段考詳解範圍：對數與對數律、指數函數與對數函數的圖形、指數與對數方程式與不等式、指數與對數的應用

高師大附中 113 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 19 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，練滿 15 題就能產生考前藍圖 PDF →

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

多重選擇題 5 題（每題 5 分，共 25 分）、填充題 12 格（答對 1～12 格依序得 8、16、24、32、38、44、48、52、56、60、63、65 分，共 65 分）、混合題 1 題分 2 小題（7 分、3 分，共 10 分），合計 100 分；卷面附參考數值 log2≈0.3010、log3≈0.4771、log7≈0.8451。本頁第 1～5 題為卷面多重選擇 1～5，第 6～17 題為卷面填充 1～11（填充 1 分兩格），第 18、19 題為卷面混合題 1 的 (1)(2)。答案已與學校公布的答案逐題核對，全部一致。

一、多重選擇題：每題5分，共25分(每題均有五個選項，其中至少有一個選項是正確的。答錯一個選項得3分，答錯兩個選項得1分，錯二個以上的選項不給分)

下列下列各項敘述何者正確？

(A) $lo g_{2} 3 = lo g_{2} 9$
(B) $lo g 3 + lo g 4 = lo g 7$
(C) $lo g (- 5)^{10} = 10 lo g (- 5)$
(D) $lo g_{3} 4 \times lo g_{4} 5 \times lo g_{5} 6 = 2$
(E) $9^{l o g_{3} 2} = 4$

下列哪些函數的圖形與直線

x + y = 0

的圖形恰有一交點？

(A) $y = 2^{- x}$
(B) $y = - 2^{x}$
(C) $y = 2^{- ∣ x ∣}$
(D) $y = y = ∣ lo g_{2} x ∣$ （本站補註：「 $y =$ 」重複為原卷所印）
(E) $y = lo g_{2} ∣ x ∣$

下圖表示函數

y = k \cdot a^{x} + b

的圖形，其中

k, a, b

為常數，試選出正確的選項。

(A) $a > 1$
(B) $0 < a < 1$
(C) $b < 0$
(D) $k > 1$
(E) $0 < k < 1$

載入中...

關於指數與對數函數的圖形，下列選項哪些是正確的？

(A) $y = 1 0^{x}$ 與 $y = 1 0^{- x}$ 對稱於 $y$ 軸
(B) $y = lo g x$ 與 $y = lo g_{\frac{1}{10}} x$ 對稱於 $x$ 軸
(C) $y = 1 0^{x}$ 與 $y = lo g x$ 對稱於 $x + y = 0$
(D) 若 $(α, β)$ 為 $y = 1 0^{x}$ 圖形上一點，則 $(- α, - β)$ 為 $y = lo g x$ 圖形上一點
(E) 任取 $y = lo g_{\frac{1}{10}} x$ 圖形上兩不同點 $A$ ， $B$ ，則直線 $A B$ 的斜率為負。

設

a, b, c

為實數且滿足

lo g a = 1.2

，

lo g b = 2.4

，

lo g c = 3.6

。試選出正確的選項。

(A) $a + c = 2 b$
(B) $10 < a < 100$
(C) $1000 < c < 2000$
(D) $b = a^{2}$
(E) $a, b, c$ 成等差數列。

二、填充題：每格全對才給分，依答對格數計分，配分如下表

填充 1（第 6～7 題）　計算

(1)

2^{l o g_{4} 9} =

____。

(2)

(lo g_{2} 3 + lo g_{4} 9) (lo g_{3} 4 + lo g_{9} 2) =

____。

設

x > 0

，

y > 0

，已知

lo g_{5} x = 6

，

lo g_{5} y = 10

，則

lo g_{5} (x + y)

的值最接近的正整數為

n

，則

n =

____。

解對數方程式：

lo g_{4} (x - 2) + lo g_{4} (x + 1) = 1

，

x =

____。

若

lo g_{(x - 3)} (x^{2} - x - 2)

有意義，求

x

之範圍 ____。

解對數不等式：

lo g_{\frac{1}{3}} (x - 1) > lo g_{\frac{1}{9}} (x + 5)

的解為 ____。

下圖為

y = 9^{x}

的圖形（本站補註：原卷未附圖，下圖為本站補畫的示意圖）。設

P

、

Q

分別為直線

y = 2

、

y = 6

和

y = 9^{x}

的交點，則直線

P Q

的斜率為 ____。

載入中...

