高師大附中 112 上
高一第二次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (3)(5)。

(1) 錯誤。 直線 $y=2x$ 通過原點，$x$ 截距與 $y$ 截距都是 $0$，兩者相等，但斜率是 $2$。

(2) 錯誤。 直線 $x=0$ 與 $y=0$ 互相垂直，但 $x=0$ 是鉛直線，沒有斜率，不能說斜率相乘為 $-1$。

(3) 正確。 代入：$2\times 1-3\times (-\sqrt{2})=2+3\sqrt{2}$。因為 $\sqrt{2}>\frac{4}{3}$，$3\sqrt{2}>4$，所以 $2+3\sqrt{2}>6$，$A$ 在這個半平面上。

(4) 錯誤。 點 $(x,y)$ 對直線 $y=x$ 的對稱點是 $(y,x)$，所以 $A$ 的對稱點是 $(-\sqrt{2},1)$，不是 $(\sqrt{2},-1)$。

(5) 正確。 $(\sqrt{2}{)}^2+(-1{)}^2=3<4$，$B$ 在圓內。

答案 (1)(2)。

(1) 正確。 所求是 $\overline{AB}$ 的中垂線。$AB$ 的斜率 $\frac{-6-1}{-2-3}=\frac{7}{5}$，中垂線的斜率是 $-\frac{5}{7}$。

(2) 正確。 由三角不等式 $\overline{PA}+\overline{PB}\ge \overline{AB}$，等號在 $P$ 落在線段 $\overline{AB}$ 上時成立，所以這些 $P$ 形成線段 $\overline{AB}$。直線 $AB$：$y-1=\frac{7}{5}(x-3)$，$x=0$ 時 $y=-\frac{16}{5}<0$；線段上 $x<0$ 的部分 $y$ 更小，都是負的，所以線段不會進入第二象限（$x<0$、$y>0$）。

(3) 錯誤。 設 $P(x,y)$：$(x-3{)}^2+(y-1{)}^2+(x+2{)}^2+(y+6{)}^2=1$，整理得 $2x^2+2y^2-2x+10y+50=1$，即 $x^2+y^2-x+5y+\frac{49}{2}=0$。配方：${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(y+\frac{5}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}+\frac{25}{4}-\frac{49}{2}=-18<0$，沒有任何點滿足，不是圓。

(4) 錯誤。 $A(3,1)$ 在 $x$ 軸上方、$B(-2,-6)$ 在下方。取 $B$ 對 $x$ 軸的對稱點 $B^{\prime }(-2,6)$，$x$ 軸上的點 $P$ 都有 $\overline{PB}=\overline{P{B}^{\prime }}$，所以 $\left|\overline{PA}-\overline{PB}\right|=\left|\overline{PA}-\overline{P{B}^{\prime }}\right|\le \overline{A{B}^{\prime }}$，等號在 $P$、$A$、$B^{\prime }$ 共線且 $P$ 不在 $A$、$B^{\prime }$ 之間時成立。直線 $A{B}^{\prime }$ 的斜率 $\frac{6-1}{-2-3}=-1$，方程式 $y=-x+4$，與 $x$ 軸交於 $(4,0)$，在線段 $A{B}^{\prime }$ 之外（線段上 $-2\le x\le 3$）。所以最大值發生在 $t=4>0$，不是 $t<0$。

(5) 錯誤。 $m_1{m}_2=-1$ 表示 $\overline{PA}\perp \overline{PB}$，$P$ 在以 $\overline{AB}$ 為直徑的圓 ${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(y+\frac{5}{2}\right)}^2=\frac{74}{4}$ 上。但 $P$ 要和 $A$、$B$ 都有斜率，所以 $P$ 不能是 $A$、$B$，也不能使 $PA$ 或 $PB$ 成為鉛直線：圓上 $x=3$ 的點有 $A$ 與 $(3,-6)$，$x=-2$ 的點有 $B$ 與 $(-2,1)$。圓要扣掉這四個點，不是完整的圓。

