段考詳解範圍：指數與對數函數（指數律、對數律、常用對數、指數與對數函數的圖形、指對數方程式與不等式）

高師大附中 110 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 16 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

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01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

單選題 2 題（每題 5 分，共 10 分）、多重選擇題 2 題（每題 6 分，共 12 分；答錯 1 個選項者得 3 分，答錯 2 個選項者得 1 分，答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者 0 分）、填充題 10 格（完全正確才給分，每格 7 分，共 70 分）、計算題 2 小題（無計算過程不給分，每小題 4 分，共 8 分）。卷頭參考數值：log 2 ≈ 0.3010，log 3 ≈ 0.4771，log 7 ≈ 0.8451，自然對數的底數 e ≈ 2.71828，2 的 1/6 次方 ≈ 1.12246。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單選題（每題 5 分，本大題共 2 題，共計 10 分）

a = lo g (\frac{2021 + 2022}{2})

，

b = \frac{l o g 2021 + l o g 2022}{2}

，

c = 1 0^{0.85}

，

d = \frac{1 0 ^{0.8} + 1 0 ^{0.9}}{2}

，比較此四數的大小，下列何者正確？

(A) $a > b > c > d$
(B) $a > b > d > c$
(C) $c > d > b > a$
(D) $d > c > b > a$
(E) $d > c > a > b$

a = (0.9)^{\frac{- 9}{7}}

，

b = (0.81)^{- 1}

，

c = 0.9 0.9

，

d = 0. 7^{\frac{1}{0.9}}

，

e = (0.7)^{\frac{- 9}{7}}

五數中，最小的為

(A) $a$
(B) $b$
(C) $c$
(D) $d$
(E) $e$

二、多重選擇題（每題 6 分，本大題共計 12 分）

下列敘述何者正確？

(A) $t \in R$ ， $t \neq = 0$ ，常用對數函數 $y = f (x) = t lo g x$ 與 $y = - t lo g x$ 對稱於 $y$ 軸
(B) $f (x) = (\frac{1}{10})^{x}$ 的圖形與 $k (x) = - lo g x$ 的圖形對稱於 $y = x$ 。
(C) $y = lo g x$ 的圖形鉛直伸縮 $lo g 3$ 倍，得到 $y = lo g_{3} x$ 的圖形
(D) 若點 $(a, b)$ 為函數 $y = 3^{x}$ 上的一個點則 $(b + 2, a)$ 為函數 $y = lo g_{3} x - 2$ 圖形上的一個點
(E) 若 $f (x) = lo g_{10} x - 2$ 則 $f (216) - f (36) = f (2022) - f (337)$

若

a > 1 > b > 0

，

n

、

m

為非零任意實數，則下列敘述何者正確？

(A) $lo g (a + b) = (lo g a) (lo g b)$
(B) 至少有一組數對 $(a, b)$ 滿足 $lo g_{32} a = lo g_{128} b$
(C) $lo g_{a} b \leq lo g_{b} a$
(D) $lo g_{a} b = lo g_{a^{n}} b^{n}$
(E) $a^{\frac{l o g a}{l o g b}} = b$

三、填充題（完全正確才給分，每格 7 分，共 70 分）

若

A

、

B

、

C

、

D

、

E

、

F

為

f (x) = 1 + (\frac{1}{10})^{x}

的圖形上六個點，且此六點的

x

坐標依序為

0.4

、

0.8

、

1.2

、

1.6

、

2

、

2.4

，請問五個線段

\overline{A B}

、

\overline{B C}

、

\overline{C D}

、

\overline{D E}

、

\overline{E F}

中，最長的是 ____ 。

已知

a > 0

，

a \neq = 1

，若指數函數

f (x) = a^{x}

在區間

[1, 3]

中的最大值與最小值的差為

\frac{16}{15} a^{2}

，則

a =

____ 。

已知正整數

n

滿足

2^{n}

是一個最高位數字為

2

的

12

位數，求

n =

____

已知

a > 1

。若

f (x) = lo g_{a} x

的函數圖形與直線

x = 2

、

x = 5

分別交於

A

、

B

二點。

g (x) = lo g_{a^{2}} x

的函數圖形與直線

x = 2

、

x = 5

分別交於

C

、

D

二點，如圖。設

A

、

B

兩個點的斜率為

m_{1}

，

C

、

D

兩個點的斜率為

m_{2}

，則

\frac{m _{1}}{m _{2}}

的值為 ____ 。

載入中...

