段考詳解範圍：數與式（實數與根式、絕對值、算幾不等式、指數、常用對數）

高師大附中 109 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 高師大附中 109 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 19 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 高師大附中 109 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 5 題要先看出點 n 次就是 b 的二的 n 次方次方，再把負的指數改寫成負七百三十三加零點二；多選第 2 題的選項 E 考等號與近似的差別；填充第 14 題（本頁第 19 題）酸鹼值不能直接平均，要換回氫離子濃度再混合；填充第 7 題（本頁第 12 題）不用求出 x，把分子分母都用三的 x 次方的平方表示。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 19 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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元，不用註冊

01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

多重選擇題 5 題（30 分）、填充題 14 題（70 分），合計 100 分。本頁第 6～19 題依序為原卷填充題第 1～14 題；填充題在題目卷印作第三大題、答案卷印作第二大題。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、多重選擇題：每題全對得6分，只錯一個選項可得4分，錯兩個選項可得2分，錯兩個以上選項不給分，未作答不計分，共30分。

下列各敘述，何者正確？

(A) 若 $a^{3}$ 是有理數，且 $a^{6}$ 是有理數，則 $a$ 是有理數
(B) 若 $a^{3}$ 是有理數，且 $a^{5}$ 是有理數，則 $a$ 是有理數
(C) 若 $a, b$ 均為實數， $a - b$ 為有理數，且 $ab$ 為無理數，則 $a + b$ 必為無理數
(D) $0. \overline{9} < 1$
(E) $a, b$ 均為實數，若 $a + b 2 = 0$ ，則 $a = b = 0$

下列何者正確？

(A) $1 0^{l o g \frac{1}{2}} > 1 0^{l o g \frac{1}{3}}$
(B) 將正數 $a$ 寫成 10 的次方時，其指數必為正數
(C) $a > 0$ ，則 $1 0^{2 l o g a} = 2 a$
(D) $a > 0$ ，則 $\frac{1}{a} = 1 0^{- l o g a}$
(E) $1 0^{0.4771} = 3$

設

a > 0

且

a + a^{- 1} = 6

，則下列何者正確？

(A) $a > 1$
(B) $a - a^{- 1} = 42$
(C) $a^{2} + a^{- 2} = 34$
(D) $a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}} = 22$
(E) $a^{3} + a^{- 3} = 196$

若

7 + 43

的整數部分是

a

，小數部分是

b

，則下列各敘述哪些為真？

(A) $a = 4$
(B) $b = 0.732$
(C) $a - b = 4 + 3$
(D) $a + b = 2 + 3$
(E) $\frac{1}{a - b} = \frac{4 + 3}{13}$

某個手機程式，每次點擊螢幕上的數

a

後，螢幕上的數就會變成

a^{2}

。當一開始時螢幕上的數

b

為正且連續點擊螢幕

n

次後，螢幕上的數為

b_{n}

。已知

b_{3} = 8 1^{3}

。下列敘述哪些正確？

(A) $b = 27$
(B) $b_{6} = 8 1^{24}$
(C) 若 $b_{10} = 1 0^{k}$ ，則 $731 < k < 732$
(D) $b_{10}$ 為 732 位數
(E) $\frac{1}{b _{10}}$ 的小數點後第 733 位開始不為 0

三、填充題：答案全對才給分，每題5分，共70分。

lo g 1000 + lo g (10 \times 310) - lo g \frac{1}{100 10} =

____。

不等式

1 \leq ∣ - 3 x + 2 ∣ \leq 5

的解所形成的區間的長度為 ____。

設

a

為 0～9 的阿拉伯數字且

\frac{28}{90} < 0.3 \overline{a 4} < \frac{31}{90}

，則

a

的值為 ____。(不只一個)

設

x, y

均為實數，且

1 7^{x} = 9

，

45 9^{y} = 81

，則

\frac{1}{x} - \frac{2}{y}

的值為 ____。

∣2 x - 3∣ - ∣ x + 1∣ = 10

的解為 ____。

用總長度

20

的圍牆圍出兩個相鄰且大小相同的長方形，形成「日」字形，則所圍出總面積的最大值為 ____。

已知

9^{x} = 2 + 1

，則

\frac{2 7 ^{x} + 2 7 ^{- x}}{3 ^{x} - 3 ^{- x}} =

____。

不等式

∣2 x + 9∣ + 3∣ x - 5∣ \leq 20

的解為 ____。

設

a = lo g 3

，

b = lo g 4

，則

10 0^{2 a + \frac{1}{2} b} =

____。

某公司研發益生菌，此菌種每1日之後會增為

a

倍。若已知3日後的細菌數為32000個，6日後的細菌數為2048000個，若適合人體食用的益生菌必須超過10億個，則從一開始培養到適合人體食用必須至少經過 ____ 天。

