段考詳解範圍：指數函數與對數函數（對數律、換底公式、指數與對數函數的圖形、常用對數與科學記號、指數與對數的應用）

高師大附中 110 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 高師大附中 110 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 16 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 高師大附中 110 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題 b 要先把 1 寫成 log 10，合併成 log 350 再和 log 305、log 100 比；第 4 題要看出底數越接近 1 的對數函數長得越快，曲線 B 才是 log 以 1.3 為底，而且它和 y＝x 有兩個交點，正是 (C)(D) 的反例；第 7 題對數的底數要大於 0 且不等於 1，x 不能等於 9 最容易漏；第 16 題解完二次方程式要回頭檢查真數為正，x＝−1 要捨去。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 16 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，練滿 15 題就能產生考前藍圖 PDF →

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

單選題 2 題（每題 5 分，共 10 分）、多重選擇題 2 題（每題 6 分，答錯 1 個選項得 3 分，答錯 2 個選項得 1 分，共 12 分）、填充題 12 題（完全正確才給分，答對 1～12 題依序得 8、16、24、32、40、46、52、58、64、70、74、78 分）。本站題號：單選 1～2、多選 3～4、填充 5～16。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單選題（每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項。各題答對者，得 5 分；答錯、未作答或答案多於一個選項者，該題以 0 分計算。本大題共 2 題，共計 10 分）

設

a > 0

，指數函數

f (x) = a^{x}

的略圖如圖，試問

a

最有可能是下列哪一個數？

(A) $\frac{1}{4}$
(B) $\frac{1}{2}$
(C) $\frac{2}{3}$
(D) $2$
(E) $3$

載入中...

設

a = 2

，

b = 1 + lo g 35

，

c = lo g 305

，則此三數的大小關係為

(A) $a > b > c$
(B) $a > c > b$
(C) $b > a > c$
(D) $b > c > a$
(E) $c > b > a$

二、多重選擇題（每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 6 分；答錯 1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個選項者，得 1 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以 0 分計算。本大題共計 12 分）

下列選項何者為真？

(A) $lo g_{π} 1 = 0$
(B) $lo g_{2} 3 = \frac{lo g 3}{lo g 2}$
(C) $lo g_{4} (- 2)^{2} = 2 lo g_{4} (- 2)$
(D) $lo g_{3} 18 = 2 + lo g_{3} 2$
(E) $3^{- l o g_{3} 5} = - 5$

設三個函數

y = 2^{x}

、

y = lo g_{1.3} x

、

y = lo g_{2} x

的圖形畫在

x y

坐標平面上，每個函數皆分別與曲線

A

、

B

、

C

其中之一對應，如圖所示，請觀察圖形後，判斷下列敘述哪些是正確的？

(A) 曲線 $B$ 為函數 $y = lo g_{2} x$ 的圖形
(B) 設 $a > 1$ ，函數 $y = a^{x}$ 的圖形與函數 $y = lo g_{a} x$ 的圖形對稱於直線 $y = x$
(C) 設 $a > 1$ ，函數 $y = a^{x}$ 的圖形與函數 $y = lo g_{a} x$ 的圖形沒有交點
(D) 設 $a > 1$ ， $a^{x} > lo g_{a} x$ 恆成立。
(E) $y = lo g_{a} x$ 的圖形恆在 $y$ 軸右方

載入中...

三、填充題（完全正確才給分，依照下列配分，共 78 分）

設指數函數

y = a^{x} (a > 0)

的圖形通過點

A (- 4, \frac{1}{4})

，則

a =

____

方程式

3^{x} = - x + 2

有 ____ 個實根

若

lo g_{x - 8} (- x^{2} + 17 x - 70)

有意義，則實數

x

的範圍為 ____

化簡

lo g 63 - 2 lo g 6 + 5 lo g 2 - lo g \frac{14}{25}

之值為 ____

化簡

(lo g_{2} 3 + lo g_{4} 9) (lo g_{3} 4 + lo g_{9} 2)

的值為 ____

已知

f (x) = lo g_{a} (2 x - b)

的圖形通過三點

P (3, 1)

，

Q (13, 2)

，

R (313, c)

求

c =

____

如圖是

y = lo g_{2} x

的圖形，已知

P (0, lo g_{2} 3)

，

Q (0, lo g_{2} 12)

，

M

是

\overline{P Q}

的中點，過

P

、

M

、

Q

點分別作

x

軸的平行線交

y = lo g_{2} x

的圖形於

A

、

N

、

B

點，試求

N

點的

x

坐標為 ____

載入中...

