段考詳解範圍：數與式（實數與循環小數、根式、乘法公式、絕對值、算幾不等式）、指數

苑裡高中 110 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 22 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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個單元，勾錯題號就知道錯在哪

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元，不用註冊

01 · 試題

原卷 22 題，照原卷順序

多選題 4 題（每題 5 分，錯一個選項扣 2 分，扣至 0 分為止，共 20 分）；單選與填充題 16 題（單選 5 題、填充 11 題，一題一格，共 16 格、72 分），依答對格數對照答案卷的計分表給分（答對 1～16 格所得分數依序為 8、16、23、30、35、39、43、47、51、55、58、61、64、67、70、72 分）；計算證明題 2 題（第 1 題兩小題各 3 分、第 2 題 2 分，共 8 分）。原卷三個大題各自從 1 編號，本頁全卷連續編號：第 1～4 題是多選 1～4，第 5～20 題是單選與填充 1～16，第 21～22 題是計算證明 1～2。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、多選題（每題 5 分，錯一個選項扣 2 分，扣至 0 分為止，共 20 分。）

若

x = 5 + 1

，試問下列哪些選項的值為有理數？（(D)、(E) 的原檔算式圖缺了符號，本頁依學校公布的答案與上下文補回；(E) 的三個正負號無法確定，但不影響答案，說明見詳解）

(A) $\frac{1}{x}$
(B) $x^{2} - 1$
(C) $x^{2} - 2 x - 2$
(D) $x^{3} - 2 x^{2} - 4 x$
(E) $(x - 1) (x - 5) (x + 5)$

設

p

、

q

為實數，則下列何者正確？

(A) 若 $p + q$ 、 $pq$ 為無理數，則 $p$ 、 $q$ 均為無理數
(B) 若 $p < q$ ，則 $p$ 、 $q$ 之間至少有一實數 $r$ 使得 $p < r < q$
(C) 若 $p + q 3 = 0$ ，則 $p = 0$ ， $q = 0$
(D) 若 $p$ 、 $q$ 為無理數，則 $p + q$ 、 $p - q$ 至少有一個無理數
(E) 若 $p$ 是質數，則 $p$ 一定是無理數

設

a

，

b

為實數，且

∣ a ∣ > ∣ b ∣

，則下列哪些正確？

(A) $∣ b ∣ > 0$
(B) $∣ a ∣ + b > 0$
(C) $∣ b ∣ + a > 0$
(D) $a (a + b) > 0$
(E) $b (a + b) \geq 0$

下列哪些是

x^{6} - 2^{6}

的因式？

(A) $x - 2$
(B) $x^{2} - 4$
(C) $x^{2} - 4 x + 4$
(D) $x^{2} + 2 x + 4$
(E) $x^{2} + 4 x + 4$

二、單選與填充題（依答對格數給分，共 72 分。）

6 + 10

，

5 + 11

，

7 + 3

，

2 + 12

四數中哪一個數最大？

(A) $6 + 10$
(B) $5 + 11$
(C) $7 + 3$
(D) $2 + 12$
(E) 無法比較

化簡

(\frac{16}{9})^{- 0.5} \times (0.125)^{\frac{2}{3}} \times (\frac{25}{4})^{- 1.5} =

？

(A) $\frac{3}{250}$
(B) $\frac{2}{375}$
(C) $\frac{375}{64}$
(D) $\frac{3}{125}$
(E) $\frac{36}{25}$

設

a = 28 - 300

，則

a

在哪兩個連續整數之間？

(A) $0$ 與 $1$
(B) $1$ 與 $2$
(C) $2$ 與 $3$
(D) $3$ 與 $4$
(E) $4$ 與 $5$

將分數

\frac{1234}{4995}

化成小數，則小數點後第

99

位數字為何？

(A) $0$
(B) $2$
(C) $4$
(D) $7$
(E) $8$

以科學記號表示

(3 \times 1 0^{- 3})^{3} =

？（原檔 (C)、(E) 兩個選項是圖片，指數前的符號沒有顯示出來，依題意為負號。）

(A) $2.7 \times 1 0^{- 6}$
(B) $2.7 \times 1 0^{- 7}$
(C) $9 \times 1 0^{- 9}$
(D) $9 \times 1 0^{- 8}$
(E) $2.7 \times 1 0^{- 8}$

