段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數、對數與對數律、對數函數的圖形、指數與對數方程式和不等式、應用）

高師大附中 112 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 19 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，練滿 15 題就能產生考前藍圖 PDF →

這一章有整理好的單元冊：《指數與對數函數》

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

多重選擇題 5 題（每題 6 分，共 30 分）、填充題 14 題（每題 5 分，共 70 分），合計 100 分。原卷填充題題號 1～14，本頁依序編為第 6～19 題。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、多重選擇題（共 30 分。每題至少有一個選項正確，全對得 6 分，答錯一個選項得 4 分，答錯兩個選項得 2 分，其他情形得 0 分）

設

a > 1 > b > 0

，關於下列不等式，何者正確？

(A) $(- a)^{7} > (- a)^{9}$
(B) $b^{- 9} > b^{- 7}$
(C) $lo g \frac{1}{a} > lo g \frac{1}{b}$
(D) $lo g_{a} 1 > lo g_{b} 1$
(E) $lo g_{a} b \geq lo g_{b} a$

下圖為

y = a^{∣ x ∣}

的圖形一部分，

P

點為曲線與

y

軸之交點，則下列何者正確？

(A) $a > 1$
(B) $\overline{O P} = 1$
(C) $y = a^{∣ x ∣}$ 的圖形對稱於 $y$ 軸
(D) 若 $x \neq = 0$ ，但 $x$ 為實數，則 $y = a^{∣ x ∣}$ 的圖形與 $y = lo g_{a} ∣ x ∣$ 的圖形對稱於直線 $y = x$
(E) $y = a^{∣ x ∣}$ 之圖形與 $y = a^{- ∣ x ∣}$ 之圖形對稱於直線 $y = 1$

載入中...

若

x \in R

，則下列何者正確？

(A) $2^{∣ x ∣} = 2^{- ∣ x ∣} + 1$ 恰有一實根
(B) $2^{x} = x^{2}$ 之實根有 $3$ 個
(C) $lo g_{2} ∣ x ∣ = x^{2} - 4$ 之實根有 $4$ 個
(D) $∣ lo g_{2} x ∣ = 2 - x$ 之實根有 $2$ 個
(E) $2^{- ∣ x ∣} = lo g_{\frac{1}{2}} ∣ x ∣$ 之實根有 $2$ 個

a > 0

，

a \neq = 1

，

α, β > 0

，函數

f : x \to a^{x}

，

x \in R

，函數

g : x \to lo g_{a} x

，

x > 0

，下列何者正確？

(A) $f (x)$ 的值域 $= R$
(B) $f (α - β) = \frac{f ( α )}{f ( β )}$
(C) $g (a^{x}) = x$
(D) $a^{g (α)} = α$
(E) $g (\frac{α}{β}) = \frac{g ( α )}{g ( β )}$

下列何者正確？

(A) 若 $h > 0$ ，直線 $x = h$ 與 $y = lo g_{\frac{1}{2}} x$ 恰只有一個交點
(B) 設 $y = f (x) = lo g_{2} x$ ，且 $x_{1}, x_{2} > 0$ ，則 $\frac{f ( x _{1} ) + f ( x _{2} )}{2} \geq f (\frac{x _{1} + x _{2}}{2})$
(C) 當 $x > 1$ 時， $lo g_{2} x < lo g_{3} x$
(D) 將 $y = lo g_{2} x$ 的圖形向右平移 $3$ 單位，再向上平移 $2$ 單位，所得為 $y = lo g_{2} (4 x - 12)$ 的圖形
(E) 將 $y = lo g_{2} x$ 的圖形沿 $y$ 軸方向伸縮 $\frac{1}{2}$ 倍可得 $y = lo g_{4} x$ 的圖形

