高師大附中 111 上
高一第二次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (2)(4)。

$L_1:y=ax$ 一定通過原點，斜率是 $a$；$L_2:y=x+a$ 的斜率是 $1$（向右上），$y$ 截距也是 $a$。所以「$L_1$ 的斜率」和「$L_2$ 的 $y$ 截距」必須同號（同一個 $a$）。

(1) 錯誤。 $L_1$ 向右上，$a>0$；但 $L_2$ 與 $y$ 軸交在原點下方，$a<0$，矛盾。

(2) 正確。 $L_1$ 向右上且比 $L_2$ 陡，$a>1$；$L_2$ 與 $y$ 軸交在原點上方，$a>0$，兩者一致。例如 $a=2$：$L_1:y=2x$、$L_2:y=x+2$。

(3) 錯誤。 兩線平行，$a=1$，這時 $L_2:y=x+1$ 應在 $L_1$ 的上方（$y$ 截距 $1>0$）；圖中 $L_2$ 卻在 $L_1$ 的右下方，$y$ 截距為負，矛盾。

(4) 正確。 $L_1$ 向右下，$a<0$；$L_2$ 與 $y$ 軸交在原點下方，$a<0$，一致。例如 $a=-1$：$L_1:y=-x$、$L_2:y=x-1$。

(5) 錯誤。 $L_1$ 向右下，$a<0$；$L_2$ 與 $y$ 軸交在原點上方，$a>0$，矛盾。

答案 (1)(2)(5)。$L_1:y=\sqrt{3}x-1$，斜率 $\sqrt{3}$，不過原點；$L_2:x+ay=0$ 一定過原點。

(1) 正確。 取 $a=-\frac{1}{\sqrt{3}}$，$L_2$ 的斜率 $-\frac{1}{a}=\sqrt{3}$，和 $L_1$ 斜率相同；$L_2$ 過原點而 $L_1$ 不過原點，兩線不重合，所以平行。

(2) 正確。 例如 $a=0$，$L_2$ 是 $y$ 軸 $x=0$，與 $L_1$ 交於 $(0,-1)$ 一點。

(3) 錯誤。 $L_2$ 一定過原點，$L_1$ 不過原點（$0-0\ne 1$），不可能重合。

(4) 錯誤。 與 $y$ 軸夾角為 $90^{\circ }$ 就是水平線，但 $x+ay=0$ 的 $x$ 係數是 $1$，不可能是水平線（$a=0$ 時是鉛直線，與 $y$ 軸重合）。所以這樣的 $a$ 不存在。

(5) 正確。 $a=0$ 時 $L_2$ 鉛直，$L_1$ 不水平，兩線不垂直；$a\ne 0$ 時 $L_2$ 的斜率 $-\frac{1}{a}$，垂直條件 $\sqrt{3}\cdot \left(-\frac{1}{a}\right)=-1$，得 $a=\sqrt{3}$，恰好一個。

答案 (2)(3)。

(1) 錯誤。 三點兩兩連線的斜率都是 $1$，三點共線，沒有圓通過它們。

(2) 正確。 圓心是中點 $\left(\frac{1}{2},-1\right)$，半徑是直徑的一半，圓唯一確定：${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+(y+1{)}^2=\frac{109}{4}$。

(3) 正確。 四點構成以 $x=1$、$x=-2$、$y=1$、$y=-1$ 為四邊的矩形，矩形四頂點共圓，圓心是對角線中點 $\left(-\frac{1}{2},0\right)$，半徑 $\frac{\sqrt{13}}{2}$，唯一。

(4) 錯誤。 圓心 $(-1,2)$ 到 $y$ 軸距離 $1$、到 $x$ 軸距離 $2$；與兩軸都相切需要半徑同時等於 $1$ 與 $2$，不可能，這樣的圓不存在。