921大地震，又稱集集大地震，是1999年9月21日上午1時47分15.9秒發生於臺灣中部山區芮氏規模為 7.3的地震，民國105年2月6日上午3點57分發生高雄美濃芮氏規模6.6地震。國際上常用地震規模來衡量地震釋放出的能量，而國內又常以芮氏規模做為報導的主要參考。根據中央氣象局資料，如果設芮氏規模為

r

的地震釋放能量為

E

爾格，則

r

與

E

的數學關係為

lo g E = 11.8 + 1.5 r

。請問集集大地震釋放出的能量約為美濃地震的多少倍？ ____ （答案以四捨五入法取到整數位）

很多人在服藥時，最擔心的是藥物在體內殘留的時間。根據專業藥師的說法，藥物在人體內，經過正常的代謝程序，最終都會排出體外，只是時間長短。一個比較客觀的判讀方法，是依照每個藥物的「半衰期」來預測。「半衰期」指的是藥物在體內吸收之後，分佈到血液中，達到最高血中濃度，經代謝排除之後，血中濃度下降到原本一半所需的時間。某常見的止痛藥，其有效主成分是「乙醯胺酚」（Acetaminophen），以一般健康成年人來說，其「半衰期」約為

2.5

小時。今有一名健康成年人，用藥後30分鐘即達到血液高峰值，若再過8小時後，血液中的藥物濃度將是原本濃度的

a %

，則

a =

____。（答案以四捨五入法取到小數點後第二位）

根據調查，九成減重的人面臨復胖困擾，關鍵點在「體脂肪」。現代醫學測量肥胖不再只用體重，而是體脂肪；對於是否須減肥，不再只以「體重」做標準，改以「體脂率」做判斷。體脂肪率是指體重有多少百分比是由脂肪所構成，男性正常體脂率在14〜23％之間，女性在17〜27％之間，年紀越大體脂率越高，30歲的男性超過25％、女性超過30％即為「肥胖」。如果一位60公斤的男性，體脂率為20％，其身體的脂肪重量為體重(60公斤)×體脂率(20％)＝12公斤。維持健康之最低體脂肪量：男性3%、女性10～12%。已知某年輕女性體重50公斤，且體脂肪率在正常範圍內，若其身體的脂肪重量為

x

公斤且

x

的範圍可表為

∣ x - a ∣ \leq b

，則數對

(a, b) =

____。

p H

值是衡量溶液酸鹼程度的標準，定義如下：

p H

值

= - lo g [H^{+}]

，其中：

[H^{+}]

為氫離子的濃度(莫耳／升)。下表是食物酸鹼程度的分類表：

食物 水 牛奶 石榴 西瓜 pH 值 (平均) 7.0 7.4 5.0 6.6 食物 鳳梨 草莓 葡萄 香蕉 pH 值 (平均) 4.0 3.0 4.5 4.85 食物 番茄 蘋果 蔓越莓汁 檸檬 pH 值 (平均) 4.5 4.9 2.4 2.3

則用一升西爪（卷面印作「西爪」，依表格應為西瓜）、兩升牛奶的西瓜牛奶

p H

值為 ____。（答案以四捨五入法取到小數點後第二位）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)(C)

第 2 題(A)(D)

第 3 題(C)(D)

第 4 題(D)(E)

第 5 題(B)(E)

第 6 題

\frac{41}{6}

第 7 題

\frac{8}{3}

第 8 題

1

或

2

或

3

第 9 題

- \frac{3}{2}

第 10 題

14

或

- 6

第 11 題

\frac{50}{3}

第 12 題

3 + 2

第 13 題

4 \leq x \leq \frac{26}{5}

第 14 題

324

第 15 題

11

第 16 題

11

第 17 題

10.88

第 18 題

(11, 2.5)