二、填充題（每題 5 分，共 70 分。全對才給分）

解

4^{x} - 3 \cdot 2^{x} - 28 = 0

，則

x =

____。

若

x > 0

，求

x^{2 x^{2} - 5 x + 3} > x

之解為 ____。

設

- 2 \leq x \leq 2

，若

x = α

時，

f (x) = - 4^{x - 1} + 2^{x}

有最大值

M

，則數對

(α, M) =

____。

設

lo g_{2} 3 = a

，

lo g_{3} 5 = b

，試以

a

、

b

表示

lo g_{6} 75

為 ____。

已知

lo g_{(2 a - 1)} (- 3 a^{2} + 11 a - 6)

有意義，則

a

的範圍為 ____。

解

lo g_{x} 16 - lo g_{2} x = 3

，則

x =

____。

解

lo g_{2} (x - 1)^{2} \leq lo g_{2} (3 x + 1)

，則

x

的範圍為 ____。

設

y = f (x) = 3^{x} + a

與

y = g (x) = lo g_{b} (x + 2)

兩圖形對稱於直線

y = x

，且

f (2) = 7

，求數對

(a, b) =

____。

設

lo g_{3} (lo g_{3} (lo g_{3} x)) = 1

，若求得

x

為

m

位數，則

m =

____。（已知

lo g 3 \approx 0.4771

）

若

(\frac{2}{3})^{100} = a \times 1 0^{n}

，

1 \leq a < 10

，

n \in Z

，則

a

的整數位數字為 ____。（已知

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

）

已知

α

為

lo g_{2} x = - x + 4

之解，

β

為

2^{x} = - x + 4

之解，則

α + β =

____。

小明

112

年

1

月

1

日向銀行借

1000000

元，約定隔年

1

月

1

日開始償還，依照年利率

10%

，每年計息一次；若小明預計

117

年

1

月

1

日還清，試問：依複利計算，則小明每年至少需固定金額還給銀行約 ____ 元（無條件進位取至千元）。（已知

1. 1^{4} = 1.4641

，

1. 1^{5} = 1.61051

，

1. 1^{6} = 1.771561

）

如下圖，設

A B C D

為正方形，已知正方形

A B C D

的面積為

36

，且

\overline{A B}

平行

x

軸，

A

、

B

、

C

三點分別在

y = lo g_{a} x

、

y = 2 lo g_{a} x

、

y = 3 lo g_{a} x

的圖形上，求

a =

____。

載入中...

小明進行某一實驗來確定某種運動之距離

d

與時間

t

的關係，結果得到

5

筆數據

(t_{1}, d_{1}), (t_{2}, d_{2}), (t_{3}, d_{3}), (t_{4}, d_{4}), (t_{5}, d_{5})

，如下表：

時間 t （秒） 距離 d （呎） 0.5 2 1 d_{2} 2 d_{3} t_{4} 64 4128

若將

lo g_{2} t

當作

x

坐標，

lo g_{2} d

當作

y

坐標，經變換後可得到

5

筆新的數據

(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), (x_{3}, y_{3}), (x_{4}, y_{4}), (x_{5}, y_{5})

皆恰好落在直線

y = a x + b

上，求

d

與

t

的關係式為 ____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)(B)

第 2 題(B)(C)

第 3 題(B)(C)(D)(E)

第 4 題(B)(C)(D)

第 5 題(A)(D)(E)

第 6 題

lo g_{2} 7

第 7 題

\frac{1}{2} < x < 1

或

x > 2

第 8 題

(1, 1)

第 9 題

\frac{a + 2 ab}{1 + a}

第 10 題

\frac{2}{3} < a < 3

且

a \neq = 1

第 11 題

2

或

\frac{1}{16}

第 12 題

0 \leq x < 1

或

1 < x \leq 5

第 13 題

(- 2, 3)

第 14 題

13

第 15 題

2

第 16 題

4

第 17 題

264000

元

第 18 題

63

第 19 題

d = 8 t^{2}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊

04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選第 1、2 題：比大小、由圖形判斷底數

第 1 題

答案 (A)(B)。

(A) 正確。 $(- a)^{7} = - a^{7}$ ， $(- a)^{9} = - a^{9}$ 。底數 $a > 1$ ，指數愈大值愈大， $a^{9} > a^{7}$ ，所以 $- a^{7} > - a^{9}$ 。

