高師大附中 112 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (1)(2)(5)。

實係數方程式虛根成對，$1-i$ 也是根；三次方程式另有一個實根 $r$，所以 $$f(x)=a(x^2-2x+2)(x-r),a\ne 0$$

(1) 正確。 虛根成對，$1-i$ 是根。

(2) 正確。 三個根是 $1+i$、$1-i$、$r$（實數），$2+i$ 不在其中，所以 $f(2+i)\ne 0$。

(3) 錯誤。 $f(x)-x$ 仍是三次實係數多項式，虛根成對，三次方程式至少有一個實根，所以一定有實數 $x$ 滿足 $f(x)=x$。

(4) 錯誤。 取 $x$ 為 $r$ 的實數立方根，$x^3=r$，就有 $f(x^3)=f(r)=0$。

(5) 正確。 $x^2-2x+2=(x-1{)}^2+1>0$。$f(0)=2a(-r)>0$，$f(2)=2a(2-r)<0$。若 $a>0$，得 $r<0$ 且 $r>2$，矛盾；所以 $a<0$，且 $0<r<2$。於是 $f(4)=10a(4-r)$，其中 $a<0$、$4-r>0$，故 $f(4)<0$。

答案 (2)(4)。

由根與係數關係 $\alpha +\beta =-6$，$\alpha \beta =3$；判別式 $36-12=24>0$，兩根都是實數，而且兩根同號、和為負，所以 $\alpha ,\beta$ 都是負數。另外 ${\alpha }^2+6\alpha +3=0$，即 ${\alpha }^2=-6\alpha -3$，$\beta$ 也一樣。

(1) 錯誤。 ${\alpha }^2+{\beta }^2=(\alpha +\beta {)}^2-2\alpha \beta =36-6=30$。

(2) 正確。 ${\alpha }^3+{\beta }^3=(\alpha +\beta {)}^3-3\alpha \beta (\alpha +\beta )=-216+54=-162$。

(3) 錯誤。 ${\alpha }^2+6\alpha +5=({\alpha }^2+6\alpha +3)+2=2$，同理 ${\beta }^2+6\beta +5=2$，乘積為 $4$。

(4) 正確。 ${\alpha }^2+3=-6\alpha$，${\beta }^2+3=-6\beta$， $$\frac{1}{-6\alpha }+\frac{1}{-6\beta }=-\frac{\alpha +\beta }{6\alpha \beta }=-\frac{-6}{18}=\frac{1}{3}$$

(5) 錯誤。 $\alpha ,\beta$ 都是負數，$\sqrt{\alpha }=\sqrt{-\alpha }i$，$\sqrt{\beta }=\sqrt{-\beta }i$，所以 $$\sqrt{\alpha }\sqrt{\beta }=-\sqrt{(-\alpha )(-\beta )}=-\sqrt{3}$$ $(\sqrt{\alpha }+\sqrt{\beta }{)}^2=\alpha +\beta +2\sqrt{\alpha }\sqrt{\beta }=-6-2\sqrt{3}$。

答案 (2)(3)(4)。

$\left|\frac{z_2}{z_1}\right|=\frac{4}{3}$，主輻角為 $\frac{\pi }{3}$，所以 $$\frac{z_2}{z_1}=\frac{4}{3}\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)=\frac{2}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}i$$ 也就是 $\angle AOB=\frac{\pi }{3}$，$\overline{OA}=3$、$\overline{OB}=4$。

(1) 錯誤。 題目沒有給 $z_1$ 的方向，$z_2$ 不確定。例如 $z_1=3i$ 時 $z_2=3i\left(\frac{2}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}i\right)=-2\sqrt{3}+2i$。

(2) 正確。 $|z_1-z_2|=\overline{AB}$，由餘弦定理 ${\overline{AB}}^2=9+16-2\cdot 3\cdot 4\cos \frac{\pi }{3}=13$。

(3) 正確。 $|z_1+z_2|$ 是以 $\overline{OA}$、$\overline{OB}$ 為兩邊的平行四邊形的對角線，鄰角為 $\frac{2\pi }{3}$，由餘弦定理，平方為 $9+16-2\cdot 3\cdot 4\cos \frac{2\pi }{3}=37$。

(4) 正確。 就是上面算出的 $\frac{z_2}{z_1}$。

(5) 錯誤。 $△OAB$ 面積 $=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4\sin \frac{\pi }{3}=3\sqrt{3}$。