計算

2.1 \overline{6} \times 0. \overline{54} =

＿＿＿＿。

解方程式

3^{2 x + 1} = \frac{1}{27}

，求得解

x =

＿＿＿＿。

滿足不等式

∣3 x + 1∣ < 5

的整數

x

值共有＿＿＿＿個。

設若

∣ a x + 2∣ > b

之解為

x < - 3

或

x > 5

，試求數對

(a, b) =

＿＿＿＿。

試求

\frac{( 3 ) ^{3} \times 27}{9} \times [8 \times (2)^{- 5}]^{2} =

＿＿＿＿。

24 + 3 (12 - 18) = a + b 6

，其中

a

，

b

為有理數，則數對

(a, b) =

＿＿＿＿。

設

x + x^{- 1} = 31

，試求

[(x^{2} + x^{- 2})^{2} - 4 (x + x^{- 1})^{2} + 12]^{\frac{1}{6}} =

＿＿＿＿。

設

A (5)

，

B (13)

為數線上兩點，已知

P

點在直線

A B

上，且

\overline{A P} : \overline{B P} = 5 : 3

，則

P

點坐標為＿＿＿＿。（有 2 解）

設

9^{x} - 16 \times 3^{x} + 27 = 0

之兩根為

α

、

β

，則

α + β =

＿＿＿＿。

德國老農 Sebastian 想利用

21

公尺長的鐵絲網在屋後的空地上圍出一塊矩形的菜圃，將菜圃靠在屋後，則只須圍三邊，若 Sebastian 想圍成面積最大的菜圃，則最大面積為

M

平方公尺，長邊為

k

公尺，試求數對

(M, k) =

＿＿＿＿。

在寒冷的冬天裡，甲想煮山藥排骨湯來暖身，參考了以下食譜：　食材：排骨、山藥、蔥、薑、鹽。　作法：(1) 將排骨用熱水燙煮一下撈起，再用清水洗淨。(2) 山藥洗淨，去皮切塊。(3) 鍋裡加滿水，放入排骨，將水煮開。(4) 放入薑片與蔥，轉小火。(5) 煮

20

分鐘後，放入山藥，開中火沸騰後再轉小火。(6) 煮

30

分鐘後加入適量的鹽，再煮

3

～

4

分鐘即可。　於是甲先從冰箱取出排骨，放在

24

℃ 的室溫下解凍，設放置

t

小時後排骨的溫度為

24 - 2^{5 - t}

（℃）。若想解凍至排骨的溫度為

20

℃，則應該放置在

24

℃ 的室溫下解凍＿＿＿＿小時後再開始料理。

三、計算證明題（依答對格數給分，共 8 分。）

在數線上畫出下列的範圍：（每小題各 3 分）　(1)

(5, \infty)

。　(2)

x < 1

或

x \geq 6

。　（原檔 (1) 的區間是圖片，括號與逗號沒有顯示出來，依學校答案卷的作圖為開區間。）

設

a

，

b

，

c

是三角形的三邊長且

2 7^{a} + 2 7^{b} + 2 7^{c} = 3^{a + b + c + 1}

，證明此三角形是正三角形。（2 分）　［附註因式分解公式：

a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 ab c = (a + b + c) (a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - b c - c a)

］

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(C)(D)

第 2 題(B)(D)(E)

第 3 題(B)(D)

第 4 題(A)(B)(D)

第 5 題(C)

第 6 題(A)

第 7 題(D)

第 8 題(D)

第 9 題(E)