(B) 正確。 $b^{- 9} = (\frac{1}{b})^{9}$ ， $b^{- 7} = (\frac{1}{b})^{7}$ ，而 $\frac{1}{b} > 1$ ，指數愈大值愈大，所以 $b^{- 9} > b^{- 7}$ 。

(D) 錯誤。 任何合格的底數， $1$ 的對數都是 $0$ ，兩邊都等於 $0$ ，不會一邊大於另一邊。

(E) 錯誤。 令 $t = lo g_{a} b$ ，底數 $a > 1$ 、真數 $0 < b < 1$ ，所以 $t < 0$ ，而 $lo g_{b} a = \frac{1}{t}$ 。例如 $a = 2$ 、 $b = \frac{1}{8}$ ： $lo g_{2} \frac{1}{8} = - 3$ ， $lo g_{\frac{1}{8}} 2 = - \frac{1}{3}$ ， $- 3 < - \frac{1}{3}$ ，不等式不成立。（ $t \geq \frac{1}{t}$ 兩邊同乘負數 $t$ 得 $t^{2} \leq 1$ ，只有 $- 1 \leq t < 0$ 時才成立。）

第 2 題

答案 (B)(C)。

圖中 $x \geq 0$ 的部分 $y = a^{x}$ 遞減，所以 $0 < a < 1$ ； $P$ 是 $x = 0$ 時的點， $a^{0} = 1$ ， $P (0, 1)$ 。

(A) 錯誤。 由圖形遞減知 $0 < a < 1$ 。

(B) 正確。 $\overline{O P} = 1$ 。

(D) 錯誤。 點 $(- 1, 0)$ 在 $y = lo g_{a} ∣ x ∣$ 上（ $lo g_{a} 1 = 0$ ），它對直線 $y = x$ 的對稱點是 $(0, - 1)$ ；但 $y = a^{∣ x ∣}$ 在 $x = 0$ 時 $y = 1$ ， $(0, - 1)$ 不在圖形上。兩圖形不對稱於 $y = x$ 。

(E) 錯誤。 點 $(1, a)$ 在 $y = a^{∣ x ∣}$ 上，對直線 $y = 1$ 的對稱點是 $(1, 2 - a)$ 。若它在 $y = a^{- ∣ x ∣}$ 上，則 $2 - a = \frac{1}{a}$ ，即 $a^{2} - 2 a + 1 = 0$ ， $a = 1$ ，不合。所以兩圖形不對稱於 $y = 1$ 。

02多選第 3 題：用圖形數實根

第 3 題

答案 (B)(C)(D)(E)。

(A) 錯誤。 令 $t = 2^{∣ x ∣}$ ，則 $t \geq 1$ ，方程式變成 $t = \frac{1}{t} + 1$ ，即 $t^{2} - t - 1 = 0$ ， $t = \frac{1 + 5}{2}$ （負根不合），這個值大於 $1$ 。 $∣ x ∣ = lo g_{2} \frac{1 + 5}{2} > 0$ ，所以 $x$ 有正、負兩個實根，不是恰有一個。

(B) 正確。 $x = 2$ 、 $x = 4$ 都是根（ $2^{2} = 2^{2}$ ， $2^{4} = 4^{2}$ ）。 $x = - 1$ 時左邊 $\frac{1}{2}$ 小於右邊 $1$ ， $x = 0$ 時左邊 $1$ 大於右邊 $0$ ，所以 $- 1$ 與 $0$ 之間還有一根。畫出 $y = 2^{x}$ 與 $y = x^{2}$ 的圖形： $x < 0$ 時指數函數遞增、拋物線遞減，只交一次； $x > 0$ 時只在 $x = 2$ 、 $x = 4$ 相交（ $2 < x < 4$ 時拋物線在上方，例如 $x = 3$ ： $8 < 9$ ； $x > 4$ 後指數函數一直在上方）。共 $3$ 個實根。

