高師大附中 111 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (D)。

負數的平方根先化成 $i$ 乘以正數的平方根再運算：

$a=(\sqrt{3}i{)}^2=3i^2=-3$。

$b=\sqrt{-9}=3i$。

$c=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}i}=\frac{3}{i}=-3i$。

$d=\sqrt{6}i\times \frac{\sqrt{3}i}{\sqrt{2}}=\sqrt{9}{i}^2=-3$。

所以 $d=a$，選 (D)；其餘 $a=b$、$b=c$、$c=d$、$b=d$ 都不成立。

答案 (D)。

$1-\sqrt{3}i=2\left(\cos (-60^{\circ })+i\sin (-60^{\circ })\right)$，所以 $|z|=2|w|$，且 $\overrightarrow{OA}$ 與 $\overrightarrow{OB}$ 的夾角為 $60^{\circ }$。

設 $\overline{OB}=k$，則 $\overline{OA}=2k$，由餘弦定理 $${\overline{AB}}^2=k^2+4k^2-2\cdot k\cdot 2k\cos 60^{\circ }=3k^2$$ 於是 ${\overline{OB}}^2+{\overline{AB}}^2=k^2+3k^2=4k^2={\overline{OA}}^2$，$\angle OBA=90^{\circ }$，是直角三角形（三邊 $k$、$\sqrt{3}k$、$2k$ 互不相等，不是等腰或正三角形）。

答案 (A)(D)(E)。

$f(x)$ 是五次實係數多項式，最多 $5$ 個實根。由勘根定理：$f(-2)<0<f(-1)$，$(-2,-1)$ 內有奇數個實根（$1$ 或 $3$ 個）；$f(-1)>0>f(0)$，$(-1,0)$ 內有奇數個實根；$f(0)$、$f(1)$ 同號，$(0,1)$ 內有偶數個實根（$0$ 或 $2$ 個）；$f(1)<0<f(2)$，$(1,2)$ 內有奇數個實根。所以至少有 $3$ 個實根，剩下的 $2$ 個根可能是實根也可能是一對共軛虛根。

(A) 正確。 例如 $f(x)=(x+1.9)(x+1.5)(x+1.1)(x+0.5)(x-1.5)$ 符合整張表，$(-2,-1)$ 內有 $3$ 個實根。

(B) 錯誤。 例如 $f(x)=(x+1.5)(x+0.9)(x+0.5)(x+0.1)(x-1.5)$ 符合整張表，$(-1,0)$ 內有 $3$ 個實根。

(C) 錯誤。 例如 $f(x)=(x+1.5)(x+0.5)(x-0.3)(x-0.7)(x-1.5)$ 符合整張表，$(0,1)$ 內有 $2$ 個實根。

(D) 正確。 例如 $f(x)=(x+1.5)(x+0.5)(x-1.5)(x^2+1)$ 符合整張表，有共軛虛根 $\pm i$。

(E) 正確。 $x<-2$ 時 $f(x)$ 恆負，不會等於 $0$，所以沒有小於 $-2$ 的實根。

答案 (C)(D)。

$-8+8\sqrt{3}i=16\left(\cos 120^{\circ }+i\sin 120^{\circ }\right)$，四次方根為 $$z=2\left(\cos (30^{\circ }+90^{\circ }k)+i\sin (30^{\circ }+90^{\circ }k)\right),k=0,1,2,3$$ 即 $\sqrt{3}+i$、$-1+\sqrt{3}i$、$-\sqrt{3}-i$、$1-\sqrt{3}i$（輻角 $30^{\circ }$、$120^{\circ }$、$210^{\circ }$、$300^{\circ }$）。

(A) 錯誤。 $-1-\sqrt{3}i$ 的輻角是 $240^{\circ }$，不在其中（它的四次方是 $-8-8\sqrt{3}i$）。

(B) 錯誤。 $-\sqrt{3}+i$ 的輻角是 $150^{\circ }$，不在其中。

(C) 正確。 輻角 $120^{\circ }$，對應 $k=1$。

(D) 正確。 輻角 $30^{\circ }$，對應 $k=0$。

(E) 錯誤。 $\sqrt{3}-i$ 的輻角是 $330^{\circ }$，不在其中。

答案 (A)(C)。

由圖，$P(z)$ 在第一象限、靠近實軸；$Q(w)$ 在第二象限、靠近虛軸。

(A) 正確。 $-z$ 是 $P$ 對原點的對稱點，在第三象限，離原點的距離與 $P$ 差不多，最接近的是 $D$。

(B) 錯誤。 $\overline{z}$ 是 $P$ 對實軸的對稱點，在第四象限，最接近的是 $F$，不是 $B$。

(C) 正確。 $z+w$ 是以 $\overrightarrow{OP}$、$\overrightarrow{OQ}$ 為兩邊的平行四邊形的第四個頂點：實部是 $P$ 的實部減去一小段，虛部是兩者虛部相加，落在第一象限較高處，最接近的是 $A$。

