段考詳解範圍：數與式（實數與循環小數、根式、乘法公式、絕對值、算幾不等式）、指數、科學記號與常用對數

苑裡高中 109 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 苑裡高中 109 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 24 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 苑裡高中 109 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題把四個式子都看成 b 與 a 之間的分點，比較 a 的係數就能判斷；第 6 題要由 2.10 的最後一位推出四捨五入前的範圍；第 8 題的加減法與乘除法有效位數規則不同，選項 (A) 有兩種看法；第 18 題算出的 a 是負的分數，容易漏掉；第 23 題出入口不用圍牆，四邊總長是 92 公尺；第 24 題要先統一單位，再從省最多的檔案挑起。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 24 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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個單元，勾錯題號就知道錯在哪

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元，不用註冊

01 · 試題

原卷 24 題，照原卷順序

單選題 5 題（每題 4 分，共 20 分）；多選題 3 題（每題 5 分，答錯一個選項扣 2 分，扣至該題 0 分為止，共 15 分）；填充題 16 題共 24 格、65 分，依答對格數給分：前 2 格每格 4 分、第 3～15 格每格 3 分、第 16～24 格每格 2 分。本頁題號全卷連續：第 6～8 題是多選 1～3，第 9～24 題是填充 1～16；題幹裡的「格(9)」是答案卷的格號，不是小題號。答案已與學校公布的答案逐題核對，只有第 8 題的選項 (A) 看法不同，答案照學校公布的寫，說明在詳解。

一、單選題：（每題 4 分，共 20 分）

下列哪一個數值最小？

(A) $(0.2)^{3}$
(B) $(0.2)^{2}$
(C) $(0.2)^{1}$
(D) $(0.2)^{5}$
(E) $(0.2)^{π}$

計算

(5 - 15)^{- 2} \cdot (5 + 15)^{- 2}

等於多少？

(A) $\frac{1}{100}$
(B) $\frac{1}{25}$
(C) $5$
(D) $25$
(E) $100$

設

a

，

b

為實數，且

a > b

，試問下列何數最大？

(A) $\frac{a + 2 b}{3}$
(B) $\frac{2 a + 3 b}{5}$
(C) $\frac{3 a + 4 b}{7}$
(D) $\frac{4 a + 5 b}{9}$

在數線上滿足

2 \leq ∣ x - 1∣ < 5

的整數

x

有多少個？

(A) $3$
(B) $4$
(C) $5$
(D) $6$
(E) $7$

x^{\frac{5}{3}} = 32

，

x =

？

(A) $2$
(B) $4$
(C) $8$
(D) $16$
(E) $64$

二、多選題：（每題 5 分，共 15 分，答錯一個選項扣 2 分，扣至該題 0 分為止）

已知某個熱門的 MV 點閱率的約達

2.10 \times 1 0^{8}

人次，試選出正確的選項？

(A) 此數為 $9$ 位數
(B) 此數的有效位數為 $2$ 位
(C) 這個數字有 $8$ 個 $0$
(D) 點閱率人次最少 $205000000$
(E) 點閱率人次最多 $210499999$

設

a

，

b

為實數，請問下列哪些敘述是正確的？

(A) 若 $a + b 3 = 6 + 53$ ，則 $a = 6$ ， $b = 5$
(B) 若 $a$ 為有理數而 $b$ 為無理數，則 $ab$ 為無理數
(C) 若 $2 a + 3 b$ ， $5 a + 6 b$ 都是有理數，則 $7 a + 9 b$ 為有理數
(D) 若 $a$ 為有理數，則 $a$ 為有理數
(E) 若 $a < b$ ，則 $\frac{2 a + b}{3} < \frac{a + 3 b}{4}$

已知

a = 1.25 \times 1 0^{3}

、

b = 3.1 \times 1 0^{2}

。下列哪些運算後的值是正確的科學記號表示法？（考慮有效位數）

(A) $a + b = 1.56 \times 1 0^{3}$
(B) $a - b = 9.4 \times 1 0^{2}$
(C) $ab = 3.88 \times 1 0^{5}$
(D) $\frac{a}{b} = 4.0$
(E) $\frac{b}{a} = 2.48 \times 1 0^{- 1}$

三、填充題：（共 24 格，依答對格數給分，共 65 分）

(1) 將

\frac{3}{7}

化成小數為＿格(1)＿。　(2) 求

\frac{3}{7}

在小數點後第

100

位之數字為＿格(2)＿。

在數線上，

P (4)

、

Q (20)

