段考詳解範圍：數與式（實數、絕對值、指數、算幾不等式）

新竹女中 108 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 新竹女中 108 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 16 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 新竹女中 108 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 1 題要自己舉反例、選項 (5) 要用代入消去說明；第 4 題選項 (3) 底數是負數時分數指數沒有定義；填充 D（本頁第 9 題）要用小數部分的範圍夾出整數部分；填充 I（本頁第 14 題）要分清左右端點各來自哪一個不等式。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 16 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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個單元，勾錯題號就知道錯在哪

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元，不用註冊

01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

多重選擇題 5 題 35 分、填充題 9 題 45 分、計算題 2 題 20 分，共 100 分。本頁第 6～14 題是卷面填充題 A～I，第 15、16 題是卷面計算題第 1、2 題。原檔有四處集合符號沒有顯示（第 5 題兩處、第 6 題、第 13 題），本頁依題意與學校答案推定，並在題目旁標明。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、多重選擇題：至少有一個選項是對的。（每題 7 分，每答錯一個選項扣 2 分，扣完該題題分為止，共 35 分。）

關於有理數與無理數的運算，下列哪些敘述是正確的？

(1) 若 $a$ 為有理數， $b$ 為無理數，則 $a + b$ 為無理數
(2) 若 $a$ 為有理數， $b$ 為無理數，則 $ab$ 為無理數
(3) 若 $a + b$ 為有理數，且 $b$ 為無理數，則 $a$ 為有理數
(4) 若 $ab$ 為無理數，且 $b$ 為無理數，則 $a$ 為有理數
(5) 若 $a + 2 b, 3 b + 4 c, 5 c + 6 a$ 皆為有理數，則 $b$ 為有理數

關於循環小數的敘述，下列哪些選項是正確的？

(1) $\frac{1}{19}$ 無法化為循環小數
(2) $0. \overline{19} = \frac{19}{99}$
(3) $0.1 \overline{9} = \frac{19}{90}$
(4) $0.1 \overline{9} = 0.1 \overline{99}$
(5) $0.1 \overline{9} < 0.2$

設實數

a > 1

且滿足

a + a^{- 1} = 4

，則下列哪些選項是正確的？

(1) $a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}} = 6$
(2) $a - a^{- 1} = 23$
(3) $a^{2} + a^{- 2} = 16$
(4) $a^{3} + a^{- 3} = 52$
(5) $a^{4} - a^{- 4} = 1123$

關於指數的運算式，下列哪些選項是正確的？

(1) $π^{0} = 1$
(2) $5^{- 2} = - 25$
(3) $(- 8)^{\frac{1}{3}} = - 2$
(4) $32 \cdot 48 = 2^{\frac{13}{12}}$
(5) $3^{(2^{5})} = 3^{10}$

「碳 14 定年法」是利用生物體死亡後，體內的放射性碳 14 會開始進行衰變，其半衰期為

5730 \pm 40

年，故可依其殘存的碳 14 含量來推算死亡時間，但此法能測量的時間不超過 6 萬年。小美利用近日所學將上述半衰期

x

（年）的範圍表示為

∣ x - a ∣ \leq b

，其中

a, b \in R

；並推論該定年法能測量的時間最多只有

n

個半衰期，其中

n \in N

。則依小美的結論，下列選項哪些是正確的？（原檔這兩處的集合符號沒有顯示，本站依題意推定前一處為實數、後一處為正整數）

(1) $a + b = 5770$
(2) $a - b = 5690$
(3) $n = 11$
(4) 經過 $n$ 個半衰期後，碳 14 含量為原來的 $1/1024$ 倍
(5) 生物體內碳 14 含量比率約佔全部碳的 $1 0^{- 12}$ ，若死亡經過 $n$ 個半衰期後，該比率會低於 $1 0^{- 15}$

二、填充題：（每題 5 分，全對才給分，共 45 分）

設

a, b \in Q

，已知

(2 + 5) a + (1 - 5) b = 7 - 5

，則數對

(a, b) =

____。（原檔的集合符號沒有顯示，本站依題意與學校答案推定為有理數）

設

\frac{3 + 5}{2}

的整數部分為

a

，小數部分為

b

，則

\frac{2}{b} - a =

____。

設數線上

A, B, C

三點的坐標分別為

- 22, 2, x

，且

\overline{A C} : \overline{B C} = 3 : 2

，則

x =

____。（有兩解）

設正實數

a

的小數部分為

b

，且

a - b^{2} = 2

，則

b =

____。

設實數

x

滿足方程式

∣ x - 2∣ = 2∣ x + 1∣

，則

x =

____。（有兩解）

設實數

x

滿足不等式

3 \leq ∣1 - 2 x ∣ < 5

，則

x

的範圍為 ____。

已知放射性碘

I_{131}

的半衰期是 8 天，即 8 天後質量會變為原來的一半。設放射性碘

I_{131}

每經過 1 天，質量會變為原來的

a

倍，且

a = 2^{x}

，則實數

x =

____。

設

a, b \in R

，已知不等式

∣ a x - 6∣ > b

的解為

x > 2

或

x < - 6

，則數對

(a, b) =

____。（原檔的集合符號沒有顯示，本站依題意推定為實數）

設

a, b

為正實數，已知聯立不等式

{∣ x + 1∣ < a ∣2 x - 5∣ < b

的解為

0 < x < 2

，則數對

(a, b) =

____。

三、計算題：須書寫推論過程，否則不予計分。（每題 10 分，共 20 分）

設

x

為實數，試解不等式

∣ x + 1∣ - 2∣ x - 5∣ \geq 3

。

某日，數學課堂上，老師拿了一條長為 60 公分的繩子，問了幾個問題，向來數感頗佳的一位同學皆立即有答案。其對話如下：老師：「用這條繩子圍成任意邊長的矩形，則所圍成的面積是否都相同？」同學：「不一定。」老師：「如果面積不一定相同，那麼面積是否有最大值？若有，又發生在什麼情況呢？」同學：「有，當矩形為正方形時面積最大。」試以數學推論驗證上述這位同學的答案。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)(5)