若

6^{- 100}

化為純小數，小數點後第

n

位始不為

0

，且第一個不為

0

的數為

a

，則數對

(n, a) =

____。

設

a = lo g_{\frac{1}{3}} 2

，

b = lo g_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2}

，

c = lo g_{\frac{1}{2}} 3

，

d = lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3}

，比較

a

，

b

，

c

，

d

之大小 ____。

過點

P (0, 4)

且與直線

L : x - y = 0

垂直的直線

L^{'}

，分別交函數

f (x) = 2^{x}

與

g (x) = lo g_{2} x

兩圖形於

A

，

B

兩點，求

\overline{P A} + \overline{P B}

之值為 ____。

設函數

f (x) = lo g x

的圖形上有兩點

A

，

B

，其

x

坐標分別為

a

，

b

。已知直線

A B

的斜率為

\frac{1}{2}

，且

b - a = 4

，若兩直線

x = b

，

y = lo g a

交於一點

C

，試求

△ A B C

的面積為 ____。

已知某一種細菌每隔 1 天數量會變為原來的 5 倍，設 1000 株細菌需經過

n

天後數量才會超過

1 0^{12}

株，則最小正整數

n =

____。

三、混合題：共10分(請寫出計算過程，無算式不予計分)

混合題 1（第 18～19 題）　某銀行推出一項投資商品，內容為每年繳 9700 元，共繳 10 次，10 年後一次領回 100000 元。銀行宣稱其投資報酬率為

\frac{100000 - 9700 \times 10}{9700 \times 10} \approx 3.09%

大於銀行的定存利率

2%

。

(1) 若每年存入銀行 9700 元作複利定存，年利率

2%

，每年計息一次，試問 10 年後可領回本利和多少元？（四捨五入取至整數位）（已知

1.0 2^{10} \approx 1.22

）（7分）

(2) 試以投資報酬率評估此投資產品是否值得購買。（3分，請寫出原因，否則不予計分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)(E)

第 2 題(C)(E)

第 3 題(A)(C)(E)

第 4 題(A)(B)(E)

第 5 題(B)(D)

第 6 題

3

第 7 題

5

第 8 題

10

第 9 題

3

第 10 題

x > 3

且

x \neq = 4

第 11 題

1 < x < 4

第 12 題

8

第 13 題

(78, 1)

第 14 題

c < a < b < d

第 15 題

42

第 16 題

4

第 17 題

13

第 18 題

108834

元

第 19 題否，不值得購買

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊

04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多重選擇 1～5（第 1～5 題）：對數律與指數、對數函數的圖形

第 1 題

(A) 正確。 $lo g_{2} 3 = \frac{l o g 3}{l o g 2} = \frac{l o g 3}{\frac{1}{2} l o g 2} = \frac{2 l o g 3}{l o g 2}$ ， $lo g_{2} 9 = \frac{l o g 9}{l o g 2} = \frac{2 l o g 3}{l o g 2}$ ，兩者相等。

(B) 錯誤。 $lo g 3 + lo g 4 = lo g 12 \neq = lo g 7$ 。

(D) 錯誤。 換底後連乘消去： $\frac{l o g 4}{l o g 3} \times \frac{l o g 5}{l o g 4} \times \frac{l o g 6}{l o g 5} = \frac{l o g 6}{l o g 3} = lo g_{3} 6$ ；而 $lo g_{3} 9 = 2$ ， $6 \neq = 9$ ，所以不等於 $2$ 。

