段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數、對數與對數律、對數函數的圖形、指數與對數方程式和不等式、應用）

高師大附中 111 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 18 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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這一章有整理好的單元冊：《指數與對數函數》

題原卷全文

則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

單選題 2 題（每題 4 分，共 8 分）、多重選擇題 3 題（每題 8 分，共 24 分）、填充題 13 題（共 68 分，依答對題數給分：答對 1～13 題依序得 8、16、24、29、34、39、44、49、54、59、62、65、68 分），合計 100 分。原卷各大題題號各自從 1 起算，本頁改成全卷連續編號：第 1、2 題是單選題，第 3～5 題是多重選擇題第 1～3 題，第 6～18 題是填充題第 1～13 題。卷頭附參考數值 log 2 ≈ 0.3010，log 3 ≈ 0.4771，log 7 ≈ 0.8451。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單選題（每題有5個選項，其中只有一個為正確或最適合選項，答對者得4分；答錯或未答者該題以0分計算。本大題共8分）

方程式

2^{1 0^{x}} = 1 0^{2022}

的解

x

在下列哪個範圍？

(A) $3 \sim 4$
(B) $4 \sim 5$
(C) $5 \sim 6$
(D) $6 \sim 7$
(E) 大於 $7$

坐標平面上，設

P

是拋物線

y = x^{2} + x - 2

圖形上的一點，若

P

點的

x

坐標為

lo g_{49} 11

，則

P

點的位置在何處？

(A) 第一象限
(B) 第二象限
(C) 第三象限
(D) 第四象限
(E) $x$ 軸上

二、多重選擇題（每題有5個選項，至少有一選項是正確的。各選項獨立判定，所有選項均答對者得8分，答錯一選項可得5分，答錯二選項可得2分，答錯多於兩選選項或未答題該題以0分計算。本大題共24分）

下列哪些選項是正確的？

(A) $3^{5} > 5^{3}$
(B) $π^{101} > 1. 7^{200}$
(C) $lo g_{5} 3 > lo g_{3} 5$
(D) $lo g_{\frac{1}{2}} 10 + lo g_{\frac{1}{2}} 20 > lo g_{\frac{1}{2}} 30$
(E) $y = lo g_{2} x^{2}$ 與 $y = x$ 的圖形沒有交點

設

a

、

b

皆為非

1

的正數，

f_{1} (x) = a^{x}

、

f_{2} (x) = b^{x}

、

f_{3} (x) = lo g_{a} x

、

f_{4} (x) = lo g_{b} x

，請選出所正確的選項。

(A) 若 $a > 1$ ， $x_{1} < x_{2}$ ，則 $f_{1} (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}) > \frac{1}{2} (f_{1} (x_{1}) + f_{1} (x_{2}))$
(B) 若 $a > b > 1$ 且 $f_{1} (x_{1}) = f_{2} (x_{2}) = π$ ，則 $x_{1} > x_{2}$
(C) 若 $0 < a < 1$ ， $0 < x_{1} < x_{2}$ ，則 $f_{3} (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}) < \frac{1}{2} (f_{3} (x_{1}) + f_{3} (x_{2}))$
(D) 若 $0 < a < b < 1$ ，則 $f_{3} (\frac{1}{π}) < f_{4} (\frac{1}{π})$
(E) 若 $b = \frac{1}{a}$ ， $y = - f_{1} (x)$ 與 $y = f_{4} (x)$ 的圖形會對稱於 $x + y = 0$

半導體產業的摩爾定律認為「積體電路板可容納的電晶體數目每兩年增加一倍」。用

f (t)

表示從

t = 0

開始，電晶體數目隨時間

t

變化的函數，並假設

f (0) = 1000

。下面選項中，請選出可以代表摩爾定律的公式

(A) 若 $t$ 以年為單位，則 $f (t) = 1000 + \frac{1000}{2} t$
(B) 若 $t$ 以月為單位，則 $f (t) = 1000 + \frac{1000}{24} t$
(C) 若 $t$ 以年為單位，則 $f (t) = 1000 \times (2)^{t}$
(D) 若 $t$ 以年為單位，則 $lo g f (t) = 3 + \frac{l o g ( 2 t )}{2}$
(E) 若 $t$ 以月為單位，則 $lo g f (t) = 3 + \frac{l o g 2}{24} t$