答案 (1)(5)。

(1) 正確。 $(0,0)$ 到 $(1,2)$ 的斜率 $2$，到 $(-2,-1)$ 的斜率 $\frac{1}{2}$，三點不共線，不共線的三點恰決定一個圓。

(2) 錯誤。 過 $(0,0)$、$(4,0)$、$(0,3)$ 的圓，圓心在 $x=2$ 與 $y=\frac{3}{2}$ 上，是 $\left(2,\frac{3}{2}\right)$，半徑 $\frac{5}{2}$。$(3,3)$ 到圓心的距離平方 $1+\frac{9}{4}=\frac{13}{4}\ne \frac{25}{4}$，不在圓上，所以沒有圓通過這四點。

(3) 錯誤。 圓心 $(0,k)$ 到兩點的距離都是 $\sqrt{1+k^2}$，$k$ 取任何值都可以，有無限多個圓。

(4) 錯誤。 三直線兩兩交於 $(1,-1)$、$(1,1)$、$(3,-1)$，圍成一個三角形。與三邊所在直線都相切的圓有內切圓和三個旁切圓，共 $4$ 個，不唯一。

(5) 正確。 設 $P(x,y)$：$x^2+y^2=4\left[(x-2{)}^2+y^2\right]$，整理得 $3x^2+3y^2-16x+16=0$，即 ${\left(x-\frac{8}{3}\right)}^2+y^2=\frac{16}{9}$，是唯一的一個圓。

答案 (2)(4)。

三條直線的截距：$L_1$ 的 $x$ 截距 $\frac{1}{a}$、$y$ 截距 $\frac{1}{b}$；$L_2$ 的 $x$ 截距 $\frac{1}{b}$、$y$ 截距 $\frac{1}{a}$；$L_3$ 的 $x$ 截距 $\frac{1}{a}$、$y$ 截距 $-\frac{1}{b}$。

圖上有兩條線交在 $x$ 軸正向的同一點，只有 $L_1$、$L_3$ 的 $x$ 截距相同，所以那一點是 $\left(\frac{1}{a},0\right)$，$\frac{1}{a}>0$。剩下那條很陡、交 $x$ 軸負向與 $y$ 軸正向的線是 $L_2$，它的 $x$ 截距 $\frac{1}{b}<0$。

(1) 錯誤。 圖上 $L_2$ 的 $x$ 截距 $\frac{1}{b}$ 離原點比 $\frac{1}{a}$ 近，即 $\left|\frac{1}{b}\right|<\frac{1}{a}$，所以 $|b|>a$。又 $b<0$，得 $a+b<0$。

(2) 正確。 $\frac{1}{a}>0$，所以 $a>0$。

(3) 錯誤。 $\frac{1}{b}<0$，所以 $b<0$。

(4) 正確。 把 $L_1$ 的 $x$、$y$ 對調得 $ay+bx=1$，就是 $L_2$，所以兩線對稱於 $y=x$，即 $x-y=0$。

(5) 錯誤。 $L_1$ 的斜率 $-\frac{a}{b}=\frac{a}{|b|}$，$L_2$ 的斜率 $-\frac{b}{a}=\frac{|b|}{a}$。因為 $|b|>a>0$，$\frac{a}{|b|}<1<\frac{|b|}{a}$，$L_1$ 的斜率較小。（圖上 $L_2$ 也比 $L_1$ 陡。）

以菩提樹為原點、東為 $x$ 軸正向、北為 $y$ 軸正向。三顆彩蛋在 $(12,0)$、$(4,a)$、$(a,-8)$。

三點共線，從 $(12,0)$ 到另兩點的斜率相等：

$$\frac{a-0}{4-12}=\frac{-8-0}{a-12}$$

交叉相乘：$a(a-12)=64$，$a^2-12a-64=0$，$(a-16)(a+4)=0$。因為 $a>0$，$a=16$。

颱風路線是通過 $(5,5)$、$(1,11)$ 的直線，斜率 $\frac{11-5}{1-5}=-\frac{3}{2}$：$y-5=-\frac{3}{2}(x-5)$，即 $3x+2y-25=0$。