(E) 正確。 $9^{l o g_{3} 2} = (3^{2})^{l o g_{3} 2} = (3^{l o g_{3} 2})^{2} = 2^{2} = 4$ 。

第 2 題

直線 $x + y = 0$ 就是 $y = - x$ ，逐一看方程式「函數值 $= - x$ 」有幾個實數解。

(A) 錯誤。 要 $2^{- x} = - x$ 。令 $t = - x$ ，變成 $2^{t} = t$ 。 $t \leq 0$ 時右邊不大於 $0$ 、左邊大於 $0$ ； $0 < t \leq 1$ 時 $2^{t} > 2^{0} = 1 \geq t$ ； $t > 1$ 時取整數 $m \geq 1$ 使 $m \leq t < m + 1$ ，則 $2^{t} \geq 2^{m} \geq m + 1 > t$ （ $2^{1} = 2$ ，之後每加 $1$ 左邊加倍、右邊只加 $1$ ）。所以 $2^{t} = t$ 沒有實數解，沒有交點。

(B) 錯誤。 要 $- 2^{x} = - x$ ，即 $2^{x} = x$ ，同 (A) 沒有實數解。

(C) 正確。 $2^{- ∣ x ∣} > 0$ ，所以交點的 $- x > 0$ ，即 $x < 0$ ，此時 $∣ x ∣ = - x$ ，方程式變成 $2^{x} = - x$ 。在 $x < 0$ 時 $y = 2^{x}$ 遞增、 $y = - x$ 遞減，最多一個交點； $x = - 1$ 時 $\frac{1}{2} < 1$ ， $x$ 很接近 $0$ 時左邊接近 $1$ 、右邊接近 $0$ ，大小互換，所以恰有一個交點。

(D) 錯誤。 函數只在 $x > 0$ 有定義，這時 $- x < 0$ ，但 $∣ lo g_{2} x ∣ \geq 0$ ，沒有交點。

(E) 正確。 當 $x > 0$ ： $lo g_{2} x = - x$ ，左邊遞增、右邊遞減，最多一個交點； $x = \frac{1}{2}$ 時左 $- 1$ 、右 $- \frac{1}{2}$ ，左較小； $x = 1$ 時左 $0$ 、右 $- 1$ ，左較大，所以恰有一個。當 $x < 0$ ：令 $t = - x > 0$ ，變成 $lo g_{2} t = t$ ，即 $t = 2^{t}$ ，由 (A) 知沒有解。合計恰有一個交點。

第 3 題

由圖：圖形往左（ $x$ 愈來愈小）時愈來愈接近漸近線 $y = - 1$ ，往右遞增並無限上升；與 $y$ 軸的交點在 $- 1$ 與 $0$ 之間。

$x$ 很小時 $y$ 趨近 $b$ ，表示 $k \cdot a^{x}$ 在 $x$ 愈來愈小時趨近 $0$ ，所以 $a > 1$ ，且 $b = - 1$ 。又 $a > 1$ 時 $a^{x}$ 遞增，圖形遞增，所以 $k > 0$ 。 $y$ 截距 $k \cdot a^{0} + b = k - 1$ ，介於 $- 1$ 與 $0$ 之間，得 $0 < k < 1$ 。

(A) 正確。 $a > 1$ 。

(B) 錯誤。 理由同 (A)。

(D) 錯誤。 $0 < k < 1$ 。

(E) 正確。 如上。

第 4 題

(A) 正確。 點 $(p, q)$ 在 $y = 1 0^{x}$ 上 $\Leftrightarrow$ $q = 1 0^{p} = 1 0^{- (- p)}$ $\Leftrightarrow$ $(- p, q)$ 在 $y = 1 0^{- x}$ 上，兩圖形對稱於 $y$ 軸。