(5) 錯誤。 三條直線 $x+y-1=0$、$x$ 軸、$y$ 軸圍成一個三角形，圓心設在第一象限的 $(r,r)$、半徑 $r$（與兩軸都相切），令它到 $x+y-1=0$ 的距離 $\frac{|2r-1|}{\sqrt{2}}=r$，得 $r=\frac{2-\sqrt{2}}{2}$（內切圓）或 $r=\frac{2+\sqrt{2}}{2}$（三角形外的旁切圓），已有兩個不同的圓（另外還有兩個旁切圓），不唯一。

答案 (3)(4)。配方：$(x+3{)}^2+(y-4{)}^2=16$，圓心 $O(-3,4)$、半徑 $4$。$\overline{OP}=\sqrt{8^2+6^2}=10$。

(1) 錯誤。 圓心到 $y$ 軸的距離是 $3<4$，圓與 $y$ 軸相割。

(2) 錯誤。 切線長 $\overline{PA}=\sqrt{{\overline{OP}}^2-4^2}=\sqrt{84}=2\sqrt{21}$。

(3) 正確。 $\angle OAP=\angle OBP=90^{\circ }$，所以 $O$、$A$、$P$、$B$ 都在以 $\overline{OP}$ 為直徑的圓上，這個圓就是 $△PAB$ 的外接圓。圓心是 $\overline{OP}$ 的中點 $(1,1)$，半徑 $5$：$(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=25$。

(4) 正確。 四邊形 $PAOB$ 由兩個全等的直角三角形組成，面積 $2\times \frac{1}{2}\times 4\times 2\sqrt{21}=8\sqrt{21}$。

(5) 錯誤。 $\overline{AB}$ 被 $\overline{OP}$ 垂直平分。在直角 $△OAP$ 中，斜邊上的高為 $\frac{4\times 2\sqrt{21}}{10}=\frac{4\sqrt{21}}{5}$，所以 $\overline{AB}=\frac{8\sqrt{21}}{5}$。比較平方：${\left(\frac{8\sqrt{21}}{5}\right)}^2=\frac{1344}{25}=53.76<64$，$\overline{AB}<8$。

平行四邊形的對角線互相平分，任何通過對角線交點（對稱中心）的直線都把它分成兩個全等的部分，面積平分。

對角線 $\overline{AC}$ 的中點是 $\left(\frac{0+6}{2},\frac{4+0}{2}\right)=(3,2)$。斜率 $1$ 的直線過 $(3,2)$：$y-2=x-3$，即 $x-y=1$。

$2x-y=3$ 的斜率是 $2$，與它垂直的直線斜率 $-\frac{1}{2}$，可設 $L:x+2y=c$（$c\ne 0$）。

$x$ 截距 $c$、$y$ 截距 $\frac{c}{2}$，圍成的三角形面積 $\frac{1}{2}\cdot |c|\cdot \left|\frac{c}{2}\right|=\frac{c^2}{4}=4$，$c=\pm 4$。

$L$：$x+2y=4$ 或 $x+2y=-4$。

分兩種情形。

截距都不為 $0$：設兩軸截距都是 $t$，直線過 $(t,0)$ 與 $(0,t)$，斜率 $\frac{t-0}{0-t}=-1$，所以 $L:y=-x+t$，即 $x+y=t$。代入 $(-1,2)$ 得 $t=1$，$L:x+y=1$。

截距都為 $0$：直線過原點，又過 $(-1,2)$，斜率 $-2$，$L:y=-2x$（兩軸截距都是 $0$，也相等）。

答案 $y=-2x$ 或 $x+y=1$。

外心到三頂點等距，所以外心與某邊中點的連線就是該邊的中垂線，和該邊垂直。

$\overline{OP}$ 的斜率 $\frac{8-5}{-7+3}=-\frac{3}{4}$，所以 $AB$ 的斜率 $\frac{4}{3}$，$AB$：$y-8=\frac{4}{3}(x+7)$，即 $4x-3y+52=0$。