第 19 題

6.96

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選 1～2：有理數與無理數、常用對數的意義

第 1 題答案 (B)(C)。(A) 錯：取

a = 32

，

a^{3} = 2

、

a^{6} = 4

都是有理數，但

a

是無理數。(B) 對：

a = 0

時

a

是有理數；

a \neq = 0

時

a^{6} = (a^{3})^{2}

是有理數，

a = \frac{a ^{6}}{a ^{5}}

是兩個有理數相除（除數不為

0

），所以是有理數。(C) 對：

(a + b)^{2} = (a - b)^{2} + 4 ab

，右邊是「有理數加無理數」，是無理數；如果

a + b

是有理數，它的平方就是有理數，矛盾，所以

a + b

是無理數。(D) 錯：設

x = 0. \overline{9}

，則

10 x = 9. \overline{9}

，相減得

9 x = 9

，

x = 1

，所以

0. \overline{9} = 1

。(E) 錯：前提只說

a

、

b

是實數，取

a = - 2

、

b = 1

就有

a + b 2 = 0

。

(E) 要在「

a

、

b

是有理數」的前提下才成立。(A) 的兩個條件其實只有一個（

a^{3}

是有理數，

a^{6}

自然也是）。

第 2 題答案 (A)(D)。(A) 對：依

lo g

的定義，

1 0^{l o g \frac{1}{2}} = \frac{1}{2}

、

1 0^{l o g \frac{1}{3}} = \frac{1}{3}

，而

\frac{1}{2} > \frac{1}{3}

。(B) 錯：例如

0.1 = 1 0^{- 1}

，指數是負數；正數小於

1

時指數都是負的。(C) 錯：

1 0^{2 l o g a} = (1 0^{l o g a})^{2} = a^{2}

，只有

a = 2

時才等於

2 a

，例如

a = 1

時左邊是

1

、右邊是

2

。(D) 對：

1 0^{- l o g a} = (1 0^{l o g a})^{- 1} = a^{- 1} = \frac{1}{a}

。(E) 錯：

0.4771

只是

lo g 3

的近似值。若

1 0^{0.4771} = 3

，兩邊同取

10000

次方得

1 0^{4771} = 3^{10000}

，左邊是偶數、右邊是奇數，不可能相等，所以只能寫

1 0^{0.4771} \approx 3

。

(E) 考的是等號與近似符號的差別。

02多選 3～5：對稱式求值、雙重根號、連續平方與位數

第 3 題答案 (C)(D)。(C) 對：

a^{2} + a^{- 2} = (a + a^{- 1})^{2} - 2 = 36 - 2 = 34

。(D) 對：

(a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}})^{2} = a + 2 + a^{- 1} = 8

