段考詳解範圍：數與式（實數與根式、絕對值、算幾不等式、指數、常用對數）

高師大附中 108 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 36 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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01 · 試題

原卷 36 題，照原卷順序

是非題 13 題（13 分）、填充題 A 部分 8 題（40 分）、B 部分 6 題各 2 小題（最高採計 40 分）、C 部分 3 題（最高採計 7 分），合計 100 分；卷頭說明整份試卷由考生自行決定是否使用計算機。本頁第 14～21 題為原卷 A 部分第 1～8 題，第 22～33 題為 B 部分第 1～6 題，相鄰兩個題號（22、23；…；32、33）是原卷 B 部分同一題的 (1)(2)，同一題最高得 8 分，第 34～36 題為 C 部分第 1～3 題；是非題在學校答案卷上以 ○、╳ 作答。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、是非題(本大題共13題，每題1分，共計13分)

已知

x = 0.101001000100001

，則

x

為無理數。

已知

x

、

y

及

\frac{y}{x}

皆為無理數，則

x + y + x y

也會是無理數。

若

a, b \in R

，且

a^{2} > b^{2}

，則

a

可能小於

b

。

若

a, b \in Q

，且

a + c 2 = b + d 2

，則

a = b

且

c = d

。

若

c = \frac{2 a + b}{2 + 1}

，則在數線上

a, b, c

的大小關係為：

a < c < b

。

已知

∣ a x + b ∣ < 2

，則

- 2 < a x + b < 2

，可推得：

\frac{- 2 - b}{a} < x < \frac{2 - b}{a}

。

已知

- 1 < x < 0

，則

x^{2} - 2 + \frac{1}{x ^{2}} = x - \frac{1}{x}

。

因為

\frac{x ^{2} + 1}{x} = x + \frac{1}{x}

，利用

\frac{x + \frac{1}{x}}{2} \geq x \times \frac{1}{x} = 1

，所以

(x + \frac{1}{x})

最小值為

2

。

已知

a > 0

，則

lo g a > 0

。

已知

ab c d e

為一個5位數，且

lo g ab c d e \approx 4.87

，則

lo g 0. ab c d e \approx - 1.87

。

已知

lo g a \approx 3.8

，

lo g b \approx 3.7

，則

(a + b)

為5位數。

在計算機上按下數字

2

後，再連續按

x

、

x

、

x

、

x

，所得到的數代表

2^{\frac{1}{8}}

。

若

lo g 2

取4位有效數字的結果為

0.301

，則

1 0^{0.301} = 2

。

二、填充題A部分(本大題共8題，每格5分，共40分)

\frac{1 + 2 3}{3 + 3} =

____。(請以最簡根式作答)

若

a = 0.94 \overline{87} + \frac{18}{55}

，則將

a

寫成小數型式時，小數點後第2019位數字為 ____。

絕對值方程式

3 x - ∣ x + 2∣ = - 7

的解為 ____。

絕對值不等式

∣ x - 1∣ + ∣2 x + 3∣ > 7

的解為 ____。(請以區間符號表示)

若

∣ x - 1∣ - ∣ x + 5∣

的最小值為

M

，

∣ x - 1∣ + ∣ x + 5∣

的最小值為

m

，則

M + m =

____。

28 + 103 - 4 - 7 =

____。(請以最簡根式作答)

(3.6 \times 1 0^{2} + 12.3 - 5.9 \times 1 0^{- 1}) \times (4.6 \times 1 0^{3}) \div (2.3 \times 1 0^{- 3}) =

____。(請以科學記號表示，取2位有效數字)

1 0^{l o g 7} + lo g 1 0^{7} =

____。

三、填充題B部分(本大題共6題，每題皆有2小題，答對第(1)小題得6分，答對第(2)小題得8分，同一題最高得8分，本大題最高採計40分)

(1) 若

a = lo g 10

，

b = lo g 10010

，

c = lo g \frac{1}{1000}

，則

a \times b + c =

____。

(2) 若

a = lo g 10

，

b = lo g 10010

，

c = lo g \frac{1}{1000}

，則

1 0^{a + b + c} =

____。

(1) 若

L_{i}

代表下列各絕對值不等式的區間長度，且

L_{1} : ∣ x ∣ \leq 3

，

L_{2} : ∣ x - 4∣ < 4

，

L_{3} : ∣2 x + 3∣ \leq 5

，

L_{4} : ∣ - 3 x + 7 ∣ \leq 11

，則

L_{1}, L_{2}, L_{3}, L_{4}

的大小關係： ____。

(2) 已知絕對值不等式

∣ k x - p ∣ < 10

的區間長度為

8

，則

k =

____。

(1) 已知

lo g (lo g a) = - 1

，則

a =

____。(請以科學記號表示，取3位有效數字)。

(2) 已知

lo g (lo g a) = 0

，

lo g (lo g b) = 1

，則

\frac{b}{a} =

____。

(1) 某放射性物質的重量現為

400

克，已知

5

年後剩下

25

克，請問該放射性物質重量衰變為一半所需的時間為 ____ 年。

(2) 某放射性物質的重量現為

400

克，已知

5

年後剩下

25

克，請問該放射性物質重量衰變為

0.4

克所需的時間至少為 ____ 年。(取到整數)