$\overline{OQ}$ 的斜率 $\frac{4-5}{0+3}=-\frac{1}{3}$，所以 $AC$ 的斜率 $3$，$AC$：$y=3x+4$。

$A$ 是兩線的交點：代入得 $4x-3(3x+4)+52=0$，$-5x+40=0$，$x=8$，$y=28$。$A(8,28)$。

過 $A(n,0)$、$B(0,2)$ 的直線斜率 $\frac{2-0}{0-n}=-\frac{2}{n}$，$y$ 截距 $2$，所以直線是 $y=-\frac{2}{n}x+2$。代入 $P(12,-k)$：$-k=-\frac{24}{n}+2$，所以 $k=\frac{24}{n}-2$。

$k$ 是正整數，所以 $\frac{24}{n}$ 是大於 $2$ 的整數，$n$ 是 $24$ 的正因數且 $n<12$：$n=1,2,3,4,6,8$，對應 $k=22,10,6,4,2,1$。

共 $6$ 組。

$y=mx+2m+3$ 改寫成 $y-3=m(x+2)$，是通過定點 $(-2,3)$、斜率 $m$ 的直線。

直線與正方形相交，斜率要介於定點與各頂點連線斜率的最小值和最大值之間：到 $A(1,0)$ 為 $\frac{0-3}{1+2}=-1$，到 $B(2,0)$ 為 $-\frac{3}{4}$，到 $C(2,1)$ 為 $-\frac{1}{2}$，到 $D(1,1)$ 為 $-\frac{2}{3}$。

最小 $-1$、最大 $-\frac{1}{2}$，所以 $-1\le m\le -\frac{1}{2}$。

取 $O$ 為原點，$y$ 軸是桌子的左邊 $x=0$，對邊是 $x=4$，$A(0,8)$。

反射時入射角等於反射角，可以用對稱點把折線拉直：$P(2,2)$ 對 $y$ 軸的對稱點 $P^{\prime }(-2,2)$；$A(0,8)$ 對直線 $x=4$ 的對稱點 $A^{\prime }(8,8)$。球的路徑 $P\to Q\to R\to A$ 拉直後就是 $P^{\prime }$、$Q$、$R$、$A^{\prime }$ 共線。

$\overline{P^{\prime }{A}^{\prime }}$ 的斜率 $\frac{8-2}{8+2}=\frac{3}{5}$，直線 $y-2=\frac{3}{5}(x+2)$。

與 $x=4$ 的交點：$y=2+\frac{3}{5}\times 6=\frac{28}{5}$，$R\left(4,\frac{28}{5}\right)$。

配方：$(x-3{)}^2+(y-2{)}^2=16$，圓心 $(3,2)$、半徑 $4$。$\sqrt{(x+1{)}^2+(y+1{)}^2}$ 是圓上的點到 $(-1,-1)$ 的距離。

$(-1,-1)$ 到圓心的距離 $\sqrt{16+9}=5>4$，在圓外。所以最大值 $M=5+4=9$，最小值 $m=5-4=1$，$(M,m)=(9,1)$。

界線上的點 $X(x,y)$，甲、乙兩人趕到所需時間相同。甲、乙速度比 $2:3$，時間相同時距離比也是 $2:3$：$\overline{XA}:\overline{XB}=2:3$，即 $3\overline{XA}=2\overline{XB}$，平方得 $9{\overline{XA}}^2=4{\overline{XB}}^2$。

$$9\left[(x-2{)}^2+(y+3{)}^2\right]=4\left[(x-12{)}^2+(y-17{)}^2\right]$$

左邊 $9x^2+9y^2-36x+54y+117$，右邊 $4x^2+4y^2-96x-136y+1732$。移項：$5x^2+5y^2+60x+190y-1615=0$，除以 $5$：

$$x^2+y^2+12x+38y-323=0$$

設圓 $C$ 的半徑為 $r$。$O$ 在圓外：$\overline{CO}>r$；$B$ 在圓內：$\overline{CB}<r$。所以 $\overline{CB}<\overline{CO}$，平方：

$$(x-2{)}^2+(y-6{)}^2<x^2+y^2$$

展開化簡：$-4x-12y+40<0$，即 $x+3y>10$。

反過來，只要 $x+3y>10$，取 $r$ 介於 $\overline{CB}$ 與 $\overline{CO}$ 之間，就能做出這樣的圓，所以所求的不等式是 $x+3y>10$。