第 2 題(2)(4)

第 3 題(1)(2)(4)(5)

第 4 題(1)(4)

第 5 題(1)(2)(4)(5)

第 6 題

(2, 3)

第 7 題

5

第 8 題

- \frac{2}{5}

或

72

第 9 題

0

第 10 題

0

或

- 4

第 11 題

- 2 < x \leq - 1

或

2 \leq x < 3

第 12 題

- \frac{1}{8}

第 13 題

(- 3, 12)

第 14 題

(3, 5)

第 15 題

4 \leq x \leq 8

第 16 題面積不一定相同；面積最大是

225

平方公分，只在長、寬都是

15

公分的正方形時發生（推論見詳解）

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選 1～2：有理數與無理數、循環小數

第 1 題答案 (1)(5)。(1) 正確。 假如

a + b

是有理數，那麼

b = (a + b) - a

是兩個有理數相減，也是有理數，和

b

是無理數矛盾，所以

a + b

一定是無理數。(2) 錯誤。 取

a = 0

、

b = 2

，這時

ab = 0

是有理數。(3) 錯誤。

a = (a + b) - b

是「有理數減無理數」，由 (1) 的道理一定是無理數；例如取

a = - 2

、

b = 2

，這時

a + b = 0

是有理數，但

a

是無理數。(4) 錯誤。 取

a = 2

、

b = 3

，這時

ab = 6

與

b

都是無理數，但

a

不是有理數。(5) 正確。 設

a + 2 b = p

、

3 b + 4 c = q

、

5 c + 6 a = r

，

p, q, r

都是有理數。由第一式

a = p - 2 b

，代入第三式得

5 c = r - 6 p + 12 b

。第二式乘以

5

是

15 b + 20 c = 5 q

，再把

20 c = 4 r - 24 p + 48 b

代進去，整理成

63 b = 5 q + 24 p - 4 r

。右邊是有理數，除以

63

還是有理數，所以

b

是有理數。

要說一個「若…則…」的敘述是錯的，舉出一組符合前提但結論不成立的數就夠；要說它是對的，就得對所有情形講道理。

第 2 題答案 (2)(4)。(1) 錯誤。 分數（有理數）化成小數，不是有限小數就是循環小數；

19

不是只含質因數

2

、

5

的數，所以

\frac{1}{19}

是循環小數。(2) 正確。 設

t = 0. \overline{19}

，則

100 t = 19. \overline{19}

，兩式相減得

99 t = 19

，所以

t

等於

\frac{19}{99}

沒錯。(3) 錯誤。 設

s = 0.1 \overline{9}

，則

10 s = 1. \overline{9}

、

100 s = 19. \overline{9}

，兩式相減得

90 s = 18

，所以

s = \frac{18}{90} = \frac{1}{5}

，分子是

18

不是

19

。(4) 正確。

0.1 \overline{9}

與

0.1 \overline{99}

寫開來都是

0.1999 \dots

，是同一個數。(5) 錯誤。 由 (3) 知道

0.1 \overline{9} = \frac{1}{5} = 0.2

，兩者相等，不是小於。

循環節全是

9

的循環小數會等於一個有限小數：

0. \overline{9} = 1

，所以

0.1 \overline{9} = 0.1 + 0.1 = 0.2

。

02多選 3～5：指數的乘法公式、指數的定義、半衰期

第 3 題答案 (1)(2)(4)(5)。(1) 正確。

(a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}})^{2} = a + 2 + a^{- 1} = 6

，而

a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}} > 0

，所以等於

6

。(2) 正確。

(a - a^{- 1})^{2} = (a + a^{- 1})^{2} - 4 = 12

；因為

a > 1

，

a^{- 1} < 1 < a

，所以

a - a^{- 1} > 0

，等於

12 = 23

。(3) 錯誤。

a^{2} + a^{- 2} = (a + a^{- 1})^{2} - 2 = 14

。(4) 正確。

a^{3} + a^{- 3} = (a + a^{- 1})^{3} - 3 (a + a^{- 1}) = 64 - 12 = 52

。(5) 正確。

a^{4} - a^{- 4} = (a^{2} + a^{- 2}) (a^{2} - a^{- 2})