三、填充題（每題全對才給分。本大題共68分，配分如下。）

化簡

4^{l o g_{2} 3} + lo g_{2} 3 - lo g_{20} 20 - lo g_{2} 62 =

____。

化簡

lo g_{16} 17 \times lo g_{17} 18 \times lo g_{18} 19 \times \dots\dots \times lo g_{31} 32 =

____。

設

x

，

y

均為正數，解方程組

{x 9^{3} = y 3^{y + 2} 2^{4 x + 3 y} = 8^{x y}

得數對

(x, y) =

____。

2 x + 2 lo g_{2} (2 + 2^{- x}) - lo g_{2} (\frac{1}{4} + 2^{x} + 2^{2 x}) =

____。

設

lo g_{7} x = 14

，

lo g_{7} y = 3

，則

lo g_{7 x y} (\frac{7 x}{y}) =

____。

設

x

為實數，且

f (x) = (9^{x} + 9^{- x}) + 6 (3^{x} - 3^{- x}) + 1

，則

f (x)

的最小值為 ____。

解

lo g_{8} (8^{x} + 128) = \frac{x}{2} + 1 + lo g_{8} 3

，得

x =

____。

設

(lo g 3 x) (lo g 7 x) = 1

的二根為

α, β

，則

α β =

____。

試求不等式

(\frac{π}{3})^{- 2 l o g (x - 1)} \geq (\frac{3}{π})^{2 l o g 2 + l o g (x + 7)}

的解為 ____。

設

y = f (x) = lo g_{4} (\frac{x ^{2}}{8}) + lo g_{x} (8 x)

，

x > 1

，試求

f (x)

的最小值為 ____。

如圖直角

Δ A B C

，

∠ C = 9 0^{\circ}

，內接正方形

C D B_{1} C_{1}

面積為

a_{1}

。直角

Δ A B_{1} C_{1}

內接正方形

C_{1} D_{1} B_{2} C_{2}

面積為

a_{2}

……，如此不斷做下去。已知

a_{3} = 1010

，求

lo g a_{1} + lo g a_{2} + lo g a_{3} + lo g a_{4} + lo g a_{5} =

____。

載入中...

若直線

x = 2

、

x = 15

與

f (x) = lo g_{9} x

的函數圖形分別交於

A, B

，與

g (x) = lo g_{27} x

的函數圖形分別交於

C, D

。設

A, B

兩個點的斜率為

m_{1}

，

C, D

兩個點的斜率為

m_{2}

，則

\frac{m _{2}}{m _{1}}

的值為 ____。

若直線

x = k

與

f (x) = lo g_{2} x

，

g (x) = lo g_{2} x - 2

的圖形分別交於

A

，

B

兩點。過

A

點的水平線交圖形

g (x) = lo g_{2} x - 2

於

D

點，過

B

點的水平線交

f (x) = lo g_{2} x

的圖形於

C

點。已知四邊形

A D B C

的面積為

30

，則

k =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)

第 2 題(D)

第 3 題(A)(B)

第 4 題(C)(D)(E)

第 5 題(C)(E)

第 6 題

7

第 7 題

\frac{5}{4}

第 8 題

(3, 2)

第 9 題

2

第 10 題

\frac{2}{3}

第 11 題

- 6

第 12 題

\frac{8}{3}

或

2

第 13 題

\frac{1}{21}

第 14 題

1 < x \leq 9

第 15 題

23 - 1

第 16 題

\frac{15}{2}

第 17 題

\frac{2}{3}

第 18 題

8

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1、2 題：取對數估範圍、判斷點的位置

第 1 題

答案 (A)。

兩邊取常用對數： $lo g 2^{1 0^{x}} = lo g 1 0^{2022}$ ，即 $1 0^{x} \cdot lo g 2 = 2022$ 。

所以 $1 0^{x} = \frac{2022}{l o g 2} \approx \frac{2022}{0.3010} \approx 6717.6$ 。

因為 $1 0^{3} = 1000 < 6717.6 < 10000 = 1 0^{4}$ ，而 $y = 1 0^{x}$ 遞增，所以 $3 < x < 4$ 。

