01 · 試題原卷 19 題，照原卷順序
考試班級為忠、孝兩班，考試時間 80 分鐘。多選題 5 題共 30 分；填充題 11 題共 12 格，每格 5 分，共 60 分；混合題 1 題共 10 分（第 1 小題單選 3 分，第 2、3 小題需過程各 3 分、4 分），合計 100 分。原卷填充題用 A～K 編號、混合題的小題用 (1)～(3)，本頁依序連續編為第 1～19 題（填充 A～K 為第 6～16 題，填充 G 的兩格合為第 12 題；混合題 (1)～(3) 為第 17～19 題）。答案已與學校公布的答案逐題核對。
一、多選題（占30分）說明：第1題至第5題，每題有5個選項，其中至少有一個是正確的選項。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得6分；答錯1個選項者，得4分；答錯2個選項者，得2分；答錯多於2個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。
1
選出正確的選項。- (A) −16=16i
- (B) (−3)2=(−3)2
- (C) −5+3i 的實部為 −5，虛部為 3
- (D) 3 是實數，也是複數
- (E) 7i>3i
2
選出正確的選項。- (A) −5⋅3=−15
- (B) −5⋅−3=−15
- (C) −7−3=73
- (D) 7−3=7−3
- (E) −73=−73
3
在複數平面上，下列哪些點會落在滿足 ∣z−3i∣=2 的圖形上？- (A) 5i
- (B) i
- (C) 3+3i
- (D) 3+2i
- (E) −2+3i
4
若已知複數 z=−5−2i，則下列哪些選項是正確的？- (A) z 所對應的點在複數平面上是位於第一象限
- (B) −z 所對應的點在複數平面上是位於第一象限
- (C) z 所對應的點在複數平面上是位於第二象限
- (D) iz 所對應的點在複數平面上是位於第三象限
- (E) z+z 所對應的點在複數平面上是位於 y 軸
5
請問下列哪些複數符合 ∣z1∣+∣z2∣=∣z1+z2∣？- (A) z1=2i，z2=−3i
- (B) z1=2+5i，z2=3+4i
- (C) z1=3−4i，z2=3+4i
- (D) z1=1−2i，z2=3−6i
- (E) z1=−8−15i，z2=−24−45i
二、填充題（每格全對才給分，每格5分，共60分）
6
A. 化簡 i⋅i2⋅i3⋅⋯⋅i43i+i2+i3+⋯+i43=x+yi，其中 x,y 是實數，則數對 (x,y) 為 ____。
7
B. 將複數 −5+4i2+23i 表示成 a+bi 的形式，其中 a,b 是實數，則數對 (a,b) 為 ____。
8
C. 已知複數 z 的實部為 4，z1 的虛部為 101，試求複數 z 為 ____。
9
D. 設 a 為實數，若方程式 3x2+(10−3i)x+(a+2i)=0 有一實根，則此方程式之解為 ____。
10
E. 方程式 3x2−x+1=0 之解為 ____。
11
F. 設 a,b 為方程式 x2+4x−2=0 之二根，若 a2,b2 為方程式 x2+mx+n=0 之二根，則數對 (m,n) 的值為 ____。
12
G. 設實係數三次方程式 2x3−5x2+ax+b=0 有兩虛根為 m+3i 與 1+ni，其中 a,b,m,n 為實數，則
(1) 數對 (a,b) 的值為 ____。
(2) 此方程式的所有根為 ____。
13
H. 設複數 z 滿足 z2=−21+20i，求此複數 z 為 ____。
14
I. 設 a 為實數，令 α,β 為二次方程式 x2+ax+(23a−3)=0 的兩個根。試問當 a= ____ 時，∣α−β∣ 有最小值。
15
J. 設 2−i 為 x2+ax+(1+2i)=0 的一根，則 a 的值為 ____。
16
K. 設 z 為一複數，且 z+1z−3=i（其中 i=−1 為虛數單位）。試問 z 的絕對值 ∣z∣ 為 ____。 三、混合題（10分）
17
1. 如下圖，設 O 為複數平面上的原點，並令 A,B 分別代表複數 z1,z2，且滿足 ∣z1∣=2，∣z2∣=22，∣z2−z1∣=6，試回答下列問題：
