段考詳解範圍：指數函數的圖形、對數與對數律、對數函數的圖形、指數與對數方程式、指數與對數的應用

高師大附中 112 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

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題原卷全文

則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單一選擇題 4 題（每題 5 分）、多重選擇題 2 題（每題 6 分，答錯 1 個選項得 4 分、答錯 2 個選項得 2 分）、填充題 12 格（依答對格數給分，共 60 分）、混合題 2 小題（每小題 4 分），合計 100 分。本頁第 17、18 題為卷面填充 11 的兩格，第 19、20 題為卷面混合題 1 的 (1)(2)。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單一選擇題：20分(每題有5個選項，其中只有一個是正確的選項，各題答對者，得5分；答錯或未作答，該題以零分計算。)

將指數式

2^{x} = 3

轉換成對數式是

(A) $lo g_{3} x = 2$
(B) $lo g_{3} 2 = x$
(C) $lo g_{2} 3 = x$
(D) $lo g_{x} 2 = 3$
(E) $lo g_{2} x = 3$ 。

對於正數

a

、

b

、

c

，已知

y = a^{x}

，

y = b^{x}

，

y = c^{x}

的圖形如附圖，下列選項何者正確？

(A) $a > b > c$
(B) $a > c > b$
(C) $b > a > c$
(D) $b > c > a$
(E) $c > a > b$ 。

載入中...

如附圖，對於

y = lo g_{a} x

，

y = lo g_{b} x

，

y = lo g_{c} x

的圖形，下列選項何者正確？

(A) $a > b > c$
(B) $a > c > b$
(C) $b > a > c$
(D) $b > c > a$
(E) $c > a > b$ 。

載入中...

某國傳染病大流行時，經統計發現高峰期間「染病人數每三天增為 2 倍」。用

f (t)

表示從

t = 0

開始，染病人數隨時間

t

變化的函數，並假設

f (0) = k

（

k

為正整數）。若

t

以天為單位，試選出可以代表於高峰期間染病人數的函數模型。

(A) $f (t) = \frac{k}{3} t + k)$ （本站補註：式末多一個右括號，照原卷）
(B) $f (t) = \frac{1}{3} t^{2} + k$
(C) $f (t) = k \cdot 2^{\frac{t}{3}}$
(D) $f (t) = k \cdot (\frac{2}{3})^{t}$
(E) $f (t) = \frac{k}{3} \cdot 2^{t}$ 。

二、多重選擇題(每題有5個選項，其中至少有一個是正確的選項。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得6分；答錯1個選項者，得4分；答錯2個選項者，得2分；答錯多於2個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。本大題共計12分)

設

a > 1

，則有關函數

y = f (x) = a^{x}

之敘述，下列何者正確？

(A) 圖形由左向右上升
(B) 圖形以 $x$ 軸為漸近線
(C) 圖形恆過 $(1, 0)$
(D) $y = a^{x}$ 與 $y = a^{- x}$ 對稱於 $y$ 軸
(E) $f (x_{1} + x_{2}) = f (x_{1}) \cdot f (x_{2})$ 。

下列有關對數函數的敘述，何者正確？

(A) 設 $f (x) = lo g_{a} x$ 且 $0 < x_{1} < x_{2}$ ，則 $f (x_{1}) < f (x_{2})$
(B) 若 $a$ ， $x_{1}$ ， $x_{2} > 0$ ， $a \neq = 1$ ，則 $lo g_{a} (x_{1} \cdot x_{2}) = lo g_{a} x_{1} + lo g_{a} x_{2}$
(C) $a > 0$ ， $a \neq = 1$ ， $f (x) = lo g_{a} x$ 恆過 $(1, 0)$
(D) 對數函數 $f (x) = lo g_{a} x$ 與指數函數 $g (x) = a^{x}$ 對稱於 $y = x$ 。
(E) 設 $f (x) = lo g_{a} x$ ， $f (x^{4}) = 4 f (x)$ 對任意實數恆成立。

三、填充題(配分如下表，全對才給分，共60分)

化簡

lo g_{8} 16 =

____。

化簡

(lo g_{4} 5 + lo g_{2} 125) (lo g_{25} 8 - lo g_{5} \frac{1}{4}) =

____。

化簡

8 1^{l o g_{9} 25} =

____。

化簡

lo g_{2} 3 \cdot lo g_{5} 7 \cdot lo g_{9} 125 \cdot lo g_{49} 2 =

____。

若

lo g_{x} (x^{2} - 3 x - 4)

有意義，則

x

的範圍是 ____。

設

x > 0

，

y > 0

，已知

lo g_{5} x = 7

，

lo g_{5} y = 12

，則

lo g_{5} (x + y)

