段考詳解範圍：複數（四則運算、共軛複數、複數平面與絕對值）、多項式方程式（虛根成對、根與係數的關係）；卷面未印範圍，依題目內容整理

高師大附中 112 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

考試時間 80 分鐘。配分：單一選擇題 1 題 4 分；多重選擇題 3 題共 24 分；填充題每格 6 分共 72 分；合計 100 分。原卷三大題各自從 1 編號，本頁依序連續編為第 1～16 題（多選 1～3 為第 2～4 題，填充 1～12 為第 5～16 題）。填充第 9 題（本頁第 13 題）照卷面的條件找不到這樣的實數，答案照學校公布的寫，理由見詳解。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單一選擇題：4分(每題有 5 個選項，其中只有一個是正確的選項，答對者，得 4 分；答錯或未作答，該題以零分計算。）

化簡

\frac{i + i ^{3} + i ^{5} + \dots + i ^{101}}{i \cdot i ^{3} \cdot i ^{5} \cdot \dots \cdot i ^{101}} =

？

(1) $- i$
(2) $i$
(3) $1$
(4) $- 1$
(5) $0$

二、多重選擇題：24分(每題有5個選項，其中至少有1個是正確的選項的，所有選項均答對者，得8分；答錯1個選項者，得5分；答錯2個選項者，得2分；答錯多於2個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。本大題共3題，共計24分）

試問方程式

x^{3} + x^{2} - 2 x - 1 = 0

在下列那些連續整數之間有實根？

(1) $- 2$ 與 $- 1$ 之間
(2) $- 1$ 與 $0$ 之間
(3) $0$ 與 $1$ 之間
(4) $1$ 與 $2$ 之間
(5) $2$ 與 $3$ 之間

如附圖，正方形

A B C D

的兩邊分別平行實軸與虛軸，其中心為原點

O

，

A

點所對應的複數為

z

，試問下列哪些選項是正確的？

(1) $B$ 點所對應的複數為 $- \overline{z}$
(2) $D$ 點所對應的複數為 $- i z$
(3) $\overline{O A} = ∣ z ∣$
(4) $\overline{B D} = 2 ∣ z ∣$
(5) $∣ z - \overline{z} ∣ = 2 ∣ z ∣$

載入中...

下列不等式中，哪些對於任意複數

z

恆成立？

(1) $∣ z - \overline{z} ∣ \leq ∣ z ∣ - ∣ \overline{z} ∣$
(2) $∣ z ∣ - ∣ \overline{z} ∣ \leq ∣ z + \overline{z} ∣$
(3) $∣ z - \overline{z} ∣ \leq ∣ z ∣ + ∣ \overline{z} ∣$
(4) $∣ z + \overline{z} ∣ \leq ∣ z ∣ + ∣ \overline{z} ∣$
(5) $2 ∣ z ∣ \leq ∣ z + \overline{z} ∣ + ∣ z - \overline{z} ∣$

三、填充題：每格6分，每格全對才給分，共72分

設

a

、

b

為實數且

(a + bi) (2 + 6 i) = - 80

，試求數對

(a, b) =

____。

設方程式

3 x^{2} - 2 k x + 1 = 0

的兩根互為共軛虛根　求實數

k

的範圍為 ____。

在複數平面上，所有滿足

∣ z - 1 + 2 i ∣ = ∣ z - 2 - 3 i ∣

的複數

z

，形成的圖形是 ____。(寫名稱)

設

x^{2} + 3 x + 8 = 0

之二根為

α

，

β

，試求

\frac{β}{α} + \frac{α}{β} =

____

已知方程式

x^{4} - 2 x^{3} - x^{2} + 6 x - 6 = 0

有一根

1 + i

，求另三根為 ____。

設

z = \frac{( - 1 + 3 i ) ^{6} ( 1 - 2 i ) ^{2}}{( 3 + i ) ^{4}}

，求

z

的絕對值為 ____。

設複數

z

滿足

z^{2} = - 5 + 12 i

，求此複數

z =

____。

複數平面上，已知

A (5 + 4 i)

，

B (6 - i)

，

C (- 3 i)

，則

△ A B C

的面積為 ____。

設

a, b

為實數，若

a + b = - 3

，

ab = 4

，則

(a - b)^{2} =

____。

設複數

z

滿足

z + ∣ \overline{z} ∣ = 8 - 4 i

，其中

\overline{z}

為

z

的共軛複數，求複數

z =

____。

在複數平面上，設

z

為純虛數

k i

，其中

k

為實數，當

∣ z - (- 1 + i) ∣ + ∣ z - (2 + 4 i) ∣

有最小值，此時

k =

____。

如附圖，設

O

為複數平面上的原點，並令

A

，

B

分別代表複數

z_{1}

，

z_{2}

，且滿足

∣ z_{1} ∣ = 2

，

∣ z_{2} ∣ = 3

，

∣ z_{1} - z_{2} ∣ = 5

，求

∣ z_{1} + z_{2} ∣

之值為 ____。

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)

第 2 題(1)(2)(4)

第 3 題(3)(4)(5)

第 4 題(2)(3)(4)(5)

第 5 題

(- 4, 12)