設

π

為圓周率，

e

為自然對數的底數，則指數不等式

(\frac{e}{π})^{2 x - 1} < (\frac{π}{e})^{2 x^{2} + x + 1}

的解為 ____

《老師，你會不會回來？》是真人真事改編的臺灣電影。片中提及：「

1

乘以

1

是

1

，即使乘一萬次還是

1

，但只要多了

0.01

，乘以

70

次之後，它就會大於

2

。」倘若學習效益如同電影所言；附中每次段考間隔約

6

週，東東在第一段考後發憤圖強，每週數學努力的成效，都比上週多了

x %

的成長，他希望經過

6

週後能有至少

2

倍的努力成果，請你幫他算算

x

的值約為 ____ 。（請四捨五入至小數點後第二位）

求函數

y = lo g_{2} (x - 1)

與

y = \frac{1}{2} + lo g_{4} (x + 3)

圖形的交點坐標為 ____

滿足

lo g_{\frac{1}{3}} (lo g_{2} x) \geq - 1

之整數解

x

共有 ____ 個

設實數

x

滿足

x > 0

、

x \neq = 1

，且

lo g_{0.5} x - 32 lo g_{x} 0.5 + 4 = 0

的解為 ____

方程式

lo g_{7} (1 - 6 \times 7^{x}) = 2 x + 1

求

x =

____

四、計算題（無計算過程不給分，每小題 4 分，共 8 分）

(lo g_{2} 5 + lo g_{4} 125) (lo g_{25} 2 + lo g_{5} \frac{1}{8}) =

？（

4

分）

\frac{l o g 8 + l o g 27 - l o g 1000}{- 1 + l o g 18} =

？（

4

分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(E)

第 2 題(D)

第 3 題(B)(E)

第 4 題(D)

第 5 題

\overline{A B}

第 6 題

\frac{5}{3}

或

\frac{3}{5}

第 7 題

38

第 8 題

2

第 9 題

x > 0

或

x < - \frac{3}{2}

第 10 題

12.25

第 11 題

(5, 2)

第 12 題

7

第 13 題

x = \frac{1}{16}

或

x = 256

第 14 題

- 1

第 15 題

- \frac{7}{4}

第 16 題

\frac{3}{2}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1、2 題：算幾不等式比大小、指數函數的單調性

第 1 題

① 比較 $a$ 、 $b$ ：對數律把 $b$ 併成一個對數，

$b = \frac{1}{2} lo g (2021 \times 2022) = lo g 2021 \times 2022$

② 算幾不等式： $\frac{2021 + 2022}{2} > 2021 \times 2022$ （兩數不相等，等號不成立）。

③ 底數 $10 > 1$ ， $y = lo g x$ 遞增，所以 $a > b$ 。

④ 比較 $c$ 、 $d$ ：再用算幾不等式，

$d = \frac{1 0 ^{0.8} + 1 0 ^{0.9}}{2} > 1 0^{0.8} \cdot 1 0^{0.9} = 1 0^{0.85} = c$

⑤ 圖中看得出同一件事： $y = 1 0^{x}$ 的圖形凹口向上，弦 $P Q$ 的中點 $M$ （高度 $d$ ）在曲線上的點 $N$ （高度 $c$ ）上方。