最接近的整數為 ____。

方程式

x^{2} = 2^{- ∣ x ∣}

有 ____ 個實根。

比較下列數值的大小關係：

a = lo g_{2} 5

，

b = lo g 5

，

c = lo g_{2} \frac{4}{5}

，

d = lo g \frac{4}{5}

。答：____。

方程式

lo g_{2} (2 x - 1) = lo g_{4} (x^{2} - x + 7)

的解為 ____。

設函數

f (x) = lo g_{2} x

的圖形上有兩點

A

，

B

，其

x

坐標分別為

a

，

b

。已知直線

A B

的斜率為

\frac{3}{4}

，且

\frac{b}{a} = 64

，則

A

，

B

兩點之間的距離

\overline{A B}

為 ____。

載入中...

填充 11（第 17～18 題）　已知

lo g 2 = 0.3010

，

lo g 3 = 0.4771

，

lo g 7 = 0.8451

，設

n = 2^{50}

，則

(1)

n

為 ____ 位正整數。

(2)

n

的最高位數字為 ____。

四、混合題(每小題4分，共8分)

混合題 1（第 19～20 題）　目前國際使用“芮氏規模”來表示地震的強度，設

E (r)

為地震“芮氏規模

r

”的地震，其震央所釋放的能量（單位：爾格）

E (r)

與

r

的關係如下：

lo g E (r) = 11.8 + 1.5 r

(1) 某次地震其芮氏規模為 4，試問其震央所釋放的能量是多少？

(2) 試問“芮氏規模 6”的地震，其震央所釋放的能量是“芮氏規模 4”的地震震央所釋放能量之多少倍？

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(C)

第 2 題(A)

第 3 題(C)

第 4 題(C)

第 5 題(A)(B)(D)(E)

第 6 題(B)(C)(D)

第 7 題

\frac{4}{3}

第 8 題

7

第 9 題

625

第 10 題

\frac{3}{4}

第 11 題

x > 4

第 12 題

12

第 13 題

2

第 14 題

a > b > d > c

第 15 題

x = 2

第 16 題

10

第 17 題

16

第 18 題

1

第 19 題

1 0^{17.8}

爾格

第 20 題

1000

倍

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單一選擇 1～4（第 1～4 題）：指數與對數的互換、由圖形比較底數、指數模型

第 1 題由對數的定義，

a^{x} = b

等價於

x = lo g_{a} b

。所以

2^{x} = 3

等價於

x = lo g_{2} 3

，選 (C)。

第 2 題

由圖： $y = a^{x}$ 與 $y = b^{x}$ 由左向右上升，所以 $a > 1$ ， $b > 1$ ； $y = c^{x}$ 由左向右下降，所以 $0 < c < 1$ 。

再比較 $a$ 、 $b$ ：取 $x = 1$ ，兩圖形的高度分別是 $a^{1} = a$ 與 $b^{1} = b$ 。圖上在 $x > 0$ 的地方， $y = a^{x}$ 的圖形在 $y = b^{x}$ 的上方，所以 $a > b$ 。

因此 $a > b > 1 > c$ ，選 (A)。

第 3 題

由圖： $y = lo g_{a} x$ 與 $y = lo g_{b} x$ 由左向右上升，所以 $a > 1$ ， $b > 1$ ； $y = lo g_{c} x$ 由左向右下降，所以 $0 < c < 1$ 。

再比較 $a$ 、 $b$ ：在 $y = 1$ 這條水平線上， $lo g_{a} x = 1$ 的點是 $x = a$ ， $lo g_{b} x = 1$ 的點是 $x = b$ 。圖上在 $x > 1$ 的地方， $y = lo g_{a} x$ 的圖形在 $y = lo g_{b} x$ 的上方，所以 $y = lo g_{a} x$ 較早升到高度 $1$ ，也就是 $a < b$ 。

另一種看法：取 $x = 10$ ， $lo g_{a} 10 = \frac{1}{l o g a}$ ， $lo g_{b} 10 = \frac{1}{l o g b}$ ，由圖 $lo g_{a} 10 > lo g_{b} 10 > 0$ ，得 $lo g a < lo g b$ ，即 $a < b$ 。

因此 $b > a > 1 > c$ ，選 (C)。

第 4 題

「每三天增為 2 倍」表示 $f (t + 3) = 2 f (t)$ 。由 $f (0) = k$ ， $f (3) = 2 k$ ， $f (6) = 4 k$ ，……， $t$ 天經過 $\frac{t}{3}$ 個「三天」，所以 $f (t) = k \cdot 2^{\frac{t}{3}}$ 。

