段考詳解範圍：數與式（實數、絕對值、算幾不等式、指數、常用對數）

板橋高中 108 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 15 題，照原卷順序

單一選擇題 2 題（10 分）、多重選擇題 3 題（30 分）、選填題 A～H 共 10 格（60 分）。選填題 A～H 在本頁依序編為第 6～15 題：E 的兩小題是第 10、11 題，G 的兩格是第 13、14 題。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單一選擇題（每題五分，共十分）

下列哪一個數最大？

(1) $\frac{2 + 2 π}{3}$
(2) $\frac{3 2 + π}{4}$
(3) $\frac{3 2 + 2 π}{5}$
(4) $\frac{2 + 5 π}{6}$
(5) $\frac{4 2 + 3 π}{7}$

若

2^{a} = 3

且

5^{b} = 7

，則下列何者等於

0.42

？

(1) $2^{a + 1} \times 5^{b - 1}$
(2) $2^{a - 1} \times 5^{b + 1}$
(3) $2^{a - 1} \times 5^{b - 2}$
(4) $2^{a - 1} \times 5^{b + 2}$
(5) $2^{a + 1} \times 5^{b + 2}$

二、多重選擇題（每題十分，錯一個選項得七分，錯兩個選項得四分，錯三個選項得一分，其餘不給分，共三十分）

下列哪些選項中的

a

必為有理數？

(1) $a = \frac{n}{m}$ ，其中 $m, n$ 均為整數且 $m \neq = 0$
(2) $a^{\frac{3}{2}}$ 是有理數
(3) $b$ 與 $a + b$ 均為有理數
(4) $a^{3}$ 與 $a^{7}$ 均為有理數
(5) $a = 0. \overline{4}$

下列哪些數值是有意義的？

(1) $(- 8)^{\frac{1}{3}}$
(2) $0^{- 10}$
(3) $(- 1)^{2}$
(4) $π^{3.14}$
(5) $1 0^{l o g (- 10)}$

下列有關兩相異正數

a

、

b

的不等式，哪些是正確的？

(1) $a + b > 2 ab$
(2) $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} > \frac{4}{a + b}$
(3) $\frac{2 ^{a} + 2 ^{b}}{2} > 2^{\frac{a + b}{2}}$
(4) $2^{a} \cdot 2^{b} > 2^{\frac{ab}{2}}$
(5) 對任意實數 $x$ 恆有 $∣ a - b ∣ \leq ∣ x - a ∣ + ∣ x - b ∣$

三、選填題（每格六分，共六十分）※以下答案一律用最簡分數作答

將循環小數

1.2 \overline{57}

化為最簡分數為 ____。

計算

2^{10} - 2^{6} \cdot lo g 1000 + (lo g 1000)^{2} =

____。

已知

a = 14 - 410

，且

a

的小數部分為

b

，則

a - \frac{1}{b} =

____。

已知

k = lo g 11

，則

100 0^{k} =

____。

選填 E（第 10～11 題）　已知方程式

4 (4^{x} + 4^{- x}) - 16 (2^{x} + 2^{- x}) + 23 = 0

，則：

(1)

2^{x} + 2^{- x} =

____。

(2) 方程式的正實根

x =

____。

已知

a > 0

且不等式

2 \leq ∣ a x - b ∣ \leq 8

的解在數線上所佔的總長度為

4

，則

a =

____。

選填 G（第 13～14 題）　已知

3^{100}

以科學記號取到小數點後第 2 位有效數字為

3^{100} \approx 5.15 \times 1 0^{47}

，由此估計

3^{50}

。

3^{50}

應為 ____ 位數。

3^{50}

的最高位數為 ____。

當代最具影響的美國庭院園藝大師梅爾（Mel Bartholomew）發明出一種「一米菜園」(Square Foot Gardening)，是一種即使在都市內只使用

20%

的空間，卻能得到

100%

收穫的園藝方式。一位同學剛調配好的『梅爾混合土』一袋

24

升（

24000

立方公分），想在菩提農場中用小型圍籬隔出一個『日』字形的一米菜園如圖，其中鋪滿

10

公分深的『梅爾混合土』。若她將土完全鋪完，且不計圍籬厚度，則至少要為這個『日』字形菜園所有邊緣準備 ____ 公分長的小型圍籬。

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(4)