(D) 錯誤。 $z-1$ 是 $P$ 往左平移 $1$，虛部不變，仍在實軸上方；$F$ 在實軸下方，不可能是 $z-1$。

(E) 錯誤。 $iw$ 是 $Q$ 繞原點逆時針轉 $90^{\circ }$：$Q$ 在第二象限、靠近正虛軸，轉 $90^{\circ }$ 後落在第三象限、靠近負實軸，離原點的距離不變；最接近的是 $D$，而 $C$ 在實軸上且離原點遠得多。

答案 (B)(D)。

令 $u=z^n$（$u\ne 0$），兩邊乘以 $u$：$u^2+4u+4=0$，$(u+2{)}^2=0$，所以 $$z^n=-2=2(\cos \pi +i\sin \pi )$$ 於是 $r^n=2$，$n\theta =\pi +2k\pi$，即 $\theta =\frac{(2k+1)\pi }{n}$（$k$ 為整數）。

(A) 錯誤。 $r=\sqrt[n]{2}\ne 1$。

(B) 正確。 例如 $n=2$，$z^2=-2$，$z=\pm \sqrt{2}i$ 滿足題意。

(C) 錯誤。 $z^n=-2$ 恰有 $n$ 個不同的根，不是 $2n$ 個。

(D) 正確。 取 $n=7$、$k=1$，$\theta =\frac{3\pi }{7}$。

(E) 錯誤。 若 $\frac{(2k+1)\pi }{n}=\frac{4\pi }{7}$（或與它差 $2\pi$ 的整數倍），則 $n\theta =\frac{4n\pi }{7}$ 要等於 $\pi$ 的奇數倍，即 $4n=7\times (\text{奇數})$；左邊是偶數、右邊是奇數，不可能。

$i$ 的次方以 $4$ 為週期，連續四項的和為 $i-1-i+1=0$。分子共 $43$ 項，前 $40$ 項和為 $0$，剩下 $$i^{41}+i^{42}+i^{43}=i-1-i=-1$$ 分母 $=i^{1+2+\cdots +43}=i^{946}$，$946=4\times 236+2$，所以分母 $=i^2=-1$。

原式 $=\frac{-1}{-1}=1=1+0i$，$(x,y)=(1,0)$。

設 $z=4+yi$（$y$ 為實數）， $$\frac{1}{z}=\frac{4-yi}{16+y^2}$$ 虛部 $\frac{-y}{16+y^2}=\frac{1}{10}$，即 $y^2+10y+16=0$，$(y+2)(y+8)=0$，$y=-2$ 或 $-8$。

所以 $z=4-2i$ 或 $4-8i$。

由根與係數關係 $a+b=-4$，$ab=-2$。

$a^2+b^2=(a+b{)}^2-2ab=16+4=20$，$a^2{b}^2=(ab{)}^2=4$。

$a^2,b^2$ 是 $x^2+mx+n=0$ 的兩根，所以 $-m=a^2+b^2=20$，$n=a^2{b}^2=4$，$(m,n)=(-20,4)$。

實係數方程式虛根成對，三次方程式只有三個根，最多只有一對虛根。$m+3i$ 與 $1+ni$ 都是虛根，它們（與各自的共軛）必屬於同一對，所以實部相同 $m=1$；兩根相異，所以 $1+ni$ 是 $1+3i$ 的共軛，$n=-3$，這對虛根是 $1+3i$、$1-3i$。

設第三根為 $r$，由根與係數關係，三根之和 $=\frac{5}{2}$： $$(1+3i)+(1-3i)+r=\frac{5}{2},r=\frac{1}{2}$$ 所有根為 $1+3i$、$1-3i$、$\frac{1}{2}$。

先把三個數都化成標準極式 $r(\cos \theta +i\sin \theta )$：

$\sin 41^{\circ }=\sin 139^{\circ }$，所以 $z_2=3(\cos 139^{\circ }+i\sin 139^{\circ })$。