逐一檢查其他選項：(A) $f (3) = 2 k$ 但 $f (6) = 3 k \neq = 4 k$ ；(B) $f (3) = 3 + k$ ，不一定是 $2 k$ ；(D) 底數 $\frac{2}{3} < 1$ ，人數遞減；(E) $f (0) = \frac{k}{3} \neq = k$ 。都不合，選 (C)。

比較底數：指數函數看

x = 1

時的高度；對數函數看高度

1

時的

x

坐標，在

x > 1

處較高的對數圖形底數較小。

02多重選擇 1、2（第 5、6 題）：指數函數與對數函數的性質

第 5 題

(A) 正確。 $a > 1$ 時 $y = a^{x}$ 是遞增函數，圖形由左向右上升。

(B) 正確。 $a^{x} > 0$ ，且 $x$ 愈來愈小時 $a^{x}$ 愈來愈接近 $0$ ，所以圖形以 $x$ 軸為漸近線。

(D) 正確。 點 $(p, q)$ 在 $y = a^{x}$ 上 $\Leftrightarrow$ $q = a^{p} = a^{- (- p)}$ $\Leftrightarrow$ $(- p, q)$ 在 $y = a^{- x}$ 上，兩圖形對稱於 $y$ 軸。

(E) 正確。 由指數律 $a^{x_{1} + x_{2}} = a^{x_{1}} \cdot a^{x_{2}}$ 。

第 6 題

(A) 錯誤。 沒有說 $a > 1$ 。例如 $a = \frac{1}{2}$ ， $x_{1} = 1 < x_{2} = 2$ ， $f (1) = 0$ ， $f (2) = - 1$ ， $f (x_{1}) > f (x_{2})$ 。

(B) 正確。 這是對數律：設 $lo g_{a} x_{1} = p$ ， $lo g_{a} x_{2} = q$ ，則 $x_{1} x_{2} = a^{p} \cdot a^{q} = a^{p + q}$ ，所以 $lo g_{a} (x_{1} x_{2}) = p + q$ 。

(D) 正確。 點 $(p, q)$ 在 $y = a^{x}$ 上 $\Leftrightarrow$ $q = a^{p}$ $\Leftrightarrow$ $p = lo g_{a} q$ $\Leftrightarrow$ $(q, p)$ 在 $y = lo g_{a} x$ 上，兩圖形對稱於直線 $y = x$ 。

(E) 錯誤。 $f (x) = lo g_{a} x$ 只在 $x > 0$ 有意義。例如 $x = - 1$ 時 $f (x^{4}) = f (1) = 0$ 有意義，但 $f (- 1)$ 沒有意義； $x = 0$ 時兩邊都沒有意義。所以不是「對任意實數」恆成立（只對 $x > 0$ 成立）。

對數函數的遞增或遞減要看底數是否大於

1

；對數律只在真數為正時才能用。

03填充 1～6（第 7～12 題）：對數律、換底公式、對數有意義的條件

第 7 題

lo g_{8} 16 = \frac{l o g 16}{l o g 8} = \frac{4 l o g 2}{3 l o g 2} = \frac{4}{3}

。

第 8 題

全部換成以 $2$ 或 $5$ 為底：

$lo g_{4} 5 = \frac{l o g 5}{2 l o g 2} = \frac{1}{2} lo g_{2} 5$ ， $lo g_{2} 125 = lo g_{2} 5^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} lo g_{2} 5$ ，第一個括號是 $2 lo g_{2} 5$ 。

$lo g_{25} 8 = \frac{3 l o g 2}{2 l o g 5} = \frac{3}{2} lo g_{5} 2$ ， $lo g_{5} \frac{1}{4} = - 2 lo g_{5} 2$ ，第二個括號是 $\frac{3}{2} lo g_{5} 2 + 2 lo g_{5} 2 = \frac{7}{2} lo g_{5} 2$ 。

相乘： $2 lo g_{2} 5 \times \frac{7}{2} lo g_{5} 2 = 7 \times lo g_{2} 5 \times lo g_{5} 2 = 7 \times 1 = 7$ 。

第 9 題

81 = 9^{2}

，所以

8 1^{l o g_{9} 25} = (9^{l o g_{9} 25})^{2} = 2 5^{2} = 625

。

第 10 題

用換底公式寫成常用對數：

$\frac{lo g 3}{lo g 2} \cdot \frac{lo g 7}{lo g 5} \cdot \frac{3 lo g 5}{2 lo g 3} \cdot \frac{lo g 2}{2 lo g 7} = \frac{3}{4}$