(B) 正確。 $lo g_{\frac{1}{10}} x = \frac{l o g x}{l o g \frac{1}{10}} = - lo g x$ ，所以點 $(p, q)$ 在 $y = lo g x$ 上 $\Leftrightarrow$ $(p, - q)$ 在 $y = lo g_{\frac{1}{10}} x$ 上，對稱於 $x$ 軸。

(C) 錯誤。 $y = 1 0^{x}$ 與 $y = lo g x$ 互為反函數，圖形對稱於直線 $y = x$ （即 $x - y = 0$ ），不是 $x + y = 0$ 。例如 $(0, 1)$ 在 $y = 1 0^{x}$ 上，它對 $x + y = 0$ 的對稱點 $(- 1, 0)$ 不在 $y = lo g x$ 上。

(D) 錯誤。 例如 $(0, 1)$ 在 $y = 1 0^{x}$ 上，但 $(0, - 1)$ 的 $x$ 坐標 $0$ 不在 $y = lo g x$ 的定義域內。正確的是 $(β, α)$ 在 $y = lo g x$ 上。

(E) 正確。 底數 $\frac{1}{10} < 1$ ， $y = lo g_{\frac{1}{10}} x$ 是遞減函數；任取兩點 $x_{1} < x_{2}$ 時 $y_{1} > y_{2}$ ，斜率 $\frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}} < 0$ 。

第 5 題

$a = 1 0^{1.2}$ ， $b = 1 0^{2.4}$ ， $c = 1 0^{3.6}$ 。

(A) 錯誤。 $a = 10 \times 1 0^{0.2}$ ， $1 0^{0.2}$ 介於 $1$ 與 $2$ 之間（ $lo g 2 \approx 0.3010 > 0.2$ ），所以 $a < 20$ ； $c = 1 0^{3.6} > 1 0^{3.3010} \approx 2000$ ；而 $2 b = 2 \times 1 0^{2.4} < 2 \times 1 0^{2.4771} = 2 \times 300 = 600$ 。所以 $a + c > 2000 > 2 b$ ，不相等。

(B) 正確。 $1 < lo g a = 1.2 < 2$ ，所以 $10 < a < 100$ 。

(D) 正確。 $lo g a^{2} = 2 lo g a = 2.4 = lo g b$ ，所以 $b = a^{2}$ 。

(E) 錯誤。 由 (A) 知 $a + c \neq = 2 b$ ，不成等差數列（ $lo g a, lo g b, lo g c$ 成等差，所以 $a, b, c$ 成等比，公比 $1 0^{1.2}$ ）。

判斷交點個數：把兩個函數值設成相等，一邊遞增一邊遞減最多一個交點，再找一處大小互換確認有交點。

02填充 1～5（第 6～11 題）：對數律、換底公式、對數方程式與不等式

第 6 題

lo g_{4} 9 = \frac{l o g 9}{l o g 4} = \frac{2 l o g 3}{2 l o g 2} = lo g_{2} 3

，所以

2^{l o g_{4} 9} = 2^{l o g_{2} 3} = 3

。

第 7 題

$lo g_{4} 9 = lo g_{2} 3$ ，所以第一個括號 $= 2 lo g_{2} 3$ 。 $lo g_{3} 4 = 2 lo g_{3} 2$ ， $lo g_{9} 2 = \frac{l o g 2}{2 l o g 3} = \frac{1}{2} lo g_{3} 2$ ，所以第二個括號 $= \frac{5}{2} lo g_{3} 2$ 。

乘積 $= 2 lo g_{2} 3 \times \frac{5}{2} lo g_{3} 2 = 5 \times (lo g_{2} 3 \times lo g_{3} 2) = 5 \times 1 = 5$ 。