第 6 題

- 3 < k < 3

第 7 題一直線

第 8 題

- \frac{7}{8}

第 9 題

1 - i

、

3

、

- 3

第 10 題

12

第 11 題

2 + 3 i

或

- 2 - 3 i

第 12 題

16

第 13 題

1

（照學校答案；這樣的實數

a, b

其實不存在，見詳解）

第 14 題

3 - 4 i

第 15 題

2

第 16 題

21

03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1 題：i 的奇數次方

第 1 題

$i$ 的奇數次方依序是 $i, - i, i, - i, \dots$ ： $i^{4 m + 1} = i$ 、 $i^{4 m + 3} = - i$ 。

分子： $i, i^{3}, i^{5}, \dots, i^{101}$ 的指數是 $1, 3, 5, \dots, 101$ ，共 $51$ 項。相鄰兩項 $i + i^{3} = i - i = 0$ ，前 $50$ 項兩兩一組和為 $0$ ，剩下最後一項 $i^{101} = i$ 。所以分子 $= i$ 。

分母：同底數相乘，指數相加：

$1 + 3 + 5 + \dots + 101 = 5 1^{2} = 2601$

$2601 = 4 \times 650 + 1$ ，所以分母 $= i^{2601} = i$ 。

所以原式 $= \frac{i}{i} = 1$ ，選 (3)。

1 + 3 + 5 + \dots + (2 n - 1) = n^{2}

，這裡

n = 51

。

i

的次方先把指數除以

4

看餘數；奇數次方只有

i

與

- i

兩種。

02多選第 1 題（第 2 題）：勘根定理

第 2 題

設 $f (x) = x^{3} + x^{2} - 2 x - 1$ ，代入各整數：

$x f (x) - 2 - 1 - 1 1 0 - 1 1 - 1 27329$

多項式函數的圖形是連續不斷的曲線， $f (a)$ 與 $f (b)$ 異號時， $a$ 與 $b$ 之間一定有實根（勘根定理）。

(1) 正確。 $f (- 2) = - 1 < 0$ 、 $f (- 1) = 1 > 0$ ，異號。

(2) 正確。 $f (- 1) = 1 > 0$ 、 $f (0) = - 1 < 0$ ，異號。

(3) 錯誤。 $f (0) = f (1) = - 1$ 同號。三次方程式最多 $3$ 個實根，(1)(2)(4) 三個區間已各有一根，所以 $0$ 與 $1$ 之間沒有實根。

(4) 正確。 $f (1) = - 1 < 0$ 、 $f (2) = 7 > 0$ ，異號。

(5) 錯誤。 $f (2) = 7$ 、 $f (3) = 29$ 同號；三個實根已在 (1)(2)(4) 的區間裡，這裡沒有根。

(3)(5) 不能只看兩端同號就說沒有根，要用「三次方程式最多三個實根、三個都已找到」才能確定。

勘根定理只能說「異號一定有根」；同號的區間要靠根的個數來排除。

03多選第 2 題（第 3 題）：複數平面上的正方形

第 3 題

正方形中心在原點、兩邊平行坐標軸，所以四個頂點到兩軸的距離都相等。設 $z = a + ai$ （ $a > 0$ ），則

$A = a + ai = z$ ， $B = a - ai = \overline{z}$ ， $C = - a - ai = - z$ ， $D = - a + ai = - \overline{z}$ 。

(1) 錯誤。 $- \overline{z} = - a + ai$ 是 $D$ ，不是 $B$ ； $B$ 是 $\overline{z}$ 。

(2) 錯誤。 $- i z = - i (a + ai) = - ai - a i^{2} = a - ai$ ，這是 $B$ 。 $D$ 是 $i z = - a + ai$ 。

(3) 正確。 $\overline{O A}$ 是 $A$ 到原點的距離，就是 $∣ z ∣$ 。

(4) 正確。 $B$ 、 $D$ 對稱於原點， $\overline{B D} = \overline{O B} + \overline{O D} = 2 ∣ z ∣$ ；也可直接算 $∣ (- a + ai) - (a - ai) ∣ = ∣ - 2 a + 2 ai ∣ = 22 a = 2 ∣ z ∣$ 。

(5) 正確。 $z - \overline{z} = 2 ai$ ， $∣ z - \overline{z} ∣ = 2 a$ ； $∣ z ∣ = a^{2} + a^{2} = 2 a$ ，所以 $2 ∣ z ∣ = 2 a$ ，兩邊相等。

\overline{z}

對實軸對稱、

- z

對原點對稱、

- \overline{z}

對虛軸對稱，

i z

是繞原點逆時針轉

9 0^{\circ}

。

04多選第 3 題（第 4 題）：z 加減共軛的絕對值

第 4 題

設 $z = x + y i$ （ $x, y$ 為實數），則

$z + \overline{z} = 2 x$ ， $z - \overline{z} = 2 y i$ ， $∣ z ∣ = ∣ \overline{z} ∣ = x^{2} + y^{2}$ 。

(1) 錯誤。右邊 $∣ z ∣ - ∣ \overline{z} ∣ = 0$ ，左邊 $2 ∣ y ∣$ 。反例： $z = i$ ，左邊 $∣ 2 i ∣ = 2$ ，右邊 $0$ ， $2 \leq 0$ 不成立。