小蝦做了實驗發現：將魚從冷凍庫取出，放在

25

℃的室溫下解凍，放置

x

小時後魚的溫度為

f (x) = 25 - 32 \cdot a^{x}

（℃），其中

a

是常數。根據小蝦的發現，小蝦媽媽的魚，在解凍

1

小時後的溫度為

9

℃。請問：解凍

4

小時後，魚的溫度為攝氏 ____ 度

不等式

lo g_{3} x < 3

求

x

的範圍為 ____

a = lo g 3

，

b = lo g 5

請以

a

、

b

表示出

lo g_{30} 500 =

____

用科學記號

a \times 1 0^{m}

表示

(\frac{1}{16})^{200}

的近似值，則

m =

____

(lo g 2 \approx 0.3010)

滿足

lo g_{2} (2 x - 1) = lo g_{4} (x^{2} - x + 7)

的解為 ____

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)

第 2 題(D)

第 3 題(A)(B)(D)

第 4 題(B)(E)

第 5 題

2

第 6 題

1

第 7 題

8 < x < 10

且

x \neq = 9

第 8 題

2

第 9 題

5

第 10 題

4

第 11 題

6

第 12 題

23

第 13 題

0 < x < 27

第 14 題

\frac{2 + b}{1 + a}

第 15 題

- 241

第 16 題

2

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊

04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1、2 題）：由圖形判斷底數、常用對數比大小

第 1 題

① 圖中 $y = a^{x}$ 由左往右下降，所以 $0 < a < 1$ ，(D)(E) 不可能。

② 看 $x = - 1$ ： $y = a^{- 1} = \frac{1}{a}$ 。圖上每格是 $1$ ； $y = a^{x}$ 由右往左，還沒走到 $x = - 1$ 就已經碰到最上面的格線 $y = 3$ ，所以 $\frac{1}{a} > 3$ ， $a < \frac{1}{3}$ 。

③ 三個候選值在 $x = - 1$ 的高度： $(\frac{1}{4})^{- 1} = 4$ 、 $(\frac{1}{2})^{- 1} = 2$ 、 $(\frac{2}{3})^{- 1} = \frac{3}{2}$ ，只有 $\frac{1}{4}$ 超過 $3$ （見圖）。

答案 (A)。

載入中...

也可以拿

y = 2^{x}

對照：

y = (\frac{1}{2})^{x}

的圖形和

y = 2^{x}

對稱於

y

軸，陡的程度一樣；圖中

y = a^{x}

比

y = 2^{x}

的鏡像更陡，所以

\frac{1}{a} > 2

。

第 2 題

① 把三個數都寫成常用對數： $a = 2 = lo g 100$ 。

② $b = 1 + lo g 35 = lo g 10 + lo g 35 = lo g 350$ 。

③ $c = lo g 305$ 。

④ $y = lo g x$ 是遞增函數，真數越大值越大： $350 > 305 > 100$ ，所以 $b > c > a$ （見圖）。

答案 (D)。

載入中...

近似值：

a = 2

、

b \approx 2.544

、

c \approx 2.484

。卷面 log 後面的 35、305 與 log 同字級、沒有下標，讀作常用對數；學校答案 (D) 也是這個讀法。

比較對數大小，先把每個數寫成同一個底數的對數，再比真數。

02多重選擇題（第 3、4 題）：對數律、指數與對數函數的圖形

第 3 題

(A) 正確。 任何合法底數的 $lo g 1$ 都是 $0$ ： $π^{0} = 1$ ，所以 $lo g_{π} 1 = 0$ 。

(B) 正確。 換底公式： $lo g_{2} 3 = \frac{lo g 3}{lo g 2}$ 。

(C) 錯誤。 左邊 $lo g_{4} (- 2)^{2} = lo g_{4} 4 = 1$ 有意義；右邊 $lo g_{4} (- 2)$ 的真數是負數，沒有定義。對數律 $lo g_{a} b^{n} = n lo g_{a} b$ 只在 $b > 0$ 時才能用。

(D) 正確。 $lo g_{3} 18 = lo g_{3} (9 \times 2) = lo g_{3} 9 + lo g_{3} 2 = 2 + lo g_{3} 2$ 。

(E) 錯誤。 $3^{- l o g_{3} 5} = (3^{l o g_{3} 5})^{- 1} = 5^{- 1} = \frac{1}{5}$ ，不是 $- 5$ ；而且 $3$ 的任何次方都大於 $0$ 。

答案 (A)(B)(D)。

第 4 題

① 先認曲線：通過 $(0, 1)$ 的 $C$ 是 $y = 2^{x}$ ； $A$ 、 $B$ 都通過 $(1, 0)$ ，是兩個對數函數。

② $x > 1$ 時，底數越接近 $1$ 的對數長得越快：例如 $x = 2$ 時 $lo g_{1.3} 2 = \frac{lo g 2}{lo g 1.3} \approx 2.64$ ， $lo g_{2} 2 = 1$ 。所以上面的 $B$ 是 $y = lo g_{1.3} x$ ，下面的 $A$ 是 $y = lo g_{2} x$ 。

(A) 錯誤。 曲線 $B$ 是 $y = lo g_{1.3} x$ 。

(B) 正確。 $y = a^{x}$ 與 $y = lo g_{a} x$ 互為反函數：點 $(p, q)$ 在 $y = a^{x}$ 上 $\Leftrightarrow$ $(q, p)$ 在 $y = lo g_{a} x$ 上，兩圖形對稱於直線 $y = x$ 。

這種交點在 $y = x$ 上，對 $y = x$ 對稱過去還是自己，所以也在 $y = 1. 3^{x}$ 上，兩圖形確實相交。

用數字確認： $1. 3^{x} = x$ 在 $x = 1$ 時 $1.3 > 1$ 、在 $x = 2$ 時 $1.69 < 2$ ，所以 $1$ 與 $2$ 之間有一個交點（見圖）。