(C) 正確。 兩邊把 $x$ 換成 $- x$ 都不變，實根正負成對，只要數 $x > 0$ 的實根： $lo g_{2} x = x^{2} - 4$ 。先用函數值比較，排除不可能有根的區段： $0 < x < \frac{1}{16}$ 時，左邊 $< - 4 <$ 右邊； $\frac{1}{8} < x \leq 1$ 時，左邊 $> - 3 \geq$ 右邊（ $x^{2} \leq 1$ ）； $1 \leq x \leq 2$ 時，左邊 $\geq 0 \geq$ 右邊，而且兩邊不會同時是 $0$ （ $x = 1$ 時右邊 $- 3$ ， $x = 2$ 時左邊 $1$ ）； $x \geq 3$ 時，左邊 $lo g_{2} x < x$ （因為 $2^{x} > x$ ），而 $x^{2} - 4 - x > 0$ （ $x^{2} - x - 4$ 的兩根都小於 $3$ ），所以左邊 $< x <$ 右邊。所以正根只可能在 $\frac{1}{16} \leq x \leq \frac{1}{8}$ 與 $2 < x < 3$ 這兩段裡。 $x = \frac{1}{16}$ 時左邊 $- 4$ 小於右邊 $\frac{1}{256} - 4$ ； $x = \frac{1}{8}$ 時左邊 $- 3$ 大於右邊 $\frac{1}{64} - 4$ ，所以 $\frac{1}{16}$ 與 $\frac{1}{8}$ 之間有一根。 $x = 2$ 時左邊 $1$ 大於右邊 $0$ ； $x = 3$ 時左邊 $lo g_{2} 3 < 2$ 小於右邊 $5$ ，所以 $2$ 與 $3$ 之間又有一根。至於正根最多兩個：若有三個正根 $p < q < r$ ，兩條曲線在 $x = p$ 、 $x = r$ 處都重合，用連接這兩個點的同一條弦來比。 $y = lo g_{2} x$ 的圖形凹口向下，弦在曲線下方； $y = x^{2} - 4$ 的圖形凹口向上，弦在曲線上方。於是在 $x = q$ 處， $lo g_{2} q$ 大於弦的高度，弦的高度又大於 $q^{2} - 4$ ，與 $q$ 是根矛盾。所以 $x > 0$ 恰有 $2$ 個根，正負合計 $4$ 個實根。

(D) 正確。 真數 $x > 0$ 。 $x \geq 1$ 時： $lo g_{2} x = 2 - x$ ，左邊遞增、右邊遞減，最多一根； $x = 1$ 時 $0 < 1$ ， $x = 2$ 時 $1 > 0$ ，所以恰有一根（在 $1$ 與 $2$ 之間）。 $0 < x < 1$ 時： $- lo g_{2} x = 2 - x$ ，即 $lo g_{2} x = x - 2$ ，也就是 $x = 2^{x - 2}$ 。直線 $y = x$ 與指數函數 $y = 2^{x - 2}$ 的圖形最多交兩點，其中一個交點是 $x = 4$ （ $2^{2} = 4$ ）；又 $x = 0$ 時 $0 < \frac{1}{4}$ 、 $x = 1$ 時 $1 > \frac{1}{2}$ ，所以另一個交點在 $0$ 與 $1$ 之間。因此 $0 < x < 1$ 恰有一根。共 $2$ 個實根。