(1) 已知溶液中的氫離子濃度為

a

m o l / L

，規定它的

p H

值是

- lo g a

。若溶液

A

的

p H

值是

2.5

，溶液

B

的

p H

值是

4.5

，則溶液

A

的氫離子濃度為溶液

B

的氫離子濃度的 ____ 倍。

(2) 已知溶液中的氫離子濃度為

a

m o l / L

，規定它的

p H

值是

- lo g a

。若溶液

A

的

p H

值是

2.5

，溶液

B

的

p H

值是

4.5

，則取溶液

A

2 L

，溶液

B

3 L

混合，則混合後的

p H

值為 ____。(取2位有效數字)

(1) 已知

a^{x} - a^{- x} = 2

，則

\frac{a ^{3 x} - a ^{- 3 x}}{a ^{x} + a ^{- x}} =

____。(請以最簡根式作答)

(2) 已知

a^{2 x} = 3 - 5

，則

\frac{a ^{x} + a ^{- 3 x}}{a ^{x} - a ^{- x}} =

____。(請以最簡根式作答)

四、填充題C部分(本大題共3題，每題3分，最高採計7分)

已知數線上

A

點代表

1 0^{- 7}

，

B

點代表

1 0^{- 5}

，數線上使得

3 \overline{A C} = 4 \overline{B C}

成立的

C

點有兩個，分別為

C_{1}

、

C_{2}

，則

\overline{C_{1} C_{2}} =

____。(請以科學記號表示，取3位有效數字)

滿足絕對值不等式

{∣ x - 5∣ \leq a ∣ x + 1∣ > b

的整數

x

共有16個，且

a, b

皆為正整數，則

a - b =

____。

若

1 0^{l o g a^{2}} + 1 0^{- 2 l o g a}

的最小值為

m

，最小值發生時

a = k

，則數對

(m, k) =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：○＝正確、×＝錯誤（照原卷作答規定）

1×

2×

3○

4×

5×

6×

7○

8×

9×

10×

11○

12×

13×

第 14 題

\frac{5 3 - 3}{6}

第 15 題

6

第 16 題

\frac{- 9}{4}

第 17 題

(- \infty, - 3) \cup (\frac{5}{3}, \infty)

第 18 題

0

第 19 題

\frac{10 + 2 3 - 14 + 2}{2}

第 20 題

7.4 \times 1 0^{8}

第 21 題

14

第 22 題

\frac{- 7}{4}

第 23 題

1

第 24 題

L_{2} > L_{4} > L_{1} > L_{3}

第 25 題

\pm \frac{5}{2}

第 26 題

1.26 \times 1 0^{0}

第 27 題

1 0^{9}

第 28 題

\frac{5}{4}

第 29 題

13

第 30 題

100

第 31 題

2.9

第 32 題

\frac{7 2}{2}

第 33 題

\frac{- 15 - 9 5}{4}

第 34 題

3.39 \times 1 0^{- 5}

第 35 題

8

第 36 題

(2, 1)

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01是非 1～5：有理數與無理數、數線上的大小

第 1 題×答 ×。

x = 0.101001000100001

寫到小數點後第

15

位就結束，是有限小數，可以寫成

\frac{101001000100001}{1 0 ^{15}}

，所以是有理數。

如果後面還有「…」而且

0

的個數一直增加（不循環的無限小數），才是無理數；這一題的

x

後面沒有刪節號。

第 2 題×答 ×。舉反例。注意

x + y + x y = (1 + x) (1 + y) - 1

，所以讓

(1 + x) (1 + y)