第 2 題(3)

第 3 題(1)(3)(4)(5)

第 4 題(4)

第 5 題(1)(2)(3)(5)

第 6 題

\frac{83}{66}

第 7 題

29

第 8 題

- 5

第 9 題

1331

第 10 題

\frac{5}{2}

第 11 題

1

第 12 題

3

第 13 題

24

第 14 題

7

第 15 題

240

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～2：分點公式與指數律

第 1 題答案 (4)。五個數都是

2

與

π

的加權平均，也就是數線上

2

與

π

之間的分點。例如

\frac{2 + 2 π}{3} = 2 + \frac{2}{3} (π - 2)

，是從

2

往

π

走了全長的

\frac{2}{3}

。同理，五個選項走的比例依序是

\frac{2}{3}

、

\frac{1}{4}

、

\frac{2}{5}

、

\frac{5}{6}

、

\frac{3}{7}

。因為

π > 2

，走的比例愈大，數就愈大；

\frac{5}{6}

最大，所以 (4) 最大。

用近似值檢查：五個數依序約為

2.57

、

1.85

、

2.11

、

2.85

、

2.15

。

第 2 題答案 (3)。

0.42 = \frac{42}{100} = \frac{2 \times 3 \times 7}{2 ^{2} \times 5 ^{2}} = \frac{3 \times 7}{2 \times 5 ^{2}}

。把

3 = 2^{a}

、

7 = 5^{b}

代入，得

0.42 = 2^{a} \times 5^{b} \times 2^{- 1} \times 5^{- 2} = 2^{a - 1} \times 5^{b - 2}

。

其他選項：(1)

= \frac{2 \times 3 \times 7}{5} = 8.4

，(2)

= \frac{3 \times 7 \times 5}{2} = 52.5

，(4)

= \frac{3 \times 7 \times 25}{2} = 262.5

，(5)

= 2 \times 3 \times 7 \times 25 = 1050

。

02多選 3～5：有理數、指數的定義與不等式

第 3 題答案 (1)(3)(4)(5)。 (1) 正確。 整數相除（分母不為

0

）就是有理數的定義。 (2) 錯誤。 取

a = 34 = 2^{\frac{2}{3}}

，則

a^{\frac{3}{2}} = 2^{\frac{2}{3} \times \frac{3}{2}} = 2

是有理數，但

a

是無理數。 (3) 正確。

a = (a + b) - b

，兩個有理數相減仍是有理數。 (4) 正確。 若

a = 0

，

a

是有理數。若

a \neq = 0

，則

a^{3} \neq = 0

，此時

a = \frac{a ^{7}}{( a ^{3} ) ^{2}}

是兩個有理數相除，除數不為

0

，所以仍是有理數。 (5) 正確。

0. \overline{4} = \frac{4}{9}

，所以

a = \frac{4}{9} = \frac{2}{3}

。

(4) 的關鍵是

3

與

7

互質，

7 - 2 \times 3 = 1

，能湊出

a

的一次方。(2) 只有一個條件，湊不出來。

第 4 題答案 (4)。 (1) 錯誤。 高中課本只對正的底數定義分數指數，所以

(- 8)^{\frac{1}{3}}

沒有定義。 (2) 錯誤。

0^{- 10} = \frac{1}{0 ^{10}} = \frac{1}{0}

，分母為

0

，沒有意義。 (3) 錯誤。 指數是無理數時，底數也必須是正數，

(- 1)^{2}

沒有定義。 (4) 正確。 底數

π > 0

，指數

3.14

是實數，正數的實數次方有意義。 (5) 錯誤。

lo g (- 10)

表示滿足

1 0^{t} = - 10

的

t

，但

1 0^{t}

恆為正，這樣的

t

不存在，所以

lo g (- 10)