⑥ 比較 $c$ 、 $a$ ： $a < lo g 10000 = 4$ ；而 $lo g 7 \approx 0.8451$ ，所以 $c = 1 0^{0.85} > 1 0^{0.8451} \approx 7 > 4 > a$ 。

⑦ 合起來： $d > c > a > b$ 。

答案 (E)。

載入中...

a \approx 3.3057

，

b

比

a

小約

1.3 \times 1 0^{- 8}

，差距極小，只能用算幾不等式判斷，不能用估計值比。

第 2 題

① 全部寫成 $0.9$ 或 $0.7$ 的次方：

$a = 0. 9^{- \frac{9}{7}}, b = (0. 9^{2})^{- 1} = 0. 9^{- 2}, c = 0. 9^{\frac{1}{0.9}} = 0. 9^{\frac{10}{9}}$

$d = 0. 7^{\frac{10}{9}}, e = 0. 7^{- \frac{9}{7}}$

② 底數小於 $1$ 時，指數是負數的次方大於 $1$ ： $a$ 、 $b$ 、 $e$ 都大於 $1$ 。

③ 指數是正數的次方小於 $1$ ： $c$ 、 $d$ 都小於 $1$ ，最小的在 $c$ 、 $d$ 之中。

④ 同一個正指數 $\frac{10}{9}$ ，底數愈小值愈小： $0.7 < 0.9$ ，所以 $d < c$ （圖中 $x = \frac{10}{9}$ 處， $y = 0. 7^{x}$ 的點在 $y = 0. 9^{x}$ 的點下方）。

答案 (D)。

載入中...

c = 0.9 0.9

是

0.9

的

\frac{1}{0.9}

次方，不是

0.9

的

0.9

次方。

算術平均大於幾何平均，取對數或取

10

的次方後就能比大小；同指數比底數、同底數比指數。

02多選第 3、4 題：圖形的對稱與伸縮、對數律

第 3 題

(A) 錯誤。 點 $(x, y)$ 在 $y = t lo g x$ 上，則 $(x, - y)$ 在 $y = - t lo g x$ 上，兩圖形對稱於 $x$ 軸，不是 $y$ 軸（ $y$ 軸左側根本沒有圖形）。

(B) 正確。 $f (x) = 1 0^{- x}$ 。由 $y = 1 0^{- x}$ 得 $- x = lo g y$ ， $x = - lo g y$ ；把 $x$ 、 $y$ 互換得 $y = - lo g x$ ，所以兩圖形對稱於 $y = x$ （見圖， $(0, 1)$ 與 $(1, 0)$ 是一組對稱點）。

(D) 錯誤。 舉例： $(0, 1)$ 在 $y = 3^{x}$ 上， $(b + 2, a) = (3, 0)$ ；但 $lo g_{3} 3 - 2 = - 1 \neq = 0$ ，不在 $y = lo g_{3} x - 2$ 上。（ $(b + 2, a)$ 其實在 $y = lo g_{3} (x - 2)$ 上。）

(E) 正確。 $f (216) - f (36) = lo g \frac{216}{36} = lo g 6$ ， $f (2022) - f (337) = lo g \frac{2022}{337} = lo g 6$ ，兩者相等。

答案 (B)(E)。

載入中...

y = a^{x}

與

y = lo g_{a} x

的圖形對稱於

y = x

；

(\frac{1}{10})^{x}

對應的是

lo g_{\frac{1}{10}} x = - lo g x

。

第 4 題

(A) 錯誤。 $a > 1 > b > 0$ ，所以 $lo g a > 0$ 、 $lo g b < 0$ ，右邊 $(lo g a) (lo g b) < 0$ ；而 $a + b > 1$ ，左邊 $lo g (a + b) > 0$ ，不可能相等。

(B) 錯誤。 $a > 1$ ， $lo g_{32} a > 0$ ； $0 < b < 1$ ， $lo g_{128} b < 0$ 。一正一負，找不到這樣的 $(a, b)$ 。