(E) 正確。 兩邊把 $x$ 換成 $- x$ 都不變，只要數 $x > 0$ 的實根： $(\frac{1}{2})^{x} = lo g_{\frac{1}{2}} x$ 。 $x \geq 1$ 時右邊 $\leq 0$ ，左邊 $> 0$ ，沒有根。 $0 < x < 1$ 時： $y = (\frac{1}{2})^{x}$ 與 $y = lo g_{\frac{1}{2}} x$ 互為反函數，圖形對稱於 $y = x$ 。 $(\frac{1}{2})^{x} = x$ 左邊遞減、右邊遞增，恰有一根，且在 $0$ 與 $1$ 之間（ $x = \frac{1}{2}$ 時 $\frac{2}{2} > \frac{1}{2}$ ， $x = 1$ 時 $\frac{1}{2} < 1$ ），這是兩圖形在 $y = x$ 上的交點。再說明兩圖形不會在 $y = x$ 以外相交：若 $(x, y)$ 是交點（ $0 < x < 1$ ），則 $y = (\frac{1}{2})^{x}$ 且 $x = (\frac{1}{2})^{y}$ ，所以 $0 < y < 1$ ，而且 $x \cdot 2^{y} = 1 = y \cdot 2^{x}$ ，即 $\frac{x}{2 ^{x}} = \frac{y}{2 ^{y}}$ 。但 $0 < s < t < 1$ 時，令 $d = t - s$ ，則 $\frac{t}{s} = 1 + \frac{d}{s} > 1 + d > 2^{d}$ （指數函數 $y = 2^{x}$ 的圖形凹口向上， $0 < d < 1$ 時在連接 $(0, 1)$ 、 $(1, 2)$ 的弦 $y = 1 + x$ 下方），也就是 $\frac{t}{2 ^{t}} > \frac{s}{2 ^{s}}$ 。所以 $\frac{x}{2 ^{x}} = \frac{y}{2 ^{y}}$ 只能 $x = y$ ：交點一定在 $y = x$ 上，只有這一個。所以 $x > 0$ 有 $1$ 個根，正負合計 $2$ 個實根。

(E) 的底數若改成比

\frac{1}{2}

小很多（例如

\frac{1}{16}

），

y = (\frac{1}{16})^{x}

與

y = lo g_{\frac{1}{16}} x

除了在

y = x

上相交，還會在

(\frac{1}{4}, \frac{1}{2})

、

(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})

兩點相交，所以「互為反函數就只交在

y = x

上」不能當成通用的理由，要像上面那樣另外說明。

03多選第 4、5 題：反函數、對數函數的圖形性質

第 4 題

答案 (B)(C)(D)。

(A) 錯誤。 $a^{x} > 0$ ，值域是所有正實數，不是 $R$ 。

(B) 正確。 指數律 $a^{α - β} = \frac{a ^{α}}{a ^{β}}$ 。

(D) 正確。 $α > 0$ ，由對數的定義 $a^{l o g_{a} α} = α$ 。

(E) 錯誤。 對數律是 $g (\frac{α}{β}) = g (α) - g (β)$ ，不是相除。例如 $a = 2$ 、 $α = 4$ 、 $β = 2$ ：左邊 $lo g_{2} 2 = 1$ ，右邊 $\frac{l o g _{2} 4}{l o g _{2} 2} = 2$ 。

第 5 題

答案 (A)(D)(E)。

(A) 正確。 $h > 0$ 在 $y = lo g_{\frac{1}{2}} x$ 的定義域內， $x = h$ 只對應一個函數值 $lo g_{\frac{1}{2}} h$ ，恰有一個交點 $(h, lo g_{\frac{1}{2}} h)$ 。

(B) 錯誤。 $\frac{f ( x _{1} ) + f ( x _{2} )}{2} = \frac{1}{2} lo g_{2} (x_{1} x_{2}) = lo g_{2} x_{1} x_{2}$ 。由算幾不等式 $x_{1} x_{2} \leq \frac{x _{1} + x _{2}}{2}$ ，底數 $2 > 1$ ，所以 $\frac{f ( x _{1} ) + f ( x _{2} )}{2} \leq f (\frac{x _{1} + x _{2}}{2})$ ，方向相反；只有 $x_{1} = x_{2}$ 時相等。例如 $x_{1} = 1$ 、 $x_{2} = 4$ ：左邊 $1$ ，右邊 $lo g_{2} \frac{5}{2} > lo g_{2} 2 = 1$ 。

(C) 錯誤。 換底： $lo g_{2} x = \frac{l o g x}{l o g 2}$ ， $lo g_{3} x = \frac{l o g x}{l o g 3}$ 。 $x > 1$ 時 $lo g x > 0$ ，又 $0 < lo g 2 < lo g 3$ ，所以 $lo g_{2} x > lo g_{3} x$ 。例如 $x = 9$ ： $lo g_{2} 9 > 3 > 2 = lo g_{3} 9$ 。

