高師大附中 113 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

$f(x)$ 是實係數，$1-2i$ 是根，所以共軛 $1+2i$ 也是根。這兩根的和為 $2$、積為 $1+4=5$，所以 $x^2-2x+5$ 是 $f(x)$ 的因式；三次多項式再除掉這個二次因式，剩下一個實係數一次因式，所以 $f(x)=0$ 還有一個實根 $r$。三根為 $1+2i$、$1-2i$、$r$。

(A) 正確。實係數方程式虛根成對，$1+2i$ 也是根，$f(1+2i)=0$。

(B) 錯誤。若 $3+2i$ 也是根，它的共軛 $3-2i$ 也要是根，連同 $1\pm 2i$ 共有四個根，但三次方程式只有三個根，矛盾。所以 $f(3+2i)\ne 0$。

(C) 錯誤。如上，一定有一個實根 $r$。

(D) 正確。$f(x)=0$ 的實根只有 $r$ 一個，圖形與 $x$ 軸恰有一個交點 $(r,0)$。

(E) 錯誤。$f(x)$ 的二次因式是 $x^2-2x+5$；$x^2-2x+2$ 的根是 $1\pm i$，不是 $f(x)=0$ 的根，所以 $f(x)$ 不能被它整除。

以下設 $z=x+yi$（$x,y$ 為實數），$\overline{z}=x-yi$。

(A) 錯誤。$z=2+ai$，共軛是把虛部變號：$\overline{z}=2-ai$，不是 $ai-2$（$ai-2$ 是 $-\overline{z}$）。

(B) 正確。$z+\overline{z}=2x=0$，得 $x=0$，$z=yi$。$y\ne 0$ 時是純虛數，$y=0$ 時是 $0$。

(C) 正確。$z=\overline{z}$ 得 $2yi=0$，$y=0$，$z=x$ 是實數。

(D) 錯誤。設 $z=2+yi$，

$$\frac{1}{z}=\frac{2-yi}{(2+yi)(2-yi)}=\frac{2-yi}{4+y^2}$$

實部是 $\frac{2}{4+y^2}$，只有 $y=0$ 時才等於 $\frac{1}{2}$。反例：$z=2+2i$，$\frac{1}{z}$ 的實部是 $\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$。

(E) 錯誤。反例：$z_1=i$、$z_2=-i$，$z_1+z_2=0\in R$，$z_1{z}_2=-i^2=1\in R$，但 $z_1$、$z_2$ 都不是實數。

(A) 錯誤。「實部等於實部、虛部等於虛部」只有在 $a$、$b$ 都是實數時才能用，這題 $a$、$b$ 是複數。反例：$b=i$、$a=1-3i$，則 $a+3i=1$，而 $2+bi=2+i^2=1$，兩邊相等，但 $a\ne 2$、$b\ne 3$。

(B) 錯誤。$2+3i$ 與 $-1-2i$ 都不是實數，虛數不能比大小，這個不等式沒有意義。

(C) 錯誤。$a+b>0$ 表示 $a+b$ 是正實數，$b>0$ 表示 $b$ 是正實數，所以 $a=(a+b)-b$ 是實數，但不一定是正的。反例：$a=-1$、$b=5$，$a+b=4>0$ 且 $b>0$，但 $a<0$。

(D) 正確。設 $a=x+yi$（$x,y$ 為實數），$a^2=(x^2-y^2)+2xyi$。$a^2<0$ 表示 $a^2$ 是負實數，所以 $2xy=0$ 且 $x^2-y^2<0$。若 $y=0$，$x^2-y^2=x^2$ 不會是負的，所以 $y\ne 0$、$x=0$，$a=yi$，$a+\overline{a}=2x=0$。

(E) 正確。舉一個例子就知道「不一定成立」：$a=-2$、$b=1$，$a^2-b^2=3>0$，但 $a<b$。（$a$、$b$ 是虛數時，$a>b$ 甚至沒有意義。）

$i$ 的次方每 $4$ 個一循環：$i,i^2,i^3,i^4$ 依序是 $i,-1,-i,1$，連續 $4$ 個相加為 $0$。

分母從 $i^1$ 加到 $i^{113}$，共 $113$ 項。$113=4\times 28+1$，前 $112$ 項（$i^1$ 到 $i^{112}$）每 $4$ 個一組，和為 $0$，剩下 $i^{113}=i^{112}\cdot i=i$。

$$\frac{2024}{i}=\frac{2024\cdot i}{i\cdot i}=\frac{2024i}{-1}=-2024i$$

所以 $a=0$、$b=-2024$，數對 $(a,b)=(0,-2024)$。

展開左邊：

$$(a+4i)(2-3i)=2a-3ai+8i-12i^2=(2a+12)+(8-3a)i$$

$a$、$b$ 是實數，比較實部、虛部：$2a+12=18$，得 $a=3$；$b=8-3a=-1$。數對 $(a,b)=(3,-1)$。

設 $z=x+yi$（$x,y$ 為實數），$\overline{z}=x-yi$。

$$iz=xi+y{i}^2=-y+xi,3\overline{z}=3x-3yi$$

$$iz-3\overline{z}=(-3x-y)+(x+3y)i=10-6i$$

比較實部、虛部：

$$\{\begin{array}{l}-3x-y=10\\ x+3y=-6\end{array}$$

由第二式 $x=-6-3y$，代入第一式：$18+9y-y=10$，$y=-1$，$x=-3$。所以 $z=-3-i$。

設 $z=1+yi$（$y$ 為實數），

$$\frac{1}{z}=\frac{1-yi}{(1+yi)(1-yi)}=\frac{1}{1+y^2}-\frac{y}{1+y^2}i$$

虛部 $-\frac{y}{1+y^2}=\frac{1}{2}$，去分母：$-2y=1+y^2$，即 $y^2+2y+1=0$，$(y+1{)}^2=0$，$y=-1$。所以 $z=1-i$。