第 8 題

$x = 5^{6}$ ， $y = 5^{10}$ ， $x + y = 5^{6} (1 + 5^{4}) = 5^{6} \times 626$ 。

所以 $lo g_{5} (x + y) = 6 + lo g_{5} 626$ 。因為 $625 = 5^{4} < 626 < 5^{5}$ ，且 $626$ 只比 $5^{4}$ 大一點點， $lo g_{5} 626$ 只比 $4$ 大一點點， $lo g_{5} (x + y)$ 只比 $10$ 大一點點，最接近的正整數 $n = 10$ 。

lo g_{5} 626 = 4 + lo g_{5} \frac{626}{625}

，而

\frac{626}{625}

遠小於

5

，所以小數部分小於

0.5

。

第 9 題

真數條件： $x - 2 > 0$ 且 $x + 1 > 0$ ，即 $x > 2$ 。

$lo g_{4} (x - 2) (x + 1) = 1 = lo g_{4} 4$ ，所以 $(x - 2) (x + 1) = 4$ ， $x^{2} - x - 6 = 0$ ， $(x - 3) (x + 2) = 0$ ， $x = 3$ 或 $x = - 2$ 。 $x = - 2$ 不合真數條件，所以 $x = 3$ 。

第 10 題

底數條件： $x - 3 > 0$ 且 $x - 3 \neq = 1$ ，即 $x > 3$ 且 $x \neq = 4$ 。

真數條件： $x^{2} - x - 2 > 0$ ， $(x - 2) (x + 1) > 0$ ， $x > 2$ 或 $x < - 1$ 。

兩者同時成立： $x > 3$ 且 $x \neq = 4$ 。

第 11 題

真數條件： $x - 1 > 0$ 且 $x + 5 > 0$ ，即 $x > 1$ 。

換底： $lo g_{\frac{1}{9}} (x + 5) = \frac{l o g _{\frac{1}{3}} ( x + 5 )}{l o g _{\frac{1}{3}} \frac{1}{9}} = \frac{1}{2} lo g_{\frac{1}{3}} (x + 5)$ 。不等式兩邊乘以 $2$ ：

$2 lo g_{\frac{1}{3}} (x - 1) > lo g_{\frac{1}{3}} (x + 5)$

即 $lo g_{\frac{1}{3}} (x - 1)^{2} > lo g_{\frac{1}{3}} (x + 5)$ 。底數 $\frac{1}{3} < 1$ ，函數遞減，所以真數要反向： $(x - 1)^{2} < x + 5$ ， $x^{2} - 3 x - 4 < 0$ ， $(x - 4) (x + 1) < 0$ ， $- 1 < x < 4$ 。

與 $x > 1$ 取交集，解為 $1 < x < 4$ 。

底數介於 0 與 1 之間時，比較真數要把不等號反過來。

對數方程式與不等式先寫出真數（和底數）條件，再化成同底數比較；底數小於 1 不等號反向。

03填充 6～8（第 12～14 題）：圖形上兩點的斜率、首數與比較大小

第 12 題

$P$ 在 $y = 9^{x}$ 與 $y = 2$ 上： $9^{x} = 2$ ， $x_{P} = lo g_{9} 2$ 。 $Q$ ： $9^{x} = 6$ ， $x_{Q} = lo g_{9} 6$ 。

斜率 $= \frac{6 - 2}{l o g _{9} 6 - l o g _{9} 2} = \frac{4}{l o g _{9} 3}$ 。而 $9^{\frac{1}{2}} = 3$ ，所以 $lo g_{9} 3 = \frac{1}{2}$ ，斜率 $= \frac{4}{\frac{1}{2}} = 8$ 。

原卷寫「右圖」但沒有附圖，本頁的圖是本站補畫的示意圖，橫向比例不是實際比例。

第 13 題

$lo g 6^{- 100} = - 100 (lo g 2 + lo g 3) \approx - 100 \times 0.7781 = - 77.81 = - 78 + 0.19$ 。