答案 (1)(5)。

$-4-4\sqrt{3}i=8\left(\cos \frac{4\pi }{3}+i\sin \frac{4\pi }{3}\right)$，所以六個根為 $$z=\sqrt{2}\left[\cos \left(\frac{2\pi }{9}+\frac{k\pi }{3}\right)+i\sin \left(\frac{2\pi }{9}+\frac{k\pi }{3}\right)\right],k=0,1,\dots ,5$$ 六個點在以原點為圓心、半徑 $\sqrt{2}$ 的圓上，相鄰兩點與原點的夾角都是 $\frac{\pi }{3}$，形成正六邊形。

(1) 正確。 $|z{|}^6=8$，$|z|=\sqrt{2}$。

(2) 錯誤。 起始輻角應為 $\frac{4\pi }{3}÷6=\frac{2\pi }{9}=\frac{8\pi }{36}$，不是 $\frac{7\pi }{36}$。例如 $k=0$ 時，選項的 $z$ 的六次方輻角為 $\frac{7\pi }{6}$，不等於 $\frac{4\pi }{3}$。

(3) 錯誤。 正六邊形由 $6$ 個邊長等於半徑的正三角形組成，相鄰頂點 $E$、$F$ 的距離 $\overline{EF}=\sqrt{2}$（即使 $E$、$F$ 不相鄰，兩頂點的距離也只可能是 $\sqrt{6}$ 或 $2\sqrt{2}$，都不是 $\sqrt{3}$）。

(4) 錯誤。 周長 $=6\sqrt{2}$。

(5) 正確。 面積 $=6\times \frac{\sqrt{3}}{4}\times (\sqrt{2}{)}^2=3\sqrt{3}$。

答案 (3)(4)。

令 $g(x)=f(x)-x$，$g(x)$ 也是最高次項係數為 $1$ 的三次多項式，且 $g(1)=g(3)=g(6)=0$，所以 $$f(x)=x+(x-1)(x-3)(x-6)=x^3-10x^2+28x-18$$ 算出幾個值：$f(0)=-18$，$f(1)=1$，$f(2)=6$，$f(3)=3$，$f(4)=-2$，$f(5)=-3$，$f(6)=6$。

由勘根定理，$f(x)=0$ 在 $(0,1)$、$(3,4)$、$(5,6)$ 各至少有一個實根；三次方程式最多三個根，所以三個根恰好各在這三個區間內。

(1) 錯誤。 三個根都在 $(0,1)$、$(3,4)$、$(5,6)$ 內，$(-\infty ,0)$ 沒有根。

(2) 錯誤。 $(1,2)$ 沒有根（$f(1)$、$f(2)$ 同號，而且三個根的位置已確定）。

(3) 正確。 $f(3)=3>0$，$f(4)=-2<0$。

(4) 正確。 $f(5)=-3<0$，$f(6)=6>0$。

(5) 錯誤。 $(6,\infty )$ 沒有根。

設 $Z=x-\frac{1}{2}i$（$x$ 為實數）， $$\frac{1}{Z}=\frac{x+\frac{1}{2}i}{x^2+\frac{1}{4}}$$ 實部 $\frac{x}{x^2+\frac{1}{4}}=\frac{3}{5}$，即 $3x^2-5x+\frac{3}{4}=0$，乘以 $4$ 得 $12x^2-20x+3=0$，$(6x-1)(2x-3)=0$，$x=\frac{1}{6}$ 或 $\frac{3}{2}$。

所以 $Z=\frac{1}{6}-\frac{1}{2}i$ 或 $\frac{3}{2}-\frac{1}{2}i$。

實係數方程式虛根成對。$b\ne 0$，$1+bi$ 是虛根，它的共軛 $1-bi$ 也是根；$a-i$ 是虛根，$a+i$ 也是根。三次方程式只有三個根，其中虛根是一對，所以 $a\pm i$ 與 $1\pm bi$ 是同一對，得 $a=1$、$b=\pm 1$，這對虛根是 $1+i$、$1-i$。

