7}{2}

。兩個根式各自都無限增大，不能分開取極限，先有理化：

n^{2} + 2 n + 6 - n^{2} - 5 n + 4 = \frac{( n ^{2} + 2 n + 6 ) - ( n ^{2} - 5 n + 4 )}{n ^{2} + 2 n + 6 + n ^{2} - 5 n + 4} = \frac{7 n + 2}{n ^{2} + 2 n + 6 + n ^{2} - 5 n + 4}

。分子、分母同除以

n

：

\frac{7 + \frac{2}{n}}{1 + \frac{2}{n} + \frac{6}{n ^{2}} + 1 - \frac{5}{n} + \frac{4}{n ^{2}}} \to \frac{7}{1 + 1} = \frac{7}{2}

。

分式型數列同除以分母的最高次項；根式相減先有理化，再同除以 n。

03填充第 4～7 題（第 (6)～(9) 格）：Σ、無窮等比級數、循環小數、夾擠定理

第 8 題答案

6390

。

k = 1 \sum 20 k^{2} = \frac{20 \cdot 21 \cdot 41}{6} = 2870

，

k = 1 \sum 20 k = \frac{20 \cdot 21}{2} = 210

，

k = 1 \sum 20 1 = 20

。所以原式

= 2 \cdot 2870 + 3 \cdot 210 + 20 = 5740 + 630 + 20 = 6390

。

第 9 題答案

\frac{13}{6}

。前三項

\frac{5}{5} = \frac{2 + 3}{5}

、

\frac{13}{25} = \frac{2 ^{2} + 3 ^{2}}{5 ^{2}}

、

\frac{35}{125} = \frac{2 ^{3} + 3 ^{3}}{5 ^{3}}

，與一般項

\frac{2 ^{k} + 3 ^{k}}{5 ^{k}} = (\frac{2}{5})^{k} + (\frac{3}{5})^{k}

相符。括號內的和拆成兩個等比級數的前

n

項和，兩個公比

\frac{2}{5}

、

\frac{3}{5}

的絕對值都小於

1

，

n \to \infty

時各自收斂：

\frac{\frac{2}{5}}{1 - \frac{2}{5}} + \frac{\frac{3}{5}}{1 - \frac{3}{5}} = \frac{2}{3} + \frac{3}{2} = \frac{13}{6}

。

第 10 題答案

\frac{107}{330}

。循環節是

24

，

3

不循環：

0.3 \overline{24} = 0.3 + 0.024 + 0.00024 + 0.0000024 + \dots

。後面是首項

0.024

、公比

0.01

的無窮等比級數，和為

\frac{0.024}{1 - 0.01} = \frac{24}{990} = \frac{4}{165}

。所以

0.3 \overline{24} = \frac{3}{10} + \frac{4}{165} = \frac{99}{330} + \frac{8}{330} = \frac{107}{330}

。

107

是質數，已是最簡分數。

也可以用

\frac{324 - 3}{990} = \frac{321}{990}

，再約去

3

。

第 11 題答案

2

。不等式各邊同除以

n^{2}

（

n^{2} > 0

，不等號方向不變）：

2 - \frac{1}{n} + \frac{4}{n ^{2}} < a_{n} < 2 + \frac{3}{n} + \frac{7}{n ^{2}}

。左、右兩邊的極限都是

2

，由夾擠定理

n \to \infty lim a_{n} = 2

。

和式的極限先把和整理成認得的級數再取極限；被兩個極限相同的數列夾住，就用夾擠定理。

04填充第 8 題（第 (10)～(14) 格）：五個函數的極限

第 12 題答案

14

。多項式函數的極限直接代入：

3 \cdot 3^{2} - 5 \cdot 3 + 2 = 27 - 15 + 2 = 14

。

第 13 題答案「不存在」。

[x]

