段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數、對數與對數律、對數函數的圖形、指數與對數方程式和不等式、應用）

高師大附中 113 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 17 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

多重選擇題 5 題（每題 8 分，共 40 分）、填充題 12 格（每格 5 分，共 60 分），合計 100 分。原卷填充題題號 1～12，本頁依序編為第 6～17 題。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、多重選擇題：每題全對得 8 分，只錯一個選項可得 5 分，錯兩個選項可得 2 分，錯兩個以上選項不給分，未作答不計分，共 40 分。

下列圖形中，二次函數

y = a x^{2} - b x

與指數函數

y = (\frac{a}{b})^{x}

的圖形，可能為哪些選項？

(1) 圖 (1)
(2) 圖 (2)
(3) 圖 (3)
(4) 圖 (4)
(5) 圖 (5)

載入中...

下列敘述何者正確？

(1) $0 < b < a < 1$ ，且 $x_{1} < 0, x_{2} < 0$ ，若 $a^{x_{1}} = b^{x_{2}}$ ，則 $x_{1} > x_{2}$
(2) $a > b > 1$ ，且 $x_{1} > 0, x_{2} > 0$ ，若 $a^{x_{1}} = b^{x_{2}}$ ，則 $x_{1} > x_{2}$
(3) $a > 0, a \neq = 1$ ， $f (x) = a^{x}$ ，則 $\frac{f ( x _{1} ) + f ( x _{2} )}{2} \geq f (\frac{x _{1} + x _{2}}{2})$
(4) 設 $a > b > 1$ ，則 $\frac{1}{2} (lo g_{0.5} a + lo g_{0.5} b) > lo g_{0.5} a \times lo g_{0.5} b$
(5) 設 $a > b > 1$ ，則 $lo g_{5} (\frac{a + b}{2}) > \frac{1}{2} (lo g_{5} a + lo g_{5} b)$

令坐標平面上滿足

y = lo g x

的點

(x, y)

所成的圖形為

Γ

，試問滿足下列哪些關係式的

(x, y)

所成的圖形與

Γ

完全相同？

(1) $y + 5 = lo g (5 x)$
(2) $5 y = lo g x^{5}$
(3) $4 y = lo g x^{4}$
(4) $2 y - 2 = lo g (\frac{x}{10})^{2}$
(5) $x^{3} = 1 0^{3 y}$

下列敘述何者正確？

(1) $y = lo g_{2} x$ 與 $y = lo g_{2} (- x)$ 的圖形對稱於 $x$ 軸
(2) $y = lo g_{2} x$ 與 $y = 2^{x}$ 的圖形對稱於直線 $x - y = 0$
(3) 方程式 $lo g_{3} x = x - 2$ 恰有一實根
(4) 方程式 $(\frac{1}{2})^{∣ x ∣} = x^{2}$ 有兩相異實根
(5) 方程式 $lo g_{\frac{1}{2}} ∣ x ∣ = 2^{x}$ 有兩相異實根

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

，

lo g 7 \approx 0.8451

，

(\frac{5}{6})^{1000}

小數點後第

α

位開始出現不為

0

的數字，且第一個不為

0

的數字為

β

；

(\frac{6}{5})^{1000}

的整數部分有

p

位，且整數部分之最高位數字為

q

，下列敘述何者正確？

(1) $α = 80$
(2) $p = 79$
(3) $β = 1$
(4) $q = 1$
(5) $α + β = p + q$

二、填充題：答案全對才給分。每格 5 分，共 60 分。

化簡

lo g_{3} 2 + \frac{1}{2} lo g_{3} \frac{1}{3} - \frac{3}{2} lo g_{3} 36

之值為 ____。

化簡

(lo g_{2} 3 + lo g_{0.5} 9) (lo g_{3} 4 + lo g_{9} 8)

之值為 ____。

設

P

、

Q

分別為直線

y = 3

，

y = 12

與

y = (\frac{1}{2})^{x}

圖形的交點，則

\overline{P Q}

的長為 ____。

方程式

lo g_{4} x - lo g_{x} 8 + \frac{5}{4} = 0

的解為

x =

____。

一病患接受全身麻醉注射。已知麻醉藥劑在人體中，每

1

小時會代謝體內剩餘藥劑的

10%

，且當體內藥劑少於原先注射藥劑的

30%

時，人體就不會有麻醉藥劑的危險。問病患在接受注射後最少應觀察 ____ 小時，才能保證沒有麻醉藥劑的危險？（答案請無條件進位取整數）

不等式

lo g_{\frac{1}{2}} (x + 1) < lo g_{\frac{1}{4}} (x + 1) + lo g_{\frac{1}{4}} (2 x - 1)