$lo g 3$ 、 $lo g 7$ 、 $lo g 5$ 、 $lo g 2$ 全部約掉，剩下 $\frac{3}{2 \times 2} = \frac{3}{4}$ 。

第 11 題

$lo g_{x} (x^{2} - 3 x - 4)$ 有意義要同時滿足：

底數： $x > 0$ 且 $x \neq = 1$ 。

真數： $x^{2} - 3 x - 4 > 0$ ，即 $(x - 4) (x + 1) > 0$ ，得 $x > 4$ 或 $x < - 1$ 。

兩者的共同部分是 $x > 4$ （此時 $x \neq = 1$ 也成立）。

第 12 題

$x = 5^{7}$ ， $y = 5^{12}$ ，所以 $x + y = 5^{12} (1 + 5^{- 5}) = 5^{12} (1 + \frac{1}{3125})$ 。

$lo g_{5} (x + y) = 12 + lo g_{5} (1 + \frac{1}{3125})$ 。因為 $1 < 1 + \frac{1}{3125} < 2 < 5 = 5^{\frac{1}{2}}$ ，且以 $5$ 為底的對數函數遞增，得 $0 < lo g_{5} (1 + \frac{1}{3125}) < \frac{1}{2}$ 。

所以 $lo g_{5} (x + y)$ 介於 $12$ 與 $12.5$ 之間，最接近的整數是 $12$ 。

對數有意義要同時檢查底數（大於

0

且不等於

1

）與真數（大於

0

）；兩數相加時把較大的那個提出來，剩下的因數很接近

1

。

04填充 7～10（第 13～16 題）：圖形交點、比大小、對數方程式、圖形上兩點

第 13 題

實根個數就是 $y = x^{2}$ 與 $y = 2^{- ∣ x ∣}$ 兩圖形的交點個數。兩個函數都滿足 $f (- x) = f (x)$ ，圖形都對稱於 $y$ 軸，先看 $x \geq 0$ 。

$x = 0$ 時左邊 $0$ 、右邊 $1$ ，不相等， $x = 0$ 不是根。

$x > 0$ 時方程式是 $x^{2} = 2^{- x} = (\frac{1}{2})^{x}$ ：左邊遞增、右邊遞減，最多一個交點； $x = 0$ 時左小於右， $x = 1$ 時左邊 $1$ 大於右邊 $\frac{1}{2}$ ，大小互換，所以恰有一個正根。

由對稱，負根也恰有一個，共 $2$ 個實根。

第 14 題

$a = lo g_{2} 5$ ：因為 $4 < 5 < 8$ ，所以 $2 < a < 3$ 。

$b = lo g 5$ ：因為 $1 < 5 < 10$ ，所以 $0 < b < 1$ 。

$c = lo g_{2} \frac{4}{5}$ 與 $d = lo g \frac{4}{5}$ 都是負數（真數小於 $1$ 、底數大於 $1$ ）。換成常用對數： $c = \frac{l o g \frac{4}{5}}{l o g 2}$ ，而 $0 < lo g 2 < 1$ ，除以小於 $1$ 的正數使負數變得更小，所以 $c < d < 0$ 。

因此 $a > b > d > c$ 。

第 15 題

真數條件： $2 x - 1 > 0$ 且 $x^{2} - x + 7 > 0$ （後者對所有實數都成立，因為判別式 $1 - 28 < 0$ ），所以 $x > \frac{1}{2}$ 。

$lo g_{4} (x^{2} - x + 7) = \frac{1}{2} lo g_{2} (x^{2} - x + 7)$ ，原式兩邊乘 $2$ ： $2 lo g_{2} (2 x - 1) = lo g_{2} (x^{2} - x + 7)$ ，即

$(2 x - 1)^{2} = x^{2} - x + 7$

$4 x^{2} - 4 x + 1 = x^{2} - x + 7$ ， $3 x^{2} - 3 x - 6 = 0$ ， $x^{2} - x - 2 = 0$ ， $(x - 2) (x + 1) = 0$ ，得 $x = 2$ 或 $x = - 1$ 。

