段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數、對數與對數律、對數函數的圖形、指數與對數方程式和不等式、應用）

高師大附中 114 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 15 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，練滿 15 題就能產生考前藍圖 PDF →

這一章有整理好的單元冊：《指數與對數函數》

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 15 題，照原卷順序

多重選擇題 4 題（每題 8 分，共 32 分）、填充題 11 格（依答對格數累計給分，共 68 分），合計 100 分；填充題答對 1～11 格依序得 8、16、24、32、38、44、50、56、60、64、68 分。卷頭附參考資訊 log 2≈0.3010，log 3≈0.4771，log 7≈0.8451。原卷填充題題號 1～11，本頁依序編為第 5～15 題。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、多重選擇題（每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 8 分；答錯 1 個選項者，得 5 分；答錯 2 個選項者，得 2 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。共 32 分）

試選出下列正確的選項：

(A) $(\frac{1}{6})^{- 0.7} > (\frac{1}{5})^{- 0.7} > (\frac{1}{4})^{- 0.7}$
(B) $5 \frac{1}{6} < 4 \frac{1}{5} < 3 \frac{1}{4}$
(C) $lo g_{3} 424 < lo g_{\frac{1}{3}} \frac{1}{5} < lo g_{9} 26$
(D) $lo g_{2} 0.8 < lo g_{3} 0.8 < lo g_{0.2} 0.8 < lo g_{0.3} 0.8$
(E) $lo g_{0.2} 8 < lo g_{0.3} 8 < lo g_{3} 8 < lo g_{2} 8$

關於函數圖形的敘述，下列選項何者正確？

(A) $y = 2^{x} + 10$ 與 $y = (\frac{1}{2})^{x - 10}$ 的圖形無交點
(B) $y = 2^{x}$ 與 $y = 2025 \cdot 2^{x}$ 的圖形可以經由平移而重合
(C) $y = 2^{x}$ 與 $y = - 2^{x} - 2025$ 的圖形不可經由平移、對稱而重合
(D) $y = 2^{∣ x ∣}$ 與 $y = lo g_{2} ∣ x ∣$ 的圖形彼此對稱於直線 $x - y = 0$
(E) 對於任意非零實數 $a$ 、 $b$ ，函數 $y = a \cdot 2^{x} + b$ 之圖形最多只會通過兩個象限

下列選項何者正確？

(A) 方程式 $2^{x} - x^{2} = 0$ 恰有 $2$ 個實根
(B) 方程式 $2^{x} + 2^{- x} = 1$ 沒有實根
(C) 方程式 $lo g_{\frac{1}{2}} x + x = 0$ 恰有 $1$ 個實根
(D) 方程式 $(2)^{x} - lo g_{2} x = 0$ 沒有實根
(E) 方程式 $2^{∣ x ∣} - ∣ lo g_{2} x ∣ = 0$ 恰有 $1$ 個實根

若

a

、

b

、

c

均為大於

0

且不為

1

之實數，則下列選項何者正確？

(A) 若 $0 < a < 1 a^{c}$
(B) 若 $0 < a < 1 lo g_{a} c$
(C) 若 $0 < a < 1 lo g_{b} c$
(D) 若 $0 \frac{a ^{b} + a ^{c}}{2}$
(E) 若 $0 \frac{l o g _{a} b + l o g _{a} c}{2}$

二、填充題（配分如下表，每題全對才給分，共 68 分）

求值：

\frac{2}{3} lo g_{15} 27 + \frac{1}{2} lo g_{\frac{1}{15}} \frac{1}{9} + lo g_{225} 625 - 12 5^{l o g_{25} 381} =

____。

求值：

lo g_{2} ((\frac{3}{4})^{\frac{2}{3}} \times (2^{6} \times 3)^{\frac{2}{3}} \div 2^{\frac{- 4}{3}} \times \frac{1}{3 81}) =

____。

解不等式

lo g_{x} (2 x^{2} + x - 1) - lo g_{x} 2 > 1

，得

x

的範圍為 ____。

不等式

(\frac{1}{2})^{2 x - 5} - 65 \cdot 2^{- x} + 2 < 0

之解為 ____。

若

2 \leq x \leq 32

，已知函數

f (x) = (lo g_{2} x)^{2} - 4 (lo g_{2} x) + 3

的最大值為

M

，最小值為

m

，則

M + m =

____。

設

α

、

β

為方程式

x^{2} + a^{∣ x ∣} - 1 = 0

之兩根，其皆不等於

0

，且

a > 0

，

α - β = 1

，則實數

a

值為 ____。

坐標平面上

A (2, - 1)

