高師大附中 113 上
高一第二次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (A)(B)(D)(E)。

(A) 正確。 兩直線的斜率 $-\frac{3}{11}$ 與 $\frac{37}{53}$ 不同，兩直線恰交於一點，有一組解。

(B) 正確。 兩條邊界線 $17x+7y=19$ 與 $59x-23y=31$ 的斜率 $-\frac{17}{7}$ 與 $\frac{59}{23}$ 不同，不平行；兩個半平面的邊界相交，交點同時滿足兩式（等號），所以一定有解。

(C) 錯誤。 第一式乘以 $3$ 得 $15x+27y\ge 36$，和 $15x+27y\le 4$ 矛盾，沒有解。

(D) 正確。 圓心 $(2,-4)$、半徑 $\sqrt{12}$。圓心到直線 $3x-5y-7=0$ 的距離 $\frac{|6+20-7|}{\sqrt{9+25}}=\frac{19}{\sqrt{34}}$。比較平方：$\frac{361}{34}\approx 10.6<12$，距離小於半徑，直線與圓交於兩點，有解。

(E) 正確。 兩式相減得 $-3x+11y+15=0$，兩圓的交點一定在這條直線上，所以只要看這條直線和第二個圓有沒有交點。第二個圓配方：$x^2+{\left(y+\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{21}{4}$，圓心 $\left(0,-\frac{1}{2}\right)$、半徑 $\frac{\sqrt{21}}{2}$。圓心到直線的距離 $\frac{|-\frac{11}{2}+15|}{\sqrt{9+121}}=\frac{19}{2\sqrt{130}}$，平方是 $\frac{361}{520}<1<\frac{21}{4}$，直線與圓相交，原聯立方程式有解。

答案 (A)(B)(E)。

三條邊界線：一條斜率為正、交 $x$ 軸負向與 $y$ 軸正向（記為 $L_1$）；一條斜率為負且很陡、交兩軸正向（記為 $L_2$）；一條斜率為負且較平緩、交兩軸正向（記為 $L_3$，$y$ 截距在 $1$ 的上方一點）。三角形在 $L_1$ 的右下方、$L_2$ 的左方、$L_3$ 的上方。

先配對：$x+ey+f\le 0$ 的 $x$ 係數為正，表示「左側」，只有在 $L_2$ 左方符合，所以它的邊界是 $L_2$。$cx+y+d\ge 0$ 的 $y$ 係數為正，表示「上方」，$L_1$ 那邊三角形在下方，所以它的邊界是 $L_3$。剩下 $x+ay+b\ge 0$ 的邊界是 $L_1$（表示右側，符合）。

(A) 正確。 $L_1:x+ay+b=0$ 的斜率 $-\frac{1}{a}>0$，所以 $a<0$。

(B) 正確。 $L_1$ 的 $x$ 截距 $-b<0$，所以 $b>0$。

(C) 錯誤。 $L_3:y=-cx-d$ 的斜率 $-c<0$，所以 $c>0$。

(D) 錯誤。 $L_3$ 的 $y$ 截距 $-d>0$，所以 $d<0$，不會大於 $1$。

(E) 正確。 $L_2:x+ey+f=0$ 的斜率 $-\frac{1}{e}<0$，所以 $e>0$；$x$ 截距 $-f>0$，所以 $f<0$。因此 $ef<0$。

答案 (C)(D)。配方：$(x-5{)}^2+(y-3{)}^2=25$，圓心 $P(5,3)$、半徑 $5$。

(A) 錯誤。 圓心是 $(5,3)$。

(B) 錯誤。 圓心到 $x$ 軸的距離 $3<5$，與 $x$ 軸相割；到 $y$ 軸的距離 $5$，等於半徑，與 $y$ 軸相切，不是相割。

(C) 正確。 $\overline{PA}=\sqrt{25+25}=5\sqrt{2}$，切線段長 $\sqrt{50-25}=5$。設兩切點為 $T_1$、$T_2$，四邊形 $P{T}_{1}A{T}_2$ 四邊都是 $5$，且 $\angle P{T}_{1}A=\angle P{T}_{2}A=90^{\circ }$，是正方形，所以 $\angle T_{1}A{T}_2=90^{\circ }$，兩切線互相垂直。實際上兩條切線就是 $x=10$ 與 $y=8$（圓心到它們的距離都是 $5$）。

(D) 正確。 $\frac{|5-6-4|}{\sqrt{1+4}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$。