是有理數就可以。取

x = 2

、

y = 2 - 2

：兩個都是無理數，

\frac{y}{x} = \frac{2 - 2}{2} = 1 - 2

也是無理數，但

x + y + x y = 2 + (2 - 2) + (2 - 22) = 0

是有理數。

第 3 題○答 ○。

a^{2} > b^{2}

只表示

∣ a ∣ > ∣ b ∣

而已，沒有規定

a

與

b

的正負。例如取

a = - 2

與

b = 1

兩個數，這時

a^{2} = 4 > 1 = b^{2}

成立，而

a < b

也成立。

第 4 題×答 ×。條件只說

a

、

b

是有理數，沒有說

c

、

d

是有理數。取

a = 0

、

b = 2

、

c = 2

、

d = 0

：

a + c 2 = 2 \times 2 = 2

，

b + d 2 = 2

，等式成立，但

a \neq = b

、

c \neq = d

。

a, b, c, d

四個都是有理數時，才能由

a + c 2 = b + d 2

得到

a = b

且

c = d

。

第 5 題×答 ×。

c - a = \frac{2 a + b}{2 + 1} - a = \frac{b - a}{2 + 1}

，

b - c = \frac{2 ( b - a )}{2 + 1}

，兩者都和

b - a

同號，所以

c

在

a

、

b

之間（把

a

到

b

分成

1 : 2

）。但是題目沒有說

a < b

：當

a > b

時是

b < c < a

，當

a = b

時三個數相等。例如

a = 1

、

b = 0

時

c = \frac{2}{2 + 1} = 2 - 2 \approx 0.59

，

a < c

不成立。

判斷「一定成立」的敘述，先看前提有沒有把每個文字的範圍（有理數、正數、大小順序）都交代清楚；少交代的地方就是找反例的地方。

02是非 6～8：絕對值、根號與算幾不等式的使用條件

第 6 題×答 ×。

∣ a x + b ∣ < 2

改寫成

- 2 < a x + b < 2

是對的，移項得

- 2 - b < a x < 2 - b

。接下來同除以

a

時，要看

a

的正負：

a > 0

才得到

\frac{- 2 - b}{a} < x < \frac{2 - b}{a}

；

a < 0

時不等號要反向，得到

\frac{2 - b}{a} < x < \frac{- 2 - b}{a}

；

a = 0

時不能除。例如

a = - 1

、

b = 0

，原式是

∣ - x ∣ < 2

，解為

- 2 < x < 2

，而題目的式子變成

2 < x < - 2

，沒有任何數符合。

第 7 題○答 ○。

x^{2} - 2 + \frac{1}{x ^{2}} = (x - \frac{1}{x})^{2}

，所以

x^{2} - 2 + \frac{1}{x ^{2}} = x - \frac{1}{x}

。而

x - \frac{1}{x} = \frac{x ^{2} - 1}{x}

，在

- 1 < x < 0

時分子

x^{2} - 1 < 0

、分母

x < 0

，相除為正，所以絕對值可以直接拿掉，等於

x - \frac{1}{x}

。

第 8 題×答 ×。算幾不等式要求兩個數都不是負數。題目沒有限制

x > 0

，而

x < 0

時

x

與

\frac{1}{x}

都是負數，

\frac{x + \frac{1}{x}}{2} \geq 1

不成立：取

x = - 1

，

x + \frac{1}{x} = - 2 < 2

；取

x = - 100

，值是

- 100.01

，可以要多小有多小，所以沒有最小值。

加上條件

x > 0

之後，「最小值為

2

（

x = 1

時）」才是對的。

同除以一個文字、拿掉絕對值、用算幾不等式，三件事都要先確認正負。

03是非 9～13：常用對數的意義、位數與近似值

第 9 題×答 ×。

lo g a

是「

10

的幾次方等於

a

」的那個指數。

a = 1

時

lo g 1 = 0

；

0 < a < 1

時指數是負的，例如

lo g 0.1 = - 1

。只有

a > 1

時才有

lo g a > 0

。

第 10 題×答 ×。

lo g ab c d e \approx 4.87

表示

ab c d e \approx 1 0^{4.87}

。五位數

ab c d e

的小數點往左移

5

位就是

0. ab c d e

，所以

0. ab c d e = ab c d e \times 1 0^{- 5} \approx 1 0^{4.87 - 5} = 1 0^{- 0.13}

，得

lo g 0. ab c d e \approx - 0.13

，不是

- 1.87

。

也可以這樣看：

0. ab c d e = a . b c d e \times 1 0^{- 1}

，而

lo g a . b c d e \approx 0.87

，所以

lo g 0. ab c d e \approx - 1 + 0.87 = - 0.13

，把它寫成

- 1.87

就錯了。

第 11 題○答 ○。

a \approx 1 0^{3.8}

、

b \approx 1 0^{3.7}

。用計算機：

1 0^{3.8} \approx 6310

，

1 0^{3.7} \approx 5012

，所以

a + b \approx 11321

（未四捨五入前相加），是

5

位數。

把四捨五入的誤差算進去也一樣：

lo g a

在

3.75

到

3.85

之間、

lo g b

在

3.65

到

3.75

之間，

a + b