所以 $6^{- 100} = 1 0^{0.19} \times 1 0^{- 78}$ 。 $0 = lo g 1 < 0.19 < lo g 2 \approx 0.3010$ ，所以 $1 < 1 0^{0.19} < 2$ ， $6^{- 100}$ 寫成小數是 $0. 77 個 00 \dots 0 1 \dots$ ，小數點後第 $78$ 位才不為 $0$ ，且這一位是 $1$ 。 $(n, a) = (78, 1)$ 。

第 14 題

換底： $lo g_{\frac{1}{3}} x = \frac{l o g x}{- l o g 3} = - lo g_{3} x$ ， $lo g_{\frac{1}{2}} x = - lo g_{2} x$ 。

$a = - lo g_{3} 2$ ， $b = - lo g_{3} \frac{1}{2} = lo g_{3} 2$ ， $c = - lo g_{2} 3$ ， $d = - lo g_{2} \frac{1}{3} = lo g_{2} 3$ 。

$0 < lo g_{3} 2 < 1$ （因 $1 < 2 < 3$ ）， $lo g_{2} 3 > 1$ （因 $3 > 2$ ）。所以 $- lo g_{2} 3 < - lo g_{3} 2 < 0 < lo g_{3} 2 < lo g_{2} 3$ ，即 $c < a < b < d$ 。

lo g_{3} 2 \approx \frac{0.3010}{0.4771} \approx 0.63

，

lo g_{2} 3 \approx \frac{0.4771}{0.3010} \approx 1.59

。

負指數的數取對數後，把結果寫成「負整數＋0 到 1 之間的小數」：負整數決定在小數點後第幾位，小數部分決定第一個非零數字。

04填充 9～11（第 15～17 題）：圖形的對稱、三角形面積與細菌增長

第 15 題

直線 $L$ 是 $y = x$ ，斜率 $1$ ，所以 $L^{'}$ 斜率 $- 1$ ，過 $P (0, 4)$ ： $L^{'} : x + y = 4$ 。

$y = 2^{x}$ 與 $y = lo g_{2} x$ 對稱於 $y = x$ ，直線 $x + y = 4$ 對 $y = x$ 對稱後還是自己。所以若 $A = (s, t)$ 在 $y = 2^{x}$ 與 $L^{'}$ 上，則 $(t, s)$ 在 $y = lo g_{2} x$ 與 $L^{'}$ 上，就是 $B = (t, s)$ ，且 $s + t = 4$ 。

又 $2^{s} = 4 - s$ 的解 $s$ 在 $1$ 與 $2$ 之間（ $2^{1} < 3$ ， $2^{2} > 2$ ），所以 $s > 0$ 、 $t = 4 - s > 0$ ， $A$ 、 $B$ 都在 $P$ 的右下方。 $L^{'}$ 斜率 $- 1$ ，線上兩點距離是橫坐標差的 $2$ 倍： $\overline{P A} = 2 s$ ， $\overline{P B} = 2 t$ 。

所以 $\overline{P A} + \overline{P B} = 2 (s + t) = 42$ 。

第 16 題

$A (a, lo g a)$ 、 $B (b, lo g b)$ 。斜率 $\frac{l o g b - l o g a}{b - a} = \frac{1}{2}$ ， $b - a = 4$ ，所以 $lo g b - lo g a = 2$ ，即 $lo g \frac{b}{a} = 2$ ， $b = 100 a$ 。

$C$ 是 $x = b$ 與 $y = lo g a$ 的交點： $C (b, lo g a)$ 。 $A C$ 是水平線段，長 $b - a = 4$ ； $B C$ 是鉛直線段，長 $lo g b - lo g a = 2$ ； $∠ C$ 是直角。

面積 $= \frac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4$ 。

由

b = 100 a

、

b - a = 4

得

a = \frac{4}{99}

，

b = \frac{400}{99}

，確實存在；面積不必用到它們。

第 17 題

$n$ 天後有 $1000 \times 5^{n}$ 株，要 $1000 \times 5^{n} > 1 0^{12}$ ，即 $5^{n} > 1 0^{9}$ 。