，其中

a^{2} - a^{- 2} = (a + a^{- 1}) (a - a^{- 1}) = 4 \cdot 23 = 83

，所以

a^{4} - a^{- 4} = 14 \cdot 83 = 1123

。

題目給

a > 1

是為了決定

a - a^{- 1}

的正負；沒有這個條件，(2)(5) 就要寫成正負兩種。

第 4 題答案 (1)(4)。(1) 正確。 不是

0

的數的

0

次方都是

1

。(2) 錯誤。

5^{- 2} = \frac{1}{5 ^{2}} = \frac{1}{25}

，負的指數是取倒數，不會變成負數。(3) 錯誤。 課本裡分數指數

a^{\frac{m}{n}}

只對正的底數

a

定義，底數是

- 8

時這個式子沒有定義。假如硬要定義，

\frac{1}{3} = \frac{2}{6}

，

(- 8)^{\frac{2}{6}}

照指數律會算成

6 (- 8)^{2} = 664 = 2

，和

- 2

互相矛盾。（

3 - 8 = - 2

是對的，但那是根式，不是分數指數。）(4) 正確。

32 = 2^{\frac{1}{3}}

、

48 = 2^{\frac{3}{4}}

，相乘得

2^{\frac{1}{3} + \frac{3}{4}} = 2^{\frac{13}{12}}

。(5) 錯誤。 指數是

2^{5} = 32

，所以左邊是

3^{32}

；

(3^{2})^{5}

才是

3^{10}

。

3^{(2^{5})}

與

(3^{2})^{5}

的括號位置不同，前者指數先算，後者才用「指數相乘」。

第 5 題答案 (1)(2)(4)(5)。半衰期

5730 \pm 40

年就是

5690 \leq x \leq 5770

，也就是

x

與

5730

的距離不超過

40

：

∣ x - 5730∣ \leq 40

，所以

a = 5730

、

b = 40

。(1) 正確。

a + b = 5770

。(2) 正確。

a - b = 5690

。(3) 錯誤。 能測量的時間不超過

60000

年。

10

個半衰期是

10 x

，介於

56900

與

57700

之間，沒有超過

60000

；

11

個半衰期是

11 x

，至少

62590

，已經超過。所以

n = 10

。(4) 正確。 每過一個半衰期含量變成一半，

10

個半衰期後是原來的

(\frac{1}{2})^{10} = \frac{1}{1024}

。(5) 正確。 比率變成

1 0^{- 12} \times \frac{1}{1024}

，而

\frac{1}{1024} < \frac{1}{1000} = 1 0^{- 3}

，所以比率小於

1 0^{- 12} \times 1 0^{- 3} = 1 0^{- 15}

。

原檔的集合符號沒有顯示，本站推定

a, b

是實數、

n

是正整數；

a

、

b

由區間的中點與半寬唯一決定，

n

是個數，這樣推定不影響答案；若原卷印的是整數或正整數，答案相同。

60000 \div 5730 \approx 10.47

，也看得出最多

10

個。

03填充 A～D：有理數係數比較、整數與小數部分、分點

第 6 題展開整理：

(2 a + b) + (a - b) 5 = 7 - 5

。因為

a, b

是有理數、

5

是無理數，兩邊的有理數部分與

5

的係數要分別相等：

2 a + b = 7

、

a - b = - 1

。兩式相加得

3 a = 6

，

a = 2

，

b = 3

，所以

(a, b) = (2, 3)

。

原檔的集合符號沒有顯示。若

a, b

只是實數，一個等式解不出唯一的數對，所以本站推定是有理數，結果也與學校答案相同。不論原卷印的是整數或有理數，答案都相同。

第 7 題

\frac{3 + 5}{2} = \frac{6 + 2 5}{4} = \frac{( 5 + 1 ) ^{2}}{4}

，所以

\frac{3 + 5}{2} = \frac{5 + 1}{2}

。因為

2 < 5 < 3

，

\frac{3}{2} < \frac{5 + 1}{2} < 2

，整數部分

a = 1

，小數部分

b = \frac{5 + 1}{2} - 1 = \frac{5 - 1}{2}

。

\frac{2}{b} = \frac{4}{5 - 1} = \frac{4 ( 5 + 1 )}{5 - 1} = 5 + 1

，所以

\frac{2}{b} - a = 5 + 1 - 1 = 5

。

\frac{5 + 1}{2} \approx 1.618

。先把雙重根號化開，才看得出整數部分。

第 8 題

\overline{A C} = ∣ x + 22 ∣

、

\overline{B C} = ∣ x - 2 ∣

，由

\overline{A C} : \overline{B C} = 3 : 2

得

2∣ x + 22 ∣ = 3∣ x - 2 ∣

，即

2 (x + 22) = \pm 3 (x - 2)

。取正號：

2 x + 42 = 3 x - 32

，

x = 72

。取負號：

2 x + 42 = - 3 x + 32

，

5 x = - 2

，得到另一個解

x = - \frac{2}{5}

，兩個都合。

- \frac{2}{5}

在

A

、

B

之間（內分點），

72

在

B

的右邊（外分點）；到兩定點距離比固定的點，數線上有兩個。

第 9 題設

a

的整數部分是

n

（

n

是不小於

0

的整數），則

a = n + b

，

0 \leq b < 1

。代入

a - b^{2} = 2

：

n + b - b^{2} = 2

，即

b (1 - b) = 2 - n

。因為

0 \leq b < 1

，

b

與

1 - b

都不是負的，

b (1 - b) \geq 0

；又

b (1 - b) = \frac{1}{4} - (b - \frac{1}{2})^{2} \leq \frac{1}{4}

。所以

0 \leq 2 - n \leq \frac{1}{4}

，而

2 - n

是整數，只能是

0

，得

n = 2

、

b (1 - b) = 0

。在

0 \leq b < 1

內只有

b = 0

，此時

a = 2

。

小數部分的定義是「原數減去整數部分」，範圍是

0 \leq b < 1

，可以等於

0

、不能等於

1

。

04填充 E～I：絕對值方程式與不等式、半衰期

第 10 題

∣ x - 2∣ = 2∣ x + 1∣

表示

x - 2 = 2 (x + 1)