沒有意義，整個式子也沒有意義。

(1) 為什麼不能直接說是

- 2

：若允許負的底數，

\frac{1}{3} = \frac{2}{6}

會讓

(- 8)^{\frac{2}{6}} = 6 (- 8)^{2} = 664 = 2

，同一個數算出兩個值。所以分數指數只對正的底數定義。要表示

- 8

的立方根，寫

3 - 8 = - 2

。

第 5 題答案 (1)(2)(3)(5)。 (1) 正確。 算幾不等式

\frac{a + b}{2} \geq ab

，等號只在

a = b

時成立；

a \neq = b

，所以是嚴格大於。 (2) 正確。 左式

= \frac{a + b}{ab}

。由 (1) 兩邊平方得

(a + b)^{2} > 4 ab

，兩邊同除以正數

ab (a + b)

就得到

\frac{a + b}{ab} > \frac{4}{a + b}

，與題目的式子相同。 (3) 正確。

2^{a}

、

2^{b}

是相異正數，由算幾不等式

\frac{2 ^{a} + 2 ^{b}}{2} > 2^{a} \cdot 2^{b} = 2^{\frac{a + b}{2}}

。 (4) 錯誤。 左式是

2^{a + b}

，題目等於在問

a + b > \frac{ab}{2}

是否恆成立。取

a = 4

、

b = 6

：

a + b = 10

，

\frac{ab}{2} = 12

，

2^{10} > 2^{12}

不成立。 (5) 正確。

∣ x - a ∣ + ∣ x - b ∣

是數線上

x

到

a

與到

b

的距離和，不論

x

在哪裡，都不會小於

a

、

b

兩點的距離

∣ a - b ∣

。

(5) 用三角不等式寫：

∣ a - b ∣ = ∣ (x - b) - (x - a) ∣ \leq ∣ x - b ∣ + ∣ x - a ∣

。

03選填 A～D（第 6～9 題）：循環小數、根式與常用對數

第 6 題令

t = 1.2 \overline{57} = 1.2575757 \dots

。則

1000 t = 1257.5757 \dots

，

10 t = 12.5757 \dots

，相減得

990 t = 1245

。所以

t = \frac{1245}{990} = \frac{83}{66}

（分子分母同除以

15

）。

循環節是

57

，不循環的小數有一位

2

，所以用

1000 t - 10 t

把循環的部分消掉。

第 7 題

1 0^{3} = 1000

，所以

lo g 1000 = 3

。根號內

= 2^{10} - 2^{6} \times 3 + 3^{2}

。因為

2^{10} = (2^{5})^{2}

、

2^{6} \times 3 = 2 \times 2^{5} \times 3

，根號內正好是

(2^{5} - 3)^{2} = 2 9^{2}

。所以原式

= 29

。

直接算也可以：

1024 - 192 + 9 = 841 = 2 9^{2}

。

第 8 題

14 - 410 = 14 - 240

。找兩數和為

14

、積為

40

，是

10

與

4

，所以

a = 10 - 4 = 10 - 2

。因為

3 < 10 < 4

，所以

1 < a < 2

，整數部分是

1

，小數部分

b = a - 1 = 10 - 3

。

\frac{1}{b} = \frac{1}{10 - 3} = \frac{10 + 3}{10 - 9} = 10 + 3

。所以

a - \frac{1}{b} = (10 - 2) - (10 + 3) = - 5

。

雙重根號要先把根號前的係數化成

2

：

410 = 240

。開出來要寫大減小，

10 - 2

才是正數。

第 9 題

k = lo g 11

的意思是

1 0^{k} = 11

。所以

100 0^{k} = (1 0^{3})^{k} = (1 0^{k})^{3} = 1 1^{3} = 1331

。

04選填 E、F（第 10～12 題）：換元解方程式與絕對值不等式

第 10 題令

t = 2^{x} + 2^{- x}

。平方得

t^{2} = 4^{x} + 2 + 4^{- x}

，所以

4^{x} + 4^{- x} = t^{2} - 2

。原方程式變成

4 (t^{2} - 2) - 16 t + 23 = 0

，即

4 t^{2} - 16 t + 15 = 0

，

(2 t - 3) (2 t - 5) = 0

，解得

t = \frac{3}{2}

或

t = \frac{5}{2}

兩個值。

2^{x}

與

2^{- x}

都是正數，由算幾不等式

t \geq 2 2^{x} \cdot 2^{- x} = 2

，所以

t = \frac{3}{2}

不合，只有

t = \frac{5}{2}