颱風離高雄市市中心 $(0,0)$ 最近的距離，就是原點到這條直線的距離：

$$\frac{|0+0-25|}{\sqrt{9+4}}=\frac{25}{\sqrt{13}}=\frac{25\sqrt{13}}{13}$$

垂心在每一條高上：$\overline{AH}\perp \overline{BC}$、$\overline{BH}\perp \overline{AC}$。

$\overline{AH}$ 的斜率 $\frac{-2+1}{3-2}=-1$，所以 $BC$ 的斜率 $1$，$BC$：$y+3=x-6$，即 $x-y=9$。

$\overline{BH}$ 的斜率 $\frac{-2+3}{3-6}=-\frac{1}{3}$，所以 $AC$ 的斜率 $3$，$AC$：$y+1=3(x-2)$，即 $y=3x-7$。

代入：$x-(3x-7)=9$，$x=-1$，$y=-10$，$C(-1,-10)$。

$(x-1{)}^2+(y+2{)}^2$ 是 $P$ 到 $Q(1,-2)$ 的距離的平方。圓心 $(4,2)$、半徑 $2$，$Q$ 到圓心的距離 $\sqrt{9+16}=5>2$，$Q$ 在圓外。

圓上的點到 $Q$ 的最短距離是 $5-2=3$（在圓心與 $Q$ 的連線上），所以最小值是 $3^2=9$。

先求三個頂點：$L_1$、$L_2$ 交於 $(1,2)$；$L_1$、$L_3$ 交於 $\left(\frac{37}{17},\frac{124}{17}\right)$；$L_2$、$L_3$ 交於 $\left(\frac{29}{5},\frac{46}{15}\right)$。

內心到三邊的距離相等，而且在三角形內部，所以它和每條邊對面的頂點在那條邊的同一側。三條直線式的係數平方和都是 $81+4=4+81=49+36=85$，所以「距離相等」就是三個式子的絕對值相等，只要決定正負號：

把對面的頂點代入：$L_1$ 代 $\left(\frac{29}{5},\frac{46}{15}\right)$ 得正；$L_2$ 代 $\left(\frac{37}{17},\frac{124}{17}\right)$ 得負；$L_3$ 代 $(1,2)$ 得 $7+12-59<0$，負。

所以內心滿足 $9x-2y-5=-(2x-9y+16)=-(7x+6y-59)$。

第一個等號：$11x-11y+11=0$，即 $y=x+1$。第二個等號：$2x-9y+16=7x+6y-59$，即 $x+3y=15$。代入得 $4x+3=15$，$x=3$，$y=4$。內心 $(3,4)$。

兩直線 $3x-2y+1=0$ 與 $3x-2y-5=0$ 平行。圓與兩條都相切，圓心到兩線距離相等，所以圓心在兩線正中間的直線 $3x-2y-2=0$ 上（常數取 $\frac{1+(-5)}{2}=-2$）。

圓心又在 $x^2+y^2=1$ 上。由 $y=\frac{3x-2}{2}$ 代入：$x^2+\frac{(3x-2{)}^2}{4}=1$，$4x^2+9x^2-12x+4=4$，$13x^2-12x=0$，$x=0$ 或 $x=\frac{12}{13}$。

$x=0$ 時 $y=-1$；$x=\frac{12}{13}$ 時 $y=\frac{1}{2}\left(\frac{36}{13}-2\right)=\frac{5}{13}$。圓心為 $\left(\frac{12}{13},\frac{5}{13}\right)$ 或 $(0,-1)$。

除以 $2$ 再配方：$x^2+y^2+2x-4y-\frac{3}{2}=0$，$(x+1{)}^2+(y-2{)}^2=\frac{13}{2}$，圓心 $Q(-1,2)$、半徑 $r=\sqrt{\frac{13}{2}}$。