(D) 錯誤。 仍用 $a = 1.3$ 、 $x = 2$ ： $1. 3^{2} = 1.69$ ，而 $lo g_{1.3} 2 \approx 2.64$ ， $a^{x} < lo g_{a} x$ 。

(E) 正確。 $lo g_{a} x$ 的真數 $x$ 必須大於 $0$ ，圖形上每一點的 $x$ 坐標都是正的，恆在 $y$ 軸右方。

答案 (B)(E)。

載入中...

a

夠接近

1

時（

a = 1.3

就是），

y = a^{x}

與

y = lo g_{a} x

會在

y = x

上相交兩次，兩個交點之間

lo g_{a} x > x > a^{x}

。

a = 2

時兩圖形就沒有交點，所以 (C)(D) 不是「恆成立」。

a > 1

時，

y = lo g_{a} x

的底數越接近

1

，圖形在

x > 1

這一段越陡；

y = a^{x}

與

y = lo g_{a} x

的交點一定落在

y = x

上。

03填充 1～4（第 5～8 題）：指數函數過定點、交點個數、對數有意義、對數律

第 5 題

① 點 $A (- 4, \frac{1}{4})$ 在圖形上： $a^{- 4} = \frac{1}{4}$ 。

② 兩邊取倒數： $a^{4} = 4$ 。

③ $a > 0$ ，所以 $a = 4^{\frac{1}{4}} = (2^{2})^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{2}} = 2$ 。

答案 $a = 2$ 。

載入中...

第 6 題

① 實根個數就是 $y = 3^{x}$ 與 $y = - x + 2$ 兩圖形的交點個數。

② $y = 3^{x}$ 由左往右一路上升， $y = - x + 2$ 一路下降，兩者最多相交一次。

③ $x = 0$ 時 $3^{0} = 1 < 2$ ； $x = 1$ 時 $3^{1} = 3 > 1$ 。左邊指數在直線下方、右邊在上方，中間一定相交一次（見圖）。

答案 1 個實根。

載入中...

第 7 題

① 底數條件： $x - 8 > 0$ 且 $x - 8 \neq = 1$ ，即 $x > 8$ 且 $x \neq = 9$ 。

② 真數條件： $- x^{2} + 17 x - 70 > 0$ ，同乘 $- 1$ 得 $x^{2} - 17 x + 70 < 0$ 。

③ 因式分解： $(x - 7) (x - 10) < 0$ ，所以 $7 < x < 10$ 。

④ 兩個條件取交集（見圖）： $8 < x < 10$ 且 $x \neq = 9$ 。

答案 $8 < x < 10$ 且 $x \neq = 9$ 。

載入中...

底數除了大於

0

，還不能等於

1

；這題的

x \neq = 9

就是從這裡來的。

第 8 題

① 用對數律把係數搬進真數： $2 lo g 6 = lo g 36$ ， $5 lo g 2 = lo g 32$ 。

② 合併成一個對數： $lo g 63 - lo g 36 + lo g 32 - lo g \frac{14}{25} = lo g \frac{63 \times 32 \times 25}{36 \times 14}$

③ 約分： $\frac{63}{36 \times 14} = \frac{1}{8}$ ，所以真數 $= \frac{32 \times 25}{8} = 100$ 。

④ $lo g 100 = 2$ 。

答案 2。

04填充 5～7（第 9～11 題）：換底公式、由函數值求參數、圖形上的中點

第 9 題

① 把底數化成同一個數： $lo g_{4} 9 = lo g_{2^{2}} 3^{2} = lo g_{2} 3$ ，所以第一個括號 $= 2 lo g_{2} 3$ 。

② $lo g_{3} 4 = 2 lo g_{3} 2$ ， $lo g_{9} 2 = lo g_{3^{2}} 2 = \frac{1}{2} lo g_{3} 2$ ，所以第二個括號 $= \frac{5}{2} lo g_{3} 2$ 。

③ 相乘： $2 lo g_{2} 3 \times \frac{5}{2} lo g_{3} 2 = 5 (lo g_{2} 3 \times lo g_{3} 2) = 5 \times 1 = 5$ 。

答案 5。

lo g_{2} 3 \times lo g_{3} 2 = \frac{lo g 3}{lo g 2} \times \frac{lo g 2}{lo g 3} = 1

。

第 10 題

① 過 $P (3, 1)$ ： $lo g_{a} (6 - b) = 1$ ，所以 $6 - b = a$ 。

② 過 $Q (13, 2)$ ： $lo g_{a} (26 - b) = 2$ ，所以 $26 - b = a^{2}$ 。

③ 由 ① 得 $b = 6 - a$ ，代入 ②： $26 - (6 - a) = a^{2}$ ， $a^{2} - a - 20 = 0$ ， $(a - 5) (a + 4) = 0$ 。

④ 底數 $a > 0$ ，所以 $a = 5$ ， $b = 1$ ， $f (x) = lo g_{5} (2 x - 1)$ （見圖）。

⑤ 過 $R (313, c)$ ： $c = lo g_{5} (626 - 1) = lo g_{5} 625 = lo g_{5} 5^{4} = 4$ 。

答案 $c = 4$ 。

載入中...