$x = - 1$ 不滿足 $x > \frac{1}{2}$ （ $2 x - 1 = - 3 < 0$ ），捨去。解為 $x = 2$ 。

第 16 題

$A (a, lo g_{2} a)$ ， $B (b, lo g_{2} b)$ 。縱坐標差

$lo g_{2} b - lo g_{2} a = lo g_{2} \frac{b}{a} = lo g_{2} 64 = 6$

斜率 $\frac{6}{b - a} = \frac{3}{4}$ ，得 $b - a = 8$ （ $b = 64 a > a$ ）。

所以 $\overline{A B} = (b - a)^{2} + 6^{2} = 64 + 36 = 10$ 。

不必求出

a

、

b

本身；若要求，

64 a - a = 8

，

a = \frac{8}{63}

，

b = \frac{512}{63}

。

對數函數圖形上兩點的縱坐標差

= lo g

（橫坐標的比），配合斜率就能得到橫坐標差。

05填充 11（第 17、18 題）：位數與最高位數字

第 17 題

lo g n = 50 lo g 2 = 50 \times 0.3010 = 15.05

，所以

1 0^{15} < n < 1 0^{16}

，

n

是

16

位正整數。

第 18 題

n = 1 0^{15.05} = 1 0^{0.05} \times 1 0^{15}

。因為

lo g 1 = 0 < 0.05 < 0.3010 = lo g 2

，所以

1 < 1 0^{0.05} < 2

，

n

的最高位數字是

1

。

lo g n

的整數部分決定位數，小數部分夾在哪兩個

lo g k

之間決定最高位數字。

06混合題 1（第 19、20 題）：芮氏規模與能量

第 19 題

r = 4

代入：

lo g E (4) = 11.8 + 1.5 \times 4 = 11.8 + 6 = 17.8

，所以

E (4) = 1 0^{17.8}

爾格。

第 20 題

$lo g E (6) = 11.8 + 1.5 \times 6 = 20.8$ ，所以

$lo g \frac{E ( 6 )}{E ( 4 )} = lo g E (6) - lo g E (4) = 20.8 - 17.8 = 3$

得 $\frac{E ( 6 )}{E ( 4 )} = 1 0^{3} = 1000$ ，是 $1000$ 倍。

規模每增加

1

，能量的常用對數增加

1.5

；兩次地震能量的比看對數的差。

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本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

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單一選擇第 3 題（本頁第 3 題）在 x 大於 1 的地方，圖形較高的對數函數底數反而較小；多重選擇第 2 題（本頁第 6 題）沒有說底數大於 1，遞增不一定成立，最後一個選項要注意 x 必須是正數；填充 7（本頁第 13 題）要用圖形交點數實根，兩邊都是偶函數；填充 10（本頁第 16 題）把斜率條件換成兩點坐標差，橫向差與縱向差都能算出來。詳解逐題寫在本頁。

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御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：指數函數的圖形、對數與對數律、對數函數的圖形、指數與對數方程式、指數與對數的應用

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

一、單一選擇題：20分(每題有5個選項，其中只有一個是正確的選項，各題答對者，得5分；答錯或未作答，該題以零分計算。)

將指數式

2^{x} = 3

轉換成對數式是

(A) $lo g_{3} x = 2$
(B) $lo g_{3} 2 = x$
(C) $lo g_{2} 3 = x$
(D) $lo g_{x} 2 = 3$
(E) $lo g_{2} x = 3$ 。

對於正數

a

、

b

、

c

，已知

y = a^{x}

，

y = b^{x}

，

y = c^{x}

的圖形如附圖，下列選項何者正確？

(A) $a > b > c$
(B) $a > c > b$
(C) $b > a > c$
(D) $b > c > a$
(E) $c > a > b$ 。

載入中...

如附圖，對於

y = lo g_{a} x

，

y = lo g_{b} x

，

y = lo g_{c} x

的圖形，下列選項何者正確？

(A) $a > b > c$
(B) $a > c > b$
(C) $b > a > c$
(D) $b > c > a$
(E) $c > a > b$ 。

載入中...

某國傳染病大流行時，經統計發現高峰期間「染病人數每三天增為 2 倍」。用

f (t)

表示從

t = 0

開始，染病人數隨時間

t

變化的函數，並假設

f (0) = k

（

k

為正整數）。若

t

以天為單位，試選出可以代表於高峰期間染病人數的函數模型。

(A) $f (t) = \frac{k}{3} t + k)$ （本站補註：式末多一個右括號，照原卷）
(B) $f (t) = \frac{1}{3} t^{2} + k$
(C) $f (t) = k \cdot 2^{\frac{t}{3}}$
(D) $f (t) = k \cdot (\frac{2}{3})^{t}$
(E) $f (t) = \frac{k}{3} \cdot 2^{t}$ 。

設

a > 1

，則有關函數

y = f (x) = a^{x}

之敘述，下列何者正確？

(A) 圖形由左向右上升
(B) 圖形以 $x$ 軸為漸近線
(C) 圖形恆過 $(1, 0)$
(D) $y = a^{x}$ 與 $y = a^{- x}$ 對稱於 $y$ 軸
(E) $f (x_{1} + x_{2}) = f (x_{1}) \cdot f (x_{2})$ 。