(E) 錯誤。 與直線 $x-2y-4=0$ 距離為 $\sqrt{5}$ 的點滿足 $\frac{|x-2y-4|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$，即落在兩條平行線 $x-2y=9$ 與 $x-2y=-1$ 上。圓心到 $x-2y=-1$ 的距離為 $0$（通過圓心），交圓於 $2$ 點；到 $x-2y=9$ 的距離 $\frac{|5-6-9|}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}<5$，也交圓於 $2$ 點。共 $4$ 個點。

答案 (A)(B)(C)(E)（本題選錯誤的選項）。

先求 $C$：垂心在每一條高上，所以 $\overline{AH}\perp \overline{BC}$、$\overline{BH}\perp \overline{AC}$。$\overline{AH}$ 的斜率 $\frac{1-5}{1+1}=-2$，所以 $BC$ 的斜率 $\frac{1}{2}$，$BC$：$y-3=\frac{1}{2}(x-3)$，即 $x-2y+3=0$。$\overline{BH}$ 的斜率 $\frac{1-3}{1-3}=1$，所以 $AC$ 的斜率 $-1$，$AC$：$y-5=-(x+1)$，即 $x+y-4=0$。兩式聯立：$x=2y-3$ 代入得 $3y-7=0$，$y=\frac{7}{3}$，$x=\frac{5}{3}$，所以 $C\left(\frac{5}{3},\frac{7}{3}\right)$。

(A) 錯誤。 要以 $H$ 為圓心內切，$H$ 到三邊的距離必須相等。$H$ 到 $BC$ 的距離 $\frac{|1-2+3|}{\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$，到 $AC$ 的距離 $\frac{|1+1-4|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，不相等，這樣的圓不存在。

(B) 錯誤。 $\overline{HA}=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}$，$\overline{HB}=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$，不相等，不存在。

(C) 錯誤。 $\frac{5}{3}-2\times \frac{7}{3}=-3\ne 3$，$C$ 不在 $x-2y=3$ 上（$C$ 在 $x-2y=-3$ 上）。

(D) 正確。 從 $C$ 到 $AB$ 的高通過垂心 $H$，所以就是直線 $CH$。$2\times 1-1=1$、$2\times \frac{5}{3}-\frac{7}{3}=1$，$H$ 與 $C$ 都在 $2x-y=1$ 上，所以這條高落在 $2x-y=1$ 上。也可以檢查：$AB$ 的斜率 $\frac{3-5}{3+1}=-\frac{1}{2}$，與 $2x-y=1$ 的斜率 $2$ 相乘為 $-1$，互相垂直。

(E) 錯誤。 $C$ 是 $\left(\frac{5}{3},\frac{7}{3}\right)$，(E) 把兩個坐標對調了。

直線在第三象限與兩軸圍成三角形，$x$ 截距與 $y$ 截距都是負的。設截距為 $-p$、$-q$（$p,q>0$），直線 $\frac{x}{-p}+\frac{y}{-q}=1$。

通過 $(-2,-3)$：$\frac{2}{p}+\frac{3}{q}=1$；面積 $\frac{1}{2}pq=16$，$pq=32$。第一式乘以 $pq$：$2q+3p=32$，$q=\frac{32-3p}{2}$，代入 $pq=32$：

$$p(32-3p)=64,3p^2-32p+64=0,(p-8)(3p-8)=0$$

$p=8$ 時 $q=4$，直線 $\frac{x}{-8}+\frac{y}{-4}=1$，即 $x+2y+8=0$。

$p=\frac{8}{3}$ 時 $q=12$，直線 $-\frac{3x}{8}-\frac{y}{12}=1$，乘以 $-24$ 得 $9x+2y+24=0$。

兩條都通過 $(-2,-3)$、截距都是負的，所以兩個答案都要寫。

圓內接正三角形的中心就是圓心 $O$，$O$ 到邊 $BC$ 的距離是半徑的一半（正三角形的重心把中線分成 $2:1$）。$O$ 到 $x+y+2=0$ 的距離 $\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，所以半徑 $r=2\sqrt{2}$。

$A$ 在過 $O$ 且垂直 $BC$ 的直線 $y=x$ 上，並且和直線 $BC$ 在 $O$ 的兩側（$BC$ 在 $O$ 的左下方，$A$ 在右上方）。$y=x$ 上與 $O$ 距離 $2\sqrt{2}$ 且在右上方的點是 $A(2,2)$。

過 $A$ 的切線垂直於 $\overline{OA}$，$\overline{OA}$ 的斜率 $1$，切線斜率 $-1$：$y-2=-(x-2)$，即 $x+y-4=0$。

三個頂點：$y=0$ 與 $x+y-4=0$ 交於 $(4,0)$；$y=0$ 與 $3x-2y+3=0$ 交於 $(-1,0)$；$x+y-4=0$ 與 $3x-2y+3=0$ 聯立，$x=4-y$ 代入得 $12-5y+3=0$，$y=3$，交於 $(1,3)$。