第 11 題

① $M$ 是 $\overline{P Q}$ 的中點，所以 $M$ 的 $y$ 坐標是 $\frac{lo g _{2} 3 + lo g _{2} 12}{2} = \frac{lo g _{2} 36}{2} = lo g_{2} 36 = lo g_{2} 6$

② 過 $M$ 作 $x$ 軸的平行線，交點 $N$ 的 $y$ 坐標也是 $lo g_{2} 6$ 。

③ $N$ 在 $y = lo g_{2} x$ 上： $lo g_{2} x = lo g_{2} 6$ ，所以 $x = 6$ （見圖）。

答案 6。

載入中...

同理

A

、

B

的

x

坐標是

3

、

12

；

6

是

3

與

12

的等比中項

3 \times 12

，不是算術平均

7.5

。

對數圖形上，縱坐標取算術平均，橫坐標就取等比中項。

05填充 8～10（第 12～14 題）：指數模型、對數不等式、以 a、b 表示對數

第 12 題

① 解凍 $1$ 小時後是 $9$ ℃： $f (1) = 25 - 32 a = 9$ ，所以 $32 a = 16$ ， $a = \frac{1}{2}$ 。

② 模型是 $f (x) = 25 - 32 (\frac{1}{2})^{x}$ 。

③ 解凍 $4$ 小時： $f (4) = 25 - 32 \times \frac{1}{16} = 25 - 2 = 23$ （見圖）。

答案 23 度。

載入中...

剛取出時

f (0) = 25 - 32 = - 7

℃；每過一小時，魚和室溫的溫差減半：

32 \to 16 \to 8 \to 4 \to 2

。

第 13 題

① 真數條件： $x > 0$ 。

② $3 = lo g_{3} 27$ ，不等式化成 $lo g_{3} x < lo g_{3} 27$ 。

③ 底數 $3 > 1$ ， $y = lo g_{3} x$ 遞增，所以 $x < 27$ 。

④ 合併： $0 < x < 27$ （見圖）。

答案 $0 < x < 27$ 。

載入中...

x \leq 0

時

lo g_{3} x

沒有意義，所以下界是

0

，不能寫成

x < 27

。

第 14 題

① 換底成常用對數： $lo g_{30} 500 = \frac{lo g 500}{lo g 30}$ 。

② 分子： $lo g 500 = lo g (5 \times 100) = lo g 5 + 2 = b + 2$ 。

③ 分母： $lo g 30 = lo g (3 \times 10) = lo g 3 + 1 = a + 1$ 。

答案 $lo g_{30} 500 = \frac{2 + b}{1 + a}$ 。

06填充 11、12（第 15、16 題）：科學記號、對數方程式

第 15 題

① $(\frac{1}{16})^{200} = 2^{- 800}$ ，取常用對數： $lo g 2^{- 800} = - 800 lo g 2 \approx - 800 \times 0.3010 = - 240.8$ 。

② 科學記號 $a \times 1 0^{m}$ （ $1 \leq a < 10$ ）取對數是 $m + lo g a$ ，其中 $0 \leq lo g a < 1$ 。

③ 把 $- 240.8$ 寫成「整數＋ $0$ 到 $1$ 之間的小數」： $- 240.8 = - 241 + 0.2$ 。

④ 所以 $m = - 241$ （ $a = 1 0^{0.2}$ ）。

答案 $m = - 241$ 。

負數的首數要往下取整數：

- 240.8

的整數部分是

- 241

，不是

- 240

。

第 16 題

① 真數條件： $2 x - 1 > 0$ 即 $x > \frac{1}{2}$ ； $x^{2} - x + 7 = (x - \frac{1}{2})^{2} + \frac{27}{4} > 0$ 恆成立。

② 右邊換成以 $2$ 為底： $lo g_{4} (x^{2} - x + 7) = \frac{1}{2} lo g_{2} (x^{2} - x + 7)$ 。

③ 兩邊乘 $2$ ： $2 lo g_{2} (2 x - 1) = lo g_{2} (x^{2} - x + 7)$ ，即 $lo g_{2} (2 x - 1)^{2} = lo g_{2} (x^{2} - x + 7)$ 。

④ 真數相等： $(2 x - 1)^{2} = x^{2} - x + 7$ ， $4 x^{2} - 4 x + 1 = x^{2} - x + 7$ ， $3 x^{2} - 3 x - 6 = 0$ ， $x^{2} - x - 2 = 0$ ， $(x - 2) (x + 1) = 0$ 。

⑤ $x = 2$ 或 $x = - 1$ ； $x = - 1$ 時 $2 x - 1 = - 3 < 0$ ，捨去。

看圖：藍線是左式 $y = lo g_{2} (2 x - 1)$ 、黑線是右式 $y = lo g_{4} (x^{2} - x + 7)$ ：兩線只在 $x = 2$ 相交， $x = - 1$ 處只有黑線。

答案 $x = 2$ 。

載入中...