第 10 題

\frac{13}{11}

第 11 題

- 2

第 12 題

3

第 13 題

(- 2, 8)

第 14 題

6

第 15 題

(6, - 1)

第 16 題

3

第 17 題

10

或

25

第 18 題

3

第 19 題

(\frac{441}{8}, \frac{21}{2})

第 20 題

3

第 21 題(1) 在

5

畫空心圓，往右畫到箭頭　(2) 在

1

畫空心圓往左畫到箭頭，在

6

畫實心圓往右畫到箭頭（圖見詳解）

第 22 題證明見詳解（令

A = 3^{a}

、

B = 3^{b}

、

C = 3^{c}

，推得

A = B = C

，所以

a = b = c

）

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選第 1～2 題：有理數與無理數的判斷

第 1 題

x = 5 + 1

，所以

x - 1 = 5

，兩邊平方得

x^{2} - 2 x + 1 = 5

，即

x^{2} - 2 x - 4 = 0

。後面的選項都用這個關係式。(A)

\frac{1}{x} = \frac{1}{5 + 1} = \frac{5 - 1}{4}

，是無理數。(B)

x^{2} - 1 = (6 + 25) - 1 = 5 + 25

，是無理數。(C)

x^{2} - 2 x - 2 = (x^{2} - 2 x - 4) + 2 = 0 + 2 = 2

，是有理數。(D)

x^{3} - 2 x^{2} - 4 x = x (x^{2} - 2 x - 4) = x \times 0 = 0

，是有理數。(E)