外心在 $(-1,0)$、$(4,0)$ 的中垂線 $x=\frac{3}{2}$ 上，設外心 $\left(\frac{3}{2},k\right)$。到 $(-1,0)$ 與到 $(1,3)$ 的距離平方相等：

$${\left(\frac{5}{2}\right)}^2+k^2={\left(\frac{1}{2}\right)}^2+(k-3{)}^2$$

$\frac{25}{4}+k^2=\frac{1}{4}+k^2-6k+9$，$6k=3$，$k=\frac{1}{2}$。半徑平方 $\frac{25}{4}+\frac{1}{4}=\frac{13}{2}$。

外接圓 ${\left(x-\frac{3}{2}\right)}^2+{\left(y-\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{13}{2}$。

直線向右 $2$、向下 $3$：把 $x$ 換成 $x-2$、$y$ 換成 $y+3$，$L_2:2(x-2)+a(y+3)=5$，即 $2x+ay=9-3a$。

$L_1$、$L_2$ 平行，距離 $\frac{|(9-3a)-5|}{\sqrt{4+a^2}}=\frac{|4-3a|}{\sqrt{4+a^2}}=\sqrt{13}$。兩邊平方：$16-24a+9a^2=52+13a^2$，$4a^2+24a+36=0$，$(a+3{)}^2=0$，$a=-3$。

配方：$(x-1{)}^2+(y-4{)}^2=36$，圓心 $(1,4)$、半徑 $6$。所求是圓上的點 $P$ 到 $Q(3,1)$ 的距離。$Q$ 到圓心的距離 $\sqrt{4+9}=\sqrt{13}<6$，$Q$ 在圓內。

圓上的點到圓內一點 $Q$ 的距離，最小發生在從圓心經過 $Q$ 延伸到圓上的那一點，最小值 $6-\sqrt{13}$。

$P$ 在鉛直線 $x=3$ 上，找這條線和三角形相交的線段。$\overline{AB}$ 的 $x$ 從 $-3$ 到 $2$，碰不到 $x=3$。

$\overline{BC}$：斜率 $\frac{-6-4}{7-2}=-2$，$y=4-2(x-2)$，$x=3$ 時 $y=2$。

$\overline{AC}$：斜率 $\frac{-6+1}{7+3}=-\frac{1}{2}$，$y=-1-\frac{1}{2}(x+3)$，$x=3$ 時 $y=-4$。

所以 $P$ 在三角形內部（含邊界）時 $-4\le 1-m\le 2$，即 $-1\le m\le 5$。

$A(2,3)$ 到圓心 $Q(4,-1)$ 的距離 $\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}>3$，$A$ 在圓外，有兩條切線。

兩條切線對稱於直線 $AQ$（兩切線段等長、圓心到兩切線距離都是半徑），所以 $AQ$ 平分兩切線的一組夾角；兩直線相交的兩條角平分線互相垂直，另一條是過 $A$ 且垂直 $AQ$ 的直線。

$AQ$ 的斜率 $\frac{-1-3}{4-2}=-2$：$y-3=-2(x-2)$，即 $2x+y-7=0$。

垂直的那條斜率 $\frac{1}{2}$：$y-3=\frac{1}{2}(x-2)$，即 $x-2y+4=0$。

兩條都是 $L$、$M$ 的角平分線。

圓內的點滿足 $(a-2{)}^2+(b+1{)}^2<18$（不含圓上）。$b$ 是正整數，$(b+1{)}^2\ge 4$。

$b=1$：$(a-2{)}^2<14$，$a-2=-1,0,1,2,3$（$a\ge 1$），$a=1,2,3,4,5$，共 $5$ 個。

$b=2$：$(a-2{)}^2<9$，$a-2=-1,0,1,2$，$a=1,2,3,4$，共 $4$ 個。

$b=3$：$(a-2{)}^2<2$，$a=1,2,3$，共 $3$ 個。

$b\ge 4$：$(b+1{)}^2\ge 25>18$，沒有。

合計 $5+4+3=12$ 個。

配方：$(x-1{)}^2+(y+3{)}^2=45$，圓心 $(1,-3)$、半徑 $3\sqrt{5}$。斜率 $\frac{1}{2}$ 的直線寫成 $x-2y+k=0$。相切：$\frac{|1+6+k|}{\sqrt{5}}=3\sqrt{5}$，$|k+7|=15$，$k=8$ 或 $k=-22$。

兩條切線 $x-2y+8=0$、$x-2y-22=0$ 與 $x$ 軸（$y=0$）分別交於 $(-8,0)$、$(22,0)$，$\overline{AB}=30$。