，

B (- 1, 8)

，若

P (x, y)

在直線

A B

上移動，則

8^{x} + 2^{y} + 2025

之最小值為 ____。

設

lo g 100 x = - 7.6125

，則

x

從小數點後第

m

位開始出現不為

0

的數字，此數字為

n

，則

m + n

____。（本站補註：卷頭參考資訊

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

，

lo g 7 \approx 0.8451

）

坐標平面上已知水平線

y = m

與兩函數

y = lo g_{2} x

、

y = - 3 + lo g_{2} x

之圖形分別交於

A

、

B

兩點，若將

\overline{A B} = 3.5

，則實數

m =

____。

賴賴在

25

歲生日當天將人生第一桶金

100

萬元存入銀行，當時銀行提供兩種利率方案：方案 A：一次存入本金，按年利率單利計息，年利率為

2.5%

；方案 B：一次存入本金，按半年利率複利計息，半年利率為

1.2%

。若賴賴預計於

35

歲生日當天將這筆儲蓄款提領出來，則他採用方案 B 領出的金額比方案 A 領出的金額多 ____ 元。（四捨五入至整數位）參考數值：

(1.024)^{10} \approx 1.2676506

，

(1.012)^{20} \approx 1.2694343

，

(1.006)^{40} \approx 1.273378

萊克多巴胺是一種

β

促效劑（

β

-agonist）藥物，用以助長豬、牛、火雞生出瘦肉，減少體脂肪，是瘦肉精中最常見的一種，其肉品殘留毒性遠低於具有相同功能的其他動物飼料添加物。已知萊克多巴胺在人體內代謝很快，約

6

小時就可代謝掉

75%

。若某人在一次用餐中食用了

20

微克的萊克多巴胺，則大約需要經過 ____ 小時的代謝，可讓體內殘留量低於

0.01

微克。（本站補註：卷頭參考資訊

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

，

lo g 7 \approx 0.8451

）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)(C)(D)

第 2 題(B)

第 3 題(B)(E)

第 4 題(A)(B)

第 5 題

- 7

第 6 題

4

第 7 題

\frac{1}{2} < x < 1

或

x > 1

第 8 題

- 1 < x < 5

第 9 題

7

第 10 題

\frac{9}{16}

第 11 題

82 + 2025

第 12 題

12

第 13 題

- 1

第 14 題

19434

第 15 題

33

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊

04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選第 1、2 題：比大小、圖形的平移與對稱

第 1 題

答案 (A)(C)(D)。

(A) 正確。 $(\frac{1}{6})^{- 0.7} = 6^{0.7}$ ，同理另兩個是 $5^{0.7}$ 、 $4^{0.7}$ 。指數同為正數 $0.7$ 時底數越大值越大（例如取常用對數比： $0.7 lo g 6 > 0.7 lo g 5 > 0.7 lo g 4$ ），所以 $6^{0.7} > 5^{0.7} > 4^{0.7}$ 。

(B) 錯誤。 三數都在 $0$ 與 $1$ 之間，取常用對數比較： $lo g 5 \frac{1}{6} = - \frac{l o g 6}{5} \approx - 0.156$ ， $lo g 4 \frac{1}{5} = - \frac{l o g 5}{4} \approx - 0.175$ ， $lo g 3 \frac{1}{4} = - \frac{l o g 4}{3} \approx - 0.201$ 。所以大小順序剛好相反： $5 \frac{1}{6} > 4 \frac{1}{5} > 3 \frac{1}{4}$ 。

(C) 正確。 都換成以 $9$ 為底： $lo g_{3} 424 = lo g_{3^{1/2}} 2 4^{1/4} = \frac{1/4}{1/2} lo g_{3} 24 = \frac{1}{2} lo g_{3} 24 = lo g_{9} 24$ ； $lo g_{\frac{1}{3}} \frac{1}{5} = lo g_{3} 5 = lo g_{9} 25$ 。底數 $9 > 1$ ，對數函數遞增， $24 < 25 < 26$ ，所以 $lo g_{9} 24 < lo g_{9} 25 < lo g_{9} 26$ 。