$lo g_{a} b = lo g \frac{1}{2} \approx - 0.301, lo g_{b} a = \frac{1}{lo g \frac{1}{2}} \approx - 3.32$

此時 $lo g_{a} b > lo g_{b} a$ ，與敘述相反。

(D) 正確。 換底： $lo g_{a} b = \frac{\frac{1}{2} l o g b}{\frac{1}{2} l o g a} = \frac{l o g b}{l o g a}$ ， $lo g_{a^{n}} b^{n} = \frac{n l o g b}{n l o g a} = \frac{l o g b}{l o g a}$ （ $n \neq = 0$ ， $a^{n} \neq = 1$ ），兩者相等。

(E) 錯誤。 兩邊取常用對數：左邊是 $\frac{( l o g a ) ^{2}}{l o g b}$ ，右邊是 $lo g b$ 。相等要 $(lo g a)^{2} = (lo g b)^{2}$ ，即 $ab = 1$ ，不是對所有 $a$ 、 $b$ 都成立；例如 $a = 10$ ， $b = \frac{1}{2}$ 時左邊 $1 0^{\frac{1}{l o g 0.5}} \approx 0.0005 \neq = \frac{1}{2}$ 。

答案 (D)。

r = lo g_{a} b < 0

，則

lo g_{b} a = \frac{1}{r}

；

r \leq \frac{1}{r}

只在

r \leq - 1

（即

ab \leq 1

）時成立，所以「恆成立」是錯的。

判斷對數敘述先看正負號：

a > 1

時

lo g a > 0

，

0 < b < 1

時

lo g b < 0

；換底公式把所有對數化成同一個底再比。

03填充第 5～9 題：指數與對數函數的圖形、常用對數

第 5 題

① 六點的 $x$ 坐標間隔都是 $0.4$ ，每一段的長度是

$0. 4^{2} + (兩端點 y 坐標的差)^{2}$

所以 $y$ 坐標的落差愈大，線段愈長。

② 相鄰兩點從 $x$ 到 $x + 0.4$ 的落差：

$1 0^{- x} - 1 0^{- (x + 0.4)} = 1 0^{- x} (1 - 1 0^{- 0.4})$

③ 括號是固定的正數， $1 0^{- x}$ 隨 $x$ 增加而變小，所以落差一段比一段小（見圖）。

④ 第一段 $\overline{A B}$ 的落差最大，最長。

答案為 $\overline{A B}$ 。

載入中...

\overline{A B} \approx 0.16 + 0.24 0^{2} \approx 0.466

，

\overline{B C} \approx 0.16 + 0.09 5^{2} \approx 0.411

，之後愈來愈接近

0.4

。

第 6 題

① $a > 1$ 時 $a^{x}$ 遞增：最大值 $a^{3}$ ，最小值 $a$ 。

$a^{3} - a = \frac{16}{15} a^{2} \Rightarrow 15 a^{2} - 16 a - 15 = 0$

② 因式分解 $(3 a - 5) (5 a + 3) = 0$ ， $a > 1$ ，得 $a = \frac{5}{3}$ 。

③ $0 < a < 1$ 時 $a^{x}$ 遞減：最大值 $a$ ，最小值 $a^{3}$ 。

$a - a^{3} = \frac{16}{15} a^{2} \Rightarrow 15 a^{2} + 16 a - 15 = 0$

④ 因式分解 $(5 a - 3) (3 a + 5) = 0$ ， $0 < a < 1$ ，得 $a = \frac{3}{5}$ 。

答案為 $a = \frac{5}{3}$ 或 $a = \frac{3}{5}$ 。

載入中...