表示不超過

x

的最大整數。

x

從左邊接近

3

（

2 < x < 3

）時

[x] = 2

，左極限是

2

；從右邊接近

3

（

3 < x < 4

）時

[x] = 3

，右極限是

3

。左、右極限不相等，極限不存在。

第 14 題答案

2

。

x \neq = 0

時

x^{2} = ∣ x ∣^{2}

，所以

\frac{x ^{2} + 2∣ x ∣}{∣ x ∣} = \frac{∣ x ∣ ^{2} + 2∣ x ∣}{∣ x ∣} = ∣ x ∣ + 2

。

x \to 0

時

∣ x ∣ \to 0

，極限是

2

。

也可以分左、右：

x > 0

時原式

= x + 2

，

x < 0

時原式

= - x + 2

，兩邊都趨近

2

。

第 15 題答案

- \frac{3}{4}

。兩項在

x \to - 1

時各自的極限都不存在，先通分。

x^{2} - 2 x - 3 = (x - 3) (x + 1)

，原式

= \frac{3 ( x - 3 ) + 12}{( x - 3 ) ( x + 1 )} = \frac{3 x + 3}{( x - 3 ) ( x + 1 )} = \frac{3 ( x + 1 )}{( x - 3 ) ( x + 1 )}

。

x \neq = - 1

時約去

x + 1

得

\frac{3}{x - 3}

，代入

x = - 1

：

\frac{3}{- 4} = - \frac{3}{4}

。

第 16 題答案

5

。分左、右兩邊看。

x

從左邊接近

5

（

4 < x < 5

）時

[x] = 4

，原式

= 4 + x - 4

，趨近

4 + 1 = 5

。

x

從右邊接近

5

（

5 < x < 6

）時

[x] = 5

，原式

= 5 + x - 5

，趨近

5 + 0 = 5

。左、右極限都是

5

，所以極限是

5

。

[x]

單獨在

x = 5

的極限不存在，但加上

x - [x]

之後，左邊少的

1

剛好被根號補回來，極限反而存在。

遇到高斯符號、絕對值，把左、右兩邊分開寫成沒有符號的式子，再比較左、右極限。

05填充第 9～12 題（第 (15)～(18) 格）：夾擠、由極限求係數、連續、合成函數

第 17 題答案

0

。

x \neq = 0

時

- 1 \leq sin \frac{1}{x} \leq 1

，所以

sin \frac{1}{x} \leq 1

，

2 x sin \frac{1}{x} = 2∣ x ∣ \cdot sin \frac{1}{x} \leq 2∣ x ∣

，也就是

- 2∣ x ∣ \leq 2 x sin \frac{1}{x} \leq 2∣ x ∣

。

x \to 0

時

- 2∣ x ∣

與

2∣ x ∣

都趨近

0

，由夾擠定理，極限是

0

。

sin \frac{1}{x}

在

x \to 0

時來回振盪，本身沒有極限，所以不能寫成「兩個極限相乘」；要用夾擠定理。

第 18 題答案

(a, b) = (- 2, - 8)

。

x \to 4

時分母

x - 4 \to 0

，極限卻存在，所以分子在

x = 4

也要是

0

，即分子有因式

x - 4

。設

x^{2} + a x + b = (x - 4) (x + p)

，則

x \to 4 lim \frac{( x - 4 ) ( x + p )}{x - 4} = 4 + p = 6

，

p = 2

。所以

x^{2} + a x + b = (x - 4) (x + 2) = x^{2} - 2 x - 8

，

a = - 2

、

b = - 8

。

第 19 題答案

- 3

。兩段各自是多項式，本來就連續，只要看接點

x = 2

。

f (2) = 2 \cdot 4 - 3 \cdot 2 - 5 = - 3

，右極限也是

- 3

；左極限是

x \to 2^{-} lim (a x + 3) = 2 a + 3

。在

x = 2

連續要左極限、右極限、函數值三者相等：

2 a + 3 = - 3

，

a = - 3

。

第 20 題答案

1

。

f \circ g (x) = f (g (x)) = (k x - 2) + 4 = k x + 2

；

g \circ f (x) = g (f (x)) = k (x + 4) - 2 = k x + 4 k - 2

。兩者對所有

x

都相等，比較常數項：

2 = 4 k - 2

，

k = 1

。

分母趨近 0 而極限存在，分子一定也趨近 0；分段函數的連續只要檢查接點的左極限、右極限與函數值。

06計算證明題：中間值定理

第 21 題

f (x)