，而

a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}} > 0

，所以等於

8 = 22

。(B) 錯：

(a - a^{- 1})^{2} = a^{2} - 2 + a^{- 2} = 32

，所以

a - a^{- 1} = \pm 42

，兩種都可能。(A) 錯：

a + \frac{1}{a} = 6

即

a^{2} - 6 a + 1 = 0

，

a = 3 \pm 22

，兩個都是正數，其中

3 - 22 \approx 0.17

小於

1

。(E) 錯：

a^{3} + a^{- 3} = (a + a^{- 1})^{3} - 3 (a + a^{- 1}) = 216 - 18 = 198

。

a

和

\frac{1}{a}

互換後條件不變，所以

a

可能大於

1

也可能小於

1

，(A)(B) 都不能確定。

第 4 題答案 (D)(E)。

7 + 43 = 7 + 212

，找兩數和

7

、積

12

：

4

和

3

，所以

7 + 43 = 4 + 3 = 2 + 3 \approx 3.732

。整數部分

a = 3

，小數部分

b = 2 + 3 - 3 = 3 - 1

。(A) 錯：

a = 3

。(B) 錯：

b = 3 - 1

是無理數，

0.732

只是近似值。(C) 錯：

a - b = 3 - (3 - 1) = 4 - 3

。(D) 對：

a + b

就是原來的數

2 + 3

。(E) 對：

\frac{1}{a - b} = \frac{1}{4 - 3} = \frac{4 + 3}{16 - 3} = \frac{4 + 3}{13}

。

a - b = 4 - 3

，倒數才是

\frac{4 + 3}{13}

。

第 5 題答案 (B)(E)。每點一次就平方一次，所以

b_{1} = b^{2}

、

b_{2} = b^{4}

、

b_{3} = b^{8}

，一般地

b_{n} = b^{2^{n}}

。

b^{8} = 8 1^{3} = 3^{12}

，

b > 0

，所以

b = 3^{\frac{12}{8}} = 3^{\frac{3}{2}} = 33

。(A) 錯：

b = 33

，不是

27

。(B) 對：

b_{6} = b^{64} = (b^{8})^{8} = (8 1^{3})^{8} = 8 1^{24}

。(C) 錯：

b_{10} = b^{1024} = (3^{\frac{3}{2}})^{1024} = 3^{1536}

，用

3 \approx 1 0^{0.4771}

得

b_{10} \approx 1 0^{0.4771 \times 1536} \approx 1 0^{732.8}

，所以

732 < k < 733

。(D) 錯：

b_{10} \approx 1 0^{0.8} \times 1 0^{732}

，是

733

位數。(E) 對：

\frac{1}{b _{10}} \approx 1 0^{- 732.8} = 1 0^{0.2} \times 1 0^{- 733}

，其中

1 < 1 0^{0.2} < 10

，所以在小數點後第

733

位開始不為

0

。

這一題卷面沒有另外給

lo g 3

的值，用的是

lo g 3 \approx 0.4771

（多選第 2 題的選項出現過）。

0.4771 \times 1536 = 732.8256

。

lo g 3

介於

0.4771

與

0.4772

之間，所以

k

介於

732.82

與

732.98

之間。負的指數要改寫成「負整數＋介於

0

和

1

之間的數」：

- 732.8 = - 733 + 0.2

。

把數寫成

1 0^{小數} \times 1 0^{n}

：

n

決定位數，或決定小數點後第幾位開始不為

0

。

03填充 1～5（第 6～10 題）：log 的意義、絕對值、循環小數、指數律

第 6 題

lo g

的意義是「這個數是

10

的幾次方」。

1000 = 1 0^{3}

；

10 \times 310 = 1 0^{1 + \frac{1}{3}} = 1 0^{\frac{4}{3}}

；

\frac{1}{100 10} = \frac{1}{1 0 ^{2 + \frac{1}{2}}} = 1 0^{- \frac{5}{2}}

。所以原式

= 3 + \frac{4}{3} - (- \frac{5}{2}) = \frac{18 + 8 + 15}{6} = \frac{41}{6}

。

最後一項是「減去負的」，要變成加

\frac{5}{2}

。

第 7 題

∣ - 3 x + 2 ∣ = ∣3 x - 2∣

。

1 \leq ∣3 x - 2∣ \leq 5

分成兩種：①

1 \leq 3 x - 2 \leq 5

，得

1 \leq x \leq \frac{7}{3}

，長度

\frac{4}{3}

；②

- 5 \leq 3 x - 2 \leq - 1

，得

- 1 \leq x \leq \frac{1}{3}

，長度

\frac{4}{3}

。解是這兩段區間，長度合計

\frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3}

。

解是分開的兩段，長度要兩段相加。

第 8 題設