x - 1 = 5

，

x - 5 = 1

，

x + 5 = 25 + 1

，乘積是

5 \times 1 \times (25 + 1) = 10 + 5

，是無理數。答案 (C)(D)。

(D)、(E) 在原檔是圖片，加減號沒有顯示。(D) 的兩個符號若換成別的取法，值會是

8 x

、

8 x + 16

或

16 x + 16

，都是無理數，和學校答案不合，所以只能是兩個減號。(E) 三個括號各取正負共

8

種寫法，值分別是

5

或

5 + 2

乘上

1

、

25 + 1

或

21 + 45

，全部都是無理數，所以不論原式是哪一種，(E) 都不選。

第 2 題(A) 錯。反例：

p = 1

、

q = 2

，這時

p + q = 1 + 2

與

pq = 2

都是無理數，但

p

是有理數。(B) 對。取

r = \frac{p + q}{2}

，因為

p < q

，所以

p = \frac{p + p}{2} < \frac{p + q}{2} < \frac{q + q}{2} = q

。(C) 錯。題目只說

p

、

q

是實數，沒有說是有理數；反例：

p = 3

、

q = - 1

，

p + q 3 = 3 - 3 = 0

。(D) 對。假設

p + q

與

p - q

都是有理數，那麼兩者相加除以

2

得到的

p

也是有理數，和

p

是無理數矛盾；所以兩者至少有一個是無理數。(E) 對。假設

p = \frac{m}{n}

（

m

、

n

為互質的正整數），則

m^{2} = p n^{2}

，

p

整除

m^{2}

；

p

是質數，所以

p

整除

m

，設

m = p k

，代回得

p k^{2} = n^{2}

，同理

p

整除

n

，和

m

、

n

互質矛盾。答案 (B)(D)(E)。

p

、

q

是有理數」的前提下才成立，這題的前提是實數，所以不對。

看到

x = 5 + 1

這種數，先把根號單獨留在一邊再平方，得到

x

滿足的整係數二次式，高次式就能降次。

02多選第 3～4 題：絕對值的大小關係與因式分解

第 3 題(A) 錯。

b = 0

、

a = 1

滿足

∣ a ∣ > ∣ b ∣

，但

∣ b ∣ = 0

。(B) 對。

b \geq - ∣ b ∣

，所以

∣ a ∣ + b \geq ∣ a ∣ - ∣ b ∣ > 0

。(C) 錯。反例：

a = - 2

、

b = 1

，

∣ b ∣ + a = 1 - 2 = - 1 < 0

。(D) 對。

∣ a ∣ > ∣ b ∣ \geq 0

，所以

a \neq = 0

。若

a > 0

，則

a + b \geq a - ∣ b ∣ = ∣ a ∣ - ∣ b ∣ > 0

；若

a < 0

，則

a + b \leq a + ∣ b ∣ = - (∣ a ∣ - ∣ b ∣) < 0

。兩種情形

a

與

a + b

都同號，乘積

a (a + b) > 0

。(E) 錯。反例：

a = - 2

、

b = 1

，

b (a + b) = 1 \times (- 1) = - 1 < 0

。答案 (B)(D)。

∣ a ∣ > ∣ b ∣

的意思是

a

離原點比

b

遠，所以

a + b

的正負由

a

決定；

b

的正負則完全沒有限制，

b

也可以是

0

。

第 4 題先用平方差：

x^{6} - 2^{6} = (x^{3})^{2} - (2^{3})^{2} = (x^{3} - 8) (x^{3} + 8)

。再用立方差與立方和：

x^{3} - 8 = (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)

，

x^{3} + 8 = (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)

。所以

x^{6} - 2^{6} = (x - 2) (x + 2) (x^{2} + 2 x + 4) (x^{2} - 2 x + 4)

。(A)

x - 2

是因式。(B)

x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)

是因式。(C)

x^{2} - 4 x + 4 = (x - 2)^{2}

，但

x - 2

只出現一次，不是因式。(D)

x^{2} + 2 x + 4

是因式。(E)

x^{2} + 4 x + 4 = (x + 2)^{2}

，

x + 2

也只出現一次，不是因式。答案 (A)(B)(D)。

x^{2} + 2 x + 4

與

x^{2} - 2 x + 4

的判別式都是

4 - 16 < 0

，不能再分解出一次因式，所以

x - 2

、

x + 2

各只有一個。

x^{6} - a^{6}

先當成平方差拆成

x^{3} - a^{3}

與

x^{3} + a^{3}

，再各用立方公式。

03單選第 5～9 題（原卷第 1～5 題）：根式比大小、指數律、循環小數與科學記號

第 5 題四個數都是正數，比平方就可以。把整數寫回根號：

3 = 9

，

2 = 4

，四個數都是「兩個根號相加、根號內的和是

16

」。平方後分別是

16 + 260

、

16 + 255

、

16 + 263

、

16 + 248

。其中

63

最大，所以

7 + 3

最大，選 (C)。

和固定是

16

時，兩數愈接近，乘積愈大：

7 \times 9 = 63

最大，

4 \times 12 = 48

最小。

第 6 題逐項化簡。

(\frac{16}{9})^{- 0.5} = (\frac{9}{16})^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{4}

。

0.125 = \frac{1}{8} = 2^{- 3}

，所以

(0.125)^{\frac{2}{3}} = 2^{- 2} = \frac{1}{4}

。

(\frac{25}{4})^{- 1.5} = (\frac{4}{25})^{\frac{3}{2}} = (\frac{2}{5})^{3} = \frac{8}{125}

。相乘：

\frac{3}{4} \times \frac{1}{4} \times \frac{8}{125} = \frac{24}{2000} = \frac{3}{250}