最小約

1 0^{3.75} + 1 0^{3.65} \approx 10090

，最大不超過

1 0^{3.85} + 1 0^{3.75} \approx 12703

，都是

5

位數。

第 12 題×答 ×。每按一次根號，指數就乘以

\frac{1}{2}

：按一次得

2^{\frac{1}{2}}

，兩次得

2^{\frac{1}{4}}

，三次得

2^{\frac{1}{8}}

，四次得

2^{\frac{1}{16}}

。所以得到的數是

2^{\frac{1}{16}} \approx 1.044

，不是

2^{\frac{1}{8}} \approx 1.091

。

第 13 題×答 ×。

0.301

只是

lo g 2

的近似值，所以只能寫

1 0^{0.301} \approx 2

這種近似的式子。若

1 0^{0.301} = 2

真的成立，兩邊同取

1000

次方會得到

1 0^{301} = 2^{1000}

這個等式，但左邊是

5

的倍數而右邊不是，不可能相等。用計算機算出來是

1 0^{0.301} \approx 1.99986

而不是

2

。

卷面印的是「取4位有效數字的結果為

0.301

」，而

lo g 2 \approx 0.30103

取四位有效數字是

0.3010

才對。不論寫

0.301

或

0.3010

結論都一樣。

lo g a = k

就是

a = 1 0^{k}

；

k

的整數部分管位數，近似的

k

只能得到近似的

a

。

04填充 A 部分第 1、2、6 題（本頁第 14、15、19 題）：有理化、循環小數、雙重根號

第 14 題分子分母同乘

3 - 3

：分母

(3 + 3) (3 - 3) = 9 - 3 = 6

，分子

(1 + 23) (3 - 3) = 3 - 3 + 63 - 6 = 53 - 3

。所以原式

= \frac{5 3 - 3}{6}

。

第 15 題先化成分數。

0.94 \overline{87} = \frac{94}{100} + \frac{87}{9900} = \frac{9393}{9900}

，

\frac{18}{55} = \frac{3240}{9900}

，所以

a = \frac{12633}{9900}

。因為

12633 = 1.27 \times 9900 + 60

，

a = 1.27 + \frac{60}{9900} = 1.27 + 0.00 \overline{60} = 1.27 \overline{60}

，也就是

1.27606060 \dots

。小數點後第

3

位起是

6, 0, 6, 0, \dots

：第奇數位是

6

、第偶數位是

0

。

2019

是奇數，所以第

2019

位數字是

6

。

也可以直接用小數相加：

0.948787 \dots + 0.327272 \dots

，每兩位一組

87 + 72 = 159

會進位，所以結果是

1.2760606 \dots

而不是

1.2759 \dots

。循環節從第

3

位才開始，數位置時要把前兩位扣掉。

第 19 題先把

28 + 103

改寫成

28 + 275

的樣子，找和為

28

而積為

75

的兩個數，是

25

和

3

，所以

28 + 103 = 25 + 3 = 5 + 3

就是第一項。再把

4 - 7

寫成

\frac{8 - 2 7}{2}

的樣子，其中

8 - 27 = (7 - 1)^{2}

是完全平方，所以

4 - 7 = \frac{7 - 1}{2} = \frac{14 - 2}{2}

就是第二項。兩項相減得

5 + 3 - \frac{14 - 2}{2} = \frac{10 + 2 3 - 14 + 2}{2}

即為所求。

根號裡的

7

前面沒有

2

這個係數，所以先把分子分母同乘

2

湊出

27

再配方。答案的數值約為

5.568

左右，可以用計算機核對。

雙重根號先整理成

p \pm 2 q

，再找和為

p

、積為

q

的兩個數。

05填充 A 部分第 3～5 題（本頁第 16～18 題）：含絕對值的方程式與不等式

第 16 題以

x = - 2

分段。

x \geq - 2

時

∣ x + 2∣ = x + 2

，方程式為

2 x - 2 = - 7

，

x = - \frac{5}{2}

，不在

x \geq - 2

的範圍內，不合。

x < - 2

時

∣ x + 2∣ = - x - 2

，方程式為

4 x + 2 = - 7

，

x = - \frac{9}{4}

，符合

x < - 2

。所以解為

x = - \frac{9}{4}

。

每一段解出來的值都要檢查是否落在那一段的範圍裡。代回檢查：

3 \times (- \frac{9}{4}) - - \frac{1}{4} = - \frac{27}{4} - \frac{1}{4} = - 7

。

第 17 題分界點是

x = - \frac{3}{2}

與

x = 1

。

x < - \frac{3}{2}

：

- (x - 1) - (2 x + 3) > 7

，即

- 3 x - 2 > 7

，

x < - 3

。

- \frac{3}{2} \leq x < 1

：

- (x - 1) + (2 x + 3) > 7

，即

x + 4 > 7

，

x > 3

，和這一段沒有共同部分。

x \geq 1

：

(x - 1) + (2 x + 3) > 7

，即

3 x + 2 > 7

，

x > \frac{5}{3}

。合起來是

x < - 3

或

x > \frac{5}{3}

，寫成區間

(- \infty, - 3) \cup (\frac{5}{3}, \infty)