t = 0.3 \overline{a 4} = 0.3 a 4 a 4 \dots

。

10 t = 3. \overline{a 4}

，

1000 t = 3 a 4. \overline{a 4}

，相減得

990 t = (300 + 10 a + 4) - 3 = 301 + 10 a

，所以

t = \frac{301 + 10 a}{990}

。兩邊的分數通分成分母

990

：

\frac{28}{90} = \frac{308}{990}

、

\frac{31}{90} = \frac{341}{990}

。所以

308 < 301 + 10 a < 341

，

0.7 < a < 4

，

a = 1

或

2

或

3

。

循環節是「

a 4

」兩位，前面的

3

不循環。

第 9 題把兩式都改寫成底數

3

的次方。

1 7^{x} = 9 = 3^{2}

，兩邊取

\frac{1}{x}

次方得

17 = 3^{\frac{2}{x}}

。

45 9^{y} = 81 = 3^{4}

，兩邊取

\frac{1}{y}

次方得

459 = 3^{\frac{4}{y}}

。

459 = 27 \times 17

，所以

\frac{459}{17} = 27 = 3^{3}

，也就是

3^{\frac{4}{y} - \frac{2}{x}} = 3^{3}

，

\frac{4}{y} - \frac{2}{x} = 3

。兩邊除以

- 2

得

\frac{1}{x} - \frac{2}{y} = - \frac{3}{2}

。

關鍵是看出

459 = 17 \times 27

。

第 10 題分界點是

x = - 1

和

x = \frac{3}{2}

。①

x < - 1

：

(3 - 2 x) + (x + 1) = 10

，

4 - x = 10

，

x = - 6

，在這一段內，合。②

- 1 \leq x < \frac{3}{2}

：

(3 - 2 x) - (x + 1) = 10

，

2 - 3 x = 10

，

x = - \frac{8}{3}

，不在這一段內，不合。③

x \geq \frac{3}{2}

：

(2 x - 3) - (x + 1) = 10

，

x - 4 = 10

，

x = 14

，合。所以

x = 14

或

x = - 6

。

每一段解出來都要檢查是否落在該段的範圍內。

04填充 6～9（第 11～14 題）：算幾不等式、指數式求值、絕對值不等式

第 11 題「日」字形有三條橫的、兩條直的。設每條橫的長

x

、每條直的長

y

，則

3 x + 2 y = 20

，總面積是

x y

。由算幾不等式

\frac{3 x + 2 y}{2} \geq 3 x \cdot 2 y

，即

10 \geq 6 x y

，

6 x y \leq 100

，

x y \leq \frac{50}{3}

。等號在

3 x = 2 y = 10

，也就是

x = \frac{10}{3}

、

y = 5

時成立，所以最大值是

\frac{50}{3}

。

中間那一道隔牆也算在總長度內，所以橫的是三條。

第 12 題設

t = 3^{x}

，則

t^{2} = 9^{x} = 2 + 1

，

t^{- 2} = \frac{1}{2 + 1} = 2 - 1

。分子

t^{3} + t^{- 3} = (t + t^{- 1}) (t^{2} - 1 + t^{- 2}) = (t + t^{- 1}) (22 - 1)

。

\frac{t + t ^{- 1}}{t - t ^{- 1}}

上下同乘

t

，得

\frac{t ^{2} + 1}{t ^{2} - 1} = \frac{2 + 2}{2} = 1 + 2

。所以原式

= (1 + 2) (22 - 1) = 22 - 1 + 4 - 2 = 3 + 2

。

不必求出

3^{x}

本身，只用

t^{2}

和

t^{- 2}

就夠了。

第 13 題分界點是

x = - \frac{9}{2}

和

x = 5

。①

x < - \frac{9}{2}

：

- (2 x + 9) + 3 (5 - x) \leq 20

，

6 - 5 x \leq 20

，

x \geq - \frac{14}{5}

，和

x < - \frac{9}{2}

沒有共同部分。②

- \frac{9}{2} \leq x < 5

：

(2 x + 9) + 3 (5 - x) \leq 20

，

24 - x \leq 20

，

x \geq 4

，得

4 \leq x < 5

。③

x \geq 5

：

(2 x + 9) + 3 (x - 5) \leq 20

，

5 x \leq 26

，

x \leq \frac{26}{5}

，得

5 \leq x \leq \frac{26}{5}

。合起來是

4 \leq x \leq \frac{26}{5}

。

第 14 題

a = lo g 3

就是

1 0^{a} = 3

，

b = lo g 4

就是

1 0^{b} = 4

。

10 0^{2 a + \frac{1}{2} b} = (1 0^{2})^{2 a + \frac{1}{2} b} = 1 0^{4 a + b} = (1 0^{a})^{4} \times 1 0^{b} = 3^{4} \times 4 = 324