是多項式函數，在所有實數上連續，特別是在閉區間

[100, 200]

上連續。代入兩個端點：

f (100) = 0^{2} \cdot (- 100)^{3} + 2 \cdot 100 = 200

，

f (200) = 10 0^{2} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 200 = 400

。因為

f (100) = 200 < 300 < 400 = f (200)

，由中間值定理，在

100

與

200

之間至少有一個實數

c

，使得

f (c) = 300

。得證。

選

100

與

200

是因為它們讓前面那一大項變成

0

，函數值只剩

2 x

，馬上算得出來。證明要寫出三件事：函數連續、兩個端點的函數值、

300

介於兩者之間。

要證某個函數值取得到，找兩個好算的點把目標值夾在中間，再引用中間值定理。

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本頁列出全部 21 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

苑裡高中 110 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選題第 1 題：極限的除法性質要分母的極限不為 0，選項 (4) 少了這個條件。多選題第 2 題：x 等於 3 那一點是空心點，極限是 4 但函數值沒有定義，選項 (2) 與 (5) 要分清楚。填充第 8 題 v（本頁第 16 題）：高斯符號要把左、右兩邊分開算，兩邊都是 5。填充第 9 題（本頁第 17 題）：正弦那一項本身沒有極限，要用夾擠定理。填充第 6 題（本頁第 10 題）：循環節只有 24，前面的 3 不循環。詳解逐題寫在本頁。

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御藍教育／段考卷／高三

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01 · 試題

原卷 21 題，照原卷順序

一、多選題（每題 5 分，錯一個選項扣 5 分，扣至該題 0 分為止，本大題共 10 分）

已知

n \to \infty lim a_{n}

、

n \to \infty lim b_{n}

均存在，下列敘述，何者正確？

(1) $n \to \infty lim a_{n} + n \to \infty lim b_{n} = n \to \infty lim (a_{n} + b_{n})$
(2) $n \to \infty lim a_{n} - n \to \infty lim b_{n} = n \to \infty lim (a_{n} - b_{n})$
(3) $n \to \infty lim a_{n} \times n \to \infty lim b_{n} = n \to \infty lim (a_{n} \times b_{n})$
(4) $n \to \infty lim a_{n} \div n \to \infty lim b_{n} = n \to \infty lim (a_{n} \div b_{n})$
(5) $n \to \infty lim (c \cdot a_{n}) = c \cdot n \to \infty lim a_{n}$

右圖為函數

y = f (x)

的圖形，下列敘述，哪些是正確的？

(1) $x \to 2 lim f (x) = f (2)$
(2) $x \to 3 lim f (x) = f (3)$
(3) $x \to 4 lim f (x) = f (4)$
(4) $x \to 5 lim f (x) = 1$
(5) $x \to 3 lim f (x) = 4$

載入中...

二、填充題（90 分）　答對 1～18 格的得分依序為 7、14、21、27、33、38、43、48、53、58、63、68、73、77、81、84、87、90 分

填充第 1 題（第 3～5 題）　求下列各式極限，若不存在，則填「不存在」

【填充 1-i】

n \to \infty lim (8 + \frac{2}{n}) =

＿(1)＿。

【填充 1-ii】

n \to \infty lim (\frac{3 n ^{2} - 1000 n + 400}{n ^{2} + 4 n - 1000}) =

＿(2)＿。

【填充 1-iii】

n \to \infty lim (\frac{2 n ^{2} + 7}{600 n + 300}) =

＿(3)＿。

【填充 2】已知

n \to \infty lim (\frac{a n ^{2} - 4 bn + 5}{3 n - 2}) = 8

，則數對

(a, b) =

＿(4)＿。

【填充 3】

n \to \infty lim (n^{2} + 2 n + 6 - n^{2} - 5 n + 4) =

＿(5)＿。

【填充 4】計算

k = 1 \sum 20 (2 k^{2} + 3 k + 1) =

＿(6)＿。

【填充 5】求

n \to \infty lim (\frac{5}{5} + \frac{13}{25} + \frac{35}{125} + \dots + \frac{2 ^{n} + 3 ^{n}}{5 ^{n}}) =