設兩條互相垂直的切線切圓於 $T_1$、$T_2$，交於 $P$。四邊形 $Q{T}_{1}P{T}_2$ 中，$\angle Q{T}_{1}P=\angle Q{T}_{2}P=\angle T_{1}P{T}_2=90^{\circ }$，所以四個角都是直角，而且 $\overline{Q{T}_1}=\overline{Q{T}_2}=r$，它是正方形，$\overline{QP}=\sqrt{2}r$。

所以 ${\overline{QP}}^2=2r^2=13$，$P$ 在圓 $(x+1{)}^2+(y-2{)}^2=13$ 上。反過來，這個圓上任一點到圓心的距離都是 $\sqrt{2}r$，從它引出的兩條切線也會圍成同樣的正方形而互相垂直。所求圖形為 $(x+1{)}^2+(y-2{)}^2=13$。

$C_1$ 配方：$(x+1{)}^2+(y-4{)}^2=9$，圓心 $(-1,4)$、半徑 $3$，面積 $9\pi$。

$C_2$ 和 $C_1$ 同心，平分 $C_1$ 的面積，所以 $C_2$ 的面積是 $\frac{9}{2}\pi$，半徑平方 $\frac{9}{2}$：

$$(x+1{)}^2+(y-4{)}^2=\frac{9}{2}$$

展開：$x^2+y^2+2x-8y+1+16-\frac{9}{2}=0$，所以 $f=17-\frac{9}{2}=\frac{25}{2}$。

圓心 $O(4,-1)$、半徑 $5$。$P(9,9)$ 到圓心的距離 $\sqrt{25+100}=5\sqrt{5}>5$，在圓外。

先看鉛直線 $x=9$：圓心到它的距離 $|9-4|=5$，等於半徑，是一條切線，它沒有斜率。

再設斜率為 $k$ 的切線 $kx-y+9-9k=0$：$\frac{|4k+1+9-9k|}{\sqrt{k^2+1}}=5$，$|10-5k|=5\sqrt{k^2+1}$，$(2-k{)}^2=k^2+1$，$k=\frac{3}{4}$。

過圓外一點恰有兩條切線，斜率為正的 $L$ 是 $y-9=\frac{3}{4}(x-9)$，另一條 $M$ 就是 $x=9$。

切線垂直於過切點的半徑，所以 $△OAP$、$△OBP$ 都是直角三角形，而且全等。

切線段長 $\overline{PA}=\overline{PB}=\sqrt{{\overline{OP}}^2-r^2}=\sqrt{125-25}=10$。

四邊形 $OAPB$ 的面積 $=2\times \frac{1}{2}\times \overline{OA}\times \overline{PA}=5\times 10=50$。

平行四邊形的兩條對角線互相平分，$\overline{AC}$ 與 $\overline{BD}$ 的中點相同，所以 $A+C=B+D$（坐標相加）。

設 $B(x,y)$，則 $D=(3+2-x,-1-3-y)=(5-x,-4-y)$。$D$ 在 $3x-y+1=0$ 上：

$$3(5-x)-(-4-y)+1=0$$

$15-3x+4+y+1=0$，即 $3x-y-20=0$。

設 $L$ 交 $y$ 軸於 $(0,k)$（$k\ne 0$），三角形面積 $\frac{1}{2}\times 3\times |k|=9$，$|k|=6$。

$k=6$：$L$ 過 $(3,0)$、$(0,6)$，斜率 $\frac{6-0}{0-3}=-2$，$y=-2(x-3)$，即 $2x+y=6$。

$k=-6$：斜率 $\frac{-6-0}{0-3}=2$，$y=2(x-3)$，即 $2x-y=6$。

圓心 $Q(2,3)$。切點 $T\left(-1,\frac{c}{4}\right)$，半徑 $\overline{QT}$ 垂直於切線。切線 $2x+y+\frac{a}{4}=0$ 的斜率 $-2$，所以 $\overline{QT}$ 的斜率 $\frac{1}{2}$：

$$\frac{\frac{c}{4}-3}{-1-2}=\frac{1}{2}$$

得 $\frac{c}{4}-3=-\frac{3}{2}$，$\frac{c}{4}=\frac{3}{2}$，$c=6$，切點 $T\left(-1,\frac{3}{2}\right)$。