設第三根為 $r$，由根與係數關係，三根之和 $=-1$：$(1+i)+(1-i)+r=-1$，$r=-3$。

所有根為 $1+i$、$1-i$、$-3$。

化成極式：$1-i=\sqrt{2}(\cos (-45^{\circ })+i\sin (-45^{\circ }))$，$\sqrt{3}+i=2(\cos 30^{\circ }+i\sin 30^{\circ })$， $$z=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos (-75^{\circ })+i\sin (-75^{\circ })\right)$$ $z^n$ 的輻角為 $-75n^{\circ }$；$z^n$ 為實數 $\iff$ $75n$ 是 $180$ 的倍數 $\iff$ $5n$ 是 $12$ 的倍數 $\iff$ $n$ 是 $12$ 的倍數。

$1\le n\le 100$ 中為 $12,24,\dots ,96$，共 $8$ 個，和為 $12(1+2+\cdots +8)=12\times 36=432$。

由圖，直角在 $B$，$\angle A=60^{\circ }$，$\angle C=30^{\circ }$；$C$ 在上方，$A$ 在左下，$B$ 在右邊。

$\frac{z_1-z_3}{z_2-z_3}$ 是向量 $\overrightarrow{CA}$ 對 $\overrightarrow{CB}$ 的比：

長度比：$\overline{CB}=\overline{CA}\cos 30^{\circ }$，所以 $\frac{\overline{CA}}{\overline{CB}}=\frac{2}{\sqrt{3}}$。

方向：從 $C$ 看，$\overrightarrow{CB}$ 往右下、$\overrightarrow{CA}$ 往左下，由 $\overrightarrow{CB}$ 轉到 $\overrightarrow{CA}$ 是順時針轉 $30^{\circ }$，輻角為 $-30^{\circ }$。 $$\frac{z_1-z_3}{z_2-z_3}=\frac{2}{\sqrt{3}}\left(\cos (-30^{\circ })+i\sin (-30^{\circ })\right)=\frac{2}{\sqrt{3}}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i\right)=1-\frac{\sqrt{3}}{3}i$$

$\omega$ 是 $1$ 的五次方根，$1,\omega ,{\omega }^2,{\omega }^3,{\omega }^4$ 是 $x^5-1=0$ 的五個根，所以 $$x^5-1=(x-1)(x-\omega )(x-{\omega }^2)(x-{\omega }^3)(x-{\omega }^4)$$ 兩邊除以 $x-1$：$(x-\omega )(x-{\omega }^2)(x-{\omega }^3)(x-{\omega }^4)=x^4+x^3+x^2+x+1$。

代 $x=2$：$(2-\omega )(2-{\omega }^2)(2-{\omega }^3)(2-{\omega }^4)=16+8+4+2+1=31$。

$\overline{AB}=|2-\omega |$，其餘同理，取絕對值得 $\overline{AB}\cdot \overline{AC}\cdot \overline{AD}\cdot \overline{AE}=31$。

令 $w=\frac{-4+3i}{5}$，$|w|=1$。$|z|=1$ 時 $|z^3|=1$，所以 $w$、$z$、$z^3$ 三點都在單位圓上。

$\left|w-z^3\right|=|w-z|$ 表示 $z$ 與 $z^3$ 到 $w$ 等距。單位圓上到 $w$ 等距的兩點，不是同一點，就是對直線 $Ow$ 互相對稱。

情形一：$z^3=z$，則 $z^2=1$，$z=\pm 1$，不在第一象限，不合。

情形二：$z$ 與 $z^3$ 對直線 $Ow$ 對稱。設 $z$、$z^3$、$w$ 的輻角為 $\theta$、$3\theta$、$\phi$，對稱表示 $\phi$ 是 $\theta$ 與 $3\theta$ 的平均（差 $180^{\circ }$ 的整數倍），即 $2\theta$ 與 $\phi$ 相差 $180^{\circ }$ 的整數倍，所以 $$z^2=\pm w$$ 設 $z=x+yi$（$x,y>0$），$z^2=(x^2-y^2)+2xyi$。

若 $z^2=w$：$x^2-y^2=-\frac{4}{5}$，$2xy=\frac{3}{5}$，又 $x^2+y^2=1$，得 $x^2=\frac{1}{10}$，$y^2=\frac{9}{10}$，$z=\frac{1}{\sqrt{10}}+\frac{3}{\sqrt{10}}i$，在第一象限。

若 $z^2=-w$：$2xy=-\frac{3}{5}<0$，$x,y$ 異號，不在第一象限，不合。

所以 $z=\frac{1}{\sqrt{10}}+\frac{3}{\sqrt{10}}i$。