代回檢查：

lo g_{2} 3 = lo g_{4} (4 - 2 + 7) = lo g_{4} 9 = lo g_{2} 3

，成立。

解對數方程式先寫真數條件，最後一定要回頭檢查每個根。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

高師大附中 110 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 16 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

高師大附中 110 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題 b 要先把 1 寫成 log 10，合併成 log 350 再和 log 305、log 100 比；第 4 題要看出底數越接近 1 的對數函數長得越快，曲線 B 才是 log 以 1.3 為底，而且它和 y＝x 有兩個交點，正是 (C)(D) 的反例；第 7 題對數的底數要大於 0 且不等於 1，x 不能等於 9 最容易漏；第 16 題解完二次方程式要回頭檢查真數為正，x＝−1 要捨去。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自高師大附中 110 學年度上學期高二第二次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：指數函數與對數函數（對數律、換底公式、指數與對數函數的圖形、常用對數與科學記號、指數與對數的應用）

高師大附中 110 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 16 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，練滿 15 題就能產生考前藍圖 PDF →

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

設

a > 0

，指數函數

f (x) = a^{x}

的略圖如圖，試問

a

最有可能是下列哪一個數？

(A) $\frac{1}{4}$
(B) $\frac{1}{2}$
(C) $\frac{2}{3}$
(D) $2$
(E) $3$

載入中...

設

a = 2

，

b = 1 + lo g 35

，

c = lo g 305

，則此三數的大小關係為

(A) $a > b > c$
(B) $a > c > b$
(C) $b > a > c$
(D) $b > c > a$
(E) $c > b > a$

下列選項何者為真？

(A) $lo g_{π} 1 = 0$
(B) $lo g_{2} 3 = \frac{lo g 3}{lo g 2}$
(C) $lo g_{4} (- 2)^{2} = 2 lo g_{4} (- 2)$
(D) $lo g_{3} 18 = 2 + lo g_{3} 2$
(E) $3^{- l o g_{3} 5} = - 5$

設三個函數

y = 2^{x}

、

y = lo g_{1.3} x

、

y = lo g_{2} x

的圖形畫在

x y

坐標平面上，每個函數皆分別與曲線

A

、

B

、

C

其中之一對應，如圖所示，請觀察圖形後，判斷下列敘述哪些是正確的？

(A) 曲線 $B$ 為函數 $y = lo g_{2} x$ 的圖形
(B) 設 $a > 1$ ，函數 $y = a^{x}$ 的圖形與函數 $y = lo g_{a} x$ 的圖形對稱於直線 $y = x$
(C) 設 $a > 1$ ，函數 $y = a^{x}$ 的圖形與函數 $y = lo g_{a} x$ 的圖形沒有交點
(D) 設 $a > 1$ ， $a^{x} > lo g_{a} x$ 恆成立。
(E) $y = lo g_{a} x$ 的圖形恆在 $y$ 軸右方

載入中...

三、填充題（完全正確才給分，依照下列配分，共 78 分）

設指數函數

y = a^{x} (a > 0)

的圖形通過點

A (- 4, \frac{1}{4})

，則

a =

____

方程式

3^{x} = - x + 2

有 ____ 個實根

若

lo g_{x - 8} (- x^{2} + 17 x - 70)

有意義，則實數

x

的範圍為 ____

化簡

lo g 63 - 2 lo g 6 + 5 lo g 2 - lo g \frac{14}{25}

之值為 ____

化簡

(lo g_{2} 3 + lo g_{4} 9) (lo g_{3} 4 + lo g_{9} 2)

的值為 ____

已知

f (x) = lo g_{a} (2 x - b)

的圖形通過三點

P (3, 1)

，

Q (13, 2)

，

R (313, c)

求

c =

____

如圖是

y = lo g_{2} x

的圖形，已知

P (0, lo g_{2} 3)

，

Q (0, lo g_{2} 12)

，

M

是

\overline{P Q}

的中點，過

P

、

M

、

Q

點分別作

x

軸的平行線交

y = lo g_{2} x

的圖形於

A

、

N

、

B

點，試求

N

點的

x

坐標為 ____

載入中...

小蝦做了實驗發現：將魚從冷凍庫取出，放在

25

℃的室溫下解凍，放置

x

小時後魚的溫度為

f (x) = 25 - 32 \cdot a^{x}

（℃），其中

a

是常數。根據小蝦的發現，小蝦媽媽的魚，在解凍

1

小時後的溫度為

9

℃。請問：解凍

4

小時後，魚的溫度為攝氏 ____ 度

不等式

lo g_{3} x < 3

求

x

的範圍為 ____

a = lo g 3

，

b = lo g 5

請以

a

、

b

表示出

lo g_{30} 500 =

____

用科學記號

a \times 1 0^{m}

表示

(\frac{1}{16})^{200}

的近似值，則

m =

____

(lo g 2 \approx 0.3010)

滿足

lo g_{2} (2 x - 1) = lo g_{4} (x^{2} - x + 7)

的解為 ____

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)

第 2 題(D)

第 3 題(A)(B)(D)

第 4 題(B)(E)

第 5 題

2

第 6 題

1

第 7 題

8 < x < 10

且

x \neq = 9

第 8 題

2

第 9 題

5

第 10 題

4

第 11 題

6

第 12 題

23

第 13 題

0 < x < 27

第 14 題

\frac{2 + b}{1 + a}

第 15 題

- 241

第 16 題

2

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊

04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1、2 題）：由圖形判斷底數、常用對數比大小

第 1 題

① 圖中 $y = a^{x}$ 由左往右下降，所以 $0 < a < 1$ ，(D)(E) 不可能。

③ 三個候選值在 $x = - 1$ 的高度： $(\frac{1}{4})^{- 1} = 4$ 、 $(\frac{1}{2})^{- 1} = 2$ 、 $(\frac{2}{3})^{- 1} = \frac{3}{2}$ ，只有 $\frac{1}{4}$ 超過 $3$ （見圖）。

答案 (A)。

載入中...