。

第 18 題把

∣ x - 1∣

看成

x

到

1

的距離、

∣ x + 5∣

看成

x

到

- 5

的距離，兩個定點相距

6

。距離的差

∣ x - 1∣ - ∣ x + 5∣

：

x \geq 1

時等於

(x - 1) - (x + 5) = - 6

；

x \leq - 5

時等於

6

；在中間時等於

- 2 x - 4

，介於

- 6

與

6

之間。所以最小值

M = - 6

。距離的和

∣ x - 1∣ + ∣ x + 5∣

：

x

在

- 5

與

1

之間時恰好等於

6

，在外面時大於

6

，所以最小值

m = 6

。

M + m = - 6 + 6 = 0

。

題目把第一個式子的最小值叫做

M

，照題目的記號算，不要看到

M

就去求最大值。

含兩個絕對值的式子：先找各自的分界點，分段去掉絕對值，每段的結果和該段範圍取共同部分。

06填充 A 部分第 7、8 題與 B 部分第 1 題（本頁第 20～23 題）：科學記號、log 的意義

第 20 題第一個括號：

360 + 12.3 - 0.59 = 371.71

。後面兩個括號相除：

(4.6 \times 1 0^{3}) \div (2.3 \times 1 0^{- 3}) = 2 \times 1 0^{3 - (- 3)} = 2 \times 1 0^{6}

。所以原式

= 371.71 \times 2 \times 1 0^{6} = 743.42 \times 1 0^{6} = 7.4342 \times 1 0^{8}

，取

2

位有效數字為

7.4 \times 1 0^{8}

。

第 21 題

lo g 7

是「

10

的幾次方等於

7

」的指數，所以

1 0^{l o g 7} = 7

。

lo g 1 0^{7}

是「

10

的幾次方等於

1 0^{7}

」，就是

7

。合計

7 + 7 = 14

。

第 22 題把每個數寫成

10

的次方：

10 = 1 0^{\frac{1}{2}}

，所以

a = \frac{1}{2}

；

10010 = 1 0^{2 + \frac{1}{2}} = 1 0^{\frac{5}{2}}

，所以

b = \frac{5}{2}

；

\frac{1}{1000} = 1 0^{- 3}

，所以

c = - 3

。因此

a \times b + c = \frac{1}{2} \times \frac{5}{2} - 3 = \frac{5}{4} - 3 = - \frac{7}{4}

。

第 23 題同上，

a = \frac{1}{2}

、

b = \frac{5}{2}

、

c = - 3

，

a + b + c = 0

，所以

1 0^{a + b + c} = 1 0^{0} = 1

。

也可以用指數律直接乘：

1 0^{a + b + c} = 1 0^{a} \times 1 0^{b} \times 1 0^{c} = 10 \times 10010 \times \frac{1}{1000} = 1