(2) 正確。左邊恆為 $0$ ，右邊 $∣ 2 x ∣ \geq 0$ 。

(3) 正確。 $∣ y ∣ = y^{2} \leq x^{2} + y^{2}$ ，所以 $2 ∣ y ∣ \leq 2 x^{2} + y^{2}$ 。

(4) 正確。同理 $∣ x ∣ \leq x^{2} + y^{2}$ ，所以 $2 ∣ x ∣ \leq 2 x^{2} + y^{2}$ 。

(5) 正確。要說明 $2 x^{2} + y^{2} \leq 2 ∣ x ∣ + 2 ∣ y ∣$ 。兩邊都不是負數，比平方即可：

$(∣ x ∣ + ∣ y ∣)^{2} = x^{2} + y^{2} + 2 ∣ x ∣ ∣ y ∣ \geq x^{2} + y^{2}$

所以 $x^{2} + y^{2} \leq ∣ x ∣ + ∣ y ∣$ ，成立。

在複數平面上看：

∣ z + \overline{z} ∣

、

∣ z - \overline{z} ∣

分別是直角三角形兩股長的

2

倍，

2 ∣ z ∣

是斜邊的

2

倍，(3)(4)(5) 就是「股不大於斜邊、斜邊不大於兩股和」。

z \pm \overline{z}

的題目，設

z = x + y i

化成實數的不等式最穩。

05填充 1～4（第 5～8 題）：複數相等、判別式、垂直平分線、根與係數

第 5 題

兩邊同除以 $2 + 6 i$ ：

$a + bi = \frac{- 80}{2 + 6 i} = \frac{- 80 ( 2 - 6 i )}{( 2 + 6 i ) ( 2 - 6 i )} = \frac{- 80 ( 2 - 6 i )}{40} = - 4 + 12 i$

$a$ 、 $b$ 是實數，所以 $a = - 4$ 、 $b = 12$ ，數對 $(a, b) = (- 4, 12)$ 。

也可展開：

(2 a - 6 b) + (6 a + 2 b) i = - 80

，得

6 a + 2 b = 0

、

2 a - 6 b = - 80

，同樣解出

(- 4, 12)

。

第 6 題

實係數二次方程式的兩根是一對共軛虛根，等價於判別式小於 $0$ ：

$(- 2 k)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 4 k^{2} - 12 < 0$

$k^{2} < 3$ ，所以 $- 3 < k < 3$ 。

第 7 題

$∣ z - 1 + 2 i ∣ = ∣ z - (1 - 2 i) ∣$ 是 $z$ 到點 $P (1, - 2)$ 的距離， $∣ z - 2 - 3 i ∣ = ∣ z - (2 + 3 i) ∣$ 是 $z$ 到點 $Q (2, 3)$ 的距離。

到兩定點等距的點，全體是線段 $P Q$ 的垂直平分線，所以圖形是一直線。

設

z = x + y i

代入平方也可得：

(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = (x - 2)^{2} + (y - 3)^{2}

，整理成

x + 5 y - 4 = 0

，是一條直線。

第 8 題

由根與係數的關係， $α + β = - 3$ ， $α β = 8$ 。

$α^{2} + β^{2} = (α + β)^{2} - 2 α β = 9 - 16 = - 7$

$\frac{β}{α} + \frac{α}{β} = \frac{α ^{2} + β ^{2}}{α β} = - \frac{7}{8}$

判別式

9 - 32 < 0

，兩根是共軛虛根，所以

α^{2} + β^{2}

可以是負數；根與係數的關係照樣成立。

絕對值

∣ z - w ∣

就是兩點距離；根的對稱式先化成兩根和與兩根積。

06填充 5～8（第 9～12 題）：虛根成對、絕對值、平方根、面積

第 9 題

方程式是實係數， $1 + i$ 是根，所以共軛 $1 - i$ 也是根。兩根的和為 $2$ 、積為 $2$ ，所以 $x^{2} - 2 x + 2$ 是因式。

設 $x^{4} - 2 x^{3} - x^{2} + 6 x - 6 = (x^{2} - 2 x + 2) (x^{2} + p x + q)$ 。比較常數項： $2 q = - 6$ ， $q = - 3$ ；比較 $x^{3}$ 項係數： $p - 2 = - 2$ ， $p = 0$ 。

$x^{4} - 2 x^{3} - x^{2} + 6 x - 6 = (x^{2} - 2 x + 2) (x^{2} - 3)$

$x^{2} - 3 = 0$ 得 $x = \pm 3$ 。另三根為 $1 - i$ 、 $3$ 、 $- 3$ 。

展開檢查：

(x^{2} - 2 x + 2) (x^{2} - 3) = x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x^{2} + 6 x - 6 = x^{4} - 2 x^{3} - x^{2} + 6 x - 6

。

第 10 題

乘積、商的絕對值等於絕對值的乘積、商，次方也一樣：

$- 1 + 3 i = 1 + 3 = 2$ ， $1 - 2 i = 1 + 2 = 3$ ， $3 + i = 3 + 1 = 2$ 。

$∣ z ∣ = \frac{2 ^{6} \cdot ( 3 ) ^{2}}{2 ^{4}} = \frac{64 \cdot 3}{16} = 12$

第 11 題

設 $z = x + y i$ （ $x, y$ 為實數）， $z^{2} = (x^{2} - y^{2}) + 2 x y i = - 5 + 12 i$ 。