，點

A (x)

在線段

P Q

上，且

\overline{P A} : \overline{A Q} = 3 : 5

，則

A

點的坐標為＿格(3)＿。

試求

0. \overline{3} + 0. \overline{7} =

＿格(4)＿。（以最簡分數表示）

設

x

為數線上的數，若

∣ x - 7∣ = ∣ x + 5∣

，則

x

的值為＿格(5)＿。

求

x

的範圍

∣ x - 1∣ > 3

為＿格(6)＿。

已知

x - \frac{1}{x} = 5

，試求下列各式的值：　(1)

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} =

＿格(7)＿。　(2)

x^{3} - \frac{1}{x ^{3}} =

＿格(8)＿。

化簡下列各式： (1)

27 - 48 + \frac{4}{3} =

＿格(9)＿。 (2)

\frac{2}{23 - 5} - \frac{2}{23 + 5} =

＿格(10)＿。 (3)

10 - 224 =

＿格(11)＿。 (4)

(625)^{3} =

＿格(12)＿。 (5)

572 \times 5108 =

＿格(13)＿。 (6)

5^{\frac{1 + 3}{2}} \times 5^{\frac{1 - 3}{2}} =

＿格(14)＿。 (7)

1 0^{l o g 34} =

＿格(15)＿。

設

x

、

y

都是有理數，且

(3 x + 2 y) + (2 y - x) 2 = 12 + 42

，試求

(x, y) =

＿格(16)＿。

已知

5^{k} = 64

，求

12 5^{- k} =

＿格(17)＿。（以

2^{a}

的形式來表示）（原卷的負號沒有排成上標，只有

k

是上標；依題意為

125

的

- k

次方）

a

，

b

為實數，已知

∣ a x + 1∣ > b

之解為

x > 8

或

x < - 2

，則

a + b =

＿格(18)＿。

放射性物質的質量隨時間逐漸衰減，且無論從何時算起，質量衰減為原來一半所經過的時間皆相同，稱為該物質的半衰期。設某種放射性物質的半衰期是半年，且目前其質量是

512

克，試問經過

3

年後，該放射性物質剩下的質量是＿格(19)＿克。

一個質子的質量約為

1.673 \times 1 0^{- 27}

kg，一個電子的質量約為

9.109 \times 1 0^{- 31}

kg，試問一個質子的質量約為一個電子質量的＿格(20)＿倍。（請以科學記號表示，並取

2

位有效數字）

pH 值是衡量溶液酸鹼程度的標準，它的定義如下：pH 值

= - lo g [H^{+}]

，其中

[H^{+}]

為氫離子的濃度（莫耳／升）。若有一種洗面乳 A 標示其 pH

= 5.2

，洗面乳 B 標示其 pH 值為

5.5

，洗面乳 A 中氫離子濃度約為洗面乳 B 中氫離子濃度的＿格(21)＿倍。（以

1 0^{a}

的形式來表示）

新冠狀肺炎在 12 月初爆發第一起病例以來，截至目前為止，全球已超過 3 千萬確診病例，死亡人數也超過一百萬人，傳染率高，是 21 世紀的大流行病。若某地區原有感染人數為

N

，經過

x

天後感染人數變成

N \cdot a^{x}

，已知

2

天後，

5

天後感染人數依序為

8 \times 1 0^{6}

人，

2.7 \times 1 0^{7}

人，則

a =

＿格(22)＿。

某建設公司因為經費限制，只有長

90

公尺的彩色圍牆經費來圍成一長方形的幼園區，如附圖所示，其中

\overline{B C}

邊的中央留著寬

2

公尺的大門出入口。設

\overline{A B} = x

公尺，

\overline{A D} = y

公尺，將幼兒園的面積

A

用

x

，

y

表示，然後求出面積

A

的最大值是＿格(23)＿平方公尺。

載入中...

小南想拿一個容量為

1.7

GB 隨身硬碟，將家中電腦的班級資料檔案帶去學校。資料夾內容統計如附表所示：

名稱 班級相片（單張） 英文歌唱影片 1 英文歌唱影片 2 英文歌唱影片 3 同樂會 類型 JPG Mp4 Mp4 Mp4 AVI 大小 1536 KB 800 MB 600 MB 500 MB 118 MB 數量 201111

Byte 為電腦記憶單位，簡記為 B，已知

1 KB = 1024 B

，

1 MB = 1024 KB

，

1 GB = 1024 MB

。小南決定使用壓縮軟體將檔案的容量縮小，該壓縮軟體可將檔案壓縮為原來的

80%

，每個檔最多壓縮一次，以免解析度太差。試問最少壓縮＿格(24)＿個檔案即能夠將所有檔案存入隨身硬碟中。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(E)