＿(7)＿。

【填充 6】將循環小數

0.3 \overline{24}

化為分數＿(8)＿。（須化為最簡分數）

【填充 7】已知無窮數列

⟨ a_{n} ⟩

中的每一項

a_{n}

都滿足

2 n^{2} - n + 4 < n^{2} a_{n} < 2 n^{2} + 3 n + 7

，則

n \to \infty lim a_{n} =

＿(9)＿。

填充第 8 題（第 12～16 題）　求下列各式極限，如果不存在就填「不存在」

【填充 8-i】

x \to 3 lim (3 x^{2} - 5 x + 2) =

＿(10)＿。

【填充 8-ii】

x \to 3 lim [x] =

＿(11)＿。

【填充 8-iii】

x \to 0 lim \frac{x ^{2} + 2∣ x ∣}{∣ x ∣} =

＿(12)＿。

【填充 8-iv】

x \to - 1 lim (\frac{3}{x + 1} + \frac{12}{x ^{2} - 2 x - 3}) =

＿(13)＿。

【填充 8-v】

x \to 5 lim ([x] + x - [x]) =

＿(14)＿。（其中符號

[]

為高斯符號）

【填充 9】已知

x \neq = 0

，不等式

- 1 \leq sin \frac{1}{x} \leq 1

，求

x \to 0 lim 2 x sin \frac{1}{x} =

＿(15)＿。

【填充 10】若

x \to 4 lim \frac{x ^{2} + a x + b}{x - 4} = 6

，則數對

(a, b) =

＿(16)＿。

【填充 11】函數

f (x) = {2 x^{2} - 3 x - 5, a x + 3, x \geq 2 x < 2

為連續函數，則

a =

＿(17)＿。

【填充 12】已知

f (x) = x + 4

，

g (x) = k x - 2

，若

f \circ g (x) = g \circ f (x)

，則

k =

＿(18)＿。

三、計算證明題（5 分）

已知

f (x) = (x - 100)^{2} (x - 200)^{3} + 2 x

，試證至少有一實數

c

，使得

f (c) = 300

。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)(2)(3)(5)

第 2 題(3)(5)

第 3 題

8

第 4 題

3

第 5 題不存在

第 6 題

(0, - 6)

第 7 題

\frac{7}{2}

第 8 題

6390

第 9 題

\frac{13}{6}

第 10 題

\frac{107}{330}

第 11 題

2

第 12 題

14

第 13 題不存在

第 14 題

2

第 15 題

- \frac{3}{4}

第 16 題

5

第 17 題

0

第 18 題

(- 2, - 8)

第 19 題

- 3

第 20 題

1

第 21 題證明見詳解（

f (100) = 200 < 300 < 400 = f (200)

，由中間值定理得證）

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選題：極限的運算性質、由圖形看極限

第 1 題答案 (1)(2)(3)(5)。設

n \to \infty lim a_{n} = α

、

n \to \infty lim b_{n} = β

。(1) 對：兩個收斂數列的和仍收斂，極限是

α + β

。(2) 對：差的極限是

α - β

。(3) 對：積的極限是

α β

。(4) 錯：商的性質還要

β \neq = 0

。取

a_{n} = 1

、

b_{n} = \frac{1}{n}

，兩個極限都存在（

1

與

0

），但左邊是

1 \div 0

沒有意義，右邊

a_{n} \div b_{n} = n

也發散，等式不成立。(5) 對：

c

是常數時，

n \to \infty lim (c \cdot a_{n}) = c α

。

四則運算裡只有除法多一個條件：分母數列的極限不可以是

0

。

第 2 題答案 (3)(5)。極限看的是

x

從左、右兩邊接近時圖形接近的高度，與那一點本身的函數值無關；實心點才是函數值，空心點表示圖形不含那一點。(1) 錯：

x

接近

2

時，左、右兩段都接近空心點的高度

2

，

x \to 2 lim f (x) = 2

；但

f (2)