符合。

換元之後要檢查新變數的範圍，

t \geq 2

這一步不能省。

第 11 題由上題

2^{x} + 2^{- x} = \frac{5}{2}

。令

u = 2^{x}

（

u > 0

），則

u + \frac{1}{u} = \frac{5}{2}

，兩邊同乘

2 u

得

2 u^{2} - 5 u + 2 = 0

，

(2 u - 1) (u - 2) = 0

，

u = \frac{1}{2}

或

u = 2

。

2^{x} = \frac{1}{2}

得

x = - 1

；

2^{x} = 2

得

x = 1

。正實根是

x = 1

。

代回檢查：

x = 1

時

4 (4 + \frac{1}{4}) - 16 (2 + \frac{1}{2}) + 23 = 17 - 40 + 23 = 0

。

第 12 題

2 \leq ∣ a x - b ∣ \leq 8

表示

2 \leq a x - b \leq 8

或

- 8 \leq a x - b \leq - 2

。因為

a > 0

，第一段是

\frac{b + 2}{a} \leq x \leq \frac{b + 8}{a}

，長度

\frac{6}{a}

；第二段是

\frac{b - 8}{a} \leq x \leq \frac{b - 2}{a}

，長度也是

\frac{6}{a}

。兩段不重疊，總長度

\frac{12}{a} = 4

，所以

a = 3

。

幾何看法：

∣ a x - b ∣ = a x - \frac{b}{a}

，條件是

x

到

\frac{b}{a}

的距離介於

\frac{2}{a}

與

\frac{8}{a}

之間，左右各一段，每段長

\frac{6}{a}

。

b

是多少不影響長度。

05選填 G、H（第 13～15 題）：科學記號與算幾不等式的應用

第 13 題

3^{50} = 3^{100} \approx 5.15 \times 1 0^{47}

。

10

的次方要是偶數才好開根號，所以把根號內改寫成

51.5 \times 1 0^{46}

，開出來是

51.5 \times 1 0^{23}

的形式。因為

7^{2} = 49 < 51.5 < 64 = 8^{2}

，所以

7 < 51.5 < 8

，

3^{50}

大約是

7. \dots \times 1 0^{23}

這樣的數。

1 0^{23}

是

24

位數，所以

3^{50}

也是

24

位數。

若直接寫成

5.15 \times 1 0^{23.5}

就看不出位數，要先把指數調成偶數。

第 14 題承上，

3^{50} \approx 51.5 \times 1 0^{23}

，而

7 < 51.5 < 8

，所以最高位數字是

7

。

51.5 \approx 7.18

。題目的

5.15

是四捨五入的值，真正的值在

5.145

與

5.155

之間，

51.45

到

51.55

都在

49

與

64

之間，結論不變。

第 15 題土的體積

24000

立方公分，鋪

10

公分深，菜園的面積是

24000 \div 10 = 2400

平方公分。『日』字形是一個長方形中間加一道隔板。設與隔板同方向的邊長

x

公分（連隔板共

3

條），另一方向的邊長

y

公分（共

2

條），則

x y = 2400

，圍籬總長

3 x + 2 y

。由算幾不等式

3 x + 2 y \geq 2 3 x \cdot 2 y = 2 6 \times 2400 = 214400 = 240

。等號在

3 x = 2 y = 120

時成立，即

x = 40

、

y = 60

，此時

x y = 2400

符合條件。所以至少要準備

240

公分。

兩項的乘積

3 x \cdot 2 y = 6 x y

是定值，才能用算幾不等式；等號成立的

x

、

y

也要確認做得到。題目的圖是本站重畫的示意圖，長寬不照實際比例。

換元後先看新變數的範圍；看到兩個正數的乘積是定值，就用算幾不等式，並檢查等號做不做得到。

同一次段考的其他學校

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板橋高中 108 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 4 題第 1 個選項要記得分數指數只對正的底數定義、第 10 題換元後要用算幾不等式排除一個根、第 13 與 14 題開根號前要先把 10 的次方調成偶數，以及第 15 題要數對圍籬有三條橫的、兩條直的。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自板橋高中 108 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高一