。

1 0^{l o g A} = A

、

lo g 1 0^{k} = k

：這兩句話就是常用對數的定義。

07填充 B 部分第 2 題（本頁第 24、25 題）：絕對值不等式的區間長度

第 24 題逐一解出範圍再算長度。

L_{1}

：

∣ x ∣ \leq 3

即

- 3 \leq x \leq 3

，長度

6

。

L_{2}

：

∣ x - 4∣ < 4

即

0 < x < 8

，長度

8

。

L_{3}

：

∣2 x + 3∣ \leq 5

即

- 5 \leq 2 x + 3 \leq 5

，

- 4 \leq x \leq 1

，長度

5

。

L_{4}

：

∣ - 3 x + 7 ∣ \leq 11

即

∣3 x - 7∣ \leq 11

，

- 4 \leq 3 x \leq 18

，

- \frac{4}{3} \leq x \leq 6

，長度

\frac{22}{3} \approx 7.33

。因為

8 > \frac{22}{3} > 6 > 5

，所以

L_{2} > L_{4} > L_{1} > L_{3}

。

區間長度只看兩個端點的距離，端點有沒有等號不影響。

∣ c x + d ∣ \leq r

的區間長度是

\frac{2 r}{∣ c ∣}

，可以用來快速核對。

第 25 題區間長度是

8

表示解是一段有限的區間，所以

k \neq = 0

。

∣ k x - p ∣ < 10

即

- 10 < k x - p < 10

，

p - 10 < k x < p + 10

。同除以

k

後，兩個端點是

\frac{p - 10}{k}

與

\frac{p + 10}{k}

，相距

\frac{20}{∣ k ∣}

。由

\frac{20}{∣ k ∣} = 8

得

∣ k ∣ = \frac{5}{2}

，所以

k = \pm \frac{5}{2}

。

k

的正負只影響哪一個端點在左邊，長度一樣，所以正負兩個答案都要寫。

p

是多少都不影響長度。

08填充 B 部分第 3 題（本頁第 26、27 題）：兩層 log

第 26 題由外往內拆。

lo g (lo g a) = - 1

表示

lo g a = 1 0^{- 1} = 0.1

，再拆一次得

a = 1 0^{0.1}

。用計算機算

1 0^{0.1} \approx 1.2589

，取

3

位有效數字並寫成科學記號：

1.26 \times 1 0^{0}

。

科學記號的形式是

c \times 1 0^{n}

，

1 \leq c < 10

；這個數本身就在

1

與

10

之間，所以

n = 0

。

第 27 題

lo g (lo g a) = 0

表示

lo g a = 1 0^{0} = 1

，所以

a = 10

。

lo g (lo g b) = 1

表示

lo g b = 1 0^{1} = 10

，所以

b = 1 0^{10}

。因此

\frac{b}{a} = \frac{1 0 ^{10}}{10} = 1 0^{9}

。

兩層

lo g

由外往內，一次拆一層：

lo g □ = k

就把

□

換成

1 0^{k}

。

09填充 B 部分第 4 題（本頁第 28、29 題）：半衰期

第 28 題

5

年後剩下原來的

\frac{25}{400} = \frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^{4}

，也就是

5

年裡剛好減半了

4

次。所以減半一次需要

\frac{5}{4}

年。

第 29 題

0.4

克是原來的

\frac{0.4}{400} = \frac{1}{1000}

。每

\frac{5}{4}

年減半一次，

t

年後剩下原來的

(\frac{1}{2})^{\frac{4 t}{5}}

，要讓它不超過

\frac{1}{1000}

，也就是

2^{\frac{4 t}{5}} \geq 1000

。因為

2^{9} = 512 < 1000 < 1024 = 2^{10}

，需要的減半次數介於

9

與

10

之間，時間介於

11.25

年與

12.5

年之間，整數年要逐一檢查。用計算機：

t = 12

時

2^{9.6} \approx 776 < 1000

，剩下約

\frac{400}{776} \approx 0.52

克，還不夠；

t = 13

時

2^{10.4} \approx 1351 \geq 1000

，剩下約

\frac{400}{1351} \approx 0.30

克。所以至少要

13

年。

衰變是連續進行的，不必等到整數次減半；所以不能只算到「

10

次減半＝

12.5

年」就直接寫

13

，要確認

12

年還不夠。

10填充 B 部分第 5 題（本頁第 30、31 題）：酸鹼值與氫離子濃度

第 30 題

p H = - lo g a

就是

lo g a = - p H

，所以氫離子濃度

a = 1 0^{- p H}

。溶液

A

的濃度是

1 0^{- 2.5}

，溶液

B

的濃度是

1 0^{- 4.5}

，倍數為

\frac{1 0 ^{- 2.5}}{1 0 ^{- 4.5}} = 1 0^{- 2.5 + 4.5} = 1 0^{2} = 100

。

第 31 題酸鹼值不能直接平均，要先換回氫離子的量。溶液

A

取

2 L

，裡面的氫離子有

2 \times 1 0^{- 2.5}

m o l

這麼多；溶液