驗算：

a = \frac{5}{3}

時

a^{3} - a = \frac{125}{27} - \frac{5}{3} = \frac{80}{27}

，

\frac{16}{15} \cdot \frac{25}{9} = \frac{80}{27}

；

a = \frac{3}{5}

時

a - a^{3} = \frac{3}{5} - \frac{27}{125} = \frac{48}{125}

，

\frac{16}{15} \cdot \frac{9}{25} = \frac{48}{125}

。

第 7 題

① $2^{n}$ 是 $12$ 位數且最高位數字為 $2$ ：

$2 \times 1 0^{11} \leq 2^{n} < 3 \times 1 0^{11}$

② 取常用對數： $11 + lo g 2 \leq n lo g 2 < 11 + lo g 3$ ，即 $11.3010 \leq 0.3010 n < 11.4771$ 。

③ 除以 $0.3010$ ： $37.54 \leq n < 38.13$ （見圖，數線上只有 $38 lo g 2$ 落在這段）。

④ 正整數 $n = 38$ 。

答案為 $38$ 。

載入中...

驗算：

2^{38} = 274877906944

，確實是

12

位數，最高位數字是

2

。

第 8 題

① 換底： $g (x) = lo g_{a^{2}} x = \frac{l o g x}{2 l o g a} = \frac{1}{2} lo g_{a} x = \frac{1}{2} f (x)$ 。

② $A$ 、 $B$ 兩點的水平距離是 $5 - 2 = 3$ ，上升量是

$f (5) - f (2) = lo g_{a} 5 - lo g_{a} 2 = lo g_{a} \frac{5}{2}$

③ 所以 $m_{1} = \frac{1}{3} lo g_{a} \frac{5}{2}$ 。

④ 同理 $m_{2} = \frac{g ( 5 ) - g ( 2 )}{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lo g_{a} \frac{5}{2}$ （見圖，上升量是 $A$ 、 $B$ 的一半）。

⑤ $a > 1$ ， $lo g_{a} \frac{5}{2} \neq = 0$ ，兩者相除得 $\frac{m _{1}}{m _{2}} = 2$ 。

答案為 $2$ 。

載入中...

結果與

a

的值無關，也與兩條直線取在哪裡無關。

第 9 題

① 把右邊化成同底： $\frac{π}{e} = (\frac{e}{π})^{- 1}$ ，

$(\frac{e}{π})^{2 x - 1} < (\frac{e}{π})^{- (2 x^{2} + x + 1)}$

② $e \approx 2.718 < π$ ，底數 $\frac{e}{π}$ 介於 $0$ 與 $1$ 之間，函數遞減，比較指數時不等號反向：

$2 x - 1 > - (2 x^{2} + x + 1)$

③ 整理： $2 x^{2} + 3 x > 0$ ，即 $x (2 x + 3) > 0$ 。

④ 所以 $x > 0$ 或 $x < - \frac{3}{2}$ （見數線圖，兩端點不含）。

答案為 $x > 0$ 或 $x < - \frac{3}{2}$ 。

載入中...

易錯：忘了底數小於

1

要反向，會得到

- \frac{3}{2} < x < 0

。

等間隔點的線段長看落差；底數小於

1

的指數不等式比較指數時要反向。

04填充第 10～14 題：成長模型、指對數方程式與不等式

第 10 題

① 每週都比上週多 $x %$ ，經過 $6$ 週後成果是原來的 $(1 + \frac{x}{100})^{6}$ 倍。

② 要至少 $2$ 倍： $(1 + \frac{x}{100})^{6} \geq 2$ 。

③ 兩邊都是正數，開六次方： $1 + \frac{x}{100} \geq 2^{\frac{1}{6}} \approx 1.12246$ （卷頭給的數值）。