，選 (A)。

第 7 題

300 = 103 = 275

，所以

28 - 300 = 28 - 275

。找兩個正數，和為

28

、積為

75

：

25

和

3

。於是

28 - 275 = (25 - 3)^{2}

，

a = 5 - 3

。因為

1 < 3 < 2

，所以

3 < 5 - 3 < 4

，選 (D)。

不化簡也可以估計：

1 7^{2} = 289 < 300 < 324 = 1 8^{2}

，所以

10 < 28 - 300 < 11

，而

3^{2} = 9 < 10

、

11 < 16 = 4^{2}

，得

3 < a < 4

。

第 8 題直接除：

1234 \div 4995 = 0.2470470 \dots

。第一步商

2

餘

2350

，接著商

4

餘

3520

、商

7

餘

235

、商

0

餘

2350

，餘數回到

2350

，之後重複。所以

\frac{1234}{4995} = 0.2 \overline{470}

：小數點後第

1

位是

2

，從第

2

位開始每

3

位循環「

4

、

7

、

0

」。第

99

位是循環部分的第

98

個數字，

98 = 3 \times 32 + 2

，是循環節的第

2

個數字

7

，選 (D)。

第

1

位的

2

不在循環節裡，要先扣掉再除以

3

。若直接用

99 \div 3

整除而取循環節最後一個數字，會誤選

0

。

第 9 題

(3 \times 1 0^{- 3})^{3} = 3^{3} \times 1 0^{- 9} = 27 \times 1 0^{- 9}

。科學記號的係數要在

1

與

10

之間，

27 = 2.7 \times 10

，所以是

2.7 \times 1 0^{- 8}

，選 (E)。

27 \times 1 0^{- 9}

還不是科學記號；係數的小數點往左移一位，

10

的指數要加

1

，由

- 9

變成

- 8

。

帶根號的正數比大小，平方後比較；循環小數問第幾位，先確認循環節從哪一位開始。

04填充第 10～13 題（原卷第 6～9 題）：循環小數、指數方程式與絕對值不等式

第 10 題

2.1 \overline{6}

的循環節只有

6

：

0.1 \overline{6} = \frac{16 - 1}{90} = \frac{15}{90} = \frac{1}{6}

，所以

2.1 \overline{6} = \frac{13}{6}

。

0. \overline{54} = \frac{54}{99} = \frac{6}{11}

。相乘：

\frac{13}{6} \times \frac{6}{11} = \frac{13}{11}

。

卷面第一個數的橫線只蓋在

6

上，第二個數的橫線蓋住

54

兩位。

第 11 題

\frac{1}{27} = 3^{- 3}

，所以

3^{2 x + 1} = 3^{- 3}

。底數相同，指數相等：

2 x + 1 = - 3

，

x = - 2

。

驗算：

3^{2 \times (- 2) + 1} = 3^{- 3} = \frac{1}{27}

。

第 12 題

∣3 x + 1∣ < 5

即

- 5 < 3 x + 1 < 5

，各減

1

得

- 6 < 3 x < 4

，再除以

3

得

- 2 < x < \frac{4}{3}

。其中的整數是

- 1

、

0

、

1

，共

3

個。

兩端都是「小於」，

x = - 2

時

∣3 x + 1∣ = 5

，不算。

第 13 題解是

x < - 3

或

x > 5

，兩個端點的中點是

1

、到中點的距離是

4

，所以解可以寫成

∣ x - 1∣ > 4

。題目左邊的常數項是

+ 2

，把

∣ x - 1∣ > 4

兩邊同乘

2

：

∣2 x - 2∣ > 8

，而

∣2 x - 2∣ = ∣ - 2 x + 2∣

，所以

∣ - 2 x + 2∣ > 8

。和

∣ a x + 2∣ > b

對照，得

a = - 2

、

b = 8

，即

(a, b) = (- 2, 8)

