段考詳解範圍：對數與對數律、指數函數與對數函數的圖形、指數與對數方程式與不等式、指數與對數的應用

高師大附中 114 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 高師大附中 114 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 高師大附中 114 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

多重選擇第 2 題（本頁第 2 題）要用圖上 (0,1)、(1,0) 兩個點當刻度，看出 a、b 都大於 1，才能判斷選項 (4)(5)；填充 2 的第 (2) 格要把底數三分之一的指數換成同一個變數，記得變數是遞減的；填充 3（本頁第 8 題）底數除了大於 0 還不能等於 1；填充 9（本頁第 15 題）要用斜率與長度先定出兩點的橫坐標差；混合題第 (2) 小題要無條件進位。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 18 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

多重選擇題 3 題（每題 8 分，共 24 分）、填充題 12 格（答對 1～12 格依序得 6、12、18、24、30、36、41、46、51、56、61、66 分，共 66 分）、混合題 1 題分 3 小題（單選 2 分、非選擇題 5 分、非選擇題 3 分，共 10 分），合計 100 分；本頁第 1～3 題為卷面多重選擇 1～3，第 4～15 題為卷面填充 1～9（填充 2 分三格、填充 8 分兩格），第 16～18 題為卷面混合題 1 的 (1)～(3)。答案已與學校公布的答案逐題核對，全部一致（多重選擇第 2 題要看圖上刻度，詳解另附說明）。

一、多重選擇題(每題8分，共3題，合計24分。答錯1個選項給5分，答錯2個選項給2分，答錯3個選項以上或不作答不給分)

坐標平面上，在函數圖形

y = (\frac{1}{2})^{x}

上，標示

A

、

B

、

C

、

D

四個點，其

x

坐標分別為

- 1

、

0

、

1

、

2

。請選出正確的選項。

(1) 點 $B$ 落在直線 $A C$ 上方
(2) 在直線 $A B$ 、直線 $B C$ 、直線 $C D$ 中，以直線 $A B$ 的斜率最大
(3) $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四個點，以點 $B$ 最靠近 $x$ 軸
(4) 直線 $y = 3 x$ 與 $y = (\frac{1}{2})^{x}$ 的圖形有一個交點
(5) 任一水平線與 $y = (\frac{1}{2})^{x}$ 恰有一交點

對數函數

y = a lo g x

、

y = b lo g x

與

y = c lo g x

的圖形如下圖，試問下列哪些選項是正確的？

(1) $b < 0$
(2) $c < 0$
(3) $a < b$
(4) $0 < lo g_{a} b < 1$
(5) $lo g_{b} a < 0$

載入中...

若

(a, b)

是對數函數

y = lo g x

圖形上的一點，則下列哪些選項中的點也在該對數函數的圖形上？

(1) $(\frac{1}{10}, - 1)$
(2) $(100 a, b + 2)$
(3) $(a^{2}, 2 b)$
(4) $(3 a, - 3 b)$
(5) $(a + 10, b + 1)$

二、填充題(每格全對才給分，依答對格數給分，參考下表，共66分)

漫畫中有一種道具「放大燈」，每照射一次，物體就會等比例的放大，高度會變成原來的兩倍。已知大雄的身高為 140 公分，若希望大雄的身高能超過高雄 85 大樓的高度 380 公尺，則至少要照射 ____ 次放大燈。

填充 2（第 5～7 題）　試解下列方程式與不等式：

(1) 方程式

1 6^{3 x - 1} = 3 2^{2 x + 2}

的解為 ____。

(2) 不等式

(\frac{1}{3})^{2 x - 1} - 28 (\frac{1}{3})^{x} + 9 > 0

的解為 ____。

(3) 方程式

lo g_{2} (x + 3) + 2 = 2 lo g_{2} x

的解為 ____。

若對數

lo g_{(x - 3)} (- x^{2} + 7 x - 6)

有意義，試求實數

x

的範圍為 ____。

試求

3^{l o g_{3} 7} + lo g_{2} 25 \times lo g_{5} 8

的值為 ____。

設正實數

b

滿足

(lo g 1000) (lo g b) + lo g 100 - lo g b = 7

，試求

b =

____。（化為最簡根式）

小華在坐標平面上畫了一個函數

y = 6^{x}

的圖形，在墨水還沒乾的時候，沿著直線

y = x

對摺。若攤開後墨水所造成新的圖形是

y = f (x)