再算細一點：

x = lo g 6717.6 \approx 3.83

。

第 2 題

答案 (D)。

設 $P$ 的 $x$ 坐標 $x_{0} = lo g_{49} 11$ 。因為 $1 < 11 < 49$ ，底數 $49 > 1$ ， $lo g_{49}$ 遞增，所以 $lo g_{49} 1 < lo g_{49} 11 < lo g_{49} 49$ ，即 $0 < x_{0} < 1$ 。

$P$ 的 $y$ 坐標 $y_{0} = x_{0}^{2} + x_{0} - 2 = (x_{0} + 2) (x_{0} - 1)$ 。 $0 < x_{0} < 1$ 時 $x_{0} + 2 > 0$ 、 $x_{0} - 1 < 0$ ，所以 $y_{0} < 0$ 。

$x_{0} > 0$ 、 $y_{0} < 0$ ， $P$ 在第四象限。

實際數值：

x_{0} \approx 0.616

，

y_{0} \approx - 1.004

。

02多選第 1 題：比大小與交點

第 3 題

答案 (A)(B)。

(A) 正確。 $3^{5} = 243$ ， $5^{3} = 125$ ， $243 > 125$ 。

(B) 正確。 $1. 7^{200} = (1. 7^{2})^{100} = 2.8 9^{100}$ 。因為 $π > 2.89 > 1$ ，所以 $π^{100} > 2.8 9^{100}$ ；又 $π > 1$ ， $π^{101} = π \cdot π^{100} > π^{100}$ 。故 $π^{101} > 1. 7^{200}$ 。

(C) 錯誤。 底數與真數同時開平方，對數值不變： $lo g_{5} 3 = \frac{\frac{1}{2} l o g 3}{\frac{1}{2} l o g 5} = lo g_{5} 3$ ，同理 $lo g_{3} 5 = lo g_{3} 5$ 。

$3 < 5$ 所以 $lo g_{5} 3 < 1$ ； $5 > 3$ 所以 $lo g_{3} 5 > 1$ 。左邊小於右邊。

(D) 錯誤。 左邊 $= lo g_{\frac{1}{2}} (10 \times 20) = lo g_{\frac{1}{2}} 200$ 。底數 $\frac{1}{2} < 1$ ， $lo g_{\frac{1}{2}}$ 遞減， $200 > 30$ ，所以 $lo g_{\frac{1}{2}} 200 < lo g_{\frac{1}{2}} 30$ 。

(E) 錯誤。 $x = 2$ 時 $lo g_{2} 2^{2} = 2$ ，所以 $(2, 2)$ 同時在兩圖形上，兩圖形有交點（ $(4, 4)$ 也是： $lo g_{2} 16 = 4$ ）。

03多選第 2 題：指數與對數函數的性質

第 4 題

答案 (C)(D)(E)。

(A) 錯誤。 $a > 1$ 、 $x_{1} < x_{2}$ ，所以 $a^{x_{1}}$ 、 $a^{x_{2}}$ 是兩個不相等的正數。由算幾不等式

$\frac{a ^{x_{1}} + a ^{x_{2}}}{2} > a^{x_{1}} \cdot a^{x_{2}} = a^{\frac{x _{1} + x _{2}}{2}}$

也就是 $f_{1} (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}) < \frac{1}{2} (f_{1} (x_{1}) + f_{1} (x_{2}))$ ，方向相反。例如 $a = 2$ 、 $x_{1} = 0$ 、 $x_{2} = 2$ ：左邊 $2^{1} = 2$ ，右邊 $\frac{1 + 4}{2} = \frac{5}{2}$ 。