取對數： $n lo g 5 > 9$ 。 $lo g 5 = 1 - lo g 2 \approx 0.6990$ ， $n > \frac{9}{0.6990} \approx 12.9$ ，最小正整數 $n = 13$ 。

檢查：

12 \times 0.6990 = 8.388 < 9

，

13 \times 0.6990 = 9.087 > 9

。

指數函數與對數函數的圖形對稱於 y＝x，直線若也對稱於 y＝x，兩個交點就互為對稱點。

05混合題 1（第 18、19 題）：每年存入的複利與投資報酬率

第 18 題

每年年初存入 9700 元，到第 10 年底領回。第 1 年存的錢經過 10 年，本利和 $9700 \times 1.0 2^{10}$ ；第 2 年存的經過 9 年， $9700 \times 1.0 2^{9}$ ；……；第 10 年存的經過 1 年， $9700 \times 1.02$ 。

總和是首項 $9700 \times 1.02$ 、公比 $1.02$ 、共 10 項的等比級數：

$9700 \times 1.02 \times \frac{1.0 2 ^{10} - 1}{1.02 - 1} \approx 9700 \times 1.02 \times \frac{1.22 - 1}{0.02} = 9700 \times 1.02 \times 11 = 9700 \times 11.22 = 108834$

約可領回 $108834$ 元。

這裡照題目給的

1.0 2^{10} \approx 1.22

計算；若用較精確的

1.0 2^{10} \approx 1.21899

，本利和約

108337

元，第 (2) 小題的結論不變。題目沒寫明存款時點；若改成每年年底存入，10 年後約

9700 \times \frac{1.0 2 ^{10} - 1}{0.02} \approx 106700

元，第 (2) 小題的結論仍是「否」。

第 19 題

銀行說的 $3.09%$ 是 10 年合計的報酬率。把同樣的錢每年存定存，由第 (1) 小題，10 年後約有 $108834$ 元，合計報酬率

$\frac{108834 - 9700 \times 10}{9700 \times 10} = \frac{11834}{97000} \approx 12.2%$

遠大於投資商品的 $3.09%$ （定存 10 年後約 108834 元，投資商品只領回 100000 元）。所以此投資產品不值得購買。

銀行拿「10 年合計」的 3.09% 去比「一年」的定存利率 2%，兩者的時間長度不同，不能直接比較；此商品換算成每年報酬不到 2%（每年 2% 時 10 年後已約 108834 元，多於商品的 100000 元）。

比較報酬率要用同一段時間：把定存也算到同樣的 10 年，再比領回的金額。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

高師大附中 113 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 19 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

高師大附中 113 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

多重選擇第 2 題（本頁第 2 題）要逐一判斷交點個數，(C)(E) 都要分 x 的正負討論；填充 5（本頁第 11 題）底數小於 1，換成同底數後不等號要反向，還要記得真數條件；填充 9（本頁第 15 題）要看出指數與對數圖形和所給直線都對稱於 y=x；混合題第 (1) 小題每一筆存款的複利期數不同，要用等比級數相加。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自高師大附中 113 學年度上學期高二第二次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

高師大附中 113 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

原卷 19 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01多重選擇 1～5（第 1～5 題）：對數律與指數、對數函數的圖形

02填充 1～5（第 6～11 題）：對數律、換底公式、對數方程式與不等式

03填充 6～8（第 12～14 題）：圖形上兩點的斜率、首數與比較大小

04填充 9～11（第 15～17 題）：圖形的對稱、三角形面積與細菌增長

05混合題 1（第 18、19 題）：每年存入的複利與投資報酬率

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

高師大附中 113 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

高師大附中 113 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

高師大附中 113 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

高師大附中 113 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

高師大附中 113 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？