段考詳解範圍：數與式（實數與根式、乘法公式與算幾不等式、絕對值與數線、指數、常用對數與科學記號）

屏東高中 108 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 21 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 21 題，照原卷順序

單選題 5 題（每題 4 分）、多選題 4 題（每題 5 分）、選填題 12 題（每題 5 分），共 21 題、100 分。本頁第 10～21 題依序為原卷選填題 A～L。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單選題：每題 4 分，答錯不倒扣，共 20 分。

下列選項哪一個是正確的？

(1) $(a^{3})^{2} = a^{3}$ 。
(2) $a^{\frac{2}{7}}$ 與 $a^{\frac{7}{2}}$ 互為倒數
(3) $a^{\frac{3}{5}} = 3 a^{5}$ 。
(4) 當 $a > 1$ 時，若 $p < q$ ，則 $a^{p} < a^{q}$ 。

下列哪一個選項是正確的？

(1) $lo g 1000 = 3$
(2) $1 0^{2} \times 1 0^{l o g 0.002} = 2.002$
(3) $1 0^{2 \cdot l o g 3} = 6$
(4) $1 0^{- l o g 3} = - 3$

下列各組數的大小關係哪一個選項是正確的？

(1) $(1.7)^{\frac{2}{3}} > (1.7)^{\frac{3}{4}}$
(2) $(0.7)^{\frac{2}{3}} > (0.7)^{\frac{3}{4}}$
(3) $2^{3} > 2^{5}$
(4) $(0.3)^{0.2} < (0.3)^{0.3}$

下列選項那一個是正確的？

(1) $4 - 5 < 3 - 6$
(2) $5 - 4 < 6 - 3$
(3) $4 + 5 < 3 + 6$
(4) 以上皆非

若正實數

x

滿足

lo g x = 2.8

，則

lo g x^{2}

的值為下列哪一個選項？

(1) $4.8$
(2) $5.8$
(3) $5.6$
(4) $8.4$

二、多選題：每題全對得 5 分，只錯一個選項得 3 分，只錯二個選項得 1 分，其餘得 0 分，共 20 分。

下列敘述哪些是正確的？

(1) 若 $a$ ， $b$ 為有理數，則 $a + b$ 與 $ab$ 也是有理數。
(2) 若 $a$ ， $b$ 為無理數，則 $a + b$ 不一定是無理數。
(3) 若 $a$ ， $b$ 為無理數，則 $ab$ 也是無理數。
(4) 若 $a$ 是有理數，則 $a$ 是無理數。
(5) 若 $a$ 是無理數，則 $a^{2}$ 是有理數。

數線上，有

A (a)

，

B (b)

，

C (\frac{a + 2 b}{3})

，

D (\frac{a + 5 b}{6})

四點且

A

點在

B

點右方，試選出正確選項：

(1) $\overline{A B} = ∣ a - b ∣$
(2) $B$ 點在 $C$ 點左方
(3) $D$ 點在 $C$ 點右方
(4) $\overline{A B} : \overline{B C} = 2 : 3$
(5) $\overline{A D} > \overline{B C}$

下列選項哪些是正確的？

(1) $2.34 \times 1 0^{21}$ 是 $21$ 位數。
(2) $3.11 \times 1 0^{- 12}$ 小數點後第 $12$ 位開始不為 $0$ 。
(3) $1 0^{8.91}$ 整數部分是 $9$ 位數。
(4) $1 0^{- 6.12}$ 小數點後第 $6$ 位開始不為 $0$ 。
(5) $lo g 1984$ 介於整數 $3$ 與 $4$ 之間

試問哪些選項中的方程式有解？

(1) $∣ x + 2∣ + ∣ x - 1∣ = 5$
(2) $∣ x + 2∣ - ∣ x - 1∣ = - 3$
(3) $∣ x + 2∣ + ∣ x - 1∣ = 2$
(4) $∣ x + 2∣ + ∣ x - 1∣ = 4$
(5) $∣ x + 2∣ - ∣ x - 1∣ = 4$

三、選填題：每題 5 分，請依答案格內之題號選擇正確數字或符號畫卡。

A. 設

a

，

b

為有理數，

(3 + 3) a + (2 - 3) b = 12 - 3

，則

a + b

的值為 ____。（原卷作答格共一格）

B. 試求

(40)^{\frac{1}{3}} \times [(625)^{\frac{1}{3}}]^{\frac{1}{2}} =

____。（原卷作答格共兩格）

C. 設

A (- 5)