比較實部、虛部： $x^{2} - y^{2} = - 5$ ， $x y = 6$ 。

又 $∣ z ∣^{2} = z^{2} = 25 + 144 = 13$ ，即 $x^{2} + y^{2} = 13$ 。與 $x^{2} - y^{2} = - 5$ 相加減： $x^{2} = 4$ 、 $y^{2} = 9$ 。

$x y = 6 > 0$ ， $x$ 、 $y$ 同號，所以 $(x, y) = (2, 3)$ 或 $(- 2, - 3)$ ， $z = 2 + 3 i$ 或 $- 2 - 3 i$ 。

檢查：

(2 + 3 i)^{2} = 4 + 12 i + 9 i^{2} = - 5 + 12 i

。

第 12 題

三點坐標 $A (5, 4)$ 、 $B (6, - 1)$ 、 $C (0, - 3)$ 。用外框的長方形扣掉三個直角三角形：

外框 $x$ 從 $0$ 到 $6$ 、 $y$ 從 $- 3$ 到 $4$ ，面積 $6 \times 7 = 42$ 。

三個直角三角形： $A$ 、 $B$ 之間兩股 $1$ 、 $5$ ，面積 $\frac{5}{2}$ ； $B$ 、 $C$ 之間兩股 $6$ 、 $2$ ，面積 $6$ ； $C$ 、 $A$ 之間兩股 $5$ 、 $7$ ，面積 $\frac{35}{2}$ 。

$△ A B C = 42 - \frac{5}{2} - 6 - \frac{35}{2} = 16$

也可用坐標面積公式：

\frac{1}{2} ∣ (6 - 5) (- 3 - 4) - (0 - 5) (- 1 - 4) ∣ = \frac{1}{2} ∣ - 7 - 25 ∣ = 16

。

實係數方程式知道一個虛根，就有一個二次因式；只問絕對值時，不必把複數真的乘出來。

07填充 9～12（第 13～16 題）：負數的平方根、絕對值的幾何意義

第 13 題

先說卷面的條件。若實數 $a$ 、 $b$ 滿足 $a + b = - 3$ 、 $ab = 4$ ，它們是 $t^{2} + 3 t + 4 = 0$ 的兩根；判別式 $9 - 16 = - 7 < 0$ ，這個方程式沒有實根，所以這樣的實數 $a$ 、 $b$ 其實不存在。

照題目的意思算。 $ab = 4 > 0$ 表示 $a$ 、 $b$ 同號， $a + b = - 3 < 0$ 表示兩個都是負數。設 $a = - p$ 、 $b = - q$ （ $p, q > 0$ ， $p + q = 3$ ， $pq = 4$ ），則 $a = p i$ 、 $b = q i$ ，

$a b = p i \cdot q i = - pq = - 2$

$(a - b)^{2} = a + b - 2 a b = - 3 - 2 \cdot (- 2) = 1$

學校答案為 $1$ ，就是這樣算出來的。

這題的重點是：兩個負實數的平方根相乘，

a b = - ab

，不能寫成

ab

。但本題條件下

a

、

b

其實是一對共軛虛數（

\frac{- 3 \pm 7 i}{2}

），高中沒有定義虛數的平方根；學校的

1

是把

a

、

b

當成兩個負數來算的結果，本題條件本身有矛盾。

第 14 題

設 $z = x + y i$ （ $x, y$ 為實數）， $∣ \overline{z} ∣ = x^{2} + y^{2}$ 是實數。

$(x + x^{2} + y^{2}) + y i = 8 - 4 i$

比較虛部： $y = - 4$ 。比較實部： $x + x^{2} + 16 = 8$ ，即 $x^{2} + 16 = 8 - x$ （要求 $8 - x \geq 0$ ）。兩邊平方： $x^{2} + 16 = 64 - 16 x + x^{2}$ ， $16 x = 48$ ， $x = 3$ ，符合 $8 - x \geq 0$ 。

所以 $z = 3 - 4 i$ 。

檢查：

∣ 3 + 4 i ∣ = 5

，

3 - 4 i + 5 = 8 - 4 i

。

第 15 題

$∣ z - (- 1 + i) ∣$ 是點 $z$ 到 $P (- 1, 1)$ 的距離， $∣ z - (2 + 4 i) ∣$ 是點 $z$ 到 $Q (2, 4)$ 的距離。 $z = k i$ 是虛軸（ $x = 0$ ）上的點 $(0, k)$ 。

$P$ 在虛軸左側、 $Q$ 在虛軸右側，所以距離和 $\geq \overline{P Q}$ ，等號在 $(0, k)$ 落在線段 $P Q$ 上時成立。

直線 $P Q$ 的斜率 $\frac{4 - 1}{2 - ( - 1 )} = 1$ ，方程式 $y = x + 2$ ；與 $x = 0$ 交於 $(0, 2)$ 。所以 $k = 2$ 。

若兩點在虛軸同側，就要先把其中一點對虛軸作對稱點再連線；本題兩點已在兩側，直接連線。

第 16 題

利用 $∣ w ∣^{2} = w \overline{w}$ ：

$∣ z_{1} + z_{2} ∣^{2} = (z_{1} + z_{2}) (\overline{z_{1}} + \overline{z_{2}}) = ∣ z_{1} ∣^{2} + ∣ z_{2} ∣^{2} + (z_{1} \overline{z_{2}} + \overline{z_{1}} z_{2})$