(1) △OAB 是何種三角形？（單選，3 分）- (A) 正三角形
- (B) 直角三角形
- (C) 等腰三角形
- (D) 等腰直角三角形
18
(2) 求 ∣z1+z2∣ 之值。（需過程，3 分）
19
(3) 求 ∣2z2−z1∣ 之值。（需過程，4 分）
第 1 題(C)(D)
第 2 題(A)(B)(C)(D)
第 3 題(A)(B)(D)(E)
第 4 題(B)(C)
第 5 題(D)(E)
第 6 題(1,0)
第 7 題(2,−3)
第 8 題4−2i 或 4−8i
第 9 題32 或 −4+i
第 10 題61+11i 或 61−11i 第 11 題(−20,4)
第 12 題(1) (22,−10) (2) 1±3i 或 21
第 13 題2+5i 或 −2−5i
第 14 題3
第 15 題−2
第 17 題(B)
03 · 勾錯題號勾出錯的題號，看錯在哪幾章
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01多選第 1、2 題：負數的平方根
第 1 題負數的平方根先寫成「實數乘 i」：a>0 時 −a=ai。
(A) 錯誤。−16=16i=4i，不是 16i。
(B) 錯誤。左邊 (−3)2=(3i)2=3i2=−3；右邊 (−3)2=9=3。兩邊不相等。
(C) 正確。a+bi（a,b 為實數）的實部是 a、虛部是 b，所以 −5+3i 的實部為 −5，虛部為 3（虛部是實數 3，不是 3i）。
(D) 正確。3=3+0i，是實數；實數都是複數。
(E) 錯誤。7i 與 3i 都不是實數，虛數之間不能比大小，「7i>3i」沒有意義。
(E) 若硬要規定 i>0，兩邊同乘 i 會得到 −1>0，矛盾；所以虛數沒有大小順序。
第 2 題把每個根號裡的負數先寫成 i 再算：−5=5i，−3=3i，−7=7i。
(A) 正確。−5⋅3=5i⋅3=15i，而 −15=15i，相等。
(B) 正確。−5⋅−3=5i⋅3i=15i2=−15。
(C) 正確。
−7−3=7i3i=73=73
(D) 正確。
7−3=73i=73i,7−3=−73=73i
兩者相等。
(E) 錯誤。
−73=7i3=7i(−i)3(−i)=−73i
而 −73=−73=73i，兩者差一個負號。
ab=ab 在
a,b 都是負數時不成立（(B)）；
ba=ba 在
a≥0、
b<0 時不成立（(E)）。其餘情形都成立。
根號裡出現負數，第一步一律先寫成
ai 再運算，不要直接套實數的根號規則。
02多選第 3～5 題：複數平面與絕對值
第 3 題∣z−3i∣=2 表示點 z 到點 3i（坐標 (0,3)）的距離為 2，圖形是以 (0,3) 為圓心、半徑 2 的圓。逐一算到 3i 的距離：
(A) 正確。∣5i−3i∣=∣2i∣=2。
(B) 正確。∣i−3i∣=∣−2i∣=2。
(C) 錯誤。∣3+3i−3i∣=∣3∣=3=2。
(D) 正確。3+2i−3i=3−i=3+1=2。
(E) 正確。∣−2+3i−3i∣=∣−2∣=2。
第 4 題z=−5−2i 對應點 (−5,−2)。
(A) 錯誤。(−5,−2) 在第三象限。
(B) 正確。−z=5+2i，對應點 (5,2)，在第一象限。
(C) 正確。z=−5+2i，對應點 (−5,2)，在第二象限。
(D) 錯誤。iz=i(−5−2i)=−5i−2i2=2−5i，對應點 (2,−5)，在第四象限。
(E) 錯誤。z+z=(−5+2i)+(−5−2i)=−10，對應點 (−10,0)，在 x 軸（實軸）上，不在 y 軸上。
第 5 題把 z1、z2 看成從原點出發的兩個箭頭，∣z1+z2∣≤∣z1∣+∣z2∣，等號成立恰好是兩個箭頭同方向（其中一個是另一個的非負實數倍）。逐一檢查：
(A) 錯誤。−3i=−23⋅2i，方向相反。直接算：∣z1∣+∣z2∣=2+3=5，∣z1+z2∣=∣−i∣=1。
(B) 錯誤。實部的比 23 與虛部的比 54 不相等，z2 不是 z1 的實數倍。直接算：∣z1∣+∣z2∣=29+5≈10.39，∣z1+z2∣=∣5+9i∣=106≈10.30，不相等。
(C) 錯誤。∣z1∣+∣z2∣=5+5=10，∣z1+z2∣=∣6∣=6。