，

B (7)

，

P (x)

為數線上三點，且

\overline{A P} : \overline{B P} = 3 : 1

，已知

P

點在

\overline{A B}

上，則

x

之值為 ____。（原卷作答格共一格）

D. 化簡下列根式

9 - 45 =

____。（原卷作答格式為「根號，根號內一格」減「一格」）

E. 已知

x - \frac{1}{x} = 3

，則

x^{3} - \frac{1}{x ^{3}}

的值為 ____。（原卷作答格共兩格）

F. 不等式

∣ x - 1∣ + 2∣ x - 5∣ \leq 7

的解以區間表示為 ____。（原卷作答格式為中括號內左右各一格，中間以逗號分開）

G. 已知

a^{2 x} = 3

，試求

\frac{a ^{x} + a ^{- x}}{2 a ^{x} - a ^{- x}}

之值為 ____。（原卷作答格式為分數，分子、分母各一格）

H. 美國發射的第一艘火星探測器鳳凰號，在太空中歷經

6.8 \times 1 0^{8}

公里的航程後，終於登上火星表面。若發射第一天，鳳凰號行進了

1.43 \times 1 0^{5}

公里，第二天行進了

2.62 \times 1 0^{6}

公里，則這兩天鳳凰號一共行進 ____

\times 1 0^{6}

公里。（化為科學記號，並以

3

位有效數字表示）（原卷作答格式為㉒.㉓㉔）

I. 設

a

，

b

，

s

，

t

均為正數，且滿足

lo g a = 1.6

，

lo g b = 1.2

，

s = a b^{2}

，

t = \frac{b ^{3}}{a}

，則

\frac{s + t}{100} =

____。（原卷作答格共三格）

J. 在半徑

8

公尺的半圓中開闢一個內接矩形

A B C D

的苗圃，且

\overline{A D}

與直徑重合。其中

O

為圓心，試問此苗圃的最大面積為 ____。（原卷作答格共兩格；卷面未印單位，圖為示意圖）

載入中...

K. 天文學上用“視星等”與“絕對星等”來衡量恆星的亮度，這兩個星等的關係為

M = m + 5 - 5 lo g d

，其中

m

，

M

分別代表該恆星的視星等、絕對星等，

d

代表恆星與地球的距離（秒差距，

1

秒差距

\approx 3.26

光年）。已知天狼星的視星等為

- 1.46

，絕對星等為

1.43

，則天狼星距離地球約為 ____ 光年。（四捨五入至小數點後一位）（原卷作答格式為㉚.㉛）

L. 甲狀腺有問題的病患在手術後一段時間，需檢查是否還有新生成不好的甲狀腺細胞，通常會使用放射性碘

I_{131}

來檢驗：碘

I_{131}

經由人體吸收，會累積在甲狀腺的組織中，如果身體內還殘留甲狀腺細胞，

I_{131}

將附在上面，可藉由掃描偵測出來，以判斷是否需要做進一步治療。但經過一段時間，體內的

I_{131}

會自然的減少或消失。碘

I_{131}

經過

t

天後，其數量會由

N_{0}

變成

N_{0} \times a^{t}

，其中

a

為常數。已知碘

I_{131}

的半衰期是

8

天（

8

天後放射性元素的數量會由

N_{0}

變成

\frac{N _{0}}{2}

），則碘

I_{131}

的數量由

N_{0}

變成

\frac{N _{0}}{5}

需要至少經過 ____ 天。（四捨五入至整數位）（原卷作答格共兩格）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(4)

第 2 題(1)

第 3 題(2)

第 4 題(2)

第 5 題(3)

第 6 題(1)(2)

第 7 題(1)(2)(5)

第 8 題(2)(3)(5)

第 9 題(1)(2)(4)

第 10 題

5

第 11 題

10

第 12 題

4

第 13 題

5 - 2

第 14 題

36

第 15 題

[2, 6]

第 16 題

\frac{4}{5}

第 17 題

2.76

第 18 題

101

第 19 題

64

第 20 題

8.6

第 21 題

19

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～5：指數律、對數的定義、指數比大小與根式比大小

第 1 題答案 (4)。(1) 不對：

(a^{3})^{2} = a^{23}

，而

23 \approx 3.46

不是

3

；例如

a = 2

時左邊約

11.0

，右邊是

8

。(2) 不對：

a^{\frac{2}{7}} \times a^{\frac{7}{2}} = a^{\frac{2}{7} + \frac{7}{2}} = a^{\frac{53}{14}}