(D) 正確。 $lo g 0.8 = lo g \frac{8}{10} = 3 lo g 2 - 1 \approx - 0.0970$ 。前兩個底數大於 $1$ ，值是負的： $lo g_{2} 0.8 = \frac{- 0.0970}{0.3010} \approx - 0.322$ ， $lo g_{3} 0.8 = \frac{- 0.0970}{0.4771} \approx - 0.203$ 。後兩個底數小於 $1$ ，值是正的： $lo g_{0.2} 0.8 = \frac{- 0.0970}{l o g 2 - 1} \approx \frac{- 0.0970}{- 0.6990} \approx 0.139$ ， $lo g_{0.3} 0.8 = \frac{- 0.0970}{l o g 3 - 1} \approx \frac{- 0.0970}{- 0.5229} \approx 0.186$ 。所以由小到大正是題目的順序。

(E) 錯誤。 $lo g 8 = 3 lo g 2 \approx 0.903$ 。 $lo g_{0.2} 8 = \frac{0.903}{- 0.699} \approx - 1.29$ ， $lo g_{0.3} 8 = \frac{0.903}{- 0.523} \approx - 1.73$ ，所以 $lo g_{0.2} 8 > lo g_{0.3} 8$ ，第一個不等號方向錯了（後兩個 $lo g_{3} 8 < lo g_{2} 8$ 是對的）。

(D)(E) 的共同結構：真數固定時，換底成

\frac{l o g ( 真數 )}{l o g ( 底數 )}

，分子固定、分母的正負與大小決定順序。

第 2 題

答案 (B)。

(A) 錯誤。 $(\frac{1}{2})^{x - 10} = 2^{10 - x} = \frac{1024}{2 ^{x}}$ 。令 $t = 2^{x} > 0$ ，聯立得 $t + 10 = \frac{1024}{t}$ ，即 $t^{2} + 10 t - 1024 = 0$ ，兩根之積為負，恰有一個正根，所以兩圖形有一個交點。

(B) 正確。 $2025 = 2^{l o g_{2} 2025}$ ，所以 $2025 \cdot 2^{x} = 2^{x + l o g_{2} 2025}$ ，是 $y = 2^{x}$ 的圖形向左平移 $lo g_{2} 2025$ 單位。

(D) 錯誤。 對稱於直線 $x - y = 0$ （即 $y = x$ ）時，要把 $x$ 、 $y$ 互換： $y = 2^{∣ x ∣}$ 的對稱圖形是 $x = 2^{∣ y ∣}$ ，其中 $x \geq 1$ ；但 $y = lo g_{2} ∣ x ∣$ 在 $0 < x < 1$ 也有圖形（例如點 $(\frac{1}{2}, - 1)$ ），而 $(- 1, \frac{1}{2})$ 不在 $y = 2^{∣ x ∣}$ 上。

(E) 錯誤。 反例： $a = 1$ 、 $b = - 2$ ， $y = 2^{x} - 2$ 。 $x = - 1$ 時 $y = - \frac{3}{2}$ （第三象限）； $x = \frac{1}{2}$ 時 $y = 2 - 2 < 0$ （第四象限）； $x = 3$ 時 $y = 6$ （第一象限）。通過三個象限。

02多選第 3、4 題：方程式的實根個數、底數的大小

第 3 題

答案 (B)(E)。

(A) 錯誤。 $2^{x} = x^{2}$ 時， $x = 2$ 、 $x = 4$ 都是根；另外 $x = - 1$ 時 $2^{x} = \frac{1}{2} < 1 = x^{2}$ ， $x = 0$ 時 $2^{x} = 1 > 0 = x^{2}$ ，所以在 $- 1$ 與 $0$ 之間還有一個負根，共 $3$ 個實根。

(B) 正確。 由算幾不等式 $2^{x} + 2^{- x} \geq 2 2^{x} \cdot 2^{- x} = 2 > 1$ ，所以沒有實根。

(C) 錯誤。 真數 $x > 0$ 。 $lo g_{\frac{1}{2}} x = - lo g_{2} x$ ，方程式變成 $lo g_{2} x = x$ ，即 $2^{x} = x$ 。 $y = 2^{x}$ 的圖形永遠在 $y = x$ 的上方（ $x \leq 0$ 時 $2^{x} > 0 \geq x$ ； $x > 0$ 時也可由圖形看出 $2^{x} > x$ ），所以沒有實根。

(D) 錯誤。 $x = 2$ ： $(2)^{2} = 2$ ， $lo g_{2} 2 = 2$ ，相減為 $0$ ，所以 $x = 2$ 是實根（ $x = 4$ 也是： $(2)^{4} = 4 = lo g_{2} 4$ ）。