的解為 ____。

方程式

lo g_{3} (3^{x} + 81) = \frac{x}{2} + 1 + lo g_{3} 10

的解為 ____。

設

α

、

β

為方程式

4^{x} - 16 (2^{x + 1}) + 64 = 0

的兩根，則

α + β =

____。

在坐標平面上，若函數

y = f (x) = 2^{x}

的圖形恆在函數

y = g (x) = 3 - 2^{- x + 1}

的圖形之上方，則

x

的範圍為 ____。

在坐標平面上，

A (a, r)

、

B (b, s)

為函數圖形

y = lo g_{2} x

上之兩點，其中

a < b

。已知

A

、

B

連線的斜率等於

3

且線段

\overline{A B}

的長度為

210

，則數對

(a, b) =

____。

a

為整數，若方程式

(x + lo g_{2} a)^{2} = 16 x

有兩相異實根，則此種整數

a

有 ____ 個。

設實數

α

、

β

滿足

lo g α^{3} + 3 α - 6 = 0

，

1 0^{β + 1} + 10 β - 20 = 0

，則

α + β

的值為 ____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(4)

第 2 題(3)(5)

第 3 題(2)(5)

第 4 題(2)(4)(5)

第 5 題(1)(4)

第 6 題

- 1

第 7 題

- \frac{7}{2}

第 8 題

85

第 9 題

22

或

\frac{1}{16}

第 10 題

12

第 11 題

\frac{1}{2} < x < 2

第 12 題

2

或

6

第 13 題

6

第 14 題

x < 0

或

x > 1

第 15 題

(\frac{2}{63}, \frac{128}{63})

第 16 題

15

第 17 題

2

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選第 1、2 題：二次函數與指數函數的圖形、比大小

第 1 題

答案 (4)。

指數函數 $y = (\frac{a}{b})^{x}$ 的底數要大於 $0$ 且不等於 $1$ ，所以 $\frac{a}{b} > 0$ ，也就是 $a$ 、 $b$ 同號， $\frac{b}{a} > 0$ 。

二次函數 $y = a x^{2} - b x = x (a x - b)$ 與 $x$ 軸交於 $x = 0$ 與 $x = \frac{b}{a}$ ，另一個交點一定在 $y$ 軸的右側。

(1) 錯誤。 拋物線的另一個交點在 $y$ 軸左側，表示 $\frac{b}{a} < 0$ ，不可能。

(2) 錯誤。 開口向上 $a > 0$ ，另一個交點在 $0$ 與 $1$ 之間，即 $0 < \frac{b}{a} < 1$ ，所以 $\frac{a}{b} > 1$ ，指數函數應該遞增；圖中卻是遞減。

(3) 錯誤。 另一個交點在 $y$ 軸左側，同 (1) 不可能。

(4) 正確。 開口向下 $a < 0$ ，另一個交點在 $0$ 與 $1$ 之間， $0 < \frac{b}{a} < 1$ ， $\frac{a}{b} > 1$ ，指數函數遞增且過 $(0, 1)$ ，與圖相符（例如 $a = - 2$ 、 $b = - 1$ ： $y = - 2 x^{2} + x$ 與 $y = 2^{x}$ ）。

(5) 錯誤。 另一個交點在 $y$ 軸左側，同 (1) 不可能。

關鍵是兩個式子共用

a

、

b

：底數

\frac{a}{b}

的條件同時決定了拋物線另一個

x

截距

\frac{b}{a}

的位置。

第 2 題

答案 (3)(5)。

(1) 錯誤。 設 $a^{x_{1}} = b^{x_{2}} = k$ 。底數小於 $1$ 、指數為負，所以 $k > 1$ ， $lo g k > 0$ 。取常用對數： $x_{1} = \frac{l o g k}{l o g a}$ ， $x_{2} = \frac{l o g k}{l o g b}$ 。由 $0 < b < a < 1$ 得 $lo g b < lo g a < 0$ ，即 $∣ lo g b ∣ > ∣ lo g a ∣$ ，所以 $∣ x_{1} ∣ > ∣ x_{2} ∣$ ；兩者都是負數，故 $x_{1} < x_{2}$ 。例如 $a = \frac{1}{2}$ 、 $b = \frac{1}{4}$ 、 $k = 4$ ： $x_{1} = - 2$ 、 $x_{2} = - 1$ 。