的圖形，則

f (27) + f (56) - f (7) =

____。

設

a = lo g_{π} \frac{1}{3}

，

b = lo g_{π^{2}} 25

，

c = lo g_{π} 7

，

d = 1

，則

a

、

b

、

c

、

d

四數的大小關係為 ____。

填充 8（第 13～14 題）　德國的科學家費克納宣布了一條定律（稱為『韋伯－費克納定律』）說：「人類對任何刺激的反應，與這些刺激強度的對數成正比。」也就是說，人類的感官對外界的刺激訊號會符合

y = k lo g x

，這裡的

x

是外界刺激訊號的發送強度，而

y

代表人類對這刺激訊號強度的反應量（感受程度），常數

k

是與人類及刺激訊號種類相關的係數。設「環境照度」為

x

（單位：勒克斯），眼睛對環境的「亮度感覺」為

y

，這裡

y

與

x

滿足

y = k lo g x

的關係式，

(1) 已知

k = \frac{1}{l o g 2}

，教室的環境照度為 256 勒克斯，則此時眼睛對教室的亮度感覺為 ____。

(2) 承第(1)題，若眼睛在走廊的亮度感覺為 4，而在會議室的亮度感覺為 10，則走廊的環境照度為會議室環境照度的 ____ 倍。

在坐標平面上，

A (a, r)

、

B (b, s)

為函數圖形

y = lo g x

上的兩點，其中

a < b

。已知

A

、

B

連線的斜率等於 2，且線段

\overline{A B}

的長度為

5

，則數對

(a, b) =

____。

三、混合題(共10分，每題配分標於題末，非選擇題作答時必須寫出計算過程或理由，否則將酌予扣分)

混合題 1（第 16～18 題）　已知某銀行定期存款約定年利率為

0.6%

，今小奇存入 50 萬元，試回答下列問題。（注意：①已知

lo g 1.006 \approx 0.0026

，

lo g 2 \approx 0.3010

　②第(2)～(3)小題之答案請取整數）

(1) 若一年為一期，以複利計算，

n

年後可以領回本利和多少元？（單選題，2 分）　(A) 50 萬

\times (1 + n \times 0.6%)

　(B) 50 萬

\times [1 + (0.6%)^{n}]

\times (1 + 0.6%)^{n}

　(D) 50 萬

\times (1 + 0.6%)^{3 n}

(E) 50 萬

\times n (1 + 0.6%)

(2) 若一年為一期，以複利計算，小奇欲達本利和 100 萬元至少需要幾年？（非選擇題，5 分）

(3) 金融學中常會提到「72 法則」，它是指「年報酬率

r %

的投資商品，一年複利一次，約經過

\frac{72}{r}

年資產（本利和）將會達到原來的兩倍。」請以此規則計算，年利率

0.6%

時，小奇欲達本利和 100 萬元至少需要幾年？（非選擇題，3 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(4)

第 2 題(2)(4)

第 3 題(1)(2)(3)

第 4 題

9

第 5 題

x = 7

第 6 題

x < - 2

或

x > 1

第 7 題

x = 6

第 8 題

3 < x < 6

且

x \neq = 4

第 9 題

13

第 10 題

10010

第 11 題

3

第 12 題

a < d < b < c

第 13 題

8

第 14 題

\frac{1}{64}

第 15 題

(\frac{1}{99}, \frac{100}{99})

第 16 題(C)

第 17 題

116

年

第 18 題

120

年

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多重選擇 1～3（第 1～3 題）：指數函數與對數函數的圖形

第 1 題

四點為 $A (- 1, 2)$ 、 $B (0, 1)$ 、 $C (1, \frac{1}{2})$ 、 $D (2, \frac{1}{4})$ 。

(1) 錯誤。 直線 $A C$ 的斜率 $\frac{\frac{1}{2} - 2}{1 - ( - 1 )} = - \frac{3}{4}$ ，在 $x = 0$ 時 $y = 2 - \frac{3}{4} = \frac{5}{4}$ ；點 $B$ 的 $y$ 坐標 $1 < \frac{5}{4}$ ，在直線 $A C$ 下方。

(2) 錯誤。 斜率 $m_{A B} = \frac{1 - 2}{1} = - 1$ ， $m_{B C} = \frac{\frac{1}{2} - 1}{1} = - \frac{1}{2}$ ， $m_{C D} = \frac{\frac{1}{4} - \frac{1}{2}}{1} = - \frac{1}{4}$ ，最大的是直線 $C D$ 。

(3) 錯誤。 四點到 $x$ 軸的距離是 $y$ 坐標 $2$ 、 $1$ 、 $\frac{1}{2}$ 、 $\frac{1}{4}$ ，最靠近 $x$ 軸的是 $D$ 。