(D) 正確。z2=3−6i=3(1−2i)=3z1，同方向。∣z1∣+∣z2∣=5+35=45，∣z1+z2∣=∣4−8i∣=80=45。
(E) 正確。z2=−24−45i=3(−8−15i)=3z1，同方向。∣z1∣+∣z2∣=17+51=68，∣z1+z2∣=∣−32−60i∣=4∣−8−15i∣=68。
∣z−z0∣ 是兩點距離；∣z1∣+∣z2∣=∣z1+z2∣ 就是兩個複數同方向。
03填充 A～C（第 6～8 題）：複數的四則運算
第 6 題i 的次方每 4 個一循環：i,−1,−i,1，連續 4 項的和為 0。
分子共 43 項，前 40 項的和為 0，剩下
i41+i42+i43=i+(−1)+(−i)=−1
分母 =i1+2+3+⋯+43=i243×44=i946。946=4×236+2，所以 i946=i2=−1。
原式 =−1−1=1=1+0i，數對 (x,y)=(1,0)。
第 7 題分子分母同乘分母的共軛 −5−4i：
−5+4i2+23i=(−5)2+42(2+23i)(−5−4i)=41−10−8i−115i−92i2=4182−123i=2−3i
數對 (a,b)=(2,−3)。
第 8 題設 z=4+bi（b 為實數）。
z1=(4+bi)(4−bi)4−bi=16+b24−16+b2bi
虛部 −16+b2b=101，得 −10b=16+b2，即 b2+10b+16=0，(b+2)(b+8)=0，b=−2 或 −8。
所以 z=4−2i 或 4−8i。
檢查：4−2i1=204+2i，虛部 202=101；4−8i1=804+8i，虛部 808=101。兩個都符合。
複數的除法一律「分子分母同乘分母的共軛」；i 的次方先把指數除以 4 看餘數。
04填充 D～G（第 9～12 題）：方程式的根
第 9 題設實根為 r，代入並整理成實部、虛部：
(3r2+10r+a)+(−3r+2)i=0
r、a 都是實數，所以實部、虛部都要是 0：
由 −3r+2=0 得 r=32；再由 3⋅94+10⋅32+a=0，得 34+320+a=0，a=−8。
方程式為 3x2+(10−3i)x+(−8+2i)=0。由根與係數的關係，兩根之和為 −310−3i，所以另一根為
−310−3i−32=3−12+3i=−4+i
此方程式之解為 32 或 −4+i。
檢查兩根之積：32(−4+i)=3−8+2i，等於 3a+2i（a=−8）。這個方程式的係數不是實數，所以虛根 −4+i 的共軛不必是根。
第 10 題判別式 (−1)2−4⋅3⋅1=−11<0，兩根為共軛虛根。由公式解：
x=61±−11=61±11i
解為 61+11i 或 61−11i。
第 11 題由根與係數的關係，a+b=−4，ab=−2。
a2+b2=(a+b)2−2ab=16+4=20,a2b2=(ab)2=4
a2,b2 是 x2+mx+n=0 的二根，所以 a2+b2=−m，a2b2=n，得 m=−20，n=4。數對 (m,n)=(−20,4)。
第 12 題(1) 方程式是實係數，虛根成對：m+3i 的共軛 m−3i 也是根。三次方程式只有三個根，其中虛根成對出現，所以虛根只有一對，另一個根是實數。
1+ni 是虛根，又和 m+3i 是兩個不同的根，所以 1+ni 只能是 m−3i：m=1，n=−3。虛根為 1+3i、1−3i。
它們的和為 2、積為 1+9=10，所以 x2−2x+10 是 2x3−5x2+ax+b 的因式。設實根為 r，由三根之和 =25：2+r=25，r=21。
2x3−5x2+ax+b=2(x−21)(x2−2x+10)=(2x−1)(x2−2x+10)=2x3−5x2+22x−10
數對 (a,b)=(22,−10)。
(2) 所有根為 1+3i、1−3i、21。
檢查：x=21 代入 2x3−5x2+22x−10，得 41−45+11−10=0。
複數係數方程式有實根：實部、虛部各等於 0；實係數方程式：虛根成對，再用根與係數的關係。
05填充 H～K（第 13～16 題）：複數的平方根與方程式
第 13 題設 z=x+yi（x,y 為實數），z2=x2−y2+2xyi=−21+20i，所以
x2−y2=−21,xy=10
兩邊取絕對值：∣z∣2=z2=212+202=841=29，即 x2+y2=29。