。

為什麼只有這一組：

∣ a x + 2∣ = ∣ a ∣ \cdot x + \frac{2}{a}

，中心

- \frac{2}{a}

必須是

1

，所以

a = - 2

；再由

\frac{b}{∣ a ∣} = 4

得

b = 8

。

由解回推絕對值不等式：先找兩個端點的中點和半徑，寫成

∣ x - 中點 ∣ > 半徑

，再乘上適當的數去對照題目給的形式。

05填充第 14～17 題（原卷第 10～13 題）：根式運算、乘法公式與分點

第 14 題前半：

(3)^{3} = 33

，

27 = 33

，相乘得

27

，除以

9

得

3

。後半：

[8 \times (2)^{- 5}]^{2} = 8^{2} \times (2)^{- 10} = 64 \times 2^{- 5} = 2

。兩部分相乘：

3 \times 2 = 6

。

(2)^{- 10} = (2^{\frac{1}{2}})^{- 10} = 2^{- 5} = \frac{1}{32}

。

第 15 題

24 = 26

；

3 \times 12 = 36 = 6

；

3 \times 18 = 54 = 36

。原式

= 26 + 6 - 36 = 6 - 6

。和

a + b 6

比較，

a

、

b

是有理數，所以

a = 6

、

b = - 1

，

(a, b) = (6, - 1)

。

第 16 題把

x + x^{- 1} = 31

兩邊平方：

x^{2} + 2 + x^{- 2} = 31

，所以

x^{2} + x^{- 2} = 29

。代入中括號：

2 9^{2} - 4 \times 31 + 12 = 841 - 124 + 12 = 729

。而

729 = 3^{6}

，所以

72 9^{\frac{1}{6}} = 3

。

x

與

x^{- 1}

相乘是

1

，平方後中間項是

2

。

第 17 題

P

在直線

A B

上，有線段內、線段外兩種位置；

\overline{A B} = 13 - 5 = 8

。(一)

P

在

A

、

B

之間：

\overline{A P} = 8 \times \frac{5}{5 + 3} = 5

，

P

的坐標是

5 + 5 = 10

。(二)

P

在線段外：

\overline{A P} > \overline{B P}

，

P

離

B

較近，所以在

B

的右邊。設

\overline{A P} = 5 k

、

\overline{B P} = 3 k

，則

5 k - 3 k = \overline{A B} = 8

，

k = 4

，

\overline{B P} = 12

，

P

的坐標是

13 + 12 = 25

。答案是

10

或

25

。

驗算：

10

到

5

、

13

的距離是

5

、

3

；

25

到

5

、

13

的距離是

20

、

12

，比都是

5 : 3

。

題目寫「在直線上」而不是「在線段上」，分點就有內分、外分兩個位置。

06填充第 18～20 題（原卷第 14～16 題）：指數方程式與算幾不等式

第 18 題令

t = 3^{x}

，則

9^{x} = (3^{x})^{2} = t^{2}

，方程式變成

t^{2} - 16 t + 27 = 0

。這個二次方程式的判別式

1 6^{2} - 4 \times 27 = 148 > 0

，兩根

t_{1}

、

t_{2}

的和

16

、積

27

都是正的，所以兩根都是正數，各對應一個

x

：

t_{1} = 3^{α}

、

t_{2} = 3^{β}

。把

t^{2} - 16 t + 27

寫成

(t - t_{1}) (t - t_{2})

，比較常數項得

t_{1} t_{2} = 27

，即

3^{α} \times 3^{β} = 3^{α + β} = 27 = 3^{3}

，所以

α + β = 3

。

不需要把

α

、

β

各自求出來（

t = 8 \pm 37

，不是

3

的整數次方）；題目要的是和，只要兩個

t

的乘積。

第 19 題設垂直於屋子的兩邊各長

x

公尺、平行於屋子的一邊長

y

公尺，鐵絲網圍這三邊：

2 x + y = 21

，面積是

x y

。

2 x

與

y

都是正數，由算幾不等式

\frac{2 x + y}{2} \geq 2 x \cdot y

，即

\frac{21}{2} \geq 2 x y

，平方得

2 x y \leq \frac{441}{4}

，

x y \leq \frac{441}{8}

。等號在

2 x = y

時成立，這時

y = \frac{21}{2}

、

x = \frac{21}{4}

。所以最大面積

M = \frac{441}{8}

，長邊是

y

，

k = \frac{21}{2}

，

(M, k) = (\frac{441}{8}, \frac{21}{2})