，一般不是

1

；

a^{\frac{2}{7}}

的倒數是

a^{- \frac{2}{7}}

。(3) 不對：

a^{\frac{3}{5}} = 5 a^{3}

，而

3 a^{5} = a^{\frac{5}{3}}

；例如

a = 32

時左邊是

(532)^{3} = 2^{3} = 8

，右邊是

3 2^{\frac{5}{3}} = 2^{\frac{25}{3}}

，比

2^{8} = 256

還大。(4) 對：

a > 1

且

q - p > 0

時

a^{q - p} > 1

，兩邊同乘正數

a^{p}

得

a^{q} > a^{p}

。分數與無理數的指數要底數

a > 0

才有定義，所以以

a > 0

來看：

a = 1

時 (1)(2)(3) 的兩邊都是

1

，式子會成立；它們錯在不是對每個

a

都成立。

分數指數

a^{\frac{m}{n}} = n a^{m}

：分母是開幾次方根，分子是幾次方。互為倒數是指數差一個負號，不是把分數上下顛倒。

第 2 題答案 (1)。(1) 對：

1 0^{3} = 1000

，所以

lo g 1000 = 3

。(2) 不對：由

lo g

的定義

1 0^{l o g 0.002} = 0.002

，左邊

= 100 \times 0.002 = 0.2

。(3) 不對：

1 0^{2 \cdot l o g 3} = (1 0^{l o g 3})^{2} = 3^{2} = 9

。(4) 不對：

1 0^{- l o g 3} = \frac{1}{1 0 ^{l o g 3}} = \frac{1}{3}

；

10

的任何次方都是正數，不可能是

- 3

。

lo g b

就是「

10

的幾次方會等於

b

」，所以

1 0^{l o g b} = b

。指數相加對應的是相乘，不是相加。

第 3 題答案 (2)。先比指數：

\frac{2}{3} = \frac{8}{12}

，

\frac{3}{4} = \frac{9}{12}

，所以

\frac{2}{3} < \frac{3}{4}

；另外

3 < 5

，

0.2 < 0.3

。底數大於

1

時，指數越大值越大；底數在

0

與

1

之間時，指數越大值越小。(1) 底數

1.7 > 1

，應是

(1.7)^{\frac{2}{3}} < (1.7)^{\frac{3}{4}}

，不對。(2) 底數

0.7 < 1

，指數小的反而大，

(0.7)^{\frac{2}{3}} > (0.7)^{\frac{3}{4}}

，對。(3) 底數

2 > 1

，應是

2^{3} < 2^{5}

，不對。(4) 底數

0.3 < 1

，應是

(0.3)^{0.2} > (0.3)^{0.3}

，不對。

比同底數的兩個數，先看底數比

1

大還是小，再比指數。

第 4 題答案 (2)。把負的項移到另一邊，兩邊都變成正數的和，再比平方。(2)

5 - 4 < 6 - 3

等同於

5 + 3 < 6 + 4

；兩邊平方，左邊

8 + 215

，右邊

10 + 224

，左邊確實比較小，對。(1)