(D) 正確。 向右平移 $3$ 單位得 $y = lo g_{2} (x - 3)$ ，再向上平移 $2$ 單位得 $y = lo g_{2} (x - 3) + 2 = lo g_{2} (x - 3) + lo g_{2} 4 = lo g_{2} (4 x - 12)$ ，定義域都是 $x > 3$ 。

(E) 正確。 沿 $y$ 軸方向伸縮 $\frac{1}{2}$ 倍，是把每一點的 $y$ 坐標乘以 $\frac{1}{2}$ ，得 $y = \frac{1}{2} lo g_{2} x$ 。而 $lo g_{4} x = \frac{l o g _{2} x}{l o g _{2} 4} = \frac{1}{2} lo g_{2} x$ ，兩者相同。

04填充第 1～5 題：指數方程式與不等式、最大值、換底、對數有意義

第 6 題

令 $t = 2^{x} > 0$ ，則 $4^{x} = t^{2}$ ，方程式變成 $t^{2} - 3 t - 28 = 0$ ， $(t - 7) (t + 4) = 0$ 。

$t > 0$ ，所以 $t = 7$ ，即 $2^{x} = 7$ ， $x = lo g_{2} 7$ 。

第 7 題

$x = 1$ 時兩邊都是 $1$ ，不成立。

$x > 1$ ：底數大於 $1$ ，指數大的值大，要 $2 x^{2} - 5 x + 3 > 1$ ，即 $2 x^{2} - 5 x + 2 > 0$ ， $(2 x - 1) (x - 2) > 0$ ， $x < \frac{1}{2}$ 或 $x > 2$ ；配合 $x > 1$ 得 $x > 2$ 。

$0 < x < 1$ ：底數小於 $1$ ，不等號反向，要 $2 x^{2} - 5 x + 3 < 1$ ， $(2 x - 1) (x - 2) < 0$ ， $\frac{1}{2} < x < 2$ ；配合 $0 < x < 1$ 得 $\frac{1}{2} < x < 1$ 。

解為 $\frac{1}{2} < x < 1$ 或 $x > 2$ 。

第 8 題

令 $t = 2^{x}$ ， $- 2 \leq x \leq 2$ 時 $\frac{1}{4} \leq t \leq 4$ 。 $4^{x - 1} = \frac{4 ^{x}}{4} = \frac{t ^{2}}{4}$ ，所以

$f (x) = - \frac{1}{4} t^{2} + t = - \frac{1}{4} (t - 2)^{2} + 1$ 。

$t = 2$ 在範圍內，此時 $f$ 有最大值 $1$ ，而 $2^{x} = 2$ 得 $x = 1$ 。所以 $(α, M) = (1, 1)$ 。

第 9 題

換成以 $2$ 為底： $lo g_{2} 5 = lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 5 = ab$ 。

$lo g_{2} 75 = lo g_{2} (3 \cdot 5^{2}) = a + 2 ab$ ， $lo g_{2} 6 = 1 + a$ 。

$lo g_{6} 75 = \frac{l o g _{2} 75}{l o g _{2} 6} = \frac{a + 2 ab}{1 + a}$ 。

第 10 題

底數條件： $2 a - 1 > 0$ 且 $2 a - 1 \neq = 1$ ，得 $a > \frac{1}{2}$ 且 $a \neq = 1$ 。

真數條件： $- 3 a^{2} + 11 a - 6 > 0$ ，即 $3 a^{2} - 11 a + 6 < 0$ ， $(3 a - 2) (a - 3) < 0$ ， $\frac{2}{3} < a < 3$ 。

兩者同時成立： $\frac{2}{3} < a < 3$ 且 $a \neq = 1$ 。

05填充第 6～10 題：對數方程式與不等式、反函數、位數

第 11 題

條件： $x > 0$ 且 $x \neq = 1$ 。令 $t = lo g_{2} x$ （ $t \neq = 0$ ），則 $lo g_{x} 16 = \frac{l o g _{2} 16}{l o g _{2} x} = \frac{4}{t}$ 。