(B) 錯誤。 $a^{x_{1}} = π$ 得 $x_{1} = lo g_{a} π = \frac{l o g π}{l o g a}$ ；同理 $x_{2} = \frac{l o g π}{l o g b}$ 。 $a > b > 1$ 所以 $lo g a > lo g b > 0$ ，又 $lo g π > 0$ ，得 $x_{1} < x_{2}$ 。

$0 < x_{1} < x_{2}$ ，由算幾不等式 $\frac{x _{1} + x _{2}}{2} > x_{1} x_{2}$ 。底數 $0 < a < 1$ ， $lo g_{a}$ 遞減，所以 $lo g_{a} \frac{x _{1} + x _{2}}{2} < lo g_{a} x_{1} x_{2}$ ，即題目的不等式成立。

(D) 正確。 $f_{3} (\frac{1}{π}) = lo g_{a} \frac{1}{π} = \frac{- l o g π}{l o g a} = \frac{l o g π}{- l o g a}$ ，同理 $f_{4} (\frac{1}{π}) = \frac{l o g π}{- l o g b}$ 。

$0 < a < b < 1$ ，所以 $lo g a < lo g b < 0$ ，即 $- lo g a > - lo g b > 0$ 。分子 $lo g π > 0$ 相同，分母大的值小，所以 $f_{3} (\frac{1}{π}) < f_{4} (\frac{1}{π})$ 。

(E) 正確。 $b = \frac{1}{a}$ 時， $f_{4} (x) = lo g_{\frac{1}{a}} x = \frac{l o g x}{- l o g a} = - lo g_{a} x$ 。

點 $(p, q)$ 對直線 $x + y = 0$ 的對稱點是 $(- q, - p)$ 。若 $(p, q)$ 在 $y = - a^{x}$ 上，即 $q = - a^{p}$ ，對稱點是 $(a^{p}, - p)$ ，而 $- lo g_{a} (a^{p}) = - p$ ，所以對稱點在 $y = - lo g_{a} x$ 上。

反過來， $y = - lo g_{a} x$ 上的點 $(s, - lo g_{a} s)$ 的對稱點是 $(lo g_{a} s, - s)$ ，而 $- a^{l o g_{a} s} = - s$ ，它在 $y = - a^{x}$ 上。所以兩圖形對稱於 $x + y = 0$ 。

04多選第 3 題：摩爾定律的指數模型

第 5 題

答案 (C)(E)。

每兩年增加一倍， $t$ 以年為單位時，每過 $2$ 年乘以 $2$ ，所以 $f (t) = 1000 \times 2^{\frac{t}{2}}$ ； $t$ 以月為單位時，每過 $24$ 個月乘以 $2$ ， $f (t) = 1000 \times 2^{\frac{t}{24}}$ 。

(A) 錯誤。 這是每年固定增加 $500$ 個的直線模型。 $f (2) = 2000$ 雖然對，但 $f (4) = 3000$ ，應該是 $4000$ 。

(B) 錯誤。 同樣是直線模型： $f (48) = 3000$ ，但 $48$ 個月（ $4$ 年）後應該是 $4000$ 。

(D) 錯誤。 正確的式子取對數是 $lo g f (t) = lo g 1000 + \frac{t}{2} lo g 2 = 3 + \frac{t}{2} lo g 2$ 。選項寫 $3 + \frac{l o g ( 2 t )}{2}$ ，在 $t = 4$ 時是 $3 + \frac{l o g 8}{2} = 3 + \frac{3}{2} lo g 2$ ，而正確值是 $3 + 2 lo g 2$ ，不相等。

(E) 正確。 $lo g f (t) = lo g 1000 + lo g 2^{\frac{t}{24}} = 3 + \frac{l o g 2}{24} t$ 。

05填充第 1～5 題：對數律、換底、指數方程組

第 6 題

$4^{l o g_{2} 3} = (2^{l o g_{2} 3})^{2} = 3^{2} = 9$ 。

$lo g_{20} 20 = \frac{1}{2}$ 。

$lo g_{2} 3 - lo g_{2} 62 = lo g_{2} \frac{3}{6 2} = lo g_{2} \frac{1}{2 2} = lo g_{2} 2^{- \frac{3}{2}} = - \frac{3}{2}$ 。