4 - 5 < 3 - 6

等同於

4 + 6 < 3 + 5

，也就是

10 + 224 < 8 + 215

，不成立。(3) 兩邊平方得

9 + 220

與

9 + 218

，左邊比較大，不成立。既然 (2) 成立，(4) 也不對。

估計值可以檢查：

5 - 4 \approx 0.236

，

6 - 3 \approx 0.717

；

4 + 5 \approx 4.236

，

3 + 6 \approx 4.181

。

第 5 題答案 (3)。

lo g x = 2.8

就是

x = 1 0^{2.8}

，所以

x^{2} = (1 0^{2.8})^{2} = 1 0^{5.6}

，

lo g x^{2} = 5.6

。

平方讓指數變成兩倍，不是加

2

，也不是把

2.8

平方。

lo g b = k

與

1 0^{k} = b

是同一件事；遇到

lo g

的式子，先換回

10

的次方再用指數律。

02多選 6～9：有理數與無理數、數線上的分點、位數與絕對值方程式

第 6 題答案 (1)(2)。(1) 正確。 兩個分數相加、相乘仍是分數（整數比），所以有理數的和與積都是有理數。(2) 正確。

2 + (- 2) = 0

是有理數，

2 + 2 = 22

是無理數，兩種情形都有，所以不一定。(3) 錯誤。

2 \times 2 = 2

是有理數。(4) 錯誤。

a = 4

時

a = 2

是有理數。(5) 錯誤。

a = 1 + 2

是無理數，

a^{2} = 3 + 22

仍是無理數。

有理數對加減乘除（除數不為

0

）封閉，無理數不封閉；要否定「一定是」，舉一個反例就夠。

第 7 題答案 (1)(2)(5)。

A

在

B

右方，所以

a > b

，令

k = a - b > 0

。

C

的坐標減

b

：

\frac{a + 2 b}{3} - b = \frac{a - b}{3} = \frac{k}{3}

；

D

的坐標減

b

：

\frac{a + 5 b}{6} - b = \frac{k}{6}

。所以從左到右依序是

B

、

D

、

C

、

A

，與

B

的距離分別是

0

、

\frac{k}{6}

、

\frac{k}{3}

、

k

。 (1) 正確。 數線上兩點的距離就是坐標差的絕對值。(2) 正確。

C

比

B

多

\frac{k}{3}

，

B

在

C

左方。(3) 錯誤。

\frac{k}{6} < \frac{k}{3}

，

D

在

C

左方。(4) 錯誤。

\overline{A B} : \overline{B C} = k : \frac{k}{3} = 3 : 1

。(5) 正確。

\overline{A D} = k - \frac{k}{6} = \frac{5 k}{6}

，

\overline{B C} = \frac{k}{3} = \frac{2 k}{6}

，

\overline{A D}

比較長。

\frac{a + 2 b}{3}

是把

\overline{A B}

分成

3

等份、離

B

一份的點（係數大的那一端比較近）；

\frac{a + 5 b}{6}

是分成

6

等份、離

B

一份的點。

第 8 題答案 (2)(3)(5)。(1) 錯誤。

1 0^{21}

是

1

後面

21

個

0

，共

22

位數，

2.34 \times 1 0^{21}

也是

22

位數。(2) 正確。

1 0^{- 12}

的

1

在小數點後第

12

位，

3.11 \times 1 0^{- 12}

的

3

就在第

12

位，前面

11

位都是

0

。(3) 正確。

1 0^{8} < 1 0^{8.91} < 1 0^{9}

，整數部分是

9

位數。(4) 錯誤。

1 0^{- 6.12} = 1 0^{0.88} \times 1 0^{- 7}

，而

1 < 1 0^{0.88} < 10

，所以它從小數點後第

7

位開始不為

0

。(5) 正確。

1 0^{3} = 1000 < 1984 < 10000 = 1 0^{4}

，所以

3 < lo g 1984 < 4

。

把數寫成

a \times 1 0^{n}

（

1 \leq a < 10

）：

n \geq 0

時整數部分是

n + 1

位數；

n < 0

時小數點後第

∣ n ∣

位開始不為

0

。(4) 的指數

- 6.12

要拆成

- 7 + 0.88

，不是

- 6 - 0.12

就直接看

6

。

第 9 題答案 (1)(2)(4)。

∣ x + 2∣

是數線上

x

到

- 2

的距離，

∣ x - 1∣

是

x

到

1

的距離，

- 2

與

1

相距

3

。距離和

∣ x + 2∣ + ∣ x - 1∣

：

x

在

- 2

與

1

之間時恰為

3

，往外移動可以變成任何比

3

大的數，所以它的值是所有不小於

3

的數。(1) 正確。

5

不小於

3

，例如

x = 2

：

4 + 1 = 5

。(3) 錯誤。

2

比

3

小，無解。(4) 正確。 例如

x = 1.5

：

3.5 + 0.5 = 4

。距離差

∣ x + 2∣ - ∣ x - 1∣

：

x \geq 1

時為

(x + 2) - (x - 1) = 3

；

x \leq - 2

時為

- (x + 2) + (x - 1) = - 3

；中間為

2 x + 1

，介於

- 3

與

3

之間。所以它的值只在

- 3

到

3

之間。(2) 正確。 所有

x \leq - 2

都是解。(5) 錯誤。

4

比

3

大，無解。

到兩定點的距離和最小是兩定點的距離；距離差的絕對值最大也是兩定點的距離。

判斷「哪些正確」時，對的要說出理由，錯的舉一個反例。

03選填 10～15（原卷選填 A～F）：比較係數、分數指數、分點、雙重根號、乘法公式與絕對值不等式

第 10 題把左邊依有沒有

3

整理：

(3 a + 2 b) + (a - b) 3 = 12 - 3

。

a

、

b

是有理數，所以

3 a + 2 b

與

a - b

都是有理數，兩邊的有理數部分與

3

的係數要分別相等：

3 a + 2 b = 12

，

a - b = - 1

。由第二式

a = b - 1

代入第一式：

3 (b - 1) + 2 b = 12

，

b = 3

，

a = 2

。

a + b = 5

。

「係數分別相等」要有

a

、

b

是有理數這個條件才成立。

第 11 題

[(625)^{\frac{1}{3}}]^{\frac{1}{2}} = 62 5^{\frac{1}{6}} = (2 5^{2})^{\frac{1}{6}} = 2 5^{\frac{1}{3}}