段考詳解範圍：數與式（實數、絕對值、算幾不等式、指數、常用對數）

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01 · 試題

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一、單一選擇題（每題五分，共十分）

下列哪一個數最大？

(1) $\frac{2 + 2 π}{3}$
(2) $\frac{3 2 + π}{4}$
(3) $\frac{3 2 + 2 π}{5}$
(4) $\frac{2 + 5 π}{6}$
(5) $\frac{4 2 + 3 π}{7}$

若

2^{a} = 3

且

5^{b} = 7

，則下列何者等於

0.42

？

(1) $2^{a + 1} \times 5^{b - 1}$
(2) $2^{a - 1} \times 5^{b + 1}$
(3) $2^{a - 1} \times 5^{b - 2}$
(4) $2^{a - 1} \times 5^{b + 2}$
(5) $2^{a + 1} \times 5^{b + 2}$

二、多重選擇題（每題十分，錯一個選項得七分，錯兩個選項得四分，錯三個選項得一分，其餘不給分，共三十分）

下列哪些選項中的

a

必為有理數？

(1) $a = \frac{n}{m}$ ，其中 $m, n$ 均為整數且 $m \neq = 0$
(2) $a^{\frac{3}{2}}$ 是有理數
(3) $b$ 與 $a + b$ 均為有理數
(4) $a^{3}$ 與 $a^{7}$ 均為有理數
(5) $a = 0. \overline{4}$

下列哪些數值是有意義的？

(1) $(- 8)^{\frac{1}{3}}$
(2) $0^{- 10}$
(3) $(- 1)^{2}$
(4) $π^{3.14}$
(5) $1 0^{l o g (- 10)}$

下列有關兩相異正數

a

、

b

的不等式，哪些是正確的？

(1) $a + b > 2 ab$
(2) $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} > \frac{4}{a + b}$
(3) $\frac{2 ^{a} + 2 ^{b}}{2} > 2^{\frac{a + b}{2}}$
(4) $2^{a} \cdot 2^{b} > 2^{\frac{ab}{2}}$
(5) 對任意實數 $x$ 恆有 $∣ a - b ∣ \leq ∣ x - a ∣ + ∣ x - b ∣$

三、選填題（每格六分，共六十分）※以下答案一律用最簡分數作答

將循環小數

1.2 \overline{57}

化為最簡分數為 ____。

計算

2^{10} - 2^{6} \cdot lo g 1000 + (lo g 1000)^{2} =

____。

已知

a = 14 - 410

，且

a

的小數部分為

b

，則

a - \frac{1}{b} =

____。

已知

k = lo g 11

，則

100 0^{k} =

____。

選填 E（第 10～11 題）　已知方程式

4 (4^{x} + 4^{- x}) - 16 (2^{x} + 2^{- x}) + 23 = 0

，則：

(1)

2^{x} + 2^{- x} =

____。

(2) 方程式的正實根

x =

____。

已知

a > 0

且不等式

2 \leq ∣ a x - b ∣ \leq 8

的解在數線上所佔的總長度為

4

，則

a =

____。

選填 G（第 13～14 題）　已知

3^{100}

以科學記號取到小數點後第 2 位有效數字為

3^{100} \approx 5.15 \times 1 0^{47}

，由此估計

3^{50}

。

3^{50}

應為 ____ 位數。

3^{50}

的最高位數為 ____。

當代最具影響的美國庭院園藝大師梅爾（Mel Bartholomew）發明出一種「一米菜園」(Square Foot Gardening)，是一種即使在都市內只使用

20%

的空間，卻能得到

100%

收穫的園藝方式。一位同學剛調配好的『梅爾混合土』一袋

24

升（

24000

立方公分），想在菩提農場中用小型圍籬隔出一個『日』字形的一米菜園如圖，其中鋪滿

10

公分深的『梅爾混合土』。若她將土完全鋪完，且不計圍籬厚度，則至少要為這個『日』字形菜園所有邊緣準備 ____ 公分長的小型圍籬。

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(4)