第 2 題(A)

第 3 題(D)

第 4 題(D)

第 5 題(C)

第 6 題(A)(E)

第 7 題(C)(D)(E)

第 8 題(B)(D)（照學校公布的答案；(A) 若照加減法算到共同最末位的規則也成立，見詳解）

第 9 題格(1)

0. \overline{428571}

　格(2)

5

第 10 題

10

第 11 題

\frac{10}{9}

第 12 題

1

第 13 題

x > 4

或

x < - 2

第 14 題格(7)

27

　格(8)

140

第 15 題格(9)

- \frac{3}{3}

　格(10)

- 10

　格(11)

6 - 2

　格(12)

5

　格(13)

6

　格(14)

5

　格(15)

34

第 16 題

(2, 3)

第 17 題

2^{- 18}

第 18 題

\frac{4}{3}

第 19 題

8

第 20 題

1.8 \times 1 0^{3}

第 21 題

1 0^{0.3}

第 22 題

\frac{3}{2}

第 23 題

529

第 24 題

3

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1～5 題）：指數的大小、負指數、分點與絕對值

第 1 題底數

0.2

介於

0

和

1

之間，每多乘一次

0.2

數值就變小，所以指數愈大、數值愈小。五個指數的大小是

1 < 2 < 5 < 3 < π

（

5 \approx 2.236

，

π \approx 3.14

），指數最大的是

π

，所以

(0.2)^{π}

最小，選 (E)。

底數大於

1

時才是「指數愈大、數值愈大」；底數在

0

和

1

之間時方向相反。

第 2 題兩個因式的指數相同，先把底數相乘：

(5 - 15)^{- 2} \cdot (5 + 15)^{- 2} = [(5 - 15) (5 + 15)]^{- 2}

括號內用平方差公式得

25 - 15 = 10

，所以原式

= 1 0^{- 2} = \frac{1}{100}

，選 (A)。

用的是指數律

a^{r} b^{r} = (ab)^{r}

，指數是負整數時一樣成立。

第 3 題把每個式子寫成「

b

加上

a - b

的幾分之幾」：

\frac{a + 2 b}{3} = b + \frac{1}{3} (a - b), \frac{2 a + 3 b}{5} = b + \frac{2}{5} (a - b)

\frac{3 a + 4 b}{7} = b + \frac{3}{7} (a - b), \frac{4 a + 5 b}{9} = b + \frac{4}{9} (a - b)