。

底數是

100

，要先換成

1 0^{2}

，指數變成兩倍。

含兩個絕對值的式子：先找各自的分界點，分段去掉絕對值，每段的結果和該段範圍取共同部分。

05填充 10～14（第 15～19 題）：指數與對數的生活情境

第 15 題從第 3 日到第 6 日經過 3 日，細菌數變成

a^{3}

倍：

a^{3} = \frac{2048000}{32000} = 64

，

a = 4

。一開始的細菌數是

\frac{32000}{4 ^{3}} = 500

個，

n

日後是

500 \times 4^{n}

個。要

500 \times 4^{n} > 1 0^{9}

，即

4^{n} > 2 \times 1 0^{6}

。

4^{10} = 1048576

不夠，

4^{11} = 4194304

超過，所以至少要

11

天。

10 億是

1 0^{9}

。天數從一開始培養算起，不是從第 3 日算起。

第 16 題集集地震：

lo g E_{1} = 11.8 + 1.5 \times 7.3 = 22.75

，所以

E_{1} = 1 0^{22.75}

。美濃地震：

lo g E_{2} = 11.8 + 1.5 \times 6.6 = 21.7

，所以

E_{2} = 1 0^{21.7}

。

\frac{E _{1}}{E _{2}} = 1 0^{22.75 - 21.7} = 1 0^{1.05}

，用計算機得

1 0^{1.05} \approx 11.22

，四捨五入到整數位是

11

倍。

這一題與填充第 12、14 題卷面要求取近似值，需要計算機。規模只差

0.7

，能量就差了約

11

倍。

1 0^{1.05} = 10 \times 1 0^{0.05}

，比

10

多一點。

第 17 題每過

2.5

小時濃度變成一半。從高峰值起再過

8

小時，經過了

\frac{8}{2.5} = 3.2

個半衰期，濃度是原本的

(\frac{1}{2})^{3.2}

倍。用計算機得

(\frac{1}{2})^{3.2} \approx 0.10882

，也就是

10.88%

，所以

a = 10.88

。

「用藥後 30 分鐘」只是說明何時到達高峰值，8 小時是從高峰值起算。

第 18 題女性正常體脂率在

17%

到

27%

之間，體重

50

公斤，脂肪重量

x

的範圍是

50 \times 0.17 \leq x \leq 50 \times 0.27

，即

8.5 \leq x \leq 13.5

。區間的中點是

\frac{8.5 + 13.5}{2} = 11

，中點到端點的距離是

13.5 - 11 = 2.5

，所以

∣ x - 11∣ \leq 2.5

，

(a, b) = (11, 2.5)

。

題目文字裡數字很多，這一題只用到「女性 17〜27％」和「體重 50 公斤」。

第 19 題

p H = - lo g [H^{+}]

就是

[H^{+}] = 1 0^{- p H}

。西瓜的

[H^{+}] = 1 0^{- 6.6}

，牛奶的

[H^{+}] = 1 0^{- 7.4}

（莫耳／升）。一升西瓜有氫離子

1 0^{- 6.6}

莫耳，兩升牛奶有

2 \times 1 0^{- 7.4}

莫耳，混合後共三升，濃度是

\frac{1 0 ^{- 6.6} + 2 \times 1 0 ^{- 7.4}}{3}

。用計算機：

1 0^{- 6.6} \approx 2.512 \times 1 0^{- 7}

，

1 0^{- 7.4} \approx 0.398 \times 1 0^{- 7}

，所以濃度

\approx \frac{( 2.512 + 0.796 ) \times 1 0 ^{- 7}}{3} \approx 1.103 \times 1 0^{- 7}

。

p H = - lo g (1.103 \times 1 0^{- 7}) \approx 6.9575

，四捨五入到小數點後第二位是

6.96

。

p H

值不能直接平均（

\frac{6.6 + 7.4 + 7.4}{3} \approx 7.13

是錯的），要先換回氫離子濃度，算出混合後的濃度，再取

- lo g

。這裡只把混合當成單純的稀釋來算。

lo g

的式子先翻回

10

的次方：

lo g E = k

就是

E = 1 0^{k}

，

p H = - lo g [H^{+}]

就是

[H^{+}] = 1 0^{- p H}

，之後用指數律處理。

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同樣是高一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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高師大附中 109 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 5 題要先看出點 n 次就是 b 的二的 n 次方次方，再把負的指數改寫成負七百三十三加零點二；多選第 2 題的選項 E 考等號與近似的差別；填充第 14 題（本頁第 19 題）酸鹼值不能直接平均，要換回氫離子濃度再混合；填充第 7 題（本頁第 12 題）不用求出 x，把分子分母都用三的 x 次方的平方表示。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自高師大附中 109 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

高師大附中 109 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解

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03填充 1～5（第 6～10 題）：log 的意義、絕對值、循環小數、指數律

04填充 6～9（第 11～14 題）：算幾不等式、指數式求值、絕對值不等式

05填充 10～14（第 15～19 題）：指數與對數的生活情境

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高師大附中 109 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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