兩條直線 $2x-y+2=0$ 與 $2x-y-8=0$ 平行。弦長相等，表示圓心到兩線的距離相等，圓心在兩線正中間。

兩平行線的距離 $\frac{|2-(-8)|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$，所以圓心到每一條線的距離是 $\sqrt{5}$。

弦長 $10$，半弦 $5$，半徑平方 $r^2=5^2+(\sqrt{5}{)}^2=30$。圓的面積 $30\pi$。

陰影的兩端是從光源 $A(6,9)$ 對圓所作兩條切線與 $x$ 軸的交點。圓心 $(4,5)$、半徑 $2$。

鉛直線 $x=6$：圓心到它的距離 $|6-4|=2$，等於半徑，是一條切線，與 $x$ 軸交於 $(6,0)$。

斜率為 $k$ 的直線 $y-9=k(x-6)$，即 $kx-y+9-6k=0$。相切：$\frac{|4k-5+9-6k|}{\sqrt{k^2+1}}=2$，$(4-2k{)}^2=4(k^2+1)$，$16-16k=4$，$k=\frac{3}{4}$。這條切線 $y-9=\frac{3}{4}(x-6)$ 與 $x$ 軸交於 $-9=\frac{3}{4}(x-6)$，$x=-6$。

圓在 $y=3$ 到 $y=7$ 之間，整個在光源下方、地面上方。陰影從 $x=-6$ 到 $x=6$，長度 $12$。

$A(5,1)$ 在 $L$ 上：$k=5-2\times 1=3$。

$A$ 在圓上：$25+1+5a+b+14=0$，$5a+b=-40$。

圓心 $\left(-\frac{a}{2},-\frac{b}{2}\right)$。切點與圓心的連線和切線垂直；$L$ 的斜率 $\frac{1}{2}$，所以這條連線斜率 $-2$：

$$\frac{-\frac{b}{2}-1}{-\frac{a}{2}-5}=-2$$

化簡得 $-\frac{b}{2}-1=a+10$，$b=-2a-22$。代入 $5a+b=-40$：$3a-22=-40$，$a=-6$，$b=-10$。

$(a,b,k)=(-6,-10,3)$。

令 $t=(x+2{)}^2+(y-1{)}^2$，是點 $P$ 到 $(-2,1)$ 的距離平方，$t\ge 0$。不等式變成 $(t-1)(t-4)(t-9)\le 0$。

三個根 $1<4<9$，三次式在 $t<1$ 時為負、$1<t<4$ 為正、$4<t<9$ 為負、$t>9$ 為正，所以 $t\le 1$ 或 $4\le t\le 9$。

區域 $R$ 是以 $(-2,1)$ 為圓心、半徑 $1$ 的圓盤，加上半徑 $2$ 到 $3$ 之間的圓環。面積 $\pi \cdot 1^2+\left(\pi \cdot 3^2-\pi \cdot 2^2\right)=\pi +5\pi =6\pi$。

設圓弧所在的圓半徑為 $r$。洞頂是最高點，圓心在洞頂正下方 $r$ 處。水面寬 $240$ 是一條弦，半弦 $120$；洞頂到水面 $90$，所以圓心到水面的距離是 $r-90$。

$$r^2=120^2+(r-90{)}^2$$

$0=14400-180r+8100$，$r=\frac{22500}{180}=125$。

拱橋下緣成為半圓時，水面恰好通過圓心，水面寬是直徑 $2\times 125=250$ 公分。