因為

a - b > 0

，只要比較

\frac{1}{3}

、

\frac{2}{5}

、

\frac{3}{7}

、

\frac{4}{9}

的大小。化成小數約為

0.333

、

0.4

、

0.429

、

0.444

，最大的是

\frac{4}{9}

，選 (D)。

在數線上，這四個數都是

b

與

a

之間的分點，

a

的係數愈大，點愈靠近

a

；而

a

在右邊，所以愈靠近

a

的數愈大。

第 4 題

x

是整數時

∣ x - 1∣

也是整數，

2 \leq ∣ x - 1∣ < 5

表示

∣ x - 1∣ = 2

、

3

或

4

，即

x - 1 = \pm 2

、

\pm 3

、

\pm 4

。對應

x = 3, - 1, 4, - 2, 5, - 3

，共

6

個，選 (D)。

左邊是「大於或等於」，

∣ x - 1∣ = 2

要算；右邊是「小於」，

∣ x - 1∣ = 5

（

x = 6

與

x = - 4

）不算。

第 5 題

32 = 2^{5}

。把

x^{\frac{5}{3}} = 2^{5}

兩邊同取

\frac{3}{5}

次方：

x = (2^{5})^{\frac{3}{5}} = 2^{3} = 8

，選 (C)。

驗算：

8^{\frac{5}{3}} = (2^{3})^{\frac{5}{3}} = 2^{5} = 32

。

幾個底數不同但指數相同的數相乘，先把底數乘起來再處理指數，常常會出現平方差。

02多選題（第 6～8 題）：科學記號、有效位數與有理數的判斷

第 6 題

2.10 \times 1 0^{8} = 210000000

。 (A) 對。

210000000

是

9

位數（

1 0^{8}

是

9

位數中最小的）。 (B) 錯。係數

2.10

的

2

、

1

、

0

都是有效數字，有效位數是

3

位。 (C) 錯。

210000000

只有

7

個

0

。 (D) 錯。係數寫到小數點後第二位，表示是四捨五入到這一位的結果，實際的係數在

2.095

以上、未滿

2.105

。所以人次最少是

2.095 \times 1 0^{8} = 209500000

；若是

205000000

，會寫成

2.05 \times 1 0^{8}

。 (E) 對。人次未滿

2.105 \times 1 0^{8} = 210500000

，而人次是整數，最多是

210499999

。答案 (A)(E)。

2.10

和

2.1

的數值相同，但有效位數不同：多寫的那個

0

表示這一位也是量出來的。

第 7 題(A) 錯。題目只說

a

、

b

是實數，沒有說是有理數。例如

a = 6 + 53

、

b = 0

也滿足

a + b 3 = 6 + 53

。 (B) 錯。

a = 0

時

ab = 0

是有理數。 (C) 對。

7 a + 9 b = (2 a + 3 b) + (5 a + 6 b)

，兩個有理數相加仍是有理數。 (D) 對。

a = (a)^{2}

，有理數的平方仍是有理數。 (E) 對。兩邊相減：

\frac{a + 3 b}{4} - \frac{2 a + b}{3} = \frac{3 ( a + 3 b ) - 4 ( 2 a + b )}{12} = \frac{5 ( b - a )}{12}