也可以拿

y = 2^{x}

對照：

y = (\frac{1}{2})^{x}

的圖形和

y = 2^{x}

對稱於

y

軸，陡的程度一樣；圖中

y = a^{x}

比

y = 2^{x}

的鏡像更陡，所以

\frac{1}{a} > 2

。

第 2 題

① 把三個數都寫成常用對數： $a = 2 = lo g 100$ 。

② $b = 1 + lo g 35 = lo g 10 + lo g 35 = lo g 350$ 。

③ $c = lo g 305$ 。

④ $y = lo g x$ 是遞增函數，真數越大值越大： $350 > 305 > 100$ ，所以 $b > c > a$ （見圖）。

答案 (D)。

載入中...

近似值：

a = 2

、

b \approx 2.544

、

c \approx 2.484

。卷面 log 後面的 35、305 與 log 同字級、沒有下標，讀作常用對數；學校答案 (D) 也是這個讀法。

比較對數大小，先把每個數寫成同一個底數的對數，再比真數。

02多重選擇題（第 3、4 題）：對數律、指數與對數函數的圖形

第 3 題

(A) 正確。 任何合法底數的 $lo g 1$ 都是 $0$ ： $π^{0} = 1$ ，所以 $lo g_{π} 1 = 0$ 。

(B) 正確。 換底公式： $lo g_{2} 3 = \frac{lo g 3}{lo g 2}$ 。

(D) 正確。 $lo g_{3} 18 = lo g_{3} (9 \times 2) = lo g_{3} 9 + lo g_{3} 2 = 2 + lo g_{3} 2$ 。

(E) 錯誤。 $3^{- l o g_{3} 5} = (3^{l o g_{3} 5})^{- 1} = 5^{- 1} = \frac{1}{5}$ ，不是 $- 5$ ；而且 $3$ 的任何次方都大於 $0$ 。

答案 (A)(B)(D)。

第 4 題

① 先認曲線：通過 $(0, 1)$ 的 $C$ 是 $y = 2^{x}$ ； $A$ 、 $B$ 都通過 $(1, 0)$ ，是兩個對數函數。

(A) 錯誤。 曲線 $B$ 是 $y = lo g_{1.3} x$ 。

(B) 正確。 $y = a^{x}$ 與 $y = lo g_{a} x$ 互為反函數：點 $(p, q)$ 在 $y = a^{x}$ 上 $\Leftrightarrow$ $(q, p)$ 在 $y = lo g_{a} x$ 上，兩圖形對稱於直線 $y = x$ 。

這種交點在 $y = x$ 上，對 $y = x$ 對稱過去還是自己，所以也在 $y = 1. 3^{x}$ 上，兩圖形確實相交。

用數字確認： $1. 3^{x} = x$ 在 $x = 1$ 時 $1.3 > 1$ 、在 $x = 2$ 時 $1.69 < 2$ ，所以 $1$ 與 $2$ 之間有一個交點（見圖）。

(D) 錯誤。 仍用 $a = 1.3$ 、 $x = 2$ ： $1. 3^{2} = 1.69$ ，而 $lo g_{1.3} 2 \approx 2.64$ ， $a^{x} < lo g_{a} x$ 。

(E) 正確。 $lo g_{a} x$ 的真數 $x$ 必須大於 $0$ ，圖形上每一點的 $x$ 坐標都是正的，恆在 $y$ 軸右方。

答案 (B)(E)。

載入中...

a

夠接近

1

時（

a = 1.3

就是），

y = a^{x}

與

y = lo g_{a} x

會在

y = x

上相交兩次，兩個交點之間

lo g_{a} x > x > a^{x}

。

a = 2

時兩圖形就沒有交點，所以 (C)(D) 不是「恆成立」。

a > 1

時，

y = lo g_{a} x

的底數越接近

1

，圖形在

x > 1

這一段越陡；

y = a^{x}

與

y = lo g_{a} x

的交點一定落在

y = x

上。

03填充 1～4（第 5～8 題）：指數函數過定點、交點個數、對數有意義、對數律

第 5 題

① 點 $A (- 4, \frac{1}{4})$ 在圖形上： $a^{- 4} = \frac{1}{4}$ 。

② 兩邊取倒數： $a^{4} = 4$ 。

③ $a > 0$ ，所以 $a = 4^{\frac{1}{4}} = (2^{2})^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{2}} = 2$ 。

答案 $a = 2$ 。

載入中...