(4) 正確。 $y = 3 x$ 遞增、 $y = (\frac{1}{2})^{x}$ 遞減，兩圖形最多一個交點；在 $x = 0$ 時直線較低（ $0 < 1$ ），在 $x = 1$ 時直線較高（ $3 > \frac{1}{2}$ ），所以中間恰有一個交點。

(5) 錯誤。 $(\frac{1}{2})^{x} > 0$ ，水平線 $y = 0$ 或 $y = - 1$ 與圖形沒有交點。

第 2 題

三條圖形都過 $(1, 0)$ 。在 $x > 1$ 時 $lo g x > 0$ ： $y = a lo g x$ 與 $y = b lo g x$ 在 $x$ 軸上方，且 $y = a lo g x$ 較高； $y = c lo g x$ 在 $x$ 軸下方。所以 $a > b > 0$ ， $c < 0$ 。

(1) 錯誤。 $b > 0$ 。

(2) 正確。 $c < 0$ 。

(3) 錯誤。 $a > b$ 。

(4) 正確。 圖上標了 $(0, 1)$ 與 $(1, 0)$ ，兩軸單位一樣長。 $y = b lo g x$ 在 $x$ 大約 $2$ 的地方就升到 $y = 1$ （與點 $(0, 1)$ 同高），即 $b lo g x_{0} = 1$ 、 $x_{0} = 1 0^{\frac{1}{b}} < 10$ ，所以 $b > 1$ ；又 $a > b$ ，得 $a > b > 1$ 。換底 $lo g_{a} b = \frac{l o g b}{l o g a}$ ，分子分母都正且 $lo g b < lo g a$ ，所以 $0 < lo g_{a} b < 1$ 。

(5) 錯誤。 $a > 1$ 、 $b > 1$ ， $lo g_{b} a = \frac{l o g a}{l o g b} > 0$ （事實上大於 $1$ ）。

若不看

(0, 1)

、

(1, 0)

兩個刻度點，只由三條曲線的上下順序只能得到

a > b > 0 > c

，這時 (4)(5) 都不一定成立（例如

a = \frac{1}{2}

、

b = \frac{1}{4}

時

lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4} = 2

）；本題要靠圖上的刻度判斷

a

、

b

都大於

1

。

第 3 題

$(a, b)$ 在圖形上，所以 $a > 0$ 且 $b = lo g a$ 。逐一檢查 $y$ 坐標是否等於 $lo g (x 坐標)$ ：

(1) 正確。 $lo g \frac{1}{10} = - 1$ ，與 $a$ 、 $b$ 無關。

(2) 正確。 $lo g (100 a) = lo g 100 + lo g a = 2 + b$ 。

(3) 正確。 $lo g a^{2} = 2 lo g a = 2 b$ 。

(4) 錯誤。 $lo g 3 a = \frac{1}{3} lo g a = \frac{b}{3}$ ，要等於 $- 3 b$ 只有 $b = 0$ （即 $a = 1$ ）時才成立。例如 $a = 10$ 、 $b = 1$ ： $lo g 310 = \frac{1}{3} \neq = - 3$ 。

(5) 錯誤。 $lo g (a + 10) = b + 1 = lo g (10 a)$ 要成立須 $a + 10 = 10 a$ ，只有 $a = \frac{10}{9}$ 才成立。例如 $a = 10$ ： $lo g 20 \neq = 2$ 。

判斷「點在不在

y = lo g x

上」，就是把

x

坐標取對數，看是否等於

y

坐標；用對數律把它化成

lo g a

的式子。

02填充 1、2（第 4～7 題）：放大次數、指數與對數方程式與不等式

第 4 題單位統一成公分：

380

公尺

= 38000

公分。照射

n

次後身高

140 \times 2^{n}

，要

140 \times 2^{n} > 38000

，即

2^{n} > \frac{38000}{140} = \frac{1900}{7} \approx 271.4

。因為

2^{8} = 256 < 271.4 < 512 = 2^{9}

，所以至少要照射

9

次。

第 5 題化成同底數

2

：

1 6^{3 x - 1} = 2^{4 (3 x - 1)}

，

3 2^{2 x + 2} = 2^{5 (2 x + 2)}

。指數相等：

12 x - 4 = 10 x + 10

，得

x = 7

。

第 6 題

$(\frac{1}{3})^{2 x - 1} = 3 (\frac{1}{3})^{2 x}$ 。令 $t = (\frac{1}{3})^{x}$ ， $t > 0$ ，不等式變成 $3 t^{2} - 28 t + 9 > 0$ ，即 $(3 t - 1) (t - 9) > 0$ ，所以 $t < \frac{1}{3}$ 或 $t