方程式變成 $\frac{4}{t} - t = 3$ ，同乘 $t$ ： $t^{2} + 3 t - 4 = 0$ ， $(t + 4) (t - 1) = 0$ ， $t = 1$ 或 $t = - 4$ 。

$x = 2$ 或 $x = 2^{- 4} = \frac{1}{16}$ ，都符合條件。

第 12 題

真數條件： $(x - 1)^{2} > 0$ 得 $x \neq = 1$ ； $3 x + 1 > 0$ 得 $x > - \frac{1}{3}$ 。

底數 $2 > 1$ ， $lo g_{2}$ 遞增，所以 $(x - 1)^{2} \leq 3 x + 1$ ， $x^{2} - 5 x \leq 0$ ， $0 \leq x \leq 5$ 。

配合真數條件： $0 \leq x < 1$ 或 $1 < x \leq 5$ 。

lo g_{2} (x - 1)^{2}

的真數是

(x - 1)^{2}

，它在

x < 1

時也是正的，所以

0 \leq x < 1

這一段要保留；若先寫成

2 lo g_{2} (x - 1)

就會把它弄丟。

第 13 題

$f (2) = 9 + a = 7$ ，得 $a = - 2$ ， $f (x) = 3^{x} - 2$ 。

兩圖形對稱於 $y = x$ ，表示 $g$ 是 $f$ 的反函數。由 $y = 3^{x} - 2$ 得 $3^{x} = y + 2$ ， $x = lo g_{3} (y + 2)$ ，所以 $f$ 的反函數是 $y = lo g_{3} (x + 2)$ ，與 $g (x) = lo g_{b} (x + 2)$ 比較得 $b = 3$ 。

$(a, b) = (- 2, 3)$ 。

第 14 題

由外往內拆： $lo g_{3} (lo g_{3} x) = 3$ ， $lo g_{3} x = 3^{3} = 27$ ， $x = 3^{27}$ 。

$lo g x = 27 lo g 3 \approx 27 \times 0.4771 = 12.8817$ ，首數 $12$ ，所以 $x$ 是 $13$ 位數， $m = 13$ 。

第 15 題

$lo g (\frac{2}{3})^{100} = 100 (lo g 2 - lo g 3) \approx 100 (0.3010 - 0.4771) = - 17.61 = - 18 + 0.39$ 。

所以 $n = - 18$ ， $lo g a \approx 0.39$ 。因為 $lo g 2 \approx 0.3010 < 0.39 < 0.4771 \approx lo g 3$ ，得 $2 < a < 3$ ， $a$ 的整數位數字為 $2$ 。

06填充第 11～14 題：圖形對稱、分期還款、正方形頂點、取對數成直線

第 16 題

$α$ 是 $y = lo g_{2} x$ 與直線 $y = - x + 4$ 交點的 $x$ 坐標，交點為 $(α, 4 - α)$ ； $β$ 是 $y = 2^{x}$ 與同一條直線交點的 $x$ 坐標，交點為 $(β, 4 - β)$ 。兩個交點都只有一個（一個遞增、一個遞減）。

$y = lo g_{2} x$ 與 $y = 2^{x}$ 對稱於 $y = x$ ，直線 $y = - x + 4$ 對稱於 $y = x$ 後仍是自己，所以兩個交點對稱於 $y = x$ ： $(β, 4 - β) = (4 - α, α)$ 。

故 $β = 4 - α$ ， $α + β = 4$ 。

第 17 題

設每年還 $x$ 元，在 $113$ 、 $114$ 、 $115$ 、 $116$ 、 $117$ 年的 $1$ 月 $1$ 日各還一次，共 $5$ 次。

把所有金額都換算到 $117$ 年 $1$ 月 $1$ 日：借款本利和為 $1000000 \times 1. 1^{5}$ ；第一次還的錢再滾 $4$ 年，……，最後一次不滾利息，還款總值為

$x (1. 1^{4} + 1. 1^{3} + 1. 1^{2} + 1.1 + 1) = x \cdot \frac{1. 1 ^{5} - 1}{1.1 - 1} = x \cdot \frac{0.61051}{0.1}$ 。