$∣ z_{1} - z_{2} ∣^{2} = ∣ z_{1} ∣^{2} + ∣ z_{2} ∣^{2} - (z_{1} \overline{z_{2}} + \overline{z_{1}} z_{2})$

兩式相加： $∣ z_{1} + z_{2} ∣^{2} + ∣ z_{1} - z_{2} ∣^{2} = 2 (∣ z_{1} ∣^{2} + ∣ z_{2} ∣^{2}) = 2 (4 + 9) = 26$ 。

所以 $∣ z_{1} + z_{2} ∣^{2} = 26 - 5 = 21$ ， $∣ z_{1} + z_{2} ∣ = 21$ 。

幾何意義：以

O A

、

O B

為兩邊作平行四邊形，兩條對角線長是

∣ z_{1} + z_{2} ∣

與

∣ z_{1} - z_{2} ∣

；兩對角線平方和等於四邊平方和。

∣ z - w ∣

是距離；距離和最小找線段，對角線長用

∣ w ∣^{2} = w \overline{w}

展開。

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填充第 9 題（本頁第 13 題）學校是把 a、b 當成兩個負數、用「兩負數的平方根相乘要加負號」算出 1，但卷面的條件其實找不到這樣的實數；多選第 1 題要用三個實根已找到來排除同號的區間；多選第 2 題要分清共軛、相反數與乘 i 各是哪個頂點；填充第 7 題（本頁第 11 題）平方根有正負兩個。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自高師大附中 112 學年度上學期高三第二次段考數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：複數（四則運算、共軛複數、複數平面與絕對值）、多項式方程式（虛根成對、根與係數的關係）；卷面未印範圍，依題目內容整理

高師大附中 112 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 16 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

一、單一選擇題：4分(每題有 5 個選項，其中只有一個是正確的選項，答對者，得 4 分；答錯或未作答，該題以零分計算。）

化簡

\frac{i + i ^{3} + i ^{5} + \dots + i ^{101}}{i \cdot i ^{3} \cdot i ^{5} \cdot \dots \cdot i ^{101}} =

？

(1) $- i$
(2) $i$
(3) $1$
(4) $- 1$
(5) $0$

試問方程式

x^{3} + x^{2} - 2 x - 1 = 0

在下列那些連續整數之間有實根？

(1) $- 2$ 與 $- 1$ 之間
(2) $- 1$ 與 $0$ 之間
(3) $0$ 與 $1$ 之間
(4) $1$ 與 $2$ 之間
(5) $2$ 與 $3$ 之間

如附圖，正方形

A B C D

的兩邊分別平行實軸與虛軸，其中心為原點

O

，

A

點所對應的複數為

z

，試問下列哪些選項是正確的？

(1) $B$ 點所對應的複數為 $- \overline{z}$
(2) $D$ 點所對應的複數為 $- i z$
(3) $\overline{O A} = ∣ z ∣$
(4) $\overline{B D} = 2 ∣ z ∣$
(5) $∣ z - \overline{z} ∣ = 2 ∣ z ∣$

載入中...

下列不等式中，哪些對於任意複數

z

恆成立？

(1) $∣ z - \overline{z} ∣ \leq ∣ z ∣ - ∣ \overline{z} ∣$
(2) $∣ z ∣ - ∣ \overline{z} ∣ \leq ∣ z + \overline{z} ∣$
(3) $∣ z - \overline{z} ∣ \leq ∣ z ∣ + ∣ \overline{z} ∣$
(4) $∣ z + \overline{z} ∣ \leq ∣ z ∣ + ∣ \overline{z} ∣$
(5) $2 ∣ z ∣ \leq ∣ z + \overline{z} ∣ + ∣ z - \overline{z} ∣$

三、填充題：每格6分，每格全對才給分，共72分

設

a

、

b

為實數且

(a + bi) (2 + 6 i) = - 80

，試求數對

(a, b) =

____。

設方程式

3 x^{2} - 2 k x + 1 = 0

的兩根互為共軛虛根　求實數

k

的範圍為 ____。

在複數平面上，所有滿足

∣ z - 1 + 2 i ∣ = ∣ z - 2 - 3 i ∣

的複數

z

，形成的圖形是 ____。(寫名稱)

設

x^{2} + 3 x + 8 = 0

之二根為

α

，

β

，試求

\frac{β}{α} + \frac{α}{β} =

____

已知方程式

x^{4} - 2 x^{3} - x^{2} + 6 x - 6 = 0

有一根

1 + i

，求另三根為 ____。

設

z = \frac{( - 1 + 3 i ) ^{6} ( 1 - 2 i ) ^{2}}{( 3 + i ) ^{4}}

，求

z

的絕對值為 ____。

設複數

z

滿足

z^{2} = - 5 + 12 i

，求此複數

z =

____。

複數平面上，已知

A (5 + 4 i)

，

B (6 - i)

，

C (- 3 i)