(E) 正確。 真數 $x > 0$ ，所以 $2^{∣ x ∣} = 2^{x}$ 。 $x \geq 1$ 時 $∣ lo g_{2} x ∣ = lo g_{2} x < x < 2^{x}$ ，沒有根。 $0 < x < 1$ 時 $∣ lo g_{2} x ∣ = - lo g_{2} x$ ，由很大的正數遞減到 $0$ ，而 $2^{x}$ 由 $1$ 遞增到 $2$ ，兩圖形恰交一點。所以恰有 $1$ 個實根。

(A) 的負根容易漏掉：

x

往負的方向時

x^{2}

越來越大、

2^{x}

越來越接近

0

，兩圖形一定在第二象限再交一次。

第 4 題

答案 (A)(B)。

(A) 正確。 $0 < a < 1$ ， $y = a^{x}$ 遞減； $b < c$ ，所以 $a^{b} > a^{c}$ 。

(B) 正確。 $b^{c} > 0$ ；底數 $0 < a < 1$ 、真數 $c > 1$ ， $lo g_{a} c < 0$ 。正數大於負數。

(C) 錯誤。 如 (B)， $lo g_{a} c < 0$ ；而 $b > 1$ 、 $c > b$ ， $lo g_{b} c > lo g_{b} b = 1 > 0$ 。所以 $lo g_{a} c < lo g_{b} c$ 。

(D) 錯誤。 由算幾不等式， $\frac{a ^{b} + a ^{c}}{2} \geq a^{b} \cdot a^{c} = a^{\frac{b + c}{2}}$ ，且 $b \neq = c$ 時 $a^{b} \neq = a^{c}$ ，等號不成立，所以 $a^{\frac{b + c}{2}} < \frac{a ^{b} + a ^{c}}{2}$ ，方向相反。也可以看圖： $y = a^{x}$ 的圖形下凸，兩點連線的中點在圖形上方。

(E) 錯誤。 右邊 $\frac{l o g _{a} b + l o g _{a} c}{2} = lo g_{a} b c$ ，由算幾不等式 $\frac{b + c}{2} > b c$ 。若 $a > 1$ ，對數遞增，不等式成立；但若 $0 < a < 1$ ，對數遞減，不等式方向相反。例如 $a = \frac{1}{2}$ 、 $b = 2$ 、 $c = 8$ ：左邊 $lo g_{\frac{1}{2}} 5 = - lo g_{2} 5 < - 2$ ，右邊 $\frac{( - 1 ) + ( - 3 )}{2} = - 2$ ，左邊比較小。題目沒有限制 $a > 1$ ，所以不一定成立。

03填充 1～4（第 5～8 題）：對數律、指數律、對數與指數不等式

第 5 題

逐項化成以 $15$ 為底： $\frac{2}{3} lo g_{15} 27 = \frac{2}{3} lo g_{15} 3^{\frac{3}{2}} = lo g_{15} 3$ ； $\frac{1}{2} lo g_{\frac{1}{15}} \frac{1}{9} = \frac{1}{2} lo g_{15} 9 = lo g_{15} 3$ ； $lo g_{225} 625 = lo g_{1 5^{2}} 5^{4} = \frac{4}{2} lo g_{15} 5 = 2 lo g_{15} 5$ 。前三項和為 $2 lo g_{15} 3 + 2 lo g_{15} 5 = 2 lo g_{15} 15 = 2$ 。

最後一項： $lo g_{25} 381 = lo g_{5^{2}} 3^{\frac{4}{3}} = \frac{4/3}{2} lo g_{5} 3 = \frac{2}{3} lo g_{5} 3$ ，所以 $12 5^{l o g_{25} 381} = 5^{3 \times \frac{2}{3} l o g_{5} 3} = 5^{2 l o g_{5} 3} = 5^{l o g_{5} 9} = 9$ 。

原式 $= 2 - 9 = - 7$ 。

lo g_{a^{m}} b^{n} = \frac{n}{m} lo g_{a} b

與

a^{l o g_{a} N} = N

是這題的兩個工具。

第 6 題

把括號內每一項寫成 $2$ 與 $3$ 的次方： $(\frac{3}{4})^{\frac{2}{3}} = 3^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{- \frac{4}{3}}$ ， $(2^{6} \times 3)^{\frac{2}{3}} = 2^{4} \cdot 3^{\frac{2}{3}}$ ， $\div 2^{\frac{- 4}{3}}$ 等於乘 $2^{\frac{4}{3}}$ ， $\frac{1}{3 81} = 3^{- \frac{4}{3}}$ 。