合計 $9 - \frac{1}{2} - \frac{3}{2} = 7$ 。

第 7 題

換成常用對數：

$\frac{lo g 17}{lo g 16} \times \frac{lo g 18}{lo g 17} \times \frac{lo g 19}{lo g 18} \times \dots \times \frac{lo g 32}{lo g 31} = \frac{lo g 32}{lo g 16}$

中間全部消去。 $\frac{l o g 32}{l o g 16} = \frac{5 l o g 2}{4 l o g 2} = \frac{5}{4}$ 。

第 8 題

第一式： $x 9^{3} = (3^{6})^{\frac{1}{x}} = 3^{\frac{6}{x}}$ ， $y 3^{y + 2} = 3^{\frac{y + 2}{y}}$ ，所以 $\frac{6}{x} = \frac{y + 2}{y}$ ，即 $6 y = x (y + 2)$ ， $x = \frac{6 y}{y + 2}$ 。

第二式： $8^{x y} = 2^{3 x y}$ ，所以 $4 x + 3 y = 3 x y$ 。

把 $x = \frac{6 y}{y + 2}$ 代入： $\frac{24 y}{y + 2} + 3 y = \frac{18 y ^{2}}{y + 2}$ ，同乘 $y + 2$ ： $24 y + 3 y (y + 2) = 18 y^{2}$ 。

$y > 0$ ，兩邊除以 $y$ ： $24 + 3 y + 6 = 18 y$ ， $15 y = 30$ ， $y = 2$ ， $x = \frac{12}{4} = 3$ 。

$(x, y) = (3, 2)$ 。

第 9 題

把 $2 + 2^{- x}$ 提出 $2^{- x}$ ： $2 + 2^{- x} = 2^{- x} (2^{x + 1} + 1)$ ，所以

$2 lo g_{2} (2 + 2^{- x}) = - 2 x + 2 lo g_{2} (2^{x + 1} + 1)$ 。

於是 $2 x + 2 lo g_{2} (2 + 2^{- x}) = lo g_{2} (2^{x + 1} + 1)^{2} = lo g_{2} (4 \cdot 2^{2 x} + 4 \cdot 2^{x} + 1)$ 。

而 $\frac{1}{4} + 2^{x} + 2^{2 x} = \frac{1}{4} (1 + 4 \cdot 2^{x} + 4 \cdot 2^{2 x})$ ，所以

原式 $= lo g_{2} \frac{4 \cdot 2 ^{2 x} + 4 \cdot 2 ^{x} + 1}{\frac{1}{4} ( 4 \cdot 2 ^{2 x} + 4 \cdot 2 ^{x} + 1 )} = lo g_{2} 4 = 2$ 。

第 10 題

$lo g_{7} \frac{7 x}{y} = 1 + 14 - 3 = 12$ ， $lo g_{7} (7 x y) = 1 + 14 + 3 = 18$ 。

換底： $lo g_{7 x y} \frac{7 x}{y} = \frac{l o g _{7} \frac{7 x}{y}}{l o g _{7} ( 7 x y )} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$ 。

06填充第 6～9 題：換元求最小值、對數方程式與不等式

第 11 題

令 $u = 3^{x} - 3^{- x}$ ，則 $u^{2} = 9^{x} - 2 + 9^{- x}$ ，所以 $9^{x} + 9^{- x} = u^{2} + 2$ 。

$f (x) = u^{2} + 2 + 6 u + 1 = (u + 3)^{2} - 6$ 。

$u = - 3$ 做得到：令 $t = 3^{x} > 0$ ， $t - \frac{1}{t} = - 3$ ，即 $t^{2} + 3 t - 1 = 0$ ， $t = \frac{- 3 + 13}{2} > 0$ ，有對應的實數 $x$ 。