B

取

3 L

，裡面的氫離子有

3 \times 1 0^{- 4.5}

m o l

這麼多。混合後體積是

5 L

，所以

\frac{2 \times 1 0 ^{- 2.5} + 3 \times 1 0 ^{- 4.5}}{5}

就是混合後的濃度。用計算機算出

1 0^{- 2.5} \approx 3.162 \times 1 0^{- 3}

與

1 0^{- 4.5} \approx 3.162 \times 1 0^{- 5}

兩個值，分子約為

6.325 \times 1 0^{- 3} + 0.095 \times 1 0^{- 3} = 6.419 \times 1 0^{- 3}

這麼多，除以

5

得濃度約

1.284 \times 1 0^{- 3}

m o l / L

。再按

lo g

得

lo g (1.284 \times 1 0^{- 3}) \approx - 2.89

這個值，所以

p H \approx 2.89

，取

2

位有效數字就是

2.9

。

溶液

B

的氫離子濃度只有溶液

A

的百分之一，混合後的酸鹼值主要由

A

決定。差不多就是把

2 L

的

A

加水稀釋成

5 L

（體積變成

2.5

倍），這樣濃度約

1.265 \times 1 0^{- 3}

m o l / L

、酸鹼值約

2.90

；溶液

B

還帶進一點氫離子，所以實際濃度略高一些（約

1.015

倍），酸鹼值

2.89

也就略低一點。若直接把兩個酸鹼值依體積平均，會得到

3.7

這個錯誤的結果。

lo g

的式子先翻回

10

的次方：

p H = - lo g a

就是

a = 1 0^{- p H}

，之後用指數律處理。

11填充 B 部分第 6 題（本頁第 32、33 題）：指數式求值

第 32 題令

t = a^{x}

（

t > 0

），條件是

t - \frac{1}{t} = 2

。分子：

t^{3} - \frac{1}{t ^{3}} = (t - \frac{1}{t})^{3} + 3 (t - \frac{1}{t}) = 8 + 6 = 14

。分母：

(t + \frac{1}{t})^{2} = (t - \frac{1}{t})^{2} + 4 = 8

，而

t + \frac{1}{t} > 0

，所以

t + \frac{1}{t} = 22

。所求

= \frac{14}{2 2} = \frac{7}{2} = \frac{7 2}{2}

。

a^{x}

一定是正數，所以

a^{x} + a^{- x}

只取正的

22

。也可以把分子分解：

t^{3} - \frac{1}{t ^{3}} = (t - \frac{1}{t}) (t^{2} + 1 + \frac{1}{t ^{2}}) = 2 \times 7

。

第 33 題分子分母同乘

a^{x}

，全部換成

a^{2 x}

：所求

= \frac{a ^{2 x} + a ^{- 2 x}}{a ^{2 x} - 1}

。

a^{- 2 x} = \frac{1}{3 - 5} = \frac{3 + 5}{9 - 5} = \frac{3 + 5}{4}

，所以分子

= 3 - 5 + \frac{3 + 5}{4} = \frac{15 - 3 5}{4}

；分母

= 3 - 5 - 1 = 2 - 5

。所求

= \frac{15 - 3 5}{4 ( 2 - 5 )}

，分子分母同乘

2 + 5

：分母變成

4 \times (4 - 5) = - 4

，分子

(15 - 35) (2 + 5) = 30 + 155 - 65 - 15 = 15 + 95

。所以答案是

\frac{15 + 9 5}{- 4} = \frac{- 15 - 9 5}{4}

。

a^{2 x} = 3 - 5 \approx 0.76

小於

1

，分母

a^{2 x} - 1

是負的，所以答案是負數（約

- 8.78

）。

指數式求值不必解出

x

：把式子整理成只含已知的那個量（

a^{x} - a^{- x}

或

a^{2 x}

）再代入。

12填充 C 部分第 1～3 題（本頁第 34～36 題）

第 34 題設

C

點的坐標是

c

，

A

點是

p = 1 0^{- 7}

，

B

點是

q = 1 0^{- 5}

。

3 \overline{A C} = 4 \overline{B C}

就是

3∣ c - p ∣ = 4∣ c - q ∣

，所以

3 (c - p) = 4 (c - q)

或

3 (c - p) = - 4 (c - q)

。第一式得

c = 4 q - 3 p

；第二式得

7 c = 3 p + 4 q

，

c = \frac{3 p + 4 q}{7}

。兩點的距離：

(4 q - 3 p) - \frac{3 p + 4 q}{7} = \frac{24 q - 24 p}{7} = \frac{24 ( q - p )}{7}

。

q - p = 1 0^{- 5} - 1 0^{- 7} = 100 \times 1 0^{- 7} - 1 0^{- 7} = 99 \times 1 0^{- 7} = 9.9 \times 1 0^{- 6}

，所以

\overline{C_{1} C_{2}} = \frac{24 \times 9.9 \times 1 0 ^{- 6}}{7} = \frac{237.6}{7} \times 1 0^{- 6} \approx 33.94 \times 1 0^{- 6}