$2$ 的指數： $- \frac{4}{3} + 4 + \frac{4}{3} = 4$ ； $3$ 的指數： $\frac{2}{3} + \frac{2}{3} - \frac{4}{3} = 0$ 。括號內 $= 2^{4} = 16$ ，所以 $lo g_{2} 16 = 4$ 。

第 7 題

先找有意義的範圍：底數 $x > 0$ 且 $x \neq = 1$ ；真數 $2 x^{2} + x - 1 = (2 x - 1) (x + 1) > 0$ ，配合 $x > 0$ 得 $x > \frac{1}{2}$ 。所以 $x > \frac{1}{2}$ 且 $x \neq = 1$ 。

原式化為 $lo g_{x} \frac{2 x ^{2} + x - 1}{2} > lo g_{x} x$ 。

當 $x > 1$ ：對數遞增， $\frac{2 x ^{2} + x - 1}{2} > x$ ，即 $2 x^{2} - x - 1 > 0$ ， $(2 x + 1) (x - 1) > 0$ ，在 $x > 1$ 時恆成立。

當 $\frac{1}{2} < x < 1$ ：對數遞減， $\frac{2 x ^{2} + x - 1}{2} < x$ ，即 $(2 x + 1) (x - 1) < 0$ ， $- \frac{1}{2} < x < 1$ ，在 $\frac{1}{2} < x < 1$ 時恆成立。

合起來： $\frac{1}{2} < x < 1$ 或 $x > 1$ 。

底數是

x

的對數不等式要分

x > 1

與

0 < x < 1

兩種情形，不等號方向不同；並先用真數條件把範圍縮到

x > \frac{1}{2}

。

第 8 題

$(\frac{1}{2})^{2 x - 5} = 2^{5 - 2 x} = 32 \cdot (2^{- x})^{2}$ 。令 $t = 2^{- x} > 0$ ，不等式為 $32 t^{2} - 65 t + 2 < 0$ ，即 $(32 t - 1) (t - 2) < 0$ ， $\frac{1}{32} < t < 2$ 。

$2^{- 5} < 2^{- x} < 2^{1}$ ，底數 $2 > 1$ ， $- 5 < - x < 1$ ，所以 $- 1 < x < 5$ 。

04填充 5～7（第 9～11 題）：換元求極值、偶函數的根、算幾不等式

第 9 題令

t = lo g_{2} x

，

2 \leq x \leq 32

時

1 \leq t \leq 5

。

f = t^{2} - 4 t + 3 = (t - 2)^{2} - 1

。

t = 2

（

x = 4

）時最小值

m = - 1

；

t = 5

（

x = 32

）時離

2

最遠，最大值

M = 9 - 1 = 8

。所以

M + m = 7

。

第 10 題

設 $g (x) = x^{2} + a^{∣ x ∣} - 1$ ， $g (- x) = g (x)$ ，所以若 $α$ 是根， $- α$ 也是根。（ $x = 0$ 時 $g (0) = 0 + 1 - 1 = 0$ ， $0$ 一定是根，題目說的是另外兩個不等於 $0$ 的根。）

非零的根正負成對出現，兩根 $α$ 、 $β$ 一正一負且 $β = - α$ 。 $α - β = 2 α = 1$ ， $α = \frac{1}{2}$ 。代入： $\frac{1}{4} + a^{\frac{1}{2}} - 1 = 0$ ， $a = \frac{3}{4}$ ， $a = \frac{9}{16}$ 。

檢查： $a = \frac{9}{16}$ 時 $x > 0$ 的部分 $g (x) = x^{2} + (\frac{3}{4})^{2 x} - 1$ ， $x = \frac{1}{2}$ 時 $\frac{1}{4} + \frac{3}{4} - 1 = 0$ ，符合。

若兩個非零根同號，就沒有和它們成對的另兩個根，與「兩根」不合；所以兩根必一正一負、互為相反數。

第 11 題

直線 $A B$ 的斜率 $\frac{8 - ( - 1 )}{- 1 - 2} = - 3$ ，方程式 $y + 1 = - 3 (x - 2)$ ，即 $3 x + y = 5$ 。