，

a < b

時這個差是正的。答案 (C)(D)(E)。

(A) 要加上「

a

、

b

為有理數」才成立；(B) 要加上「

a \neq = 0

」才成立。

第 8 題

a = 1250

有

3

位有效數字，

b = 310

有

2

位有效數字；兩個數的最末一位有效數字都在十位。 (A) 學校公布的答案沒有選這一項。若所有運算都取有效位數較少的

2

位，

a + b = 1560

要寫成

1.6 \times 1 0^{3}

，(A) 就不對，學校的答案應是照這個做法。另一種常見的規則是：加減法看的是位置，算到兩個數共同的最末位；這裡兩數都準確到十位，

1560

也準確到十位，寫成

1.56 \times 1 0^{3}

是可以的，照這個規則 (A) 也成立。 (B) 對。

a - b = 1250 - 310 = 940 = 9.4 \times 1 0^{2}

。 (C) 錯。

ab = 387500

，乘除的結果取有效位數較少的

2

位，應寫成

3.9 \times 1 0^{5}

。 (D) 對。

\frac{a}{b} = \frac{1250}{310} = 4.03 \dots

，取

2

位有效數字是

4.0

。 (E) 錯。

\frac{b}{a} = \frac{310}{1250} = 0.248

，取

2

位有效數字應寫成

2.5 \times 1 0^{- 1}

。本頁答案照學校公布的 (B)(D)。

(B) 用兩種規則都得到

9.4 \times 1 0^{2}

，所以沒有爭議；有爭議的只有 (A)。考試時以老師上課講的規則為準。

判斷「若…則…」的敘述，先看題目對文字的限制（實數還是有理數、可不可以是

0

），再試最特殊的值當反例。

03填充第 9～13 題（原卷填充 1～5）：循環小數、分點與絕對值

第 9 題格(1)：直接除，

3 \div 7 = 0.428571428571 \dots

，餘數依序是

2

、

6

、

4

、

5

、

1

、

3

，第六次的餘數回到

3

，之後重複，所以

\frac{3}{7} = 0. \overline{428571}

。格(2)：循環節

428571

有

6

位，

100 = 6 \times 16 + 4

，所以第

100

位是循環節的第

4

位數字

5

。

餘數若是

0

，就整除，取循環節的最後一位；這一題餘

4

，取第

4

位。

第 10 題

\overline{P Q} = 20 - 4 = 16

。

A

在線段

P Q

上且

\overline{P A} : \overline{A Q} = 3 : 5

，所以

\overline{P A} = 16 \times \frac{3}{8} = 6

，

A

的坐標是

4 + 6 = 10

。

驗算：

\overline{P A} = 6

，

\overline{A Q} = 10

，

6 : 10 = 3 : 5

。

第 11 題

0. \overline{3} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}

，

0. \overline{7} = \frac{7}{9}

。相加：

\frac{3}{9} + \frac{7}{9} = \frac{10}{9}

，

10

與

9

互質，已是最簡分數。

直接把小數相加會得到

1.111 \dots = 1. \overline{1}

，也是

\frac{10}{9}

。

第 12 題

∣ x - 7∣

是

x

到

7

的距離，

∣ x + 5∣

是

x

到

- 5

的距離。到兩點距離相等的點是中點：

x = \frac{7 + ( - 5 )}{2} = 1

。

驗算：

∣1 - 7∣ = 6

，

∣1 + 5∣ = 6

。

第 13 題

∣ x - 1∣ > 3

表示

x

到

1

的距離大於

3

，即

x - 1 > 3

或

x - 1 < - 3

，所以

x > 4

或

x < - 2

。

「大於」的絕對值不等式解在兩側，中間用「或」；不要寫成

- 2 > x > 4

。

∣ x - c ∣

就是數線上

x

到

c

的距離，絕對值的等式與不等式都可以直接在數線上看。

04填充第 14～16 題（原卷填充 6～8）：乘法公式、根式與指數的化簡、係數比較

第 14 題格(7)：把

x - \frac{1}{x} = 5

兩邊平方：

x^{2} - 2 + \frac{1}{x ^{2}} = 25

，所以

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = 27

。格(8)：用立方差公式：

x^{3} - \frac{1}{x ^{3}} = (x - \frac{1}{x}) (x^{2} + 1 + \frac{1}{x ^{2}}) = 5 \times (27 + 1) = 140

x

與

\frac{1}{x}

相乘是

1

，所以平方後的中間項是

- 2

，立方差公式裡的中間項是

+ 1

。

第 15 題格(9)：各項化成

3

的倍數：

27 = 33

，

48 = 43

，

\frac{4}{3} = \frac{2}{3} = \frac{2 3}{3}

。原式

= 33 - 43 + \frac{2 3}{3} = - \frac{3}{3}

。格(10)：通分，公分母是

(23 - 5) (23 + 5) = 23 - 25 = - 2

：

\frac{2 ( 23 + 5 ) - 2 ( 23 - 5 )}{- 2} = \frac{20}{- 2} = - 10

格(11)：找兩個正數，和為

10

、積為

24

：

6

和

4

。所以

10 - 224 = (6 - 4)^{2}

，開根號得

6 - 2

（

6 > 2

，是正數）。格(12)：

625 = 2 5^{\frac{1}{6}}

，三次方後是

2 5^{\frac{1}{2}} = 5

。格(13)：同次方根相乘，根號內相乘：

72 \times 108 = (2^{3} \times 3^{2}) \times (2^{2} \times 3^{3}) = 2^{5} \times 3^{5} = 6^{5}

，所以原式

= 5 6^{5} = 6

。格(14)：同底相乘，指數相加：

\frac{1 + 3}{2} + \frac{1 - 3}{2} = 1

，原式

= 5^{1} = 5

。格(15)：

lo g 34

的意思就是「

10

的幾次方會等於

34

」的那個指數，所以

1 0^{l o g 34} = 34

。

格(10) 的分母

23 - 5

是負數（

23 < 5

），所以第一項是負的，答案是負數並不奇怪。格(11) 要寫大的減小的。

第 16 題

x

、

y

是有理數，所以

3 x + 2 y

與

2 y - x

都是有理數。兩邊比較有理數部分與

2

的係數：

3 x + 2 y = 12

，

2 y - x = 4

。兩式相減得

4 x = 8

，

x = 2

，代回得

y = 3

，所以

(x, y) = (2, 3)