是上方實心點的高度

3

，兩者不相等。(2) 錯：

x

接近

3

時兩邊都接近高度

4

，極限是

4

；但

x = 3

處只有空心點，

f (3)

沒有定義，等式不成立。(3) 對：

x

接近

4

時兩邊都接近高度

2

，而

(4, 2)

是實心點，

f (4) = 2

。(4) 錯：

x

從左邊接近

5

時圖形接近高度

3

，從右邊接近時接近高度

1

，左、右極限不相等，

x \to 5 lim f (x)

不存在。(5) 對：理由同 (2) 的前半，極限是

4

。

(2) 與 (5) 是同一個點：極限存在而且等於

4

，但函數在那一點沒有定義，所以「極限等於函數值」不成立。

極限的除法性質要分母的極限不為 0；看圖求極限只看兩邊接近的高度，不看那一點的實心點。

02填充第 1～3 題（第 (1)～(5) 格）：數列的極限

第 3 題答案

8

。

n \to \infty

時

\frac{2}{n} \to 0

，所以極限是

8 + 0 = 8

。

第 4 題答案

3

。分子、分母同除以

n^{2}

：

\frac{3 - \frac{1000}{n} + \frac{400}{n ^{2}}}{1 + \frac{4}{n} - \frac{1000}{n ^{2}}} \to \frac{3}{1} = 3

。

係數

1000

再大也只是常數，

\frac{1000}{n}

仍然趨近

0

；極限只由最高次項的係數決定。

第 5 題答案「不存在」。分子、分母同除以

n

：

\frac{2 n + \frac{7}{n}}{600 + \frac{300}{n}}

。分母趨近

600

，分子隨

n

無限增大，所以整個式子無限增大，不會接近任何一個實數，極限不存在。

第 6 題答案

(a, b) = (0, - 6)

。分子、分母同除以

n

：

\frac{an - 4 b + \frac{5}{n}}{3 - \frac{2}{n}}

。分母趨近

3

。若

a \neq = 0

，分子的

an

會無限增大（或無限減小），極限不存在，所以

a = 0

。此時極限是

\frac{- 4 b}{3} = 8

，得

b = - 6

。

第 7 題答案

\frac{7}{2}

。兩個根式各自都無限增大，不能分開取極限，先有理化：

n^{2} + 2 n + 6 - n^{2} - 5 n + 4 = \frac{( n ^{2} + 2 n + 6 ) - ( n ^{2} - 5 n + 4 )}{n ^{2} + 2 n + 6 + n ^{2} - 5 n + 4} = \frac{7 n + 2}{n ^{2} + 2 n + 6 + n ^{2} - 5 n + 4}

。分子、分母同除以

n

：

\frac{7 + \frac{2}{n}}{1 + \frac{2}{n} + \frac{6}{n ^{2}} + 1 - \frac{5}{n} + \frac{4}{n ^{2}}} \to \frac{7}{1 + 1} = \frac{7}{2}