第 2 題(3)

第 3 題(1)(3)(4)(5)

第 4 題(4)

第 5 題(1)(2)(3)(5)

第 6 題

\frac{83}{66}

第 7 題

29

第 8 題

- 5

第 9 題

1331

第 10 題

\frac{5}{2}

第 11 題

1

第 12 題

3

第 13 題

24

第 14 題

7

第 15 題

240

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～2：分點公式與指數律

第 1 題答案 (4)。五個數都是

2

與

π

的加權平均，也就是數線上

2

與

π

之間的分點。例如

\frac{2 + 2 π}{3} = 2 + \frac{2}{3} (π - 2)

，是從

2

往

π

走了全長的

\frac{2}{3}

。同理，五個選項走的比例依序是

\frac{2}{3}

、

\frac{1}{4}

、

\frac{2}{5}

、

\frac{5}{6}

、

\frac{3}{7}

。因為

π > 2

，走的比例愈大，數就愈大；

\frac{5}{6}

最大，所以 (4) 最大。

用近似值檢查：五個數依序約為

2.57

、

1.85

、

2.11

、

2.85

、

2.15

。

第 2 題答案 (3)。

0.42 = \frac{42}{100} = \frac{2 \times 3 \times 7}{2 ^{2} \times 5 ^{2}} = \frac{3 \times 7}{2 \times 5 ^{2}}

。把

3 = 2^{a}

、

7 = 5^{b}

代入，得

0.42 = 2^{a} \times 5^{b} \times 2^{- 1} \times 5^{- 2} = 2^{a - 1} \times 5^{b - 2}

。

其他選項：(1)

= \frac{2 \times 3 \times 7}{5} = 8.4

，(2)

= \frac{3 \times 7 \times 5}{2} = 52.5

，(4)

= \frac{3 \times 7 \times 25}{2} = 262.5

，(5)

= 2 \times 3 \times 7 \times 25 = 1050

。

02多選 3～5：有理數、指數的定義與不等式

第 3 題答案 (1)(3)(4)(5)。 (1) 正確。 整數相除（分母不為

0

）就是有理數的定義。 (2) 錯誤。 取

a = 34 = 2^{\frac{2}{3}}

，則

a^{\frac{3}{2}} = 2^{\frac{2}{3} \times \frac{3}{2}} = 2

是有理數，但

a

是無理數。 (3) 正確。

a = (a + b) - b

，兩個有理數相減仍是有理數。 (4) 正確。 若

a = 0

，

a

是有理數。若

a \neq = 0

，則

a^{3} \neq = 0

，此時

a = \frac{a ^{7}}{( a ^{3} ) ^{2}}

是兩個有理數相除，除數不為

0

，所以仍是有理數。 (5) 正確。

0. \overline{4} = \frac{4}{9}

，所以

a = \frac{4}{9} = \frac{2}{3}

。

(4) 的關鍵是

3

與

7

互質，

7 - 2 \times 3 = 1

，能湊出

a

的一次方。(2) 只有一個條件，湊不出來。

第 4 題答案 (4)。 (1) 錯誤。 高中課本只對正的底數定義分數指數，所以

(- 8)^{\frac{1}{3}}

沒有定義。 (2) 錯誤。

0^{- 10} = \frac{1}{0 ^{10}} = \frac{1}{0}

，分母為

0

，沒有意義。 (3) 錯誤。 指數是無理數時，底數也必須是正數，

(- 1)^{2}

沒有定義。 (4) 正確。 底數

π > 0

，指數

3.14

是實數，正數的實數次方有意義。 (5) 錯誤。

lo g (- 10)

表示滿足

1 0^{t} = - 10

的

t

，但

1 0^{t}

恆為正，這樣的

t

不存在，所以

lo g (- 10)