所以 $f (x)$ 的最小值為 $- 6$ 。

第 12 題

右邊 $= lo g_{8} 8^{\frac{x}{2}} + lo g_{8} 8 + lo g_{8} 3 = lo g_{8} (24 \cdot 8^{\frac{x}{2}})$ ，所以

$8^{x} + 128 = 24 \cdot 8^{\frac{x}{2}}$ 。

令 $t = 8^{\frac{x}{2}} > 0$ ，則 $8^{x} = t^{2}$ ： $t^{2} - 24 t + 128 = 0$ ， $(t - 8) (t - 16) = 0$ ， $t = 8$ 或 $16$ 。

$8^{\frac{x}{2}} = 8$ 得 $x = 2$ ； $8^{\frac{x}{2}} = 16$ 即 $2^{\frac{3 x}{2}} = 2^{4}$ ，得 $x = \frac{8}{3}$ 。

兩個都使真數 $8^{x} + 128 > 0$ ，所以 $x = \frac{8}{3}$ 或 $2$ 。

第 13 題

真數 $3 x > 0$ 、 $7 x > 0$ ，即 $x > 0$ 。令 $L = lo g x$ ：

$(lo g 3 + L) (lo g 7 + L) = 1$ ，展開得 $L^{2} + (lo g 3 + lo g 7) L + lo g 3 \cdot lo g 7 - 1 = 0$ 。

判別式 $(lo g 3 + lo g 7)^{2} - 4 lo g 3 \cdot lo g 7 + 4 = (lo g 7 - lo g 3)^{2} + 4 > 0$ ，有兩個相異實根 $L_{1} = lo g α$ 、 $L_{2} = lo g β$ 。

由根與係數關係， $lo g α + lo g β = - (lo g 3 + lo g 7) = - lo g 21$ ，所以 $lo g (α β) = lo g \frac{1}{21}$ ， $α β = \frac{1}{21}$ 。

第 14 題

真數條件： $x - 1 > 0$ 且 $x + 7 > 0$ ，得 $x > 1$ 。

$\frac{3}{π} = (\frac{π}{3})^{- 1}$ ，右邊 $= (\frac{π}{3})^{- (2 l o g 2 + l o g (x + 7))}$ 。底數 $\frac{π}{3} > 1$ ，指數大的值大，所以

$- 2 lo g (x - 1) \geq - 2 lo g 2 - lo g (x + 7)$ ，即 $2 lo g (x - 1) \leq lo g 4 + lo g (x + 7)$ ， $lo g (x - 1)^{2} \leq lo g (4 (x + 7))$ 。

$lo g$ 遞增： $(x - 1)^{2} \leq 4 x + 28$ ， $x^{2} - 6 x - 27 \leq 0$ ， $(x - 9) (x + 3) \leq 0$ ， $- 3 \leq x \leq 9$ 。

配合 $x > 1$ ： $1 < x \leq 9$ 。

07填充第 10～13 題：算幾求最小值、等比的面積、斜率比、梯形面積

第 15 題

令 $u = lo g_{2} x$ ， $x > 1$ 所以 $u > 0$ 。

$lo g_{4} \frac{x ^{2}}{8} = \frac{l o g _{2} x ^{2} - l o g _{2} 8}{l o g _{2} 4} = \frac{2 u - 3}{2} = u - \frac{3}{2}$ 。

$lo g_{x} (8 x) = lo g_{x} 8 + \frac{1}{2} = \frac{3}{l o g _{2} x} + \frac{1}{2} = \frac{3}{u} + \frac{1}{2}$ 。

$f (x) = u + \frac{3}{u} - 1$ 。 $u > 0$ ，由算幾不等式 $u + \frac{3}{u} \geq 2 u \cdot \frac{3}{u} = 23$ ，等號在 $u = 3$ （即 $x = 2^{3} > 1$ ）時成立。