，則

△ A B C

的面積為 ____。

設

a, b

為實數，若

a + b = - 3

，

ab = 4

，則

(a - b)^{2} =

____。

設複數

z

滿足

z + ∣ \overline{z} ∣ = 8 - 4 i

，其中

\overline{z}

為

z

的共軛複數，求複數

z =

____。

在複數平面上，設

z

為純虛數

k i

，其中

k

為實數，當

∣ z - (- 1 + i) ∣ + ∣ z - (2 + 4 i) ∣

有最小值，此時

k =

____。

如附圖，設

O

為複數平面上的原點，並令

A

，

B

分別代表複數

z_{1}

，

z_{2}

，且滿足

∣ z_{1} ∣ = 2

，

∣ z_{2} ∣ = 3

，

∣ z_{1} - z_{2} ∣ = 5

，求

∣ z_{1} + z_{2} ∣

之值為 ____。

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)

第 2 題(1)(2)(4)

第 3 題(3)(4)(5)

第 4 題(2)(3)(4)(5)

第 5 題

(- 4, 12)

第 6 題

- 3 < k < 3

第 7 題一直線

第 8 題

- \frac{7}{8}

第 9 題

1 - i

、

3

、

- 3

第 10 題

12

第 11 題

2 + 3 i

或

- 2 - 3 i

第 12 題

16

第 13 題

1

（照學校答案；這樣的實數

a, b

其實不存在，見詳解）

第 14 題

3 - 4 i

第 15 題

2

第 16 題

21

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1 題：i 的奇數次方

第 1 題

$i$ 的奇數次方依序是 $i, - i, i, - i, \dots$ ： $i^{4 m + 1} = i$ 、 $i^{4 m + 3} = - i$ 。

分母：同底數相乘，指數相加：

$1 + 3 + 5 + \dots + 101 = 5 1^{2} = 2601$

$2601 = 4 \times 650 + 1$ ，所以分母 $= i^{2601} = i$ 。

所以原式 $= \frac{i}{i} = 1$ ，選 (3)。

1 + 3 + 5 + \dots + (2 n - 1) = n^{2}

，這裡

n = 51

。

i

的次方先把指數除以

4

看餘數；奇數次方只有

i

與

- i

兩種。

02多選第 1 題（第 2 題）：勘根定理

第 2 題

設 $f (x) = x^{3} + x^{2} - 2 x - 1$ ，代入各整數：

$x f (x) - 2 - 1 - 1 1 0 - 1 1 - 1 27329$

多項式函數的圖形是連續不斷的曲線， $f (a)$ 與 $f (b)$ 異號時， $a$ 與 $b$ 之間一定有實根（勘根定理）。

(1) 正確。 $f (- 2) = - 1 < 0$ 、 $f (- 1) = 1 > 0$ ，異號。

(2) 正確。 $f (- 1) = 1 > 0$ 、 $f (0) = - 1 < 0$ ，異號。

(3) 錯誤。 $f (0) = f (1) = - 1$ 同號。三次方程式最多 $3$ 個實根，(1)(2)(4) 三個區間已各有一根，所以 $0$ 與 $1$ 之間沒有實根。

(4) 正確。 $f (1) = - 1 < 0$ 、 $f (2) = 7 > 0$ ，異號。

(5) 錯誤。 $f (2) = 7$ 、 $f (3) = 29$ 同號；三個實根已在 (1)(2)(4) 的區間裡，這裡沒有根。

(3)(5) 不能只看兩端同號就說沒有根，要用「三次方程式最多三個實根、三個都已找到」才能確定。

勘根定理只能說「異號一定有根」；同號的區間要靠根的個數來排除。

03多選第 2 題（第 3 題）：複數平面上的正方形

第 3 題

正方形中心在原點、兩邊平行坐標軸，所以四個頂點到兩軸的距離都相等。設 $z = a + ai$ （ $a > 0$ ），則

$A = a + ai = z$ ， $B = a - ai = \overline{z}$ ， $C = - a - ai = - z$ ， $D = - a + ai = - \overline{z}$ 。

(1) 錯誤。 $- \overline{z} = - a + ai$ 是 $D$ ，不是 $B$ ； $B$ 是 $\overline{z}$ 。

(2) 錯誤。 $- i z = - i (a + ai) = - ai - a i^{2} = a - ai$ ，這是 $B$ 。 $D$ 是 $i z = - a + ai$ 。

(3) 正確。 $\overline{O A}$ 是 $A$ 到原點的距離，就是 $∣ z ∣$ 。

(5) 正確。 $z - \overline{z} = 2 ai$ ， $∣ z - \overline{z} ∣ = 2 a$ ； $∣ z ∣ = a^{2} + a^{2} = 2 a$ ，所以 $2 ∣ z ∣ = 2 a$ ，兩邊相等。

\overline{z}

對實軸對稱、

- z

對原點對稱、

- \overline{z}

對虛軸對稱，

i z

是繞原點逆時針轉

9 0^{\circ}

。

04多選第 3 題（第 4 題）：z 加減共軛的絕對值

第 4 題

設 $z = x + y i$ （ $x, y$ 為實數），則

$z + \overline{z} = 2 x$ ， $z - \overline{z} = 2 y i$ ， $∣ z ∣ = ∣ \overline{z} ∣ = x^{2} + y^{2}$ 。

(1) 錯誤。右邊 $∣ z ∣ - ∣ \overline{z} ∣ = 0$ ，左邊 $2 ∣ y ∣$ 。反例： $z = i$ ，左邊 $∣ 2 i ∣ = 2$ ，右邊 $0$ ， $2 \leq 0$ 不成立。