第 6 題

① 實根個數就是 $y = 3^{x}$ 與 $y = - x + 2$ 兩圖形的交點個數。

② $y = 3^{x}$ 由左往右一路上升， $y = - x + 2$ 一路下降，兩者最多相交一次。

③ $x = 0$ 時 $3^{0} = 1 < 2$ ； $x = 1$ 時 $3^{1} = 3 > 1$ 。左邊指數在直線下方、右邊在上方，中間一定相交一次（見圖）。

答案 1 個實根。

載入中...

第 7 題

① 底數條件： $x - 8 > 0$ 且 $x - 8 \neq = 1$ ，即 $x > 8$ 且 $x \neq = 9$ 。

② 真數條件： $- x^{2} + 17 x - 70 > 0$ ，同乘 $- 1$ 得 $x^{2} - 17 x + 70 < 0$ 。

③ 因式分解： $(x - 7) (x - 10) < 0$ ，所以 $7 < x < 10$ 。

④ 兩個條件取交集（見圖）： $8 < x < 10$ 且 $x \neq = 9$ 。

答案 $8 < x < 10$ 且 $x \neq = 9$ 。

載入中...

底數除了大於

0

，還不能等於

1

；這題的

x \neq = 9

就是從這裡來的。

第 8 題

① 用對數律把係數搬進真數： $2 lo g 6 = lo g 36$ ， $5 lo g 2 = lo g 32$ 。

② 合併成一個對數： $lo g 63 - lo g 36 + lo g 32 - lo g \frac{14}{25} = lo g \frac{63 \times 32 \times 25}{36 \times 14}$

③ 約分： $\frac{63}{36 \times 14} = \frac{1}{8}$ ，所以真數 $= \frac{32 \times 25}{8} = 100$ 。

④ $lo g 100 = 2$ 。

答案 2。

04填充 5～7（第 9～11 題）：換底公式、由函數值求參數、圖形上的中點

第 9 題

① 把底數化成同一個數： $lo g_{4} 9 = lo g_{2^{2}} 3^{2} = lo g_{2} 3$ ，所以第一個括號 $= 2 lo g_{2} 3$ 。

② $lo g_{3} 4 = 2 lo g_{3} 2$ ， $lo g_{9} 2 = lo g_{3^{2}} 2 = \frac{1}{2} lo g_{3} 2$ ，所以第二個括號 $= \frac{5}{2} lo g_{3} 2$ 。

③ 相乘： $2 lo g_{2} 3 \times \frac{5}{2} lo g_{3} 2 = 5 (lo g_{2} 3 \times lo g_{3} 2) = 5 \times 1 = 5$ 。

答案 5。

lo g_{2} 3 \times lo g_{3} 2 = \frac{lo g 3}{lo g 2} \times \frac{lo g 2}{lo g 3} = 1

。

第 10 題

① 過 $P (3, 1)$ ： $lo g_{a} (6 - b) = 1$ ，所以 $6 - b = a$ 。

② 過 $Q (13, 2)$ ： $lo g_{a} (26 - b) = 2$ ，所以 $26 - b = a^{2}$ 。

③ 由 ① 得 $b = 6 - a$ ，代入 ②： $26 - (6 - a) = a^{2}$ ， $a^{2} - a - 20 = 0$ ， $(a - 5) (a + 4) = 0$ 。

④ 底數 $a > 0$ ，所以 $a = 5$ ， $b = 1$ ， $f (x) = lo g_{5} (2 x - 1)$ （見圖）。

⑤ 過 $R (313, c)$ ： $c = lo g_{5} (626 - 1) = lo g_{5} 625 = lo g_{5} 5^{4} = 4$ 。

答案 $c = 4$ 。

載入中...

第 11 題

① $M$ 是 $\overline{P Q}$ 的中點，所以 $M$ 的 $y$ 坐標是 $\frac{lo g _{2} 3 + lo g _{2} 12}{2} = \frac{lo g _{2} 36}{2} = lo g_{2} 36 = lo g_{2} 6$

② 過 $M$ 作 $x$ 軸的平行線，交點 $N$ 的 $y$ 坐標也是 $lo g_{2} 6$ 。

③ $N$ 在 $y = lo g_{2} x$ 上： $lo g_{2} x = lo g_{2} 6$ ，所以 $x = 6$ （見圖）。

答案 6。

載入中...

同理

A

、

B

的

x

坐標是

3

、

12

；

6

是

3

與

12

的等比中項

3 \times 12

，不是算術平均

7.5

。

對數圖形上，縱坐標取算術平均，橫坐標就取等比中項。

05填充 8～10（第 12～14 題）：指數模型、對數不等式、以 a、b 表示對數

第 12 題

① 解凍 $1$ 小時後是 $9$ ℃： $f (1) = 25 - 32 a = 9$ ，所以 $32 a = 16$ ， $a = \frac{1}{2}$ 。

② 模型是 $f (x) = 25 - 32 (\frac{1}{2})^{x}$ 。

③ 解凍 $4$ 小時： $f (4) = 25 - 32 \times \frac{1}{16} = 25 - 2 = 23$ （見圖）。

答案 23 度。

載入中...