。

分式型數列同除以分母的最高次項；根式相減先有理化，再同除以 n。

03填充第 4～7 題（第 (6)～(9) 格）：Σ、無窮等比級數、循環小數、夾擠定理

第 8 題答案

6390

。

k = 1 \sum 20 k^{2} = \frac{20 \cdot 21 \cdot 41}{6} = 2870

，

k = 1 \sum 20 k = \frac{20 \cdot 21}{2} = 210

，

k = 1 \sum 20 1 = 20

。所以原式

= 2 \cdot 2870 + 3 \cdot 210 + 20 = 5740 + 630 + 20 = 6390

。

第 9 題答案

\frac{13}{6}

。前三項

\frac{5}{5} = \frac{2 + 3}{5}

、

\frac{13}{25} = \frac{2 ^{2} + 3 ^{2}}{5 ^{2}}

、

\frac{35}{125} = \frac{2 ^{3} + 3 ^{3}}{5 ^{3}}

，與一般項

\frac{2 ^{k} + 3 ^{k}}{5 ^{k}} = (\frac{2}{5})^{k} + (\frac{3}{5})^{k}

相符。括號內的和拆成兩個等比級數的前

n

項和，兩個公比

\frac{2}{5}

、

\frac{3}{5}

的絕對值都小於

1

，

n \to \infty

時各自收斂：

\frac{\frac{2}{5}}{1 - \frac{2}{5}} + \frac{\frac{3}{5}}{1 - \frac{3}{5}} = \frac{2}{3} + \frac{3}{2} = \frac{13}{6}

。

第 10 題答案

\frac{107}{330}

。循環節是

24

，

3

不循環：

0.3 \overline{24} = 0.3 + 0.024 + 0.00024 + 0.0000024 + \dots

。後面是首項

0.024

、公比

0.01

的無窮等比級數，和為

\frac{0.024}{1 - 0.01} = \frac{24}{990} = \frac{4}{165}

。所以

0.3 \overline{24} = \frac{3}{10} + \frac{4}{165} = \frac{99}{330} + \frac{8}{330} = \frac{107}{330}

。

107

是質數，已是最簡分數。

也可以用

\frac{324 - 3}{990} = \frac{321}{990}

，再約去

3

。

第 11 題答案

2

。不等式各邊同除以

n^{2}

（

n^{2} > 0

，不等號方向不變）：

2 - \frac{1}{n} + \frac{4}{n ^{2}} < a_{n} < 2 + \frac{3}{n} + \frac{7}{n ^{2}}

。左、右兩邊的極限都是

2

，由夾擠定理

n \to \infty lim a_{n} = 2

。

和式的極限先把和整理成認得的級數再取極限；被兩個極限相同的數列夾住，就用夾擠定理。

04填充第 8 題（第 (10)～(14) 格）：五個函數的極限

第 12 題答案

14

。多項式函數的極限直接代入：

3 \cdot 3^{2} - 5 \cdot 3 + 2 = 27 - 15 + 2 = 14

。

第 13 題答案「不存在」。

[x]

表示不超過

x

的最大整數。

x

從左邊接近

3

（

2 < x < 3

）時

[x] = 2

，左極限是

2

；從右邊接近

3

（

3 < x < 4

）時

[x] = 3

，右極限是

3

。左、右極限不相等，極限不存在。

第 14 題答案

2

。

x \neq = 0

時

x^{2} = ∣ x ∣^{2}

，所以

\frac{x ^{2} + 2∣ x ∣}{∣ x ∣} = \frac{∣ x ∣ ^{2} + 2∣ x ∣}{∣ x ∣} = ∣ x ∣ + 2

。

x \to 0

時

∣ x ∣ \to 0

，極限是

2

。

也可以分左、右：

x > 0

時原式

= x + 2

，

x < 0

時原式

= - x + 2

，兩邊都趨近

2

。

第 15 題答案

- \frac{3}{4}

。兩項在

x \to - 1

時各自的極限都不存在，先通分。

x^{2} - 2 x - 3 = (x - 3) (x + 1)

，原式

= \frac{3 ( x - 3 ) + 12}{( x - 3 ) ( x + 1 )} = \frac{3 x + 3}{( x - 3 ) ( x + 1 )} = \frac{3 ( x + 1 )}{( x - 3 ) ( x + 1 )}