下列有關對數函數的敘述，何者正確？

(A) 設 $f (x) = lo g_{a} x$ 且 $0 < x_{1} < x_{2}$ ，則 $f (x_{1}) < f (x_{2})$
(B) 若 $a$ ， $x_{1}$ ， $x_{2} > 0$ ， $a \neq = 1$ ，則 $lo g_{a} (x_{1} \cdot x_{2}) = lo g_{a} x_{1} + lo g_{a} x_{2}$
(C) $a > 0$ ， $a \neq = 1$ ， $f (x) = lo g_{a} x$ 恆過 $(1, 0)$
(D) 對數函數 $f (x) = lo g_{a} x$ 與指數函數 $g (x) = a^{x}$ 對稱於 $y = x$ 。
(E) 設 $f (x) = lo g_{a} x$ ， $f (x^{4}) = 4 f (x)$ 對任意實數恆成立。

三、填充題(配分如下表，全對才給分，共60分)

化簡

lo g_{8} 16 =

____。

化簡

(lo g_{4} 5 + lo g_{2} 125) (lo g_{25} 8 - lo g_{5} \frac{1}{4}) =

____。

化簡

8 1^{l o g_{9} 25} =

____。

化簡

lo g_{2} 3 \cdot lo g_{5} 7 \cdot lo g_{9} 125 \cdot lo g_{49} 2 =

____。

若

lo g_{x} (x^{2} - 3 x - 4)

有意義，則

x

的範圍是 ____。

設

x > 0

，

y > 0

，已知

lo g_{5} x = 7

，

lo g_{5} y = 12

，則

lo g_{5} (x + y)

最接近的整數為 ____。

方程式

x^{2} = 2^{- ∣ x ∣}

有 ____ 個實根。

比較下列數值的大小關係：

a = lo g_{2} 5

，

b = lo g 5

，

c = lo g_{2} \frac{4}{5}

，

d = lo g \frac{4}{5}

。答：____。

方程式

lo g_{2} (2 x - 1) = lo g_{4} (x^{2} - x + 7)

的解為 ____。

設函數

f (x) = lo g_{2} x

的圖形上有兩點

A

，

B

，其

x

坐標分別為

a

，

b

。已知直線

A B

的斜率為

\frac{3}{4}

，且

\frac{b}{a} = 64

，則

A

，

B

兩點之間的距離

\overline{A B}

為 ____。

載入中...

填充 11（第 17～18 題）　已知

lo g 2 = 0.3010

，

lo g 3 = 0.4771

，

lo g 7 = 0.8451

，設

n = 2^{50}

，則

(1)

n

為 ____ 位正整數。

(2)

n

的最高位數字為 ____。

四、混合題(每小題4分，共8分)

混合題 1（第 19～20 題）　目前國際使用“芮氏規模”來表示地震的強度，設

E (r)

為地震“芮氏規模

r

”的地震，其震央所釋放的能量（單位：爾格）

E (r)

與

r

的關係如下：

lo g E (r) = 11.8 + 1.5 r

(1) 某次地震其芮氏規模為 4，試問其震央所釋放的能量是多少？

(2) 試問“芮氏規模 6”的地震，其震央所釋放的能量是“芮氏規模 4”的地震震央所釋放能量之多少倍？

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(C)

第 2 題(A)

第 3 題(C)

第 4 題(C)

第 5 題(A)(B)(D)(E)

第 6 題(B)(C)(D)

第 7 題

\frac{4}{3}

第 8 題

7

第 9 題

625

第 10 題

\frac{3}{4}

第 11 題

x > 4

第 12 題

12

第 13 題

2

第 14 題

a > b > d > c

第 15 題

x = 2

第 16 題

10

第 17 題

16

第 18 題

1

第 19 題

1 0^{17.8}

爾格

第 20 題

1000

倍

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單一選擇 1～4（第 1～4 題）：指數與對數的互換、由圖形比較底數、指數模型

第 1 題由對數的定義，

a^{x} = b

等價於

x = lo g_{a} b

。所以

2^{x} = 3

等價於

x = lo g_{2} 3

，選 (C)。

第 2 題

由圖： $y = a^{x}$ 與 $y = b^{x}$ 由左向右上升，所以 $a > 1$ ， $b > 1$ ； $y = c^{x}$ 由左向右下降，所以 $0 < c < 1$ 。

再比較 $a$ 、 $b$ ：取 $x = 1$ ，兩圖形的高度分別是 $a^{1} = a$ 與 $b^{1} = b$ 。圖上在 $x > 0$ 的地方， $y = a^{x}$ 的圖形在 $y = b^{x}$ 的上方，所以 $a > b$ 。