。所以原式

= 4 0^{\frac{1}{3}} \times 2 5^{\frac{1}{3}} = (40 \times 25)^{\frac{1}{3}} = 100 0^{\frac{1}{3}} = 10

。

指數的指數相乘：

\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6}

；指數相同的兩數相乘可以先把底數相乘。

第 12 題

P

在

\overline{A B}

上且

\overline{A P} : \overline{B P} = 3 : 1

，由分點公式

x = \frac{1 \times ( - 5 ) + 3 \times 7}{3 + 1} = \frac{16}{4} = 4

。檢查：

\overline{A P} = 4 - (- 5) = 9

，

\overline{B P} = 7 - 4 = 3

，

9 : 3 = 3 : 1

。

\overline{A B} = 12

分成

4

等份，每份

3

；

P

離

A

三份，

- 5 + 9 = 4

。

第 13 題先把裡面的根號前面變成

2

：

45 = 2 4 \times 5 = 220

，所以原式

= 9 - 220

。找兩數和為

9

、積為

20

：

5

和

4

。

9 - 220 = (5 - 4)^{2} = 5 - 4 = 5 - 2

。

相減的雙重根號要寫成大的減小的，結果才是正數：

5 \approx 2.236 > 2

。

第 14 題由

(u - v)^{3} = u^{3} - v^{3} - 3 uv (u - v)

，取

u = x

、

v = \frac{1}{x}

（

uv = 1

）：

(x - \frac{1}{x})^{3} = x^{3} - \frac{1}{x ^{3}} - 3 (x - \frac{1}{x})

。所以

x^{3} - \frac{1}{x ^{3}} = 3^{3} + 3 \times 3 = 27 + 9 = 36

。

也可以用立方差：

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = (x - \frac{1}{x})^{2} + 2 = 11

，

x^{3} - \frac{1}{x ^{3}} = (x - \frac{1}{x}) (x^{2} + 1 + \frac{1}{x ^{2}}) = 3 \times 12 = 36

。

第 15 題依

x

與

1

、

5

的位置分三段。①

x \geq 5

：

(x - 1) + 2 (x - 5) = 3 x - 11 \leq 7

，

x \leq 6

，這一段的解是

5 \leq x \leq 6

。②

1 \leq x < 5

：

(x - 1) + 2 (5 - x) = 9 - x \leq 7

，

x \geq 2

，這一段的解是

2 \leq x < 5

。③

x < 1

：

(1 - x) + 2 (5 - x) = 11 - 3 x \leq 7

，

x \geq \frac{4}{3}

，與

x < 1

不合，這一段沒有解。合起來是

2 \leq x \leq 6

，即區間

[2, 6]

。

每一段解出來的範圍都要和那一段的前提取共同部分。檢查端點：

x = 2

時

1 + 6 = 7

，

x = 6

時

5 + 2 = 7

。

有絕對值的式子，先在數線上標出讓絕對值裡面變號的點，再分段把絕對值拿掉。

04選填 16～21（原卷選填 G～L）：指數律、科學記號、對數的定義、算幾不等式、星等與半衰期

第 16 題分子、分母同乘

a^{x}

：

\frac{a ^{x} + a ^{- x}}{2 a ^{x} - a ^{- x}} = \frac{a ^{2 x} + 1}{2 a ^{2 x} - 1}