(2) 錯誤。 同樣設 $a^{x_{1}} = b^{x_{2}} = k$ ，此時 $k > 1$ 。 $lo g a > lo g b > 0$ ，所以 $x_{1} = \frac{l o g k}{l o g a} < \frac{l o g k}{l o g b} = x_{2}$ 。例如 $a = 4$ 、 $b = 2$ 、 $k = 16$ ： $x_{1} = 2$ 、 $x_{2} = 4$ 。

(3) 正確。 $a^{x_{1}} > 0$ 、 $a^{x_{2}} > 0$ ，由算幾不等式 $\frac{a ^{x_{1}} + a ^{x_{2}}}{2} \geq a^{x_{1}} \cdot a^{x_{2}} = a^{\frac{x _{1} + x _{2}}{2}}$ ，等號在 $x_{1} = x_{2}$ 時成立。這就是指數函數圖形下凸：兩點連線的中點在圖形上方或在圖形上。

(4) 錯誤。 底數 $0.5 < 1$ 、真數大於 $1$ ，所以 $lo g_{0.5} a < 0$ 、 $lo g_{0.5} b < 0$ 。左邊是兩個負數的平均，為負數；右邊根號內是兩個負數的乘積，為正數，開根號後是正數。負數不會大於正數。

(5) 正確。 由算幾不等式， $a \neq = b$ 時 $\frac{a + b}{2} > ab$ 。底數 $5 > 1$ ， $lo g_{5}$ 遞增，所以 $lo g_{5} \frac{a + b}{2} > lo g_{5} ab = \frac{1}{2} (lo g_{5} a + lo g_{5} b)$ 。

02多選第 3～5 題：圖形是否相同、實根個數、首數與尾數

第 3 題

答案 (2)(5)。 $Γ$ 的定義域是 $x > 0$ 。兩個圖形要完全相同，除了式子化簡後一樣， $x$ 的範圍也要一樣。

(1) 錯誤。 $y = lo g 5 + lo g x - 5$ ，是 $Γ$ 鉛直平移 $lo g 5 - 5$ 單位，不相同。

(2) 正確。 $x^{5} > 0$ 等價於 $x > 0$ ，此時 $lo g x^{5} = 5 lo g x$ ，得 $y = lo g x$ ，範圍也是 $x > 0$ 。

(3) 錯誤。 $x^{4} > 0$ 只要 $x \neq = 0$ ，所以 $x < 0$ 也有圖形，例如 $(- 1, 0)$ 滿足 $4 y = lo g x^{4}$ ，但不在 $Γ$ 上。

(4) 錯誤。 同理 $x < 0$ 也有圖形，例如 $x = - 10$ 時 $2 y - 2 = lo g 1 = 0$ ， $y = 1$ ，點 $(- 10, 1)$ 不在 $Γ$ 上。

(5) 正確。 $1 0^{3 y} = (1 0^{y})^{3}$ ，而 $x^{3} = (1 0^{y})^{3}$ 等價於 $x = 1 0^{y}$ （立方根唯一），於是 $x > 0$ 且 $y = lo g x$ ，與 $Γ$ 完全相同。

第 4 題

答案 (2)(4)(5)。

(1) 錯誤。 把 $x$ 換成 $- x$ 是對 $y$ 軸對稱，不是對 $x$ 軸對稱。

(2) 正確。 $y = lo g_{2} x$ 與 $y = 2^{x}$ 互為反函數，圖形對稱於直線 $y = x$ ，即 $x - y = 0$ 。

(3) 錯誤。 $x = 3$ 時兩邊都是 $1$ ，是一個根。另外 $x = \frac{1}{9}$ 時左邊 $- 2$ 、右邊 $- \frac{17}{9}$ ，左邊較小； $x = 1$ 時左邊 $0$ 、右邊 $- 1$ ，左邊較大，所以在 $\frac{1}{9}$ 與 $1$ 之間還有一個根。共有兩個實根。

(4) 正確。 兩邊都是偶函數。 $x \geq 0$ 時， $(\frac{1}{2})^{x}$ 從 $1$ 遞減， $x^{2}$ 從 $0$ 遞增，兩圖形恰交一點（在 $0$ 與 $1$ 之間）；對稱到 $x < 0$ 再得一點，共兩相異實根。