。

可以比較係數，是因為

2

是無理數：若

p + q 2 = 12 + 42

（

p

、

q

為有理數）而

q \neq = 4

，則

2 = \frac{12 - p}{q - 4}

會是有理數，矛盾。

根式與指數的化簡，先把數拆成質因數的次方、把根號改寫成分數指數，再用指數律合併。

05填充第 17～20 題（原卷填充 9～12）：指數律、絕對值不等式、半衰期與科學記號

第 17 題

125 = 5^{3}

，所以

12 5^{- k} = (5^{3})^{- k} = (5^{k})^{- 3} = 6 4^{- 3}

。又

64 = 2^{6}

，所以

6 4^{- 3} = (2^{6})^{- 3} = 2^{- 18}

。

不需要求出

k

；把

12 5^{- k}

改寫成

5^{k}

的次方，再代

5^{k} = 64

。

第 18 題解是

x < - 2

或

x > 8

：

- 2

和

8

的中點是

3

，到中點的距離是

5

，所以解可以寫成

∣ x - 3∣ > 5

。把

∣ a x + 1∣ > b

改寫成同樣的形式：

∣ a x + 1∣ = ∣ a ∣ \cdot x + \frac{1}{a}

，所以不等式是

x + \frac{1}{a} > \frac{b}{∣ a ∣}

。對照得

- \frac{1}{a} = 3

，

a = - \frac{1}{3}

；

\frac{b}{∣ a ∣} = 5

，

b = \frac{5}{3}

。所以

a + b = - \frac{1}{3} + \frac{5}{3} = \frac{4}{3}

。

驗算：

- \frac{1}{3} x + 1 > \frac{5}{3}

兩邊同乘

3

得

∣ x - 3∣ > 5

，即

x > 8

或

x < - 2

。

a

是負的，容易漏看。

第 19 題半衰期是半年，

3

年是

6

個半衰期，質量變成原來的

(\frac{1}{2})^{6} = \frac{1}{64}

。

512 \times \frac{1}{64} = 8

克。

512 = 2^{9}

，除以

2^{6}

得

2^{3} = 8

。

第 20 題相除時係數除係數、

10

的次方相減：

\frac{1.673 \times 1 0 ^{- 27}}{9.109 \times 1 0 ^{- 31}} = \frac{1.673}{9.109} \times 1 0^{- 27 - (- 31)} \approx 0.1837 \times 1 0^{4} = 1.837 \times 1 0^{3}

取

2

位有效數字，得

1.8 \times 1 0^{3}

。

0.1837 \times 1 0^{4}

還不是科學記號，係數要調整到

1

以上、未滿

10

。

由解回推絕對值不等式：先找兩個端點的中點和半徑，寫成

∣ x - 中點 ∣ > 半徑

，再和題目給的形式對照。

06填充第 21～24 題（原卷填充 13～16）：pH 值、指數成長、算幾不等式與單位換算

第 21 題pH

= - lo g [H^{+}]

，所以

lo g [H^{+}] = - pH

，也就是

[H^{+}] = 1 0^{- pH}

。A 的氫離子濃度是

1 0^{- 5.2}

，B 的是

1 0^{- 5.5}

，倍數是

\frac{1 0 ^{- 5.2}}{1 0 ^{- 5.5}} = 1 0^{- 5.2 + 5.5} = 1 0^{0.3}

。

pH 值愈小，氫離子濃度愈大；

1 0^{0.3}

大約是

2

倍。

第 22 題

2

天後：

N \cdot a^{2} = 8 \times 1 0^{6}

；

5

天後：

N \cdot a^{5} = 2.7 \times 1 0^{7}

。兩式相除消去

N

：

a^{3} = \frac{2.7 \times 1 0 ^{7}}{8 \times 1 0 ^{6}} = \frac{27}{8}

所以

a = \frac{3}{2}

。

\frac{27}{8} = (\frac{3}{2})^{3}

。順帶可得

N = 8 \times 1 0^{6} \div \frac{9}{4}

，但題目沒有問。

第 23 題圍牆圍住長方形的四邊，但

\overline{B C}

邊少掉

2

公尺的出入口，所以

2 x + 2 y - 2 = 90

，即

x + y = 46

。面積

A = x y

。

x

、

y

都是正數，由算幾不等式

\frac{x + y}{2} \geq x y

，得

x y \leq 23

，所以

A = x y \leq 2 3^{2} = 529

。等號在

x = y = 23

時成立，面積的最大值是

529

平方公尺。

出入口不用圍牆，所以四邊的總長是

92

公尺而不是

90

公尺；直接用

90

會算成

506.25

。

第 24 題先全部換成 MB。一張相片

1536 KB = \frac{1536}{1024} MB = 1.5 MB

，

20

張共

30

MB。全部檔案共

30 + 800 + 600 + 500 + 118 = 2048

MB。隨身硬碟的容量是

1.7 \times 1024 = 1740.8

MB，所以至少要省下

2048 - 1740.8 = 307.2

MB。壓縮一個檔可以省下它的

20%

：三部影片分別省

160

、

120

、

100

MB，同樂會省

23.6

MB，相片每張省

0.3

MB。要壓縮的檔案個數最少，就從省最多的開始挑：壓縮兩個檔最多省

160 + 120 = 280

MB，不到

307.2

MB；壓縮三個檔可省

160 + 120 + 100 = 380

MB，足夠。所以最少壓縮

3

個檔案。

全部檔案剛好是

2048 MB = 2

GB。

1

GB 是

1024

MB，若把

1.7

GB 當成

1700

MB，雖然這一題的答案相同，但換算是錯的。

兩個正數的和固定時，乘積在兩數相等時最大；列式時先把「實際圍了多長」算清楚。

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