(2) 正確。左邊恆為 $0$ ，右邊 $∣ 2 x ∣ \geq 0$ 。

(3) 正確。 $∣ y ∣ = y^{2} \leq x^{2} + y^{2}$ ，所以 $2 ∣ y ∣ \leq 2 x^{2} + y^{2}$ 。

(4) 正確。同理 $∣ x ∣ \leq x^{2} + y^{2}$ ，所以 $2 ∣ x ∣ \leq 2 x^{2} + y^{2}$ 。

(5) 正確。要說明 $2 x^{2} + y^{2} \leq 2 ∣ x ∣ + 2 ∣ y ∣$ 。兩邊都不是負數，比平方即可：

$(∣ x ∣ + ∣ y ∣)^{2} = x^{2} + y^{2} + 2 ∣ x ∣ ∣ y ∣ \geq x^{2} + y^{2}$

所以 $x^{2} + y^{2} \leq ∣ x ∣ + ∣ y ∣$ ，成立。

在複數平面上看：

∣ z + \overline{z} ∣

、

∣ z - \overline{z} ∣

分別是直角三角形兩股長的

2

倍，

2 ∣ z ∣

是斜邊的

2

倍，(3)(4)(5) 就是「股不大於斜邊、斜邊不大於兩股和」。

z \pm \overline{z}

的題目，設

z = x + y i

化成實數的不等式最穩。

05填充 1～4（第 5～8 題）：複數相等、判別式、垂直平分線、根與係數

第 5 題

兩邊同除以 $2 + 6 i$ ：

$a + bi = \frac{- 80}{2 + 6 i} = \frac{- 80 ( 2 - 6 i )}{( 2 + 6 i ) ( 2 - 6 i )} = \frac{- 80 ( 2 - 6 i )}{40} = - 4 + 12 i$

$a$ 、 $b$ 是實數，所以 $a = - 4$ 、 $b = 12$ ，數對 $(a, b) = (- 4, 12)$ 。

也可展開：

(2 a - 6 b) + (6 a + 2 b) i = - 80

，得

6 a + 2 b = 0

、

2 a - 6 b = - 80

，同樣解出

(- 4, 12)

。

第 6 題

實係數二次方程式的兩根是一對共軛虛根，等價於判別式小於 $0$ ：

$(- 2 k)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 4 k^{2} - 12 < 0$

$k^{2} < 3$ ，所以 $- 3 < k < 3$ 。

第 7 題

$∣ z - 1 + 2 i ∣ = ∣ z - (1 - 2 i) ∣$ 是 $z$ 到點 $P (1, - 2)$ 的距離， $∣ z - 2 - 3 i ∣ = ∣ z - (2 + 3 i) ∣$ 是 $z$ 到點 $Q (2, 3)$ 的距離。

到兩定點等距的點，全體是線段 $P Q$ 的垂直平分線，所以圖形是一直線。

設

z = x + y i

代入平方也可得：

(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = (x - 2)^{2} + (y - 3)^{2}

，整理成

x + 5 y - 4 = 0

，是一條直線。

第 8 題

由根與係數的關係， $α + β = - 3$ ， $α β = 8$ 。

$α^{2} + β^{2} = (α + β)^{2} - 2 α β = 9 - 16 = - 7$

$\frac{β}{α} + \frac{α}{β} = \frac{α ^{2} + β ^{2}}{α β} = - \frac{7}{8}$

判別式

9 - 32 < 0

，兩根是共軛虛根，所以

α^{2} + β^{2}

可以是負數；根與係數的關係照樣成立。

絕對值

∣ z - w ∣

就是兩點距離；根的對稱式先化成兩根和與兩根積。

06填充 5～8（第 9～12 題）：虛根成對、絕對值、平方根、面積

第 9 題

方程式是實係數， $1 + i$ 是根，所以共軛 $1 - i$ 也是根。兩根的和為 $2$ 、積為 $2$ ，所以 $x^{2} - 2 x + 2$ 是因式。

設 $x^{4} - 2 x^{3} - x^{2} + 6 x - 6 = (x^{2} - 2 x + 2) (x^{2} + p x + q)$ 。比較常數項： $2 q = - 6$ ， $q = - 3$ ；比較 $x^{3}$ 項係數： $p - 2 = - 2$ ， $p = 0$ 。

$x^{4} - 2 x^{3} - x^{2} + 6 x - 6 = (x^{2} - 2 x + 2) (x^{2} - 3)$

$x^{2} - 3 = 0$ 得 $x = \pm 3$ 。另三根為 $1 - i$ 、 $3$ 、 $- 3$ 。

展開檢查：

(x^{2} - 2 x + 2) (x^{2} - 3) = x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x^{2} + 6 x - 6 = x^{4} - 2 x^{3} - x^{2} + 6 x - 6

。

第 10 題

乘積、商的絕對值等於絕對值的乘積、商，次方也一樣：

$- 1 + 3 i = 1 + 3 = 2$ ， $1 - 2 i = 1 + 2 = 3$ ， $3 + i = 3 + 1 = 2$ 。

$∣ z ∣ = \frac{2 ^{6} \cdot ( 3 ) ^{2}}{2 ^{4}} = \frac{64 \cdot 3}{16} = 12$

第 11 題

設 $z = x + y i$ （ $x, y$ 為實數）， $z^{2} = (x^{2} - y^{2}) + 2 x y i = - 5 + 12 i$ 。