(5) 正確。 真數 $∣ x ∣ > 0$ ， $x \neq = 0$ 。 $x > 0$ 時，左邊 $lo g_{\frac{1}{2}} x$ 由很大的正數遞減到很小的負數，右邊 $2^{x}$ 遞增，兩圖形恰交一點。 $x < 0$ 時，右邊 $2^{x}$ 在 $0$ 與 $1$ 之間； $x \leq - 1$ 時左邊 $lo g_{\frac{1}{2}} ∣ x ∣ \leq 0$ ，沒有交點； $- 1 < x < 0$ 時左邊由 $0$ 急速遞增到很大的正數，右邊只在 $\frac{1}{2}$ 與 $1$ 之間緩慢遞增，由圖形可看出恰交一點（ $x = - 1$ 時左邊 $0$ 小於右邊 $\frac{1}{2}$ ； $x = - \frac{1}{2}$ 時左邊 $1$ 大於右邊 $\frac{2}{2}$ ）。共兩相異實根。

(3) 用圖形看：

y = lo g_{3} x

與直線

y = x - 2

除了在

x = 3

相交，靠近

y

軸時對數函數往下掉得比直線快，所以在

0

與

1

之間還會再交一次。

第 5 題

答案 (1)(4)。

$lo g \frac{5}{6} = lo g \frac{10}{12} = 1 - (2 lo g 2 + lo g 3) \approx 1 - 1.0791 = - 0.0791$ ，所以 $lo g (\frac{5}{6})^{1000} \approx - 79.1 = - 80 + 0.9$ 。

首數 $- 80$ ，所以小數點後第 $80$ 位開始出現不為 $0$ 的數字， $α = 80$ 。尾數 $0.9$ 介於 $lo g 7 \approx 0.8451$ 與 $lo g 8 = 3 lo g 2 \approx 0.9030$ 之間，所以第一個不為 $0$ 的數字 $β = 7$ 。

$lo g (\frac{6}{5})^{1000} \approx 79.1 = 79 + 0.1$ ，首數 $79$ ，整數部分有 $80$ 位， $p = 80$ ；尾數 $0.1$ 介於 $lo g 1 = 0$ 與 $lo g 2 \approx 0.3010$ 之間，最高位數字 $q = 1$ 。

(1) 正確。 $α = 80$ 。

(2) 錯誤。 $p = 80$ 。

(3) 錯誤。 $β = 7$ 。

(4) 正確。 $q = 1$ 。

(5) 錯誤。 $α + β = 87$ ， $p + q = 81$ 。

題目給的近似值有四位小數，乘上

1000

後誤差會放大：用更精確的對數值算，

lo g (\frac{5}{6})^{1000} \approx - 79.18

，尾數約

0.82

，第一個不為

0

的數字其實是

6

。不過

α = 80

、

p = 80

、

q = 1

不變，(3)(5) 也仍然錯誤，本題答案不受影響。

03填充第 1～4 題：對數律、換底、交點距離、對數方程式

第 6 題

$lo g_{3} 2 = \frac{1}{2} lo g_{3} 2$ ， $\frac{1}{2} lo g_{3} \frac{1}{3} = - \frac{1}{2}$ ， $\frac{3}{2} lo g_{3} 36 = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} lo g_{3} 6 = \frac{1}{2} lo g_{3} 6$ 。

原式 $= \frac{1}{2} lo g_{3} 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} lo g_{3} 6 = \frac{1}{2} lo g_{3} \frac{2}{6} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} (- 1) - \frac{1}{2} = - 1$ 。

第 7 題

$lo g_{0.5} 9 = lo g_{2^{- 1}} 3^{2} = - 2 lo g_{2} 3$ ，所以第一個括號 $= lo g_{2} 3 - 2 lo g_{2} 3 = - lo g_{2} 3$ 。

$lo g_{3} 4 = 2 lo g_{3} 2$ ， $lo g_{9} 8 = lo g_{3^{2}} 2^{3} = \frac{3}{2} lo g_{3} 2$ ，第二個括號 $= \frac{7}{2} lo g_{3} 2$ 。

原式 $= - lo g_{2} 3 \times \frac{7}{2} lo g_{3} 2 = - \frac{7}{2}$ （因為 $lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 2 = 1$ ）。

第 8 題

$(\frac{1}{2})^{x} = 3$ 得 $2^{- x} = 3$ ， $x = - lo g_{2} 3$ ； $(\frac{1}{2})^{x} = 12$ 得 $x = - lo g_{2} 12$ 。