剛取出時

f (0) = 25 - 32 = - 7

℃；每過一小時，魚和室溫的溫差減半：

32 \to 16 \to 8 \to 4 \to 2

。

第 13 題

① 真數條件： $x > 0$ 。

② $3 = lo g_{3} 27$ ，不等式化成 $lo g_{3} x < lo g_{3} 27$ 。

③ 底數 $3 > 1$ ， $y = lo g_{3} x$ 遞增，所以 $x < 27$ 。

④ 合併： $0 < x < 27$ （見圖）。

答案 $0 < x < 27$ 。

載入中...

x \leq 0

時

lo g_{3} x

沒有意義，所以下界是

0

，不能寫成

x < 27

。

第 14 題

① 換底成常用對數： $lo g_{30} 500 = \frac{lo g 500}{lo g 30}$ 。

② 分子： $lo g 500 = lo g (5 \times 100) = lo g 5 + 2 = b + 2$ 。

③ 分母： $lo g 30 = lo g (3 \times 10) = lo g 3 + 1 = a + 1$ 。

答案 $lo g_{30} 500 = \frac{2 + b}{1 + a}$ 。

06填充 11、12（第 15、16 題）：科學記號、對數方程式

第 15 題

① $(\frac{1}{16})^{200} = 2^{- 800}$ ，取常用對數： $lo g 2^{- 800} = - 800 lo g 2 \approx - 800 \times 0.3010 = - 240.8$ 。

② 科學記號 $a \times 1 0^{m}$ （ $1 \leq a < 10$ ）取對數是 $m + lo g a$ ，其中 $0 \leq lo g a < 1$ 。

③ 把 $- 240.8$ 寫成「整數＋ $0$ 到 $1$ 之間的小數」： $- 240.8 = - 241 + 0.2$ 。

④ 所以 $m = - 241$ （ $a = 1 0^{0.2}$ ）。

答案 $m = - 241$ 。

負數的首數要往下取整數：

- 240.8

的整數部分是

- 241

，不是

- 240

。

第 16 題

① 真數條件： $2 x - 1 > 0$ 即 $x > \frac{1}{2}$ ； $x^{2} - x + 7 = (x - \frac{1}{2})^{2} + \frac{27}{4} > 0$ 恆成立。

② 右邊換成以 $2$ 為底： $lo g_{4} (x^{2} - x + 7) = \frac{1}{2} lo g_{2} (x^{2} - x + 7)$ 。

③ 兩邊乘 $2$ ： $2 lo g_{2} (2 x - 1) = lo g_{2} (x^{2} - x + 7)$ ，即 $lo g_{2} (2 x - 1)^{2} = lo g_{2} (x^{2} - x + 7)$ 。

④ 真數相等： $(2 x - 1)^{2} = x^{2} - x + 7$ ， $4 x^{2} - 4 x + 1 = x^{2} - x + 7$ ， $3 x^{2} - 3 x - 6 = 0$ ， $x^{2} - x - 2 = 0$ ， $(x - 2) (x + 1) = 0$ 。

⑤ $x = 2$ 或 $x = - 1$ ； $x = - 1$ 時 $2 x - 1 = - 3 < 0$ ，捨去。

看圖：藍線是左式 $y = lo g_{2} (2 x - 1)$ 、黑線是右式 $y = lo g_{4} (x^{2} - x + 7)$ ：兩線只在 $x = 2$ 相交， $x = - 1$ 處只有黑線。

答案 $x = 2$ 。

載入中...

代回檢查：

lo g_{2} 3 = lo g_{4} (4 - 2 + 7) = lo g_{4} 9 = lo g_{2} 3

，成立。

解對數方程式先寫真數條件，最後一定要回頭檢查每個根。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

高師大附中 110 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 16 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

高師大附中 110 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自高師大附中 110 學年度上學期高二第二次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

高師大附中 110 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

原卷 16 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01單選題（第 1、2 題）：由圖形判斷底數、常用對數比大小

02多重選擇題（第 3、4 題）：對數律、指數與對數函數的圖形

03填充 1～4（第 5～8 題）：指數函數過定點、交點個數、對數有意義、對數律

04填充 5～7（第 9～11 題）：換底公式、由函數值求參數、圖形上的中點

05填充 8～10（第 12～14 題）：指數模型、對數不等式、以 a、b 表示對數

06填充 11、12（第 15、16 題）：科學記號、對數方程式

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

高師大附中 110 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

高師大附中 110 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

高師大附中 110 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

原卷 16 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01單選題（第 1、2 題）：由圖形判斷底數、常用對數比大小

02多重選擇題（第 3、4 題）：對數律、指數與對數函數的圖形

03填充 1～4（第 5～8 題）：指數函數過定點、交點個數、對數有意義、對數律

04填充 5～7（第 9～11 題）：換底公式、由函數值求參數、圖形上的中點

05填充 8～10（第 12～14 題）：指數模型、對數不等式、以 a、b 表示對數

06填充 11、12（第 15、16 題）：科學記號、對數方程式

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

高師大附中 110 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

高師大附中 110 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

高師大附中 110 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

高師大附中 110 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

高師大附中 110 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

高師大附中 110 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

高師大附中 110 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

高師大附中 110 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？