比較實部、虛部： $x^{2} - y^{2} = - 5$ ， $x y = 6$ 。

又 $∣ z ∣^{2} = z^{2} = 25 + 144 = 13$ ，即 $x^{2} + y^{2} = 13$ 。與 $x^{2} - y^{2} = - 5$ 相加減： $x^{2} = 4$ 、 $y^{2} = 9$ 。

$x y = 6 > 0$ ， $x$ 、 $y$ 同號，所以 $(x, y) = (2, 3)$ 或 $(- 2, - 3)$ ， $z = 2 + 3 i$ 或 $- 2 - 3 i$ 。

檢查：

(2 + 3 i)^{2} = 4 + 12 i + 9 i^{2} = - 5 + 12 i

。

第 12 題

三點坐標 $A (5, 4)$ 、 $B (6, - 1)$ 、 $C (0, - 3)$ 。用外框的長方形扣掉三個直角三角形：

外框 $x$ 從 $0$ 到 $6$ 、 $y$ 從 $- 3$ 到 $4$ ，面積 $6 \times 7 = 42$ 。

$△ A B C = 42 - \frac{5}{2} - 6 - \frac{35}{2} = 16$

也可用坐標面積公式：

\frac{1}{2} ∣ (6 - 5) (- 3 - 4) - (0 - 5) (- 1 - 4) ∣ = \frac{1}{2} ∣ - 7 - 25 ∣ = 16

。

實係數方程式知道一個虛根，就有一個二次因式；只問絕對值時，不必把複數真的乘出來。

07填充 9～12（第 13～16 題）：負數的平方根、絕對值的幾何意義

第 13 題

$a b = p i \cdot q i = - pq = - 2$

$(a - b)^{2} = a + b - 2 a b = - 3 - 2 \cdot (- 2) = 1$

學校答案為 $1$ ，就是這樣算出來的。

這題的重點是：兩個負實數的平方根相乘，

a b = - ab

，不能寫成

ab

。但本題條件下

a

、

b

其實是一對共軛虛數（

\frac{- 3 \pm 7 i}{2}

），高中沒有定義虛數的平方根；學校的

1

是把

a

、

b

當成兩個負數來算的結果，本題條件本身有矛盾。

第 14 題

設 $z = x + y i$ （ $x, y$ 為實數）， $∣ \overline{z} ∣ = x^{2} + y^{2}$ 是實數。

$(x + x^{2} + y^{2}) + y i = 8 - 4 i$

所以 $z = 3 - 4 i$ 。

檢查：

∣ 3 + 4 i ∣ = 5

，

3 - 4 i + 5 = 8 - 4 i

。

第 15 題

$∣ z - (- 1 + i) ∣$ 是點 $z$ 到 $P (- 1, 1)$ 的距離， $∣ z - (2 + 4 i) ∣$ 是點 $z$ 到 $Q (2, 4)$ 的距離。 $z = k i$ 是虛軸（ $x = 0$ ）上的點 $(0, k)$ 。

$P$ 在虛軸左側、 $Q$ 在虛軸右側，所以距離和 $\geq \overline{P Q}$ ，等號在 $(0, k)$ 落在線段 $P Q$ 上時成立。

直線 $P Q$ 的斜率 $\frac{4 - 1}{2 - ( - 1 )} = 1$ ，方程式 $y = x + 2$ ；與 $x = 0$ 交於 $(0, 2)$ 。所以 $k = 2$ 。

若兩點在虛軸同側，就要先把其中一點對虛軸作對稱點再連線；本題兩點已在兩側，直接連線。

第 16 題

利用 $∣ w ∣^{2} = w \overline{w}$ ：

$∣ z_{1} + z_{2} ∣^{2} = (z_{1} + z_{2}) (\overline{z_{1}} + \overline{z_{2}}) = ∣ z_{1} ∣^{2} + ∣ z_{2} ∣^{2} + (z_{1} \overline{z_{2}} + \overline{z_{1}} z_{2})$

$∣ z_{1} - z_{2} ∣^{2} = ∣ z_{1} ∣^{2} + ∣ z_{2} ∣^{2} - (z_{1} \overline{z_{2}} + \overline{z_{1}} z_{2})$

兩式相加： $∣ z_{1} + z_{2} ∣^{2} + ∣ z_{1} - z_{2} ∣^{2} = 2 (∣ z_{1} ∣^{2} + ∣ z_{2} ∣^{2}) = 2 (4 + 9) = 26$ 。

所以 $∣ z_{1} + z_{2} ∣^{2} = 26 - 5 = 21$ ， $∣ z_{1} + z_{2} ∣ = 21$ 。

幾何意義：以

O A

、

O B

為兩邊作平行四邊形，兩條對角線長是

∣ z_{1} + z_{2} ∣

與

∣ z_{1} - z_{2} ∣

；兩對角線平方和等於四邊平方和。

∣ z - w ∣

是距離；距離和最小找線段，對角線長用

∣ w ∣^{2} = w \overline{w}

展開。

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高師大附中 112 上高三第二次段考數學的答案在哪裡？

高師大附中 112 上高三第二次段考數學哪幾題最容易錯？

高師大附中 112 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

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