所以 $P (- lo g_{2} 3, 3)$ 、 $Q (- lo g_{2} 12, 12)$ ，橫坐標相差 $lo g_{2} 12 - lo g_{2} 3 = lo g_{2} 4 = 2$ ，縱坐標相差 $9$ 。

$\overline{P Q} = 2^{2} + 9^{2} = 85$ 。

第 9 題

條件： $x > 0$ 且 $x \neq = 1$ 。令 $t = lo g_{2} x$ （ $t \neq = 0$ ），則 $lo g_{4} x = \frac{t}{2}$ ， $lo g_{x} 8 = \frac{3}{t}$ 。

方程式變成 $\frac{t}{2} - \frac{3}{t} + \frac{5}{4} = 0$ ，同乘 $4 t$ ： $2 t^{2} + 5 t - 12 = 0$ ， $(2 t - 3) (t + 4) = 0$ ， $t = \frac{3}{2}$ 或 $t = - 4$ 。

$x = 2^{\frac{3}{2}} = 22$ 或 $x = 2^{- 4} = \frac{1}{16}$ ，都符合條件。

04填充第 5～8 題：衰減、對數不等式、換元解方程式

第 10 題

每小時代謝剩餘量的 $10%$ ，就是每小時剩下 $90%$ 。經過 $n$ 小時剩下原量的 $0. 9^{n}$ 倍，要 $0. 9^{n} < 0.3$ 。

兩邊取常用對數： $n lo g 0.9 < lo g 0.3$ 。 $lo g 0.9 = 2 lo g 3 - 1 \approx - 0.0458$ ， $lo g 0.3 = lo g 3 - 1 \approx - 0.5229$ ，除以負數要變號：

$n > \frac{- 0.5229}{- 0.0458} \approx 11.4$ ，無條件進位得 $12$ 小時。

驗證：

0. 9^{11} \approx 0.314

仍高於

0.3

，

0. 9^{12} \approx 0.282

才低於

0.3

。

第 11 題

真數條件： $x + 1 > 0$ 且 $2 x - 1 > 0$ ，得 $x > \frac{1}{2}$ 。

把左邊換成以 $\frac{1}{4}$ 為底： $lo g_{\frac{1}{2}} (x + 1) = lo g_{\frac{1}{4}} (x + 1)^{2}$ 。右邊 $= lo g_{\frac{1}{4}} [(x + 1) (2 x - 1)]$ 。

底數 $\frac{1}{4} < 1$ ，對數函數遞減，不等號要反向： $(x + 1)^{2} > (x + 1) (2 x - 1)$ 。因為 $x + 1 > 0$ ，兩邊同除得 $x + 1 > 2 x - 1$ ， $x < 2$ 。

配合真數條件，解為 $\frac{1}{2} < x < 2$ 。

第 12 題

右邊 $\frac{x}{2} + 1 + lo g_{3} 10 = lo g_{3} (3^{\frac{x}{2}} \cdot 3 \cdot 10)$ ，所以 $3^{x} + 81 = 30 \cdot 3^{\frac{x}{2}}$ 。

令 $t = 3^{\frac{x}{2}} > 0$ ，則 $3^{x} = t^{2}$ ： $t^{2} - 30 t + 81 = 0$ ， $(t - 3) (t - 27) = 0$ ， $t = 3$ 或 $27$ 。

$3^{\frac{x}{2}} = 3$ 得 $x = 2$ ； $3^{\frac{x}{2}} = 27$ 得 $x = 6$ 。真數 $3^{x} + 81$ 恆正，兩解都成立。

第 13 題

令 $t = 2^{x} > 0$ ，則 $4^{x} = t^{2}$ ， $16 \cdot 2^{x + 1} = 32 t$ ，方程式變成 $t^{2} - 32 t + 64 = 0$ 。

判別式 $3 2^{2} - 4 \cdot 64 = 768 > 0$ ，兩根之和 $32 > 0$ 、兩根之積 $64 > 0$ ，所以兩根 $t_{1}$ 、 $t_{2}$ 都是正數，各對應一個 $x$ 。

$2^{α} \cdot 2^{β} = t_{1} t_{2} = 64 = 2^{6}$ ，所以 $α + β = 6$ 。

05填充第 9～12 題：指數不等式、圖形上的兩點、判別式、圖形對稱

第 14 題

要 $2^{x} > 3 - 2^{- x + 1}$ 。令 $t = 2^{x} > 0$ ， $2^{- x + 1} = \frac{2}{t}$ ： $t + \frac{2}{t} > 3$ 。