與 x2−y2=−21 相加得 x2=4，相減得 y2=25。又 xy=10>0，x,y 同號，所以 (x,y)=(2,5) 或 (−2,−5)。
z=2+5i 或 −2−5i。
檢查：(2+5i)2=4+20i+25i2=−21+20i。
第 14 題由根與係數的關係，α+β=−a，αβ=23a−3。
(α−β)2=(α+β)2−4αβ=a2−6a+12=(a−3)2+3
這也是方程式的判別式，對每個實數 a 都大於 0，所以兩根永遠是相異實根，α−β 是實數，
∣α−β∣=(a−3)2+3
當 a=3 時有最小值 3。所求 a=3。
第 15 題把 x=2−i 代入：(2−i)2=4−4i+i2=3−4i，
3−4i+a(2−i)+1+2i=0 ⇒ a(2−i)=−4+2i=−2(2−i)
所以 a=−2。
方程式的常數項 1+2i 不是實數，所以不能用「虛根成對」說 2+i 也是根；直接代入最穩。
第 16 題由 z+1z−3=i（z=−1）得 z−3=i(z+1)，即 z−iz=3+i，
z=1−i3+i=(1−i)(1+i)(3+i)(1+i)=23+3i+i+i2=22+4i=1+2i
∣z∣=12+22=5。
也可以不解出 z：∣z−3∣=∣i∣∣z+1∣=∣z+1∣，表示 z 到 3 與到 −1 等距，實部為 1；但仍要用原式定出虛部，直接解比較快。
求複數的平方根：設
x+yi，比較實部虛部，再加上
∣z∣2=z2 就很快。
06三、混合題（第 17～19 題）：複數平面上的三角形
第 17 題△OAB 的三邊長：
OA=∣z1∣=2,OB=∣z2∣=22,AB=∣z2−z1∣=6
三邊長兩兩不同，所以不是正三角形，也不是等腰三角形。
OA2+AB2=2+6=8=OB2
由畢氏定理的逆定理，△OAB 是直角三角形，直角在 A。答 (B)。
三邊不等長，所以 (C)、(D) 都不對；只有 (B) 正確。
第 18 題利用 ∣w∣2=ww。先把已知的 ∣z2−z1∣2 展開：
∣z2−z1∣2=(z2−z1)(z2−z1)=∣z2∣2+∣z1∣2−(z1z2+z1z2)
代入 6=8+2−(z1z2+z1z2)，得 z1z2+z1z2=4。
∣z1+z2∣2=(z1+z2)(z1+z2)=∣z1∣2+∣z2∣2+(z1z2+z1z2)=2+8+4=14
所以 ∣z1+z2∣=14。
另一種看法：以 OA、OB 為兩邊作平行四邊形，兩條對角線長是 ∣z1+z2∣ 與 ∣z2−z1∣；兩條對角線的平方和等於四邊的平方和，∣z1+z2∣2+6=2(2+8)，同樣得 14。
第 19 題同樣展開，並用上一小題得到的 z1z2+z1z2=4：
∣2z2−z1∣2=(2z2−z1)(2z2−z1)=4∣z2∣2+∣z1∣2−2(z1z2+z1z2)
=4×8+2−2×4=26
所以 ∣2z2−z1∣=26。
檢查：直角在
A，
OA=2、
AB=6。取
z1=2、
z2=2+6i（三邊長相同的一個例子），
2z2−z1=2+26i，絕對值
2+24=26。
複數絕對值的平方用 ww 展開，交叉項 z1z2+z1z2 從已知的距離先求出來。
同一次段考的其他學校
同樣是高三第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。
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上傳考卷常見問題
高師大附中 111 上 高三第二次段考數學的答案在哪裡？
本頁列出全部 19 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。
高師大附中 111 上 高三第二次段考數學哪幾題最容易錯？
多選第 2 題（本頁第 2 題）選項 D 與 E 要先把根號裡的負數寫成 i 再比，直接套實數的根號規則會判錯；填充 G（本頁第 12 題）要看出兩個虛根互為共軛；填充 D（本頁第 9 題）的係數不是實數，要用實部虛部各為 0 先求實根；混合題第 2、3 小題（本頁第 18、19 題）要用絕對值的平方展開，先求出交叉項。詳解逐題寫在本頁。
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