沒有意義，整個式子也沒有意義。

(1) 為什麼不能直接說是

- 2

：若允許負的底數，

\frac{1}{3} = \frac{2}{6}

會讓

(- 8)^{\frac{2}{6}} = 6 (- 8)^{2} = 664 = 2

，同一個數算出兩個值。所以分數指數只對正的底數定義。要表示

- 8

的立方根，寫

3 - 8 = - 2

。

第 5 題答案 (1)(2)(3)(5)。 (1) 正確。 算幾不等式

\frac{a + b}{2} \geq ab

，等號只在

a = b

時成立；

a \neq = b

，所以是嚴格大於。 (2) 正確。 左式

= \frac{a + b}{ab}

。由 (1) 兩邊平方得

(a + b)^{2} > 4 ab

，兩邊同除以正數

ab (a + b)

就得到

\frac{a + b}{ab} > \frac{4}{a + b}

，與題目的式子相同。 (3) 正確。

2^{a}

、

2^{b}

是相異正數，由算幾不等式

\frac{2 ^{a} + 2 ^{b}}{2} > 2^{a} \cdot 2^{b} = 2^{\frac{a + b}{2}}

。 (4) 錯誤。 左式是

2^{a + b}

，題目等於在問

a + b > \frac{ab}{2}

是否恆成立。取

a = 4

、

b = 6

：

a + b = 10

，

\frac{ab}{2} = 12

，

2^{10} > 2^{12}

不成立。 (5) 正確。

∣ x - a ∣ + ∣ x - b ∣

是數線上

x

到

a

與到

b

的距離和，不論

x

在哪裡，都不會小於

a

、

b

兩點的距離

∣ a - b ∣

。

(5) 用三角不等式寫：

∣ a - b ∣ = ∣ (x - b) - (x - a) ∣ \leq ∣ x - b ∣ + ∣ x - a ∣

。

03選填 A～D（第 6～9 題）：循環小數、根式與常用對數

第 6 題令

t = 1.2 \overline{57} = 1.2575757 \dots

。則

1000 t = 1257.5757 \dots

，

10 t = 12.5757 \dots

，相減得

990 t = 1245

。所以

t = \frac{1245}{990} = \frac{83}{66}

（分子分母同除以

15

）。

循環節是

57

，不循環的小數有一位

2

，所以用

1000 t - 10 t

把循環的部分消掉。

第 7 題

1 0^{3} = 1000

，所以

lo g 1000 = 3

。根號內

= 2^{10} - 2^{6} \times 3 + 3^{2}

。因為

2^{10} = (2^{5})^{2}

、

2^{6} \times 3 = 2 \times 2^{5} \times 3

，根號內正好是

(2^{5} - 3)^{2} = 2 9^{2}

。所以原式

= 29

。

直接算也可以：

1024 - 192 + 9 = 841 = 2 9^{2}

。

第 8 題

14 - 410 = 14 - 240

。找兩數和為

14

、積為

40

，是

10

與

4

，所以

a = 10 - 4 = 10 - 2

。因為

3 < 10 < 4

，所以

1 < a < 2

，整數部分是

1

，小數部分

b = a - 1 = 10 - 3

。

\frac{1}{b} = \frac{1}{10 - 3} = \frac{10 + 3}{10 - 9} = 10 + 3

。所以

a - \frac{1}{b} = (10 - 2) - (10 + 3) = - 5

。

雙重根號要先把根號前的係數化成

2

：

410 = 240

。開出來要寫大減小，

10 - 2

才是正數。

第 9 題

k = lo g 11

的意思是

1 0^{k} = 11

。所以

100 0^{k} = (1 0^{3})^{k} = (1 0^{k})^{3} = 1 1^{3} = 1331

。

04選填 E、F（第 10～12 題）：換元解方程式與絕對值不等式

第 10 題令

t = 2^{x} + 2^{- x}

。平方得

t^{2} = 4^{x} + 2 + 4^{- x}

，所以

4^{x} + 4^{- x} = t^{2} - 2

。原方程式變成

4 (t^{2} - 2) - 16 t + 23 = 0

，即

4 t^{2} - 16 t + 15 = 0

，

(2 t - 3) (2 t - 5) = 0

，解得