因此 $a > b > 1 > c$ ，選 (A)。

第 3 題

由圖： $y = lo g_{a} x$ 與 $y = lo g_{b} x$ 由左向右上升，所以 $a > 1$ ， $b > 1$ ； $y = lo g_{c} x$ 由左向右下降，所以 $0 < c < 1$ 。

另一種看法：取 $x = 10$ ， $lo g_{a} 10 = \frac{1}{l o g a}$ ， $lo g_{b} 10 = \frac{1}{l o g b}$ ，由圖 $lo g_{a} 10 > lo g_{b} 10 > 0$ ，得 $lo g a < lo g b$ ，即 $a < b$ 。

因此 $b > a > 1 > c$ ，選 (C)。

第 4 題

比較底數：指數函數看

x = 1

時的高度；對數函數看高度

1

時的

x

坐標，在

x > 1

處較高的對數圖形底數較小。

02多重選擇 1、2（第 5、6 題）：指數函數與對數函數的性質

第 5 題

(A) 正確。 $a > 1$ 時 $y = a^{x}$ 是遞增函數，圖形由左向右上升。

(B) 正確。 $a^{x} > 0$ ，且 $x$ 愈來愈小時 $a^{x}$ 愈來愈接近 $0$ ，所以圖形以 $x$ 軸為漸近線。

(D) 正確。 點 $(p, q)$ 在 $y = a^{x}$ 上 $\Leftrightarrow$ $q = a^{p} = a^{- (- p)}$ $\Leftrightarrow$ $(- p, q)$ 在 $y = a^{- x}$ 上，兩圖形對稱於 $y$ 軸。

(E) 正確。 由指數律 $a^{x_{1} + x_{2}} = a^{x_{1}} \cdot a^{x_{2}}$ 。

第 6 題

(A) 錯誤。 沒有說 $a > 1$ 。例如 $a = \frac{1}{2}$ ， $x_{1} = 1 < x_{2} = 2$ ， $f (1) = 0$ ， $f (2) = - 1$ ， $f (x_{1}) > f (x_{2})$ 。

(B) 正確。 這是對數律：設 $lo g_{a} x_{1} = p$ ， $lo g_{a} x_{2} = q$ ，則 $x_{1} x_{2} = a^{p} \cdot a^{q} = a^{p + q}$ ，所以 $lo g_{a} (x_{1} x_{2}) = p + q$ 。

對數函數的遞增或遞減要看底數是否大於

1

；對數律只在真數為正時才能用。

03填充 1～6（第 7～12 題）：對數律、換底公式、對數有意義的條件

第 7 題

lo g_{8} 16 = \frac{l o g 16}{l o g 8} = \frac{4 l o g 2}{3 l o g 2} = \frac{4}{3}

。

第 8 題

全部換成以 $2$ 或 $5$ 為底：

$lo g_{4} 5 = \frac{l o g 5}{2 l o g 2} = \frac{1}{2} lo g_{2} 5$ ， $lo g_{2} 125 = lo g_{2} 5^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} lo g_{2} 5$ ，第一個括號是 $2 lo g_{2} 5$ 。

相乘： $2 lo g_{2} 5 \times \frac{7}{2} lo g_{5} 2 = 7 \times lo g_{2} 5 \times lo g_{5} 2 = 7 \times 1 = 7$ 。

第 9 題

81 = 9^{2}

，所以

8 1^{l o g_{9} 25} = (9^{l o g_{9} 25})^{2} = 2 5^{2} = 625

。

第 10 題

用換底公式寫成常用對數：

$\frac{lo g 3}{lo g 2} \cdot \frac{lo g 7}{lo g 5} \cdot \frac{3 lo g 5}{2 lo g 3} \cdot \frac{lo g 2}{2 lo g 7} = \frac{3}{4}$

$lo g 3$ 、 $lo g 7$ 、 $lo g 5$ 、 $lo g 2$ 全部約掉，剩下 $\frac{3}{2 \times 2} = \frac{3}{4}$ 。

第 11 題

$lo g_{x} (x^{2} - 3 x - 4)$ 有意義要同時滿足：

底數： $x > 0$ 且 $x \neq = 1$ 。

真數： $x^{2} - 3 x - 4 > 0$ ，即 $(x - 4) (x + 1) > 0$ ，得 $x > 4$ 或 $x < - 1$ 。

兩者的共同部分是 $x > 4$ （此時 $x \neq = 1$ 也成立）。

第 12 題

$x = 5^{7}$ ， $y = 5^{12}$ ，所以 $x + y = 5^{12} (1 + 5^{- 5}) = 5^{12} (1 + \frac{1}{3125})$ 。