同乘 $t > 0$ ： $t^{2} - 3 t + 2 > 0$ ， $(t - 1) (t - 2) > 0$ ， $t < 1$ 或 $t > 2$ 。

即 $2^{x} < 1$ 或 $2^{x} > 2$ ，得 $x < 0$ 或 $x > 1$ 。

第 15 題

$A$ 、 $B$ 在 $y = lo g_{2} x$ 上， $r = lo g_{2} a$ ， $s = lo g_{2} b$ 。

斜率 $3$ ： $s - r = 3 (b - a)$ 。長度： $(b - a)^{2} + (s - r)^{2} = (b - a)^{2} + 9 (b - a)^{2} = 10 (b - a)^{2} = 40$ ，又 $a < b$ ，得 $b - a = 2$ 、 $s - r = 6$ 。

$lo g_{2} b - lo g_{2} a = 6$ 得 $b = 64 a$ 。代入 $b - a = 2$ ： $63 a = 2$ ， $a = \frac{2}{63}$ ， $b = \frac{128}{63}$ 。

第 16 題

真數條件 $a > 0$ 。令 $c = lo g_{2} a$ ，展開： $x^{2} + 2 c x + c^{2} = 16 x$ ，即 $x^{2} + (2 c - 16) x + c^{2} = 0$ 。

兩相異實根：判別式 $(2 c - 16)^{2} - 4 c^{2} > 0$ ，化簡得 $256 - 64 c > 0$ ， $c < 4$ 。

$lo g_{2} a < 4$ 且 $a > 0$ ，得 $0 < a < 16$ ，整數 $a = 1, 2, \dots, 15$ ，共 $15$ 個。

第 17 題

第一式： $α > 0$ ， $lo g α^{3} = 3 lo g α$ ，得 $lo g α = 2 - α$ 。所以點 $(α, 2 - α)$ 是 $y = lo g x$ 與直線 $y = 2 - x$ 的交點。

第二式同除以 $10$ ： $1 0^{β} = 2 - β$ 。所以點 $(β, 2 - β)$ 是 $y = 1 0^{x}$ 與直線 $y = 2 - x$ 的交點。

$y = lo g x$ 遞增、 $y = 2 - x$ 遞減，交點只有一個； $y = 1 0^{x}$ 與 $y = 2 - x$ 也只有一個交點。 $y = lo g x$ 與 $y = 1 0^{x}$ 對稱於 $y = x$ ，直線 $y = 2 - x$ 對稱於 $y = x$ 後仍是自己，所以兩個交點也對稱於 $y = x$ ： $(β, 2 - β) = (2 - α, α)$ 。

故 $β = 2 - α$ ， $α + β = 2$ 。

檢查：把

β = 2 - α

代進

1 0^{β} = 2 - β

，左邊

1 0^{2 - α}

由第一式

lo g α = 2 - α

知等於

α

，右邊

2 - (2 - α) = α

，兩邊相等。

指數、對數比大小先換成同底；兩個圖形是否完全相同要比定義域；看到

lo g x

與

1 0^{x}

同時配上一條斜率

- 1

的直線，就想到對稱於

y = x

。

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每個題型挑各校段考原題當例題（少數改寫會註明），由易到難；每一題都附圖或表，詳解寫到每一步。PDF 電子檔，可以先下載試閱。

《指數與對數函數》單元冊 09・高二上（數A）

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本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

高師大附中 113 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 1 題要看出兩個式子共用同一組 a、b，拋物線的另一個 x 截距決定了指數函數的增減；多選第 3 題要比兩個圖形的定義域，含偶數次方的兩個選項多出 x 小於 0 的部分；多選第 4 題最後一個選項 x 小於 0 時的交點容易漏掉；填充第 12 題（本頁第 17 題）要看出對數函數與指數函數對稱於 y=x。詳解逐題寫在本頁。

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自高師大附中 113 學年度上學期高二第二次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

高師大附中 113 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

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01多選第 1、2 題：二次函數與指數函數的圖形、比大小

02多選第 3～5 題：圖形是否相同、實根個數、首數與尾數

03填充第 1～4 題：對數律、換底、交點距離、對數方程式

04填充第 5～8 題：衰減、對數不等式、換元解方程式

05填充第 9～12 題：指數不等式、圖形上的兩點、判別式、圖形對稱

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高師大附中 113 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

高師大附中 113 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

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