$\sin 340^{\circ }=-\sin 20^{\circ }=\cos 250^{\circ }$，$-\cos 20^{\circ }=-\sin 70^{\circ }=\sin 250^{\circ }$，所以 $z_3=6(\cos 250^{\circ }+i\sin 250^{\circ })$。

$$\frac{z_1{z}_2}{z_3}=\frac{8\cdot 3}{6}\left(\cos (231^{\circ }+139^{\circ }-250^{\circ })+i\sin (231^{\circ }+139^{\circ }-250^{\circ })\right)=4(\cos 120^{\circ }+i\sin 120^{\circ })$$ $=-2+2\sqrt{3}i$，$(x,y)=(-2,2\sqrt{3})$。

化成極式：$1+i=\sqrt{2}(\cos 45^{\circ }+i\sin 45^{\circ })$，$1-\sqrt{3}i=2(\cos (-60^{\circ })+i\sin (-60^{\circ }))$， $$\frac{1+i}{1-\sqrt{3}i}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos 105^{\circ }+i\sin 105^{\circ }\right)$$ $n$ 次方的輻角為 $105n^{\circ }$；純虛數表示輻角是 $90^{\circ }$ 或 $270^{\circ }$（與 $90^{\circ }$ 差 $180^{\circ }$ 的整數倍）。

依序檢查 $105n$ 除以 $180$ 的餘數：$n=1,2,3,4,5,6$ 時為 $105,30,135,60,165,90$，第一次等於 $90$ 是 $n=6$。

所以最小正整數 $n=6$。

$\omega$ 是 $1$ 的七次方根，$1,\omega ,{\omega }^2,\dots ,{\omega }^6$ 是 $x^7-1=0$ 的七個根，所以 $$x^7-1=(x-1)(x-\omega )(x-{\omega }^2)\cdots (x-{\omega }^6)$$ 兩邊除以 $x-1$：$(x-\omega )(x-{\omega }^2)\cdots (x-{\omega }^6)=x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$。

代 $x=-2$：$(-2-\omega )(-2-{\omega }^2)\cdots (-2-{\omega }^6)=64-32+16-8+4-2+1=43$。

左邊共 $6$ 個因式，每個提出 $-1$，$(-1{)}^6=1$，所以 $$(2+\omega )(2+{\omega }^2)\cdots (2+{\omega }^6)=43$$

令 $W=z^2$，在複數平面上設 $W$ 對應點 $C$，$-2$、$2$ 對應點 $M$、$N$。

$\mathrm{Arg}(W+2)=60^{\circ }$：從 $M$ 指向 $C$ 的方向與正實軸夾 $60^{\circ }$。$\mathrm{Arg}(W-2)=150^{\circ }$：從 $N$ 指向 $C$ 的方向與正實軸夾 $150^{\circ }$。

所以 $△MNC$ 中 $\angle CMN=60^{\circ }$，$\angle CNM=180^{\circ }-150^{\circ }=30^{\circ }$，$\angle MCN=90^{\circ }$；$\overline{MN}=4$，$\overline{MC}=4\cos 60^{\circ }=2$。 $$W=-2+2(\cos 60^{\circ }+i\sin 60^{\circ })=-1+\sqrt{3}i=2(\cos 120^{\circ }+i\sin 120^{\circ })$$ $z^2=2(\cos 120^{\circ }+i\sin 120^{\circ })$ 的兩個平方根為 $\pm \sqrt{2}(\cos 60^{\circ }+i\sin 60^{\circ })$，即 $$z=\pm \left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{2}i\right)$$

正六邊形每個內角 $120^{\circ }$，相鄰兩邊等長。以中間的頂點 $0$ 為準，另兩個頂點 $z$ 與 $v=z+3-2\sqrt{3}i$ 到 $0$ 等距、夾角 $120^{\circ }$。

所以 $v$ 是 $z$ 繞原點轉 $120^{\circ }$：逆時針轉或順時針轉兩種可能，要用「順時針方向」挑一種。依順時針方向走 $z\to 0\to v$，在頂點 $0$ 要向右轉（走的方向右轉，但從頂點看出去，指向前一頂點的向量要逆時針轉 $120^{\circ }$ 才指向下一頂點）；以正六邊形的實際頂點檢查（例如順時針排列的相鄰三頂點 $i$、$\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$、$\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i$，以中間點為準），前一個頂點逆時針轉 $120^{\circ }$ 得到下一個頂點，所以 $$v=z\left(\cos 120^{\circ }+i\sin 120^{\circ }\right)$$ 代入 $v=z+3-2\sqrt{3}i$： $$z\left(-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=3-2\sqrt{3}i$$ $$z=\frac{3-2\sqrt{3}i}{-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i}=\frac{(3-2\sqrt{3}i)\left(-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)}{3}=\frac{-\frac{15}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}i}{3}=-\frac{5}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$$