④ 所以 $x \geq 12.246$ ，四捨五入至小數點後第二位為 $12.25$ 。

答案為 $12.25$ 。

驗算：

1.122 5^{6} \approx 2.0004

，略大於

2

；

1.122 4^{6} \approx 1.9993

，略小於

2

。

第 11 題

① 真數條件： $x - 1 > 0$ 且 $x + 3 > 0$ ，所以 $x > 1$ 。

② 換底： $lo g_{4} (x + 3) = \frac{1}{2} lo g_{2} (x + 3)$ 。令兩式相等，兩邊乘以 $2$ ：

$2 lo g_{2} (x - 1) = 1 + lo g_{2} (x + 3)$

③ 化成同一個對數： $lo g_{2} (x - 1)^{2} = lo g_{2} (2 (x + 3))$ ，所以 $(x - 1)^{2} = 2 x + 6$ 。

④ 整理： $x^{2} - 4 x - 5 = 0$ ， $(x - 5) (x + 1) = 0$ ； $x > 1$ ，只取 $x = 5$ 。

⑤ $y = lo g_{2} (5 - 1) = 2$ ，交點是 $(5, 2)$ （見圖）。

答案為 $(5, 2)$ 。

載入中...

驗算另一式：

\frac{1}{2} + lo g_{4} 8 = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 2

。

第 12 題

① 真數條件： $x > 0$ ，而且 $lo g_{2} x > 0$ ，所以 $x > 1$ 。

② $- 1 = lo g_{\frac{1}{3}} 3$ ，不等式寫成 $lo g_{\frac{1}{3}} (lo g_{2} x) \geq lo g_{\frac{1}{3}} 3$ 。

③ 底數 $\frac{1}{3} < 1$ ，函數遞減，比較真數時不等號反向： $lo g_{2} x \leq 3$ ，即 $x \leq 8$ 。

④ 合起來 $1 < x \leq 8$ （見數線圖），整數 $x = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ 。

答案為 $7$ 個。

載入中...

易錯：漏掉

lo g_{2} x > 0

這個條件，會把

x = 1

也算進去。

第 13 題

① 換底： $lo g_{x} 0.5 = \frac{1}{l o g _{0.5} x}$ 。令 $t = lo g_{0.5} x$ （ $x \neq = 1$ ，所以 $t \neq = 0$ ）。

② 方程式變成 $t - \frac{32}{t} + 4 = 0$ ，兩邊乘以 $t$ ：

$t^{2} + 4 t - 32 = 0$

③ 因式分解 $(t + 8) (t - 4) = 0$ ， $t = 4$ 或 $t = - 8$ 。

④ $t = 4$ ： $x = 0. 5^{4} = \frac{1}{16}$ 。

⑤ $t = - 8$ ： $x = 0. 5^{- 8} = 2^{8} = 256$ 。

⑥ 兩個解都滿足 $x > 0$ 、 $x \neq = 1$ 。

答案為 $x = \frac{1}{16}$ 或 $x = 256$ 。

驗算

x = 256

：

lo g_{0.5} 256 = - 8

，

lo g_{256} 0.5 = - \frac{1}{8}

，

- 8 - 32 \cdot (- \frac{1}{8}) + 4 = 0

。

第 14 題

① 由對數的定義： $1 - 6 \times 7^{x} = 7^{2 x + 1} = 7 \cdot (7^{x})^{2}$ 。

② 令 $u = 7^{x}$ （ $u > 0$ ）： $7 u^{2} + 6 u - 1 = 0$ 。

③ 因式分解 $(7 u - 1) (u + 1) = 0$ ； $u > 0$ ，只取 $u = \frac{1}{7}$ 。

④ $7^{x} = 7^{- 1}$ ，所以 $x = - 1$ 。

⑤ 檢查真數： $1 - 6 \times \frac{1}{7} = \frac{1}{7} > 0$ ，成立。

答案為 $- 1$ 。

驗算：

lo g_{7} \frac{1}{7} = - 1

，右邊

2 (- 1) + 1 = - 1

，相等。

對數方程式先寫真數條件；看到

lo g_{a} b

與

lo g_{b} a

就令

t

，看到

7^{2 x}

與

7^{x}

就令

u = 7^{x}

，化成二次方程式。

05計算第 15、16 題：對數的化簡求值

第 15 題

① 第一個括號，換成以 $2$ 為底：

$lo g_{4} 125 = \frac{lo g _{2} 5 ^{\frac{3}{2}}}{lo g _{2} 4} = \frac{\frac{3}{2} lo g _{2} 5}{2} = \frac{3}{4} lo g_{2} 5$