$8^{x} + 2^{y} = 2^{3 x} + 2^{y}$ ，兩項都是正數，由算幾不等式 $2^{3 x} + 2^{y} \geq 2 2^{3 x + y} = 2 2^{5} = 82$ 。等號在 $2^{3 x} = 2^{y}$ ，即 $3 x = y = \frac{5}{2}$ ， $x = \frac{5}{6}$ 時成立。

所以最小值為 $82 + 2025$ 。

05填充 8～11（第 12～15 題）：首數與尾數、圖形平移、複利、衰減

第 12 題

lo g 100 x = 2 + lo g x = - 7.6125

，

lo g x = - 9.6125 = - 10 + 0.3875

。首數

- 10

：

x

從小數點後第

10

位開始出現不為

0

的數字，

m = 10

。尾數

0.3875

：

lo g 2 \approx 0.3010 < 0.3875 < 0.4771 \approx lo g 3

，所以這個數字是

2

，

n = 2

。

m + n = 12

。

第 13 題

y = m

與

y = lo g_{2} x

交於

A (2^{m}, m)

；與

y = - 3 + lo g_{2} x

交於

lo g_{2} x = m + 3

，

B (2^{m + 3}, m)

。

\overline{A B} = 2^{m + 3} - 2^{m} = 7 \cdot 2^{m} = 3.5

，

2^{m} = \frac{1}{2}

，

m = - 1

。

第 14 題

$25$ 歲到 $35$ 歲共 $10$ 年。

方案 A（單利）：本利和 $= 1000000 \times (1 + 0.025 \times 10) = 1250000$ 元。

方案 B（每半年複利一次，共 $20$ 期）：本利和 $= 1000000 \times (1.012)^{20} \approx 1000000 \times 1.2694343 = 1269434.3$ 元。

相差 $1269434.3 - 1250000 = 19434.3$ ，四捨五入為 $19434$ 元。

半年利率

1.2%

、

10

年共

20

期，要用參考數值中的

(1.012)^{20}

，另外兩個參考數值用不到。

第 15 題

代謝掉 $75%$ 就是剩下 $\frac{1}{4}$ 。經過 $t$ 小時後剩下 $20 \times (\frac{1}{4})^{\frac{t}{6}}$ 微克。要 $20 \times (\frac{1}{4})^{\frac{t}{6}} < 0.01$ ，即 $4^{\frac{t}{6}} > 2000$ 。

兩邊取常用對數： $\frac{t}{6} \times 2 lo g 2 > lo g 2000 = 3 + lo g 2$ ， $\frac{t}{6} > \frac{3.3010}{0.6020} \approx 5.483$ ， $t > 32.9$ 。所以大約需要經過 $33$ 小時。

也可以逐段數：每

6

小時變成

\frac{1}{4}

，

5

段（

30

小時）後剩

20 \div 1024 \approx 0.0195

微克，還不夠低；第

6

段（

36

小時）時才低於

0.01

，用對數算出約在

33

小時時降到

0.01

。

指數、對數比大小先換成同底；底數含未知數或可能小於 1 時，分兩種情形討論不等號方向。

這一章的單元冊

每個題型挑各校段考原題當例題（少數改寫會註明），由易到難；每一題都附圖或表，詳解寫到每一步。PDF 電子檔，可以先下載試閱。

《指數與對數函數》單元冊 09・高二上（數A）

同一次段考的其他學校

同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

高師大附中 114 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 15 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

高師大附中 114 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 2 題要對每個選項想清楚平移、對稱怎麼把式子變過去，最後一個選項舉一個反例就能推翻；多選第 3 題第一個選項的負根容易漏掉；多選第 4 題最後兩個選項要分底數大於 1 和小於 1；填充第 3 題（本頁第 7 題）底數含未知數，要先寫出底數與真數的條件再分兩種情形。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自高師大附中 114 學年度上學期高二第二次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

高師大附中 114 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

原卷 15 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01多選第 1、2 題：比大小、圖形的平移與對稱

02多選第 3、4 題：方程式的實根個數、底數的大小

03填充 1～4（第 5～8 題）：對數律、指數律、對數與指數不等式

04填充 5～7（第 9～11 題）：換元求極值、偶函數的根、算幾不等式

05填充 8～11（第 12～15 題）：首數與尾數、圖形平移、複利、衰減

這一章的單元冊

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

高師大附中 114 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

高師大附中 114 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

高師大附中 114 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

高師大附中 114 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

高師大附中 114 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？