。

驗算：

\frac{21}{4} \times \frac{21}{2} = \frac{441}{8}

。面積最大時不是正方形：平行於屋子的那一邊是另外兩邊的

2

倍，用掉鐵絲網的一半。

第 20 題食譜的敘述和計算無關，只需要溫度的式子。令

24 - 2^{5 - t} = 20

，得

2^{5 - t} = 4 = 2^{2}

，所以

5 - t = 2

，

t = 3

，要放

3

小時。

檢查式子合不合理：

t = 0

時溫度是

24 - 32 = - 8

℃（剛從冰箱拿出來），

t

愈大，

2^{5 - t}

愈小，溫度愈接近室溫

24

℃。

方程式裡同時有

9^{x}

和

3^{x}

，令

t = 3^{x}

化成二次式；兩根的和

α + β

對應的是兩個

t

的乘積。

07計算證明第 21～22 題（原卷第 1～2 題）：數線上的範圍與正三角形的證明

21(1)

(5, \infty)

是所有大於

5

的實數，即

x > 5

。

5

本身不包含，在

5

的位置畫空心圓，再往右畫到箭頭。

載入中...

21(2)「

x < 1

或

x \geq 6

」是兩段：

x < 1

不含

1

，在

1

畫空心圓往左畫到箭頭；

x \geq 6

包含

6

，在

6

畫實心圓往右畫到箭頭。

1

到

6

之間不畫。

載入中...

空心圓表示端點不算、實心圓表示端點要算；「或」是兩段都要畫出來。

第 22 題令

A = 3^{a}

、

B = 3^{b}

、

C = 3^{c}

，三個都是正數。

2 7^{a} = (3^{3})^{a} = (3^{a})^{3} = A^{3}

，同理

2 7^{b} = B^{3}

、

2 7^{c} = C^{3}

；右邊

3^{a + b + c + 1} = 3 \times 3^{a} \times 3^{b} \times 3^{c} = 3 A B C

。所以題目的條件就是

A^{3} + B^{3} + C^{3} - 3 A B C = 0

。由附註的公式，

(A + B + C) (A^{2} + B^{2} + C^{2} - A B - B C - C A) = 0

。因為

A + B + C > 0

，所以

A^{2} + B^{2} + C^{2} - A B - B C - C A = 0

。兩邊乘

2

再配方：

(A - B)^{2} + (B - C)^{2} + (C - A)^{2} = 0

。三個平方都不小於

0

，和為

0

時每一個都必須是

0

，所以

A = B = C

，即

3^{a} = 3^{b} = 3^{c}

。底數

3

大於

1

，指數愈大值愈大，值相等時指數必相等，所以

a = b = c

，三邊等長，此三角形是正三角形。

關鍵的兩步：一是把

27

的次方與右邊的

3^{a + b + c + 1}

都換成

3^{a}

、

3^{b}

、

3^{c}

的式子，正好湊成附註公式的左邊；二是

A^{2} + B^{2} + C^{2} - A B - B C - C A = \frac{1}{2} [(A - B)^{2} + (B - C)^{2} + (C - A)^{2}]

。

幾個平方的和等於

0

，每一個平方都是

0

；要證三個數相等，常把式子配成三個差的平方和。

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第 1 題要先由 x 等於根號 5 加 1 得到 x 平方減 2x 減 4 等於 0 再降次；第 3 題的 (D) 要看出 a 加 b 與 a 同號；第 8 題小數點後第 1 位不在循環節裡，要先扣掉再數；第 17 題 P 在直線上有內分、外分兩個答案；第 18 題要把兩根的和換成兩個 3 的次方的乘積；第 22 題要把條件換成三個正數的立方和再配成平方和。詳解逐題寫在本頁。

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05填充第 14～17 題（原卷第 10～13 題）：根式運算、乘法公式與分點

06填充第 18～20 題（原卷第 14～16 題）：指數方程式與算幾不等式

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