$\frac{N-2}{M-1}$ 是點 $P$ 與 $Q(1,2)$ 連線的斜率（$M\ne 1$）。圓 $\Gamma$ 配方：$(x-4{)}^2+(y-3{)}^2=5$，圓心 $(4,3)$、半徑 $\sqrt{5}$。

過 $Q$ 斜率為 $k$ 的直線 $kx-y+2-k=0$，與圓有交點的條件是圓心到直線的距離不超過半徑：

$$\frac{|4k-3+2-k|}{\sqrt{k^2+1}}\le \sqrt{5}$$

平方：$9k^2-6k+1\le 5k^2+5$，$2k^2-3k-2\le 0$，$(2k+1)(k-2)\le 0$，$-\frac{1}{2}\le k\le 2$。整數 $k=0,1,2$。

$k=0,1$ 時距離小於半徑，各交於 $2$ 點；$k=2$ 時距離等於半徑，相切，只有 $1$ 點。不同斜率的直線只在 $Q$ 相交，而 $Q$ 不在圓上，所以這些點都不重複；又圓上沒有 $x=1$ 的點（$(1-4{)}^2=9>5$），分母不會是 $0$。共 $2+2+1=5$ 個。

以圓柱塔中心為原點、東為 $x$ 軸正向、北為 $y$ 軸正向。塔是圓 $x^2+y^2=1$，旗桿在 $(5,0)$，樺樺在 $S(5,5)$，道路是直線 $y=-6$。

子彈走直線，甄甄要安全，必須被塔擋住，也就是在兩條過 $S$ 的切線之間、塔的後方。過 $S$ 斜率 $k$ 的直線 $kx-y+5-5k=0$，相切條件 $\frac{|5-5k|}{\sqrt{k^2+1}}=1$。平方：$25-50k+25k^2=k^2+1$，$12k^2-25k+12=0$，$(3k-4)(4k-3)=0$，$k=\frac{4}{3}$ 或 $\frac{3}{4}$。（鉛直線 $x=5$ 到原點距離 $5$，不是切線。）

兩條切線與 $y=-6$ 的交點：$k=\frac{4}{3}$ 時 $-6-5=\frac{4}{3}(x-5)$，$x=5-\frac{33}{4}=-\frac{13}{4}$；$k=\frac{3}{4}$ 時 $-11=\frac{3}{4}(x-5)$，$x=5-\frac{44}{3}=-\frac{29}{3}$。

安全範圍長度 $-\frac{13}{4}-\left(-\frac{29}{3}\right)=\frac{-39+116}{12}=\frac{77}{12}$（公尺）。

答案 (D)。三邊所在直線：

$AB$：斜率 $\frac{8-1}{9-2}=1$，$y=x-1$，即 $x-y-1=0$。

$BC$：斜率 $\frac{10-1}{5-2}=3$，$y-1=3(x-2)$，即 $3x-y-5=0$。

$CA$：斜率 $\frac{8-10}{9-5}=-\frac{1}{2}$，$y-10=-\frac{1}{2}(x-5)$，即 $x+2y-25=0$，也就是 $-x-2y+25=0$。

三角形在每條邊「第三個頂點那一側」，代入第三個頂點看正負：

$C(5,10)$ 代入 $x-y-1$ 得 $-6$，取 $x-y-1\le 0$。

$A(9,8)$ 代入 $3x-y-5$ 得 $14$，取 $3x-y-5\ge 0$。

$B(2,1)$ 代入 $-x-2y+25$ 得 $21$，取 $-x-2y+25\ge 0$。

三式合起來是 (D)。

外心是各邊中垂線的交點。

$\overline{AB}$ 的中點 $\left(\frac{11}{2},\frac{9}{2}\right)$，$AB$ 的斜率 $1$，中垂線斜率 $-1$：$y-\frac{9}{2}=-\left(x-\frac{11}{2}\right)$，即 $x+y=10$。

$\overline{BC}$ 的中點 $\left(\frac{7}{2},\frac{11}{2}\right)$，$BC$ 的斜率 $3$，中垂線斜率 $-\frac{1}{3}$：$y-\frac{11}{2}=-\frac{1}{3}\left(x-\frac{7}{2}\right)$，即 $x+3y=20$。

聯立：兩式相減得 $2y=10$，$y=5$，$x=5$。台北大巨蛋的坐標是 $(5,5)$。

外接圓的圓心是外心 $(5,5)$，半徑是外心到頂點的距離：到 $C(5,10)$ 為 $5$（到 $A$：$\sqrt{16+9}=5$；到 $B$：$\sqrt{9+16}=5$）。

外接圓 $(x-5{)}^2+(y-5{)}^2=25$。