。

x \neq = - 1

時約去

x + 1

得

\frac{3}{x - 3}

，代入

x = - 1

：

\frac{3}{- 4} = - \frac{3}{4}

。

第 16 題答案

5

。分左、右兩邊看。

x

從左邊接近

5

（

4 < x < 5

）時

[x] = 4

，原式

= 4 + x - 4

，趨近

4 + 1 = 5

。

x

從右邊接近

5

（

5 < x < 6

）時

[x] = 5

，原式

= 5 + x - 5

，趨近

5 + 0 = 5

。左、右極限都是

5

，所以極限是

5

。

[x]

單獨在

x = 5

的極限不存在，但加上

x - [x]

之後，左邊少的

1

剛好被根號補回來，極限反而存在。

遇到高斯符號、絕對值，把左、右兩邊分開寫成沒有符號的式子，再比較左、右極限。

05填充第 9～12 題（第 (15)～(18) 格）：夾擠、由極限求係數、連續、合成函數

第 17 題答案

0

。

x \neq = 0

時

- 1 \leq sin \frac{1}{x} \leq 1

，所以

sin \frac{1}{x} \leq 1

，

2 x sin \frac{1}{x} = 2∣ x ∣ \cdot sin \frac{1}{x} \leq 2∣ x ∣

，也就是

- 2∣ x ∣ \leq 2 x sin \frac{1}{x} \leq 2∣ x ∣

。

x \to 0

時

- 2∣ x ∣

與

2∣ x ∣

都趨近

0

，由夾擠定理，極限是

0

。

sin \frac{1}{x}

在

x \to 0

時來回振盪，本身沒有極限，所以不能寫成「兩個極限相乘」；要用夾擠定理。

第 18 題答案

(a, b) = (- 2, - 8)

。

x \to 4

時分母

x - 4 \to 0

，極限卻存在，所以分子在

x = 4

也要是

0

，即分子有因式

x - 4

。設

x^{2} + a x + b = (x - 4) (x + p)

，則

x \to 4 lim \frac{( x - 4 ) ( x + p )}{x - 4} = 4 + p = 6

，

p = 2

。所以

x^{2} + a x + b = (x - 4) (x + 2) = x^{2} - 2 x - 8

，

a = - 2

、

b = - 8

。

第 19 題答案

- 3

。兩段各自是多項式，本來就連續，只要看接點

x = 2

。

f (2) = 2 \cdot 4 - 3 \cdot 2 - 5 = - 3

，右極限也是

- 3

；左極限是

x \to 2^{-} lim (a x + 3) = 2 a + 3

。在

x = 2

連續要左極限、右極限、函數值三者相等：

2 a + 3 = - 3

，

a = - 3

。

第 20 題答案

1

。

f \circ g (x) = f (g (x)) = (k x - 2) + 4 = k x + 2

；

g \circ f (x) = g (f (x)) = k (x + 4) - 2 = k x + 4 k - 2

。兩者對所有

x

都相等，比較常數項：

2 = 4 k - 2

，

k = 1

。

分母趨近 0 而極限存在，分子一定也趨近 0；分段函數的連續只要檢查接點的左極限、右極限與函數值。

06計算證明題：中間值定理

第 21 題

f (x)

是多項式函數，在所有實數上連續，特別是在閉區間

[100, 200]

上連續。代入兩個端點：

f (100) = 0^{2} \cdot (- 100)^{3} + 2 \cdot 100 = 200

，

f (200) = 10 0^{2} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 200 = 400

。因為

f (100) = 200 < 300 < 400 = f (200)

，由中間值定理，在

100

與

200

之間至少有一個實數

c

，使得

f (c) = 300

。得證。

選

100

與

200

是因為它們讓前面那一大項變成

0

，函數值只剩

2 x

，馬上算得出來。證明要寫出三件事：函數連續、兩個端點的函數值、

300

介於兩者之間。

要證某個函數值取得到，找兩個好算的點把目標值夾在中間，再引用中間值定理。

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高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

苑裡高中 110 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

苑裡高中 110 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？