，取

3

位有效數字為

3.39 \times 1 0^{- 5}

。

兩個

C

點一個在

A

、

B

之間（把

\overline{A B}

分成

4 : 3

），一個在

B

的右邊（

\overline{B C} = 3 \overline{A B}

）。

1 0^{- 5} - 1 0^{- 7}

不是

1 0^{- 2}

，也不能約成

1 0^{- 5}

，要先化成同一個次方再減。

第 35 題第一式是

5 - a \leq x \leq 5 + a

，共有

2 a + 1

個整數。第二式是

x > b - 1

或

x < - 1 - b

，等於從裡面去掉

- 1 - b \leq x \leq - 1 + b

這

2 b + 1

個整數中重疊到的部分。

2 a + 1

是奇數，不會等於

16

，所以一定有去掉一些整數。情形一：要去掉的那一段整個落在第一式的範圍裡。這時去掉

2 b + 1

個，

(2 a + 1) - (2 b + 1) = 16

，得

a - b = 8

。檢查「整個落在裡面」：需要

- 1 - b \geq 5 - a

且

- 1 + b \leq 5 + a

，也就是

a - b \geq 6

，而

a - b = 8

符合。情形二：要去掉的那一段有一部分超出第一式的範圍。右端超出（

b - 1 > 5 + a

）時，左端

- 1 - b

也小於

5 - a

，第一式的整數全部被去掉，剩

0

個，不合。所以只可能左端超出，即

- 1 - b < 5 - a

（

a - b < 6

），這時重疊的是

5 - a \leq x \leq b - 1

，共

a + b - 5

個，剩下

(2 a + 1) - (a + b - 5) = a - b + 6 = 16

，得

a - b = 10

，和

a - b < 6

矛盾。所以

a - b = 8

。

例如

a = 9

、

b = 1

：第一式是

- 4 \leq x \leq 14

共

19

個整數，去掉

- 2, - 1, 0

三個，剩

16

個。

a

、

b

本身不唯一（

a = 10

、

b = 2

也可以），但差一定是

8

。

第 36 題式子裡有

lo g a

，所以

a > 0

。依

lo g

的定義，

1 0^{l o g a^{2}} = a^{2}

；

1 0^{- 2 l o g a} = (1 0^{l o g a})^{- 2} = a^{- 2} = \frac{1}{a ^{2}}

。原式

= a^{2} + \frac{1}{a ^{2}}

。

a^{2}

與

\frac{1}{a ^{2}}

都是正數，由算幾不等式

\frac{a ^{2} + \frac{1}{a ^{2}}}{2} \geq a^{2} \times \frac{1}{a ^{2}} = 1

，所以

a^{2} + \frac{1}{a ^{2}} \geq 2

。等號在

a^{2} = \frac{1}{a ^{2}}

時成立，即

a^{4} = 1

，又

a > 0

，所以

a = 1

。最小值

m = 2

，此時

k = 1

，數對

(m, k) = (2, 1)

。

a = - 1

也讓

a^{2} + \frac{1}{a ^{2}} = 2

，但原式的

lo g a

在

a < 0

時沒有意義，所以

k

只有

1

。

用算幾不等式求極值，最後一定要回頭找等號成立的條件，並確認它在題目允許的範圍內。

同一次段考的其他學校

同樣是高一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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高師大附中 108 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 36 題的答案，是非題 13 題附對錯一覽；答案由御藍教育逐題重新計算。

高師大附中 108 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

填充 C 部分第 2 題（本頁第 35 題）要把兩個絕對值不等式都翻成整數的個數，再討論要去掉的那一段有沒有整個落在裡面；B 部分第 5 題第 2 小題（本頁第 31 題）酸鹼值不能直接平均，要換回氫離子的量再混合；B 部分第 4 題第 2 小題（本頁第 29 題）衰變是連續的，要確認十二年還不夠才能寫十三年；是非第 2 題要自己造出無理數的反例；是非第 10 題小數點移五位是把對數值減五，不是改整數部分。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

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01是非 1～5：有理數與無理數、數線上的大小

02是非 6～8：絕對值、根號與算幾不等式的使用條件

03是非 9～13：常用對數的意義、位數與近似值

04填充 A 部分第 1、2、6 題（本頁第 14、15、19 題）：有理化、循環小數、雙重根號

05填充 A 部分第 3～5 題（本頁第 16～18 題）：含絕對值的方程式與不等式

06填充 A 部分第 7、8 題與 B 部分第 1 題（本頁第 20～23 題）：科學記號、log 的意義

07填充 B 部分第 2 題（本頁第 24、25 題）：絕對值不等式的區間長度

08填充 B 部分第 3 題（本頁第 26、27 題）：兩層 log

09填充 B 部分第 4 題（本頁第 28、29 題）：半衰期

10填充 B 部分第 5 題（本頁第 30、31 題）：酸鹼值與氫離子濃度

11填充 B 部分第 6 題（本頁第 32、33 題）：指數式求值

12填充 C 部分第 1～3 題（本頁第 34～36 題）

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