$T$ 在切線上：$-2+\frac{3}{2}+\frac{a}{4}=0$，$a=2$。

$T$ 在圓上：$1+\frac{9}{4}+4-9+\frac{b}{4}=0$，$\frac{b}{4}=\frac{7}{4}$，$b=7$。所以 $(a,b,c)=(2,7,6)$。

圓心 $Q_0(1,2)$、半徑 $1$。$A(5,1)$ 與圓都在 $x$ 軸上方，把 $A$ 對 $x$ 軸作對稱點 $A^{\prime }(5,-1)$，$x$ 軸上的 $P$ 都有 $\overline{AP}=\overline{A^{\prime }P}$。

$$\overline{AP}+\overline{PQ}=\overline{A^{\prime }P}+\overline{PQ}\ge \overline{A^{\prime }Q}\ge \overline{A^{\prime }{Q}_0}-1$$

$\overline{A^{\prime }{Q}_0}=\sqrt{16+9}=5$，最小值 $4$，在 $A^{\prime }$、$P$、$Q$、$Q_0$ 依序共線時成立。$Q$ 是從圓心 $Q_0$ 往 $A^{\prime }$ 方向走一個半徑的點：方向 $(4,-3)$，長度 $5$，

$$Q=\left(1+\frac{4}{5},2-\frac{3}{5}\right)=\left(\frac{9}{5},\frac{7}{5}\right)$$

上半圓的兩端是 $D(0,2)$、$E(2,2)$。過 $A(5,1)$ 斜率 $m$ 的直線 $y-1=m(x-5)$。

過端點的兩條線： 過 $E$ 的斜率 $\frac{2-1}{2-5}=-\frac{1}{3}$；過 $D$ 的斜率 $\frac{2-1}{0-5}=-\frac{1}{5}$。

當 $-\frac{1}{3}<m\le -\frac{1}{5}$ 時：直線和 $y=2$ 交在 $x=5+\frac{1}{m}$，這時 $0\le 5+\frac{1}{m}<2$，交點落在直徑 $\overline{DE}$ 上（$m=-\frac{1}{5}$ 時恰在 $D$）。此時直線與 $y=2$ 的交點在圓內（或恰為 $D$），直線與圓交兩點，一點在 $y>2$、另一點在 $y<2$（$m=-\frac{1}{5}$ 時另一點在 $D$ 右側、$y<2$），所以和上半圓恰交於一點。

當 $m=-\frac{1}{3}$ 時：直線過 $E$，又交上半圓於 $\left(\frac{1}{5},\frac{13}{5}\right)$，有兩個交點，不合。

當 $m<-\frac{1}{3}$ 時：直線和 $y=2$ 交在 $x=5+\frac{1}{m}>2$，所以在 $0\le x\le 2$ 這一段直線都在 $y=2$ 的上方，它和整個圓的交點都在上半圓上，交點個數由圓心 $(1,2)$ 到直線 $mx-y+1-5m=0$ 的距離決定：$\frac{|-4m-1|}{\sqrt{m^2+1}}=1$ 時相切，$16m^2+8m+1=m^2+1$，$15m^2+8m=0$，在這一段只有 $m=-\frac{8}{15}$，切點 $\left(\frac{25}{17},\frac{49}{17}\right)$，恰一個交點。$-\frac{8}{15}<m<-\frac{1}{3}$ 時距離小於 $1$，交兩點；$m<-\frac{8}{15}$ 時距離大於 $1$，不相交。

當 $m>-\frac{1}{5}$ 時：在 $0\le x\le 2$ 這一段直線都在 $y=2$ 的下方，碰不到上半圓。

所以 $-\frac{1}{3}<m\le -\frac{1}{5}$ 或 $m=-\frac{8}{15}$。