t = \frac{3}{2}

或

t = \frac{5}{2}

兩個值。

2^{x}

與

2^{- x}

都是正數，由算幾不等式

t \geq 2 2^{x} \cdot 2^{- x} = 2

，所以

t = \frac{3}{2}

不合，只有

t = \frac{5}{2}

符合。

換元之後要檢查新變數的範圍，

t \geq 2

這一步不能省。

第 11 題由上題

2^{x} + 2^{- x} = \frac{5}{2}

。令

u = 2^{x}

（

u > 0

），則

u + \frac{1}{u} = \frac{5}{2}

，兩邊同乘

2 u

得

2 u^{2} - 5 u + 2 = 0

，

(2 u - 1) (u - 2) = 0

，

u = \frac{1}{2}

或

u = 2

。

2^{x} = \frac{1}{2}

得

x = - 1

；

2^{x} = 2

得

x = 1

。正實根是

x = 1

。

代回檢查：

x = 1

時

4 (4 + \frac{1}{4}) - 16 (2 + \frac{1}{2}) + 23 = 17 - 40 + 23 = 0

。

第 12 題

2 \leq ∣ a x - b ∣ \leq 8

表示

2 \leq a x - b \leq 8

或

- 8 \leq a x - b \leq - 2

。因為

a > 0

，第一段是

\frac{b + 2}{a} \leq x \leq \frac{b + 8}{a}

，長度

\frac{6}{a}

；第二段是

\frac{b - 8}{a} \leq x \leq \frac{b - 2}{a}

，長度也是

\frac{6}{a}

。兩段不重疊，總長度

\frac{12}{a} = 4

，所以

a = 3

。

幾何看法：

∣ a x - b ∣ = a x - \frac{b}{a}

，條件是

x

到

\frac{b}{a}

的距離介於

\frac{2}{a}

與

\frac{8}{a}

之間，左右各一段，每段長

\frac{6}{a}

。

b

是多少不影響長度。

05選填 G、H（第 13～15 題）：科學記號與算幾不等式的應用

第 13 題

3^{50} = 3^{100} \approx 5.15 \times 1 0^{47}

。

10

的次方要是偶數才好開根號，所以把根號內改寫成

51.5 \times 1 0^{46}

，開出來是

51.5 \times 1 0^{23}

的形式。因為

7^{2} = 49 < 51.5 < 64 = 8^{2}

，所以

7 < 51.5 < 8

，

3^{50}

大約是

7. \dots \times 1 0^{23}

這樣的數。

1 0^{23}

是

24

位數，所以

3^{50}

也是

24

位數。

若直接寫成

5.15 \times 1 0^{23.5}

就看不出位數，要先把指數調成偶數。

第 14 題承上，

3^{50} \approx 51.5 \times 1 0^{23}

，而

7 < 51.5 < 8

，所以最高位數字是

7

。

51.5 \approx 7.18

。題目的

5.15

是四捨五入的值，真正的值在

5.145

與

5.155

之間，

51.45

到

51.55

都在

49

與

64

之間，結論不變。

第 15 題土的體積

24000

立方公分，鋪

10

公分深，菜園的面積是

24000 \div 10 = 2400

平方公分。『日』字形是一個長方形中間加一道隔板。設與隔板同方向的邊長

x

公分（連隔板共

3

條），另一方向的邊長

y

公分（共

2

條），則

x y = 2400

，圍籬總長

3 x + 2 y

。由算幾不等式

3 x + 2 y \geq 2 3 x \cdot 2 y = 2 6 \times 2400 = 214400 = 240

。等號在

3 x = 2 y = 120

時成立，即

x = 40

、

y = 60

，此時

x y = 2400

符合條件。所以至少要準備

240

公分。

兩項的乘積

3 x \cdot 2 y = 6 x y

是定值，才能用算幾不等式；等號成立的

x

、

y

也要確認做得到。題目的圖是本站重畫的示意圖，長寬不照實際比例。

換元後先看新變數的範圍；看到兩個正數的乘積是定值，就用算幾不等式，並檢查等號做不做得到。

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