。代入

a^{2 x} = 3

得

\frac{3 + 1}{2 \times 3 - 1} = \frac{4}{5}

。

a^{x} \times a^{- x} = a^{0} = 1

，同乘

a^{x}

就能把式子全部換成已知的

a^{2 x}

。

第 17 題先把兩個數換成同一個

10

的次方：

1.43 \times 1 0^{5} = 0.143 \times 1 0^{6}

。相加：

0.143 \times 1 0^{6} + 2.62 \times 1 0^{6} = 2.763 \times 1 0^{6}

。取

3

位有效數字，第四位的

3

捨去，得

2.76 \times 1 0^{6}

公里。

題目開頭的

6.8 \times 1 0^{8}

公里是全程，這一題用不到。

第 18 題由

lo g

的定義，

a = 1 0^{1.6}

，

b = 1 0^{1.2}

。

s = a b^{2} = 1 0^{1.6} \times 1 0^{2.4} = 1 0^{4} = 10000

；

t = \frac{b ^{3}}{a} = \frac{1 0 ^{3.6}}{1 0 ^{1.6}} = 1 0^{2} = 100

。所以

\frac{s + t}{100} = \frac{10100}{100} = 101

。

s + t

是相加，要先各自算出數值；指數律只管乘除與次方。

第 19 題設

\overline{C D} = y

。

B

、

C

都在半圓上，

\overline{O B} = \overline{O C} = 8

，而

\overline{A B} = \overline{C D}

，由畢氏定理

\overline{O A} = \overline{O D}

，設為

x

。於是

x^{2} + y^{2} = 64

，矩形的長是

2 x

、寬是

y

，面積

= 2 x y

。由算幾不等式，

\frac{x ^{2} + y ^{2}}{2} \geq x^{2} y^{2} = x y

，所以

2 x y \leq x^{2} + y^{2} = 64

。等號在

x^{2} = y^{2}

即

x = y = 42

時成立，做得到。最大面積為

64

平方公尺。

面積最大時矩形的長

82

是寬

42

的兩倍。本站的圖只是示意，沒有照面積最大時的形狀畫。

第 20 題代入

m = - 1.46

、

M = 1.43

：

1.43 = - 1.46 + 5 - 5 lo g d

，所以

5 lo g d = 3.54 - 1.43 = 2.11

，

lo g d = 0.422

。由

lo g

的定義

d = 1 0^{0.422} \approx 2.642

（秒差距）。換成光年：

2.642 \times 3.26 \approx 8.61

，四捨五入到小數點後一位是

8.6

光年。

1 0^{0.422}

要用計算機或對數表才求得出來（查表：

lo g 2.64 \approx 0.4216

）；卷面沒有附對數表。算出

d

之後還要乘

3.26

，題目問的是光年。

第 21 題半衰期

8

天：

N_{0} \times a^{8} = \frac{N _{0}}{2}

，所以

a^{8} = \frac{1}{2}

。數量變成

\frac{N _{0}}{5}

：

a^{t} = \frac{1}{5}

。把

a^{t}

寫成

(a^{8})^{\frac{t}{8}} = (\frac{1}{2})^{\frac{t}{8}}

，所以

2^{\frac{t}{8}} = 5

，兩邊同取

8

次方得

2^{t} = 5^{8} = 390625

。

2^{18} = 262144

，

2^{19} = 524288

，而

262144 < 390625 < 524288

，所以

18 < t < 19

：第

18

天還比

\frac{N _{0}}{5}

多，第

19

天已經比它少，至少要經過

19

天。再比一次：

2^{37} = 137438953472

，

5^{16} = 152587890625

，

2^{37} < 5^{16}

，兩邊開平方得

2^{18.5} < 5^{8} = 2^{t}

，所以

t > 18.5

，四捨五入至整數位也是

19

。題目寫的「至少」與「四捨五入」兩種取法，答案同為

19

天。

用計算機可以直接求：

t = 8 \times \frac{l o g 5}{l o g 2} \approx 8 \times \frac{0.6990}{0.3010} \approx 18.58

。卷面沒有給

lo g 2

、

lo g 5

的值，所以上面改用

2

與

5

的整數次方來夾。

5

介於

2^{2}

與

2^{3}

之間，可以先知道答案在

16

天與

24

天之間。

應用題先把文字換成等式，再用「

lo g A = k

就是

A = 1 0^{k}

」在指數與對數之間來回。

同一次段考的其他學校

同樣是高一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

屏東高中 108 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 21 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

屏東高中 108 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 8 題的選項 4，指數負 6.12 要拆成負 7 加 0.88，所以是小數點後第 7 位開始不為 0；多選第 9 題要分清距離和最小是 3、距離差只在負 3 到 3 之間；選填 F 的絕對值不等式要分三段並和各段的前提取共同部分；選填 J 要自己設邊長、用畢氏定理與算幾不等式；選填 K 算出秒差距後還要換成光年；選填 L 要把半衰期寫成指數式再求天數。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自屏東高中 108 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

屏東高中 108 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解