兩者相等： $x = \frac{1000000 \times 1.61051 \times 0.1}{0.61051} = \frac{161051}{0.61051} \approx 263797.5$ 。

無條件進位取至千元，每年至少還約 $264000$ 元。

第 18 題

正方形面積 $36$ ，邊長 $6$ 。依圖， $B$ 在 $A$ 的左邊、 $C$ 在 $B$ 的正上方。設 $A (p, k)$ ，則 $B (p - 6, k)$ ， $C (p - 6, k + 6)$ 。

$B$ 、 $C$ 的橫坐標相同： $2 lo g_{a} (p - 6) = k$ ， $3 lo g_{a} (p - 6) = k + 6$ 。相減得 $lo g_{a} (p - 6) = 6$ ，所以 $k = 12$ 。

$A$ 在 $y = lo g_{a} x$ 上： $lo g_{a} p = 12$ ， $p = a^{12}$ ；又 $p - 6 = a^{6}$ 。所以 $a^{12} - a^{6} = 6$ 。

令 $u = a^{6} > 0$ ： $u^{2} - u - 6 = 0$ ， $(u - 3) (u + 2) = 0$ ， $u = 3$ 。得 $a^{6} = 3$ ， $a = 63$ 。

驗算：

a^{6} = 3

時

B (3, 12)

、

A (9, 12)

、

C (3, 18)

，

lo g_{a} 9 = 6 lo g_{3} 9 = 12

，

2 lo g_{a} 3 = 12

，

3 lo g_{a} 3 = 18

，三點都在各自的圖形上。本題的圖是示意比例。

第 19 題

由第 $1$ 筆 $(0.5, 2)$ ： $x_{1} = lo g_{2} 0.5 = - 1$ ， $y_{1} = lo g_{2} 2 = 1$ 。由第 $5$ 筆 $(4, 128)$ ： $x_{5} = 2$ ， $y_{5} = 7$ 。

直線斜率 $a = \frac{7 - 1}{2 - ( - 1 )} = 2$ ，再由 $1 = 2 \times (- 1) + b$ 得 $b = 3$ 。

所以 $lo g_{2} d = 2 lo g_{2} t + 3 = lo g_{2} (8 t^{2})$ ，得 $d = 8 t^{2}$ 。

檢查第

4

筆：

8 t_{4}^{2} = 64

，

t_{4} = 22

，介於

2

與

4

之間，與表格順序相符。

指數方程式先換元成二次式；對數題先寫真數與底數條件；看到指數函數、對數函數配上一條斜率

- 1

的直線，就想到對稱於

y = x

。

這一章的單元冊

每個題型挑各校段考原題當例題（少數改寫會註明），由易到難；每一題都附圖或表，詳解寫到每一步。PDF 電子檔，可以先下載試閱。

《指數與對數函數》單元冊 09・高二上（數A）

同一次段考的其他學校

同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

高師大附中 112 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 19 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

高師大附中 112 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 3 題要用圖形數實根，最後兩個選項在 0 與 1 之間的根容易漏掉或多算；多選第 5 題對數函數兩點平均與中點函數值的大小方向容易弄反；填充第 7 題（本頁第 12 題）真數是平方，x 小於 1 的那一段要保留；填充第 12 題（本頁第 17 題）分期還款共還 5 次，要把每筆錢換算到同一天。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自高師大附中 112 學年度上學期高二第二次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

高師大附中 112 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

原卷 19 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01多選第 1、2 題：比大小、由圖形判斷底數

02多選第 3 題：用圖形數實根

03多選第 4、5 題：反函數、對數函數的圖形性質

04填充第 1～5 題：指數方程式與不等式、最大值、換底、對數有意義

05填充第 6～10 題：對數方程式與不等式、反函數、位數

06填充第 11～14 題：圖形對稱、分期還款、正方形頂點、取對數成直線

這一章的單元冊

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

高師大附中 112 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

高師大附中 112 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

高師大附中 112 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

高師大附中 112 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

高師大附中 112 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？