所以第一個括號 $= lo g_{2} 5 + \frac{3}{4} lo g_{2} 5 = \frac{7}{4} lo g_{2} 5$ 。

② 第二個括號，換成以 $5$ 為底：

$lo g_{25} 2 = \frac{1}{2} lo g_{5} 2, lo g_{5} \frac{1}{8} = lo g_{5} 2^{- \frac{3}{2}} = - \frac{3}{2} lo g_{5} 2$

所以第二個括號 $= \frac{1}{2} lo g_{5} 2 - \frac{3}{2} lo g_{5} 2 = - lo g_{5} 2$ 。

③ 相乘，並用 $lo g_{2} 5 \cdot lo g_{5} 2 = 1$ ：

$\frac{7}{4} lo g_{2} 5 \cdot (- lo g_{5} 2) = - \frac{7}{4}$

答案為 $- \frac{7}{4}$ 。

\frac{1}{8} = 8^{- \frac{1}{2}} = 2^{- \frac{3}{2}}

，指數的正負號最容易抄錯。

第 16 題

① 分子各項寫成 $lo g 2$ 、 $lo g 3$ 的倍數：

$lo g 8 = \frac{3}{2} lo g 2, lo g 27 = 3 lo g 3, lo g 1000 = \frac{3}{2}$

② 分子 $= \frac{3}{2} lo g 2 + 3 lo g 3 - \frac{3}{2} = \frac{3}{2} (lo g 2 + 2 lo g 3 - 1)$ 。

③ 分母： $lo g 18 = lo g 2 + 2 lo g 3$ ，所以分母 $= lo g 2 + 2 lo g 3 - 1$ 。

④ 分母不為 $0$ （ $lo g 18 \neq = 1$ ），約去相同的式子：

$\frac{\frac{3}{2} ( lo g 2 + 2 lo g 3 - 1 )}{lo g 2 + 2 lo g 3 - 1} = \frac{3}{2}$

答案為 $\frac{3}{2}$ 。

用近似值檢查：分子

\approx 0.4515 + 1.4313 - 1.5 = 0.3828

，分母

\approx 0.2553

，比值約

1.5

。

化簡對數式先把每一項寫成同一組

lo g 2

、

lo g 3

（或同一個底）的倍數，再合併約分。

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每個題型挑各校段考原題當例題（少數改寫會註明），由易到難；每一題都附圖或表，詳解寫到每一步。PDF 電子檔，可以先下載試閱。

《指數與對數函數》單元冊 09・高二上（數A）

同一次段考的其他學校

同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

高師大附中 110 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 16 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

高師大附中 110 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 1 題要看出 b 是兩數幾何平均的對數、d 是兩數的算術平均，用算幾不等式比大小；第 4 題 (C) 要舉反例，log 以 a 為底 b 與 log 以 b 為底 a 都是負數，誰大要看絕對值是否大於 1；第 7 題要把 12 位數且最高位數字為 2 寫成常用對數的範圍；第 12 題底數 1/3 小於 1，不等號要反向，還要記得真數 log 以 2 為底 x 必須大於 0。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自高師大附中 110 學年度上學期高二第二次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

高師大附中 110 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

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01單選第 1、2 題：算幾不等式比大小、指數函數的單調性

02多選第 3、4 題：圖形的對稱與伸縮、對數律

03填充第 5～9 題：指數與對數函數的圖形、常用對數

04填充第 10～14 題：成長模型、指對數方程式與不等式

05計算第 15、16 題：對數的化簡求值

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高師大附中 110 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

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