所以 $lo g_{5} (x + y)$ 介於 $12$ 與 $12.5$ 之間，最接近的整數是 $12$ 。

對數有意義要同時檢查底數（大於

0

且不等於

1

）與真數（大於

0

）；兩數相加時把較大的那個提出來，剩下的因數很接近

1

。

04填充 7～10（第 13～16 題）：圖形交點、比大小、對數方程式、圖形上兩點

第 13 題

實根個數就是 $y = x^{2}$ 與 $y = 2^{- ∣ x ∣}$ 兩圖形的交點個數。兩個函數都滿足 $f (- x) = f (x)$ ，圖形都對稱於 $y$ 軸，先看 $x \geq 0$ 。

$x = 0$ 時左邊 $0$ 、右邊 $1$ ，不相等， $x = 0$ 不是根。

由對稱，負根也恰有一個，共 $2$ 個實根。

第 14 題

$a = lo g_{2} 5$ ：因為 $4 < 5 < 8$ ，所以 $2 < a < 3$ 。

$b = lo g 5$ ：因為 $1 < 5 < 10$ ，所以 $0 < b < 1$ 。

因此 $a > b > d > c$ 。

第 15 題

真數條件： $2 x - 1 > 0$ 且 $x^{2} - x + 7 > 0$ （後者對所有實數都成立，因為判別式 $1 - 28 < 0$ ），所以 $x > \frac{1}{2}$ 。

$lo g_{4} (x^{2} - x + 7) = \frac{1}{2} lo g_{2} (x^{2} - x + 7)$ ，原式兩邊乘 $2$ ： $2 lo g_{2} (2 x - 1) = lo g_{2} (x^{2} - x + 7)$ ，即

$(2 x - 1)^{2} = x^{2} - x + 7$

$4 x^{2} - 4 x + 1 = x^{2} - x + 7$ ， $3 x^{2} - 3 x - 6 = 0$ ， $x^{2} - x - 2 = 0$ ， $(x - 2) (x + 1) = 0$ ，得 $x = 2$ 或 $x = - 1$ 。

$x = - 1$ 不滿足 $x > \frac{1}{2}$ （ $2 x - 1 = - 3 < 0$ ），捨去。解為 $x = 2$ 。

第 16 題

$A (a, lo g_{2} a)$ ， $B (b, lo g_{2} b)$ 。縱坐標差

$lo g_{2} b - lo g_{2} a = lo g_{2} \frac{b}{a} = lo g_{2} 64 = 6$

斜率 $\frac{6}{b - a} = \frac{3}{4}$ ，得 $b - a = 8$ （ $b = 64 a > a$ ）。

所以 $\overline{A B} = (b - a)^{2} + 6^{2} = 64 + 36 = 10$ 。

不必求出

a

、

b

本身；若要求，

64 a - a = 8

，

a = \frac{8}{63}

，

b = \frac{512}{63}

。

對數函數圖形上兩點的縱坐標差

= lo g

（橫坐標的比），配合斜率就能得到橫坐標差。

05填充 11（第 17、18 題）：位數與最高位數字

第 17 題

lo g n = 50 lo g 2 = 50 \times 0.3010 = 15.05

，所以

1 0^{15} < n < 1 0^{16}

，

n

是

16

位正整數。

第 18 題

n = 1 0^{15.05} = 1 0^{0.05} \times 1 0^{15}

。因為

lo g 1 = 0 < 0.05 < 0.3010 = lo g 2

，所以

1 < 1 0^{0.05} < 2

，

n

的最高位數字是

1

。

lo g n

的整數部分決定位數，小數部分夾在哪兩個

lo g k

之間決定最高位數字。

06混合題 1（第 19、20 題）：芮氏規模與能量

第 19 題

r = 4

代入：

lo g E (4) = 11.8 + 1.5 \times 4 = 11.8 + 6 = 17.8

，所以

E (4) = 1 0^{17.8}

爾格。

第 20 題

$lo g E (6) = 11.8 + 1.5 \times 6 = 20.8$ ，所以

$lo g \frac{E ( 6 )}{E ( 4 )} = lo g E (6) - lo g E (4) = 20.8 - 17.8 = 3$

得 $\frac{E ( 6 )}{E ( 4 )} = 1 0^{3} = 1000$ ，是 $1000$ 倍。

規模每增加

1

，能量的常用對數增加

1.5

；兩次地震能量的比看對數的差。

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同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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高師大附中 112 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

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可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自高師大附中 112 學年度上學期高二第二次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

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