兩個分式各自化成 $p+qi$ 的形式：

$$\frac{1+2i}{3+i}=\frac{(1+2i)(3-i)}{(3+i)(3-i)}=\frac{3-i+6i-2i^2}{10}=\frac{5+5i}{10}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$$

$$\frac{a+i}{3-i}=\frac{(a+i)(3+i)}{(3-i)(3+i)}=\frac{3a+ai+3i+i^2}{10}=\frac{3a-1}{10}+\frac{a+3}{10}i$$

兩者相加為實數，虛部和為 $0$：

$$\frac{1}{2}+\frac{a+3}{10}=0$$

得 $a+3=-5$，$a=-8$。

$x$、$y$ 是實數，比較實部、虛部：$x+y=-10$、$xy=1$。

$xy=1>0$ 表示 $x$、$y$ 同號，$x+y=-10<0$ 表示兩個都是負數。設 $x=-p$、$y=-q$（$p,q>0$），則 $p+q=10$、$pq=1$。

負數的平方根：$\sqrt{x}=\sqrt{-p}=\sqrt{p}i$，$\sqrt{y}=\sqrt{q}i$。

$${\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}^2={\left[\left(\sqrt{p}-\sqrt{q}\right)i\right]}^2=-{\left(\sqrt{p}-\sqrt{q}\right)}^2=-\left(p+q-2\sqrt{pq}\right)=-(10-2)=-8$$

$f(x)$ 是實係數，$-1+2i$ 是根，所以共軛 $-1-2i$ 也是根。這兩根的和為 $-2$、積為 $1+4=5$，所以 $x^2+2x+5$ 是 $f(x)$ 的因式。

設 $f(x)=(x^2+2x+5)(x^2+px+q)$。比較常數項：$5q=-15$，$q=-3$；比較 $x^3$ 項係數：$p+2=4$，$p=2$。所以

$$f(x)=(x^2+2x+5)(x^2+2x-3)=(x^2+2x+5)(x+3)(x-1)$$

（同時得到 $a=6$、$b=4$。）

$x^2+2x+5=(x+1{)}^2+4>0$ 恆成立，所以 $f(x)<0$ 等價於 $(x+3)(x-1)<0$，解為 $-3<x<1$。

設實根為 $r$，代入並整理成實部、虛部：

$$4r^2-(3a+i)r+a-i=(4r^2-3ar+a)+(-r-1)i=0$$

$a$、$r$ 都是實數，所以虛部 $-r-1=0$，$r=-1$；實部 $4+3a+a=0$，$a=-1$。

方程式變成 $4x^2-(-3+i)x-1-i=0$，即 $4x^2+(3-i)x-1-i=0$。已知 $x=-1$ 是根，提出因式 $x+1$：

$$4x^2+(3-i)x-1-i=(x+1)\left(4x-1-i\right)$$

另一根為 $x=\frac{1+i}{4}$。所以方程式的解為 $-1$ 或 $\frac{1+i}{4}$。

(1) 由根與係數的關係，$\alpha +\beta =-\frac{b}{2}=2$，得 $b=-4$。

(2) 兩根之積 $\alpha \beta =\frac{3}{2}$。

$${\alpha }^2+{\beta }^2=(\alpha +\beta {)}^2-2\alpha \beta =4-3=1$$

$$\frac{1}{{\alpha }^2}+\frac{1}{{\beta }^2}=\frac{{\alpha }^2+{\beta }^2}{(\alpha \beta {)}^2}=\frac{1}{{\left(\frac{3}{2}\right)}^2}=\frac{4}{9}$$

(1) 方程式是實係數，$a+3i$ 是虛根（虛部 $3\ne 0$），它的共軛 $a-3i$ 也是根；三次方程式的虛根最多一對，所以第三個根是實數。

$2+bi$ 也是虛根（$b\ne 0$）。題目說這是方程式的「兩個根」，指兩個不同的根，所以 $2+bi\ne a+3i$，只能是它的共軛：$2+bi=a-3i$，得 $a=2$、$b=-3$。數對 $(a,b)=(2,-3)$。

(2) 設實根為 $r$，三根為 $2+3i$、$2-3i$、$r$。$(2+3i)(2-3i)=13$，$(2+3i)+(2-3i)=4$。

由根與係數的關係，三根之積 $=-13$：$13r=-13$，$r=-1$。

三根之和 $=-c$：$4+(-1)=3$，$c=-3$。

兩兩之積的和 $=d$：$13+4r=13-4=9$，$d=9$。數對 $(c,d)=(-3,9)$。

(3) 實根為 $-1$。