最小值為 $23 - 1$ 。

第 16 題

設 $\overline{B C} = a$ ， $\overline{A C} = b$ ，第一個正方形邊長 $s$ 。 $\overline{B_{1} C_{1}} ⊥ \overline{A C}$ 、 $\overline{B C} ⊥ \overline{A C}$ ，所以 $\overline{B_{1} C_{1}} ∥ \overline{B C}$ ， $Δ A C_{1} B_{1} \sim Δ A C B$ ：

$\frac{s}{a} = \frac{b - s}{b}$ ，得 $s = \frac{ab}{a + b}$ 。

這時 $\overline{A C_{1}} = b - s = \frac{b ^{2}}{a + b}$ ， $\overline{B_{1} C_{1}} = \frac{ab}{a + b}$ ，兩股都是原來的 $\frac{b}{a + b}$ 倍，所以直角 $Δ A B_{1} C_{1}$ 與 $Δ A B C$ 相似，比例 $k = \frac{b}{a + b}$ 。

下一個正方形是在相似的三角形裡用同樣的方法作的，邊長也是前一個的 $k$ 倍，面積是 $k^{2}$ 倍。所以 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots$ 是公比 $k^{2}$ 的等比數列， $a_{1} a_{5} = a_{2} a_{4} = a_{3}^{2}$ 。

$lo g a_{1} + lo g a_{2} + lo g a_{3} + lo g a_{4} + lo g a_{5} = lo g (a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5}) = lo g a_{3}^{5} = 5 lo g 1 0^{\frac{3}{2}} = \frac{15}{2}$ 。

第 17 題

$A (2, lo g_{9} 2)$ 、 $B (15, lo g_{9} 15)$ ， $m_{1} = \frac{l o g _{9} 15 - l o g _{9} 2}{15 - 2} = \frac{l o g _{9} \frac{15}{2}}{13}$ 。

同理 $m_{2} = \frac{l o g _{27} \frac{15}{2}}{13}$ 。

$\frac{m _{2}}{m _{1}} = \frac{l o g _{27} \frac{15}{2}}{l o g _{9} \frac{15}{2}} = \frac{l o g \frac{15}{2}}{l o g 27} \cdot \frac{l o g 9}{l o g \frac{15}{2}} = \frac{2 l o g 3}{3 l o g 3} = \frac{2}{3}$ 。

第 18 題

$k > 0$ 。 $A (k, lo g_{2} k)$ ， $B (k, lo g_{2} k - 2)$ 。

過 $A$ 的水平線 $y = lo g_{2} k$ 交 $g$ ： $lo g_{2} x - 2 = lo g_{2} k$ ， $x = 4 k$ ， $D (4 k, lo g_{2} k)$ 。

過 $B$ 的水平線 $y = lo g_{2} k - 2$ 交 $f$ ： $lo g_{2} x = lo g_{2} k - 2$ ， $x = \frac{k}{4}$ ， $C (\frac{k}{4}, lo g_{2} k - 2)$ 。

$\overline{A D}$ 與 $\overline{B C}$ 都是水平線段，四邊形 $A D B C$ 是梯形：上底 $\overline{A D} = 4 k - k = 3 k$ ，下底 $\overline{B C} = k - \frac{k}{4} = \frac{3 k}{4}$ ，高是兩水平線的距離 $2$ 。

面積 $= \frac{1}{2} (3 k + \frac{3 k}{4}) \times 2 = \frac{15 k}{4} = 30$ ，得 $k = 8$ 。

對數題先寫真數與底數條件；看到

3^{x} - 3^{- x}

、

lo g x

這類重複出現的式子就換元成二次式；兩點平均與中點的函數值比大小，用算幾不等式配合函數遞增或遞減判斷。

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《指數與對數函數》單元冊 09・高二上（數A）

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高師大附中 111 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

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02多選第 1 題：比大小與交點

03多選第 2 題：指數與對數函數的性質

04多選第 3 題：摩爾定律的指數模型

05填充第 1～5 題：對數律、換底、指數方程組

06填充第 6～9 題：換元求最小值、對數方程式與不等式

07填充第 10～13 題：算幾求最小值、等比的面積、斜率比、梯形面積

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高師大附中 111 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

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