或

x - 2 = - 2 (x + 1)

。前者得

x = - 4

；後者得

3 x = 0

，

x = 0

。代回：

x = - 4

時兩邊都是

6

，

x = 0

時兩邊都是

2

，都成立。

幾何意義：到

2

的距離是到

- 1

的距離的兩倍的點，一個在

- 1

與

2

之間，一個在

- 1

的左邊。

第 11 題

∣1 - 2 x ∣ = ∣2 x - 1∣

，所以

3 \leq ∣2 x - 1∣ < 5

表示

3 \leq 2 x - 1 < 5

或

- 5 < 2 x - 1 \leq - 3

。前者得

4 \leq 2 x < 6

，

2 \leq x < 3

；後者得

- 4 < 2 x \leq - 2

，

- 2 < x \leq - 1

。所以

- 2 < x \leq - 1

或

2 \leq x < 3

。

兩端一個有等號、一個沒有，翻到負的那一段時等號要跟著原來的那一端走。

第 12 題每天變成

a

倍，

8

天後是

a^{8}

倍，所以

a^{8} = \frac{1}{2}

。把

a = 2^{x}

代入：

2^{8 x} = 2^{- 1}

，比較指數得

8 x = - 1

，所以

x = - \frac{1}{8}

，是負的，因為質量一天比一天少。

第 13 題

a = 0

時不等式變成

6 > b

，解不是全體實數就是無解，不合，所以

a \neq = 0

。

∣ a x - 6∣ = ∣ a ∣ x - \frac{6}{a}

，不等式成為

x - \frac{6}{a} > \frac{b}{∣ a ∣}

，解是數線上與

\frac{6}{a}

的距離大於

\frac{b}{∣ a ∣}

的點，也就是以

\frac{6}{a}

為中心、左右各

\frac{b}{∣ a ∣}

以外的兩段。題目給的兩段是

x > 2

或

x < - 6

，中心是

\frac{2 + ( - 6 )}{2} = - 2

，半寬是

4

。所以

\frac{6}{a} = - 2

，

a = - 3

；

\frac{b}{3} = 4

，

b = 12

。驗算：

∣ - 3 x - 6∣ > 12

即

∣ x + 2∣ > 4

，解是

x > 2

或

x < - 6

。

原檔的集合符號沒有顯示，本站推定

a, b

是實數；不論原卷印的是整數、有理數或實數，答案都相同。

a

是負的不影響作法：

∣ a x - 6∣

提出的是

∣ a ∣

。

第 14 題

∣ x + 1∣ < a

的解是

- 1 - a < x < - 1 + a

；

∣2 x - 5∣ < b

的解是

\frac{5 - b}{2} < x < \frac{5 + b}{2}

。兩者的共同部分要剛好是

0 < x < 2

。左端：

a > 0

，所以

- 1 - a < - 1

，不可能是

0

；左端的

0

只能來自第二式，

\frac{5 - b}{2} = 0

，

b = 5

，第二式成為

0 < x < 5

。右端：

5 \neq = 2

，所以右端的

2

來自第一式，

- 1 + a = 2

，

a = 3

。驗算：

- 4 < x < 2

與

0 < x < 5

的共同部分是

0 < x < 2

。所以

(a, b) = (3, 5)

。

聯立不等式的解是各式解的共同部分：左端取兩個左端裡較大的，右端取兩個右端裡較小的。

05計算 1～2：分段討論、算幾不等式

第 15 題絕對值裡的式子在

x = - 1

與

x = 5

變號，分三段討論。 (i)

x \geq 5

：

(x + 1) - 2 (x - 5) \geq 3

，

- x + 11 \geq 3

，

x \leq 8

。與

x \geq 5

合起來是

5 \leq x \leq 8

。 (ii)

- 1 \leq x < 5

：

(x + 1) + 2 (x - 5) \geq 3

，

3 x - 9 \geq 3

，

x \geq 4

。與

- 1 \leq x < 5

合起來是

4 \leq x < 5

。 (iii)

x < - 1

：

- (x + 1) + 2 (x - 5) \geq 3

，

x - 11 \geq 3

，

x \geq 14

。與

x < - 1

沒有共同部分，無解。三段合併：

4 \leq x \leq 8

。

每一段解出來的範圍，都要先和那一段自己的範圍取共同部分，最後再把各段合起來。代端點檢查：

x = 4

時

5 - 2 = 3

，

x = 8

時

9 - 6 = 3

，剛好都等於

3

。

第 16 題設矩形的長是

x

公分、寬是

y

公分，

x > 0

、

y > 0

。繩長

60

公分是周長，所以

2 (x + y) = 60

，

x + y = 30

；面積是

x y

平方公分。 面積不一定相同。 例如

x = 10

、

y = 20

時面積是

200

；

x = 5

、

y = 25

時面積是

125

。周長都是

60

，面積不同。 面積有最大值，發生在正方形。 由算幾不等式，

\frac{x + y}{2} \geq x y

，即

15 \geq x y

，兩邊平方得

x y \leq 225

。等號成立的條件是

x = y

，配合

x + y = 30

得

x = y = 15

，這組數做得到。所以面積最大是

225

平方公分，這時長、寬都是

15

公分，矩形是正方形；長、寬不相等時等號不成立，面積一定小於

225

。兩個回答都正確。

用算幾不等式求最大值要寫出兩件事：不等式本身，以及等號成立的條件確實做得到。也可以不用算幾不等式：

x y = x (30 - x) = 225 - (x - 15)^{2} \leq 225

，結論相同。

和固定時，兩個正數的乘積在兩數相等時最大。

同一次段考的其他學校

同樣是高一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

新竹女中 108 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 16 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

新竹女中 108 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 1 題要自己舉反例、選項 (5) 要用代入消去說明；第 4 題選項 (3) 底數是負數時分數指數沒有定義；填充 D（本頁第 9 題）要用小數部分的範圍夾出整數部分；填充 I（本頁第 14 題）要分清左右端點各來自哪一個不等式。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自新竹女中 108 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高一

段考詳解範圍：數與式（實數、絕對值、指數、算幾不等式）

新竹女中 108 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 16 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

一、多重選擇題：至少有一個選項是對的。（每題 7 分，每答錯一個選項扣 2 分，扣完該題題分為止，共 35 分。）

關於有理數與無理數的運算，下列哪些敘述是正確的？

(1) 若 $a$ 為有理數， $b$ 為無理數，則 $a + b$ 為無理數
(2) 若 $a$ 為有理數， $b$ 為無理數，則 $ab$ 為無理數
(3) 若 $a + b$ 為有理數，且 $b$ 為無理數，則 $a$ 為有理數
(4) 若 $ab$ 為無理數，且 $b$ 為無理數，則 $a$ 為有理數
(5) 若 $a + 2 b, 3 b + 4 c, 5 c + 6 a$ 皆為有理數，則 $b$ 為有理數

關於循環小數的敘述，下列哪些選項是正確的？

(1) $\frac{1}{19}$ 無法化為循環小數
(2) $0. \overline{19} = \frac{19}{99}$
(3) $0.1 \overline{9} = \frac{19}{90}$
(4) $0.1 \overline{9} = 0.1 \overline{99}$
(5) $0.1 \overline{9} < 0.2$

設實數

a > 1

且滿足

a + a^{- 1} = 4

，則下列哪些選項是正確的？

(1) $a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}} = 6$
(2) $a - a^{- 1} = 23$
(3) $a^{2} + a^{- 2} = 16$
(4) $a^{3} + a^{- 3} = 52$
(5) $a^{4} - a^{- 4} = 1123$

關於指數的運算式，下列哪些選項是正確的？

(1) $π^{0} = 1$
(2) $5^{- 2} = - 25$
(3) $(- 8)^{\frac{1}{3}} = - 2$
(4) $32 \cdot 48 = 2^{\frac{13}{12}}$
(5) $3^{(2^{5})} = 3^{10}$

「碳 14 定年法」是利用生物體死亡後，體內的放射性碳 14 會開始進行衰變，其半衰期為

5730 \pm 40

年，故可依其殘存的碳 14 含量來推算死亡時間，但此法能測量的時間不超過 6 萬年。小美利用近日所學將上述半衰期

x

（年）的範圍表示為

∣ x - a ∣ \leq b

，其中

a, b \in R

；並推論該定年法能測量的時間最多只有

n

個半衰期，其中

n \in N

。則依小美的結論，下列選項哪些是正確的？（原檔這兩處的集合符號沒有顯示，本站依題意推定前一處為實數、後一處為正整數）

(1) $a + b = 5770$
(2) $a - b = 5690$
(3) $n = 11$
(4) 經過 $n$ 個半衰期後，碳 14 含量為原來的 $1/1024$ 倍
(5) 生物體內碳 14 含量比率約佔全部碳的 $1 0^{- 12}$ ，若死亡經過 $n$ 個半衰期後，該比率會低於 $1 0^{- 15}$

二、填充題：（每題 5 分，全對才給分，共 45 分）

設

a, b \in Q

，已知

(2 + 5) a + (1 - 5) b = 7 - 5

，則數對

(a, b) =

____。（原檔的集合符號沒有顯示，本站依題意與學校答案推定為有理數）

設

\frac{3 + 5}{2}

的整數部分為

a

，小數部分為

b

，則

\frac{2}{b} - a =

____。

設數線上

A, B, C

三點的坐標分別為

- 22, 2, x

，且

\overline{A C} : \overline{B C} = 3 : 2

，則

x =

____。（有兩解）

設正實數

a

的小數部分為

b

，且

a - b^{2} = 2

，則

b =

____。

設實數

x

滿足方程式

∣ x - 2∣ = 2∣ x + 1∣

，則

x =

____。（有兩解）

設實數

x

滿足不等式

3 \leq ∣1 - 2 x ∣ < 5

，則

x

的範圍為 ____。

已知放射性碘

I_{131}

的半衰期是 8 天，即 8 天後質量會變為原來的一半。設放射性碘

I_{131}

每經過 1 天，質量會變為原來的

a

倍，且

a = 2^{x}

，則實數

x =

____。

設

a, b \in R

，已知不等式

∣ a x - 6∣ > b

的解為

x > 2

或

x < - 6

，則數對

(a, b) =

____。（原檔的集合符號沒有顯示，本站依題意推定為實數）

設

a, b

為正實數，已知聯立不等式

{∣ x + 1∣ < a ∣2 x - 5∣ < b

的解為

0 < x < 2

，則數對

(a, b) =

____。

三、計算題：須書寫推論過程，否則不予計分。（每題 10 分，共 20 分）

設

x

為實數，試解不等式

∣ x + 1∣ - 2∣ x - 5∣ \geq 3

。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)(5)

第 2 題(2)(4)

第 3 題(1)(2)(4)(5)

第 4 題(1)(4)

第 5 題(1)(2)(4)(5)

第 6 題

(2, 3)

第 7 題

5

第 8 題

- \frac{2}{5}

或

72

第 9 題

0

第 10 題

0

或

- 4

第 11 題

- 2 < x \leq - 1

或

2 \leq x < 3

第 12 題

- \frac{1}{8}

第 13 題

(- 3, 12)

第 14 題

(3, 5)

第 15 題

4 \leq x \leq 8

第 16 題面積不一定相同；面積最大是

225

平方公分，只在長、寬都是

15

公分的正方形時發生（推論見詳解）

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選 1～2：有理數與無理數、循環小數

第 1 題答案 (1)(5)。(1) 正確。 假如

a + b

是有理數，那麼

b = (a + b) - a

是兩個有理數相減，也是有理數，和

b

是無理數矛盾，所以

a + b

一定是無理數。(2) 錯誤。 取

a = 0

、

b = 2

，這時

ab = 0

是有理數。(3) 錯誤。

a = (a + b) - b

是「有理數減無理數」，由 (1) 的道理一定是無理數；例如取

a = - 2

、

b = 2

，這時

a + b = 0

是有理數，但

a

是無理數。(4) 錯誤。 取

a = 2

、

b = 3

，這時

ab = 6

與

b

都是無理數，但

a

不是有理數。(5) 正確。 設

a + 2 b = p

、

3 b + 4 c = q

、

5 c + 6 a = r

，

p, q, r

都是有理數。由第一式

a = p - 2 b

，代入第三式得

5 c = r - 6 p + 12 b

。第二式乘以

5

是

15 b + 20 c = 5 q

，再把

20 c = 4 r - 24 p + 48 b

代進去，整理成

63 b = 5 q + 24 p - 4 r

。右邊是有理數，除以

63

還是有理數，所以

b

是有理數。

要說一個「若…則…」的敘述是錯的，舉出一組符合前提但結論不成立的數就夠；要說它是對的，就得對所有情形講道理。

第 2 題答案 (2)(4)。(1) 錯誤。 分數（有理數）化成小數，不是有限小數就是循環小數；

19

不是只含質因數

2

、

5

的數，所以

\frac{1}{19}

是循環小數。(2) 正確。 設

t = 0. \overline{19}

，則

100 t = 19. \overline{19}

，兩式相減得

99 t = 19

，所以

t

等於

\frac{19}{99}

沒錯。(3) 錯誤。 設

s = 0.1 \overline{9}

，則

10 s = 1. \overline{9}

、

100 s = 19. \overline{9}

，兩式相減得

90 s = 18

，所以

s = \frac{18}{90} = \frac{1}{5}

，分子是

18

不是

19

。(4) 正確。

0.1 \overline{9}

與

0.1 \overline{99}

寫開來都是

0.1999 \dots

，是同一個數。(5) 錯誤。 由 (3) 知道

0.1 \overline{9} = \frac{1}{5} = 0.2

，兩者相等，不是小於。

循環節全是

9

的循環小數會等於一個有限小數：

0. \overline{9} = 1

，所以

0.1 \overline{9} = 0.1 + 0.1 = 0.2

。

02多選 3～5：指數的乘法公式、指數的定義、半衰期

第 3 題答案 (1)(2)(4)(5)。(1) 正確。

(a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}})^{2} = a + 2 + a^{- 1} = 6

，而

a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}} > 0

，所以等於

6

。(2) 正確。

(a - a^{- 1})^{2} = (a + a^{- 1})^{2} - 4 = 12

；因為

a > 1

，

a^{- 1} < 1 < a

，所以

a - a^{- 1} > 0

，等於

12 = 23

。(3) 錯誤。

a^{2} + a^{- 2} = (a + a^{- 1})^{2} - 2 = 14

。(4) 正確。

a^{3} + a^{- 3} = (a + a^{- 1})^{3} - 3 (a + a^{- 1}) = 64 - 12 = 52

。(5) 正確。

a^{4} - a^{- 4} = (a^{2} + a^{- 2}) (a^{2} - a^{- 2})

，其中

a^{2} - a^{- 2} = (a + a^{- 1}) (a - a^{- 1}) = 4 \cdot 23 = 83

，所以

a^{4} - a^{- 4} = 14 \cdot 83 = 1123

。

題目給

a > 1

是為了決定

a - a^{- 1}

的正負；沒有這個條件，(2)(5) 就要寫成正負兩種。

第 4 題答案 (1)(4)。(1) 正確。 不是

0

的數的

0

次方都是

1

。(2) 錯誤。

5^{- 2} = \frac{1}{5 ^{2}} = \frac{1}{25}

，負的指數是取倒數，不會變成負數。(3) 錯誤。 課本裡分數指數

a^{\frac{m}{n}}

只對正的底數

a

定義，底數是

- 8

時這個式子沒有定義。假如硬要定義，

\frac{1}{3} = \frac{2}{6}

，

(- 8)^{\frac{2}{6}}

照指數律會算成

6 (- 8)^{2} = 664 = 2

，和

- 2

互相矛盾。（

3 - 8 = - 2

是對的，但那是根式，不是分數指數。）(4) 正確。

32 = 2^{\frac{1}{3}}

、

48 = 2^{\frac{3}{4}}

，相乘得

2^{\frac{1}{3} + \frac{3}{4}} = 2^{\frac{13}{12}}

。(5) 錯誤。 指數是

2^{5} = 32

，所以左邊是

3^{32}

；

(3^{2})^{5}

才是

3^{10}

。

3^{(2^{5})}

與

(3^{2})^{5}

的括號位置不同，前者指數先算，後者才用「指數相乘」。

第 5 題答案 (1)(2)(4)(5)。半衰期

5730 \pm 40

年就是

5690 \leq x \leq 5770

，也就是

x

與

5730

的距離不超過

40

：

∣ x - 5730∣ \leq 40

，所以

a = 5730

、

b = 40

。(1) 正確。

a + b = 5770

。(2) 正確。

a - b = 5690

。(3) 錯誤。 能測量的時間不超過

60000

年。

10

個半衰期是

10 x

，介於

56900

與

57700

之間，沒有超過

60000

；

11

個半衰期是

11 x

，至少

62590

，已經超過。所以

n = 10

。(4) 正確。 每過一個半衰期含量變成一半，

10

個半衰期後是原來的

(\frac{1}{2})^{10} = \frac{1}{1024}

。(5) 正確。 比率變成

1 0^{- 12} \times \frac{1}{1024}

，而

\frac{1}{1024} < \frac{1}{1000} = 1 0^{- 3}

，所以比率小於

1 0^{- 12} \times 1 0^{- 3} = 1 0^{- 15}

。

原檔的集合符號沒有顯示，本站推定

a, b

是實數、

n

是正整數；

a

、

b

由區間的中點與半寬唯一決定，

n

是個數，這樣推定不影響答案；若原卷印的是整數或正整數，答案相同。

60000 \div 5730 \approx 10.47

，也看得出最多

10

個。

03填充 A～D：有理數係數比較、整數與小數部分、分點

第 6 題展開整理：

(2 a + b) + (a - b) 5 = 7 - 5

。因為

a, b

是有理數、

5

是無理數，兩邊的有理數部分與

5

的係數要分別相等：

2 a + b = 7

、

a - b = - 1

。兩式相加得

3 a = 6

，

a = 2

，

b = 3

，所以

(a, b) = (2, 3)

。

原檔的集合符號沒有顯示。若

a, b

只是實數，一個等式解不出唯一的數對，所以本站推定是有理數，結果也與學校答案相同。不論原卷印的是整數或有理數，答案都相同。

第 7 題

\frac{3 + 5}{2} = \frac{6 + 2 5}{4} = \frac{( 5 + 1 ) ^{2}}{4}

，所以

\frac{3 + 5}{2} = \frac{5 + 1}{2}

。因為

2 < 5 < 3

，

\frac{3}{2} < \frac{5 + 1}{2} < 2

，整數部分

a = 1

，小數部分

b = \frac{5 + 1}{2} - 1 = \frac{5 - 1}{2}

。

\frac{2}{b} = \frac{4}{5 - 1} = \frac{4 ( 5 + 1 )}{5 - 1} = 5 + 1

，所以

\frac{2}{b} - a = 5 + 1 - 1 = 5

。

\frac{5 + 1}{2} \approx 1.618

。先把雙重根號化開，才看得出整數部分。

第 8 題

\overline{A C} = ∣ x + 22 ∣

、

\overline{B C} = ∣ x - 2 ∣

，由

\overline{A C} : \overline{B C} = 3 : 2

得

2∣ x + 22 ∣ = 3∣ x - 2 ∣

，即

2 (x + 22) = \pm 3 (x - 2)

。取正號：

2 x + 42 = 3 x - 32

，

x = 72

。取負號：

2 x + 42 = - 3 x + 32

，

5 x = - 2

，得到另一個解

x = - \frac{2}{5}

，兩個都合。

- \frac{2}{5}

在

A

、

B

之間（內分點），

72

在

B

的右邊（外分點）；到兩定點距離比固定的點，數線上有兩個。

第 9 題設

a

的整數部分是

n

（

n

是不小於

0

的整數），則

a = n + b

，

0 \leq b < 1

。代入

a - b^{2} = 2

：

n + b - b^{2} = 2

，即

b (1 - b) = 2 - n

。因為

0 \leq b < 1

，

b

與

1 - b

都不是負的，

b (1 - b) \geq 0

；又

b (1 - b) = \frac{1}{4} - (b - \frac{1}{2})^{2} \leq \frac{1}{4}

。所以

0 \leq 2 - n \leq \frac{1}{4}

，而

2 - n

是整數，只能是

0

，得

n = 2

、

b (1 - b) = 0

。在

0 \leq b < 1

內只有

b = 0

，此時

a = 2

。

小數部分的定義是「原數減去整數部分」，範圍是

0 \leq b < 1

，可以等於

0

、不能等於

1

。

04填充 E～I：絕對值方程式與不等式、半衰期

第 10 題

∣ x - 2∣ = 2∣ x + 1∣

表示

x - 2 = 2 (x + 1)

或

x - 2 = - 2 (x + 1)

。前者得

x = - 4

；後者得

3 x = 0

，

x = 0

。代回：

x = - 4

時兩邊都是

6

，

x = 0

時兩邊都是

2

，都成立。

幾何意義：到

2

的距離是到

- 1

的距離的兩倍的點，一個在

- 1

與

2

之間，一個在

- 1

的左邊。

第 11 題

∣1 - 2 x ∣ = ∣2 x - 1∣

，所以

3 \leq ∣2 x - 1∣ < 5

表示

3 \leq 2 x - 1 < 5

或

- 5 < 2 x - 1 \leq - 3

。前者得

4 \leq 2 x < 6

，

2 \leq x < 3

；後者得

- 4 < 2 x \leq - 2

，

- 2 < x \leq - 1

。所以

- 2 < x \leq - 1

或

2 \leq x < 3

。

兩端一個有等號、一個沒有，翻到負的那一段時等號要跟著原來的那一端走。

第 12 題每天變成

a

倍，

8

天後是

a^{8}

倍，所以

a^{8} = \frac{1}{2}

。把

a = 2^{x}

代入：

2^{8 x} = 2^{- 1}

，比較指數得

8 x = - 1

，所以

x = - \frac{1}{8}

，是負的，因為質量一天比一天少。

第 13 題

a = 0

時不等式變成

6 > b

，解不是全體實數就是無解，不合，所以

a \neq = 0

。

∣ a x - 6∣ = ∣ a ∣ x - \frac{6}{a}

，不等式成為

x - \frac{6}{a} > \frac{b}{∣ a ∣}

，解是數線上與

\frac{6}{a}

的距離大於

\frac{b}{∣ a ∣}

的點，也就是以

\frac{6}{a}

為中心、左右各

\frac{b}{∣ a ∣}

以外的兩段。題目給的兩段是

x > 2

或

x < - 6

，中心是

\frac{2 + ( - 6 )}{2} = - 2

，半寬是

4

。所以

\frac{6}{a} = - 2

，

a = - 3

；

\frac{b}{3} = 4

，

b = 12

。驗算：

∣ - 3 x - 6∣ > 12

即

∣ x + 2∣ > 4

，解是

x > 2

或

x < - 6

。

原檔的集合符號沒有顯示，本站推定

a, b

是實數；不論原卷印的是整數、有理數或實數，答案都相同。

a

是負的不影響作法：

∣ a x - 6∣

提出的是

∣ a ∣

。

第 14 題

∣ x + 1∣ < a

的解是

- 1 - a < x < - 1 + a

；

∣2 x - 5∣ < b

的解是

\frac{5 - b}{2} < x < \frac{5 + b}{2}

。兩者的共同部分要剛好是

0 < x < 2

。左端：

a > 0

，所以

- 1 - a < - 1

，不可能是

0

；左端的

0

只能來自第二式，

\frac{5 - b}{2} = 0

，

b = 5

，第二式成為

0 < x < 5

。右端：

5 \neq = 2

，所以右端的

2

來自第一式，

- 1 + a = 2

，

a = 3

。驗算：

- 4 < x < 2

與

0 < x < 5

的共同部分是

0 < x < 2

。所以

(a, b) = (3, 5)

。

聯立不等式的解是各式解的共同部分：左端取兩個左端裡較大的，右端取兩個右端裡較小的。

05計算 1～2：分段討論、算幾不等式

第 15 題絕對值裡的式子在

x = - 1

與

x = 5

變號，分三段討論。 (i)

x \geq 5

：

(x + 1) - 2 (x - 5) \geq 3

，

- x + 11 \geq 3

，

x \leq 8

。與

x \geq 5

合起來是

5 \leq x \leq 8

。 (ii)

- 1 \leq x < 5

：

(x + 1) + 2 (x - 5) \geq 3

，

3 x - 9 \geq 3

，

x \geq 4

。與

- 1 \leq x < 5

合起來是

4 \leq x < 5

。 (iii)

x < - 1

：

- (x + 1) + 2 (x - 5) \geq 3

，

x - 11 \geq 3

，

x \geq 14

。與

x < - 1

沒有共同部分，無解。三段合併：

4 \leq x \leq 8

。

每一段解出來的範圍，都要先和那一段自己的範圍取共同部分，最後再把各段合起來。代端點檢查：

x = 4

時

5 - 2 = 3

，

x = 8

時

9 - 6 = 3

，剛好都等於

3

。

第 16 題設矩形的長是

x

公分、寬是

y

公分，

x > 0

、

y > 0

。繩長

60

公分是周長，所以

2 (x + y) = 60

，

x + y = 30

；面積是

x y

平方公分。 面積不一定相同。 例如

x = 10

、

y = 20

時面積是

200

；

x = 5

、

y = 25

時面積是

125

。周長都是

60

，面積不同。 面積有最大值，發生在正方形。 由算幾不等式，

\frac{x + y}{2} \geq x y

，即

15 \geq x y

，兩邊平方得

x y \leq 225

。等號成立的條件是

x = y

，配合

x + y = 30

得

x = y = 15

，這組數做得到。所以面積最大是

225

平方公分，這時長、寬都是

15

公分，矩形是正方形；長、寬不相等時等號不成立，面積一定小於

225

。兩個回答都正確。

用算幾不等式求最大值要寫出兩件事：不等式本身，以及等號成立的條件確實做得到。也可以不用算幾不等式：

x y = x (30 - x) = 225 - (x - 15)^{2} \leq 225

，結論相同。

和固定時，兩個正數的乘積在兩數相等時最大。

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04填充 E～I：絕對值方程式與不等式、半衰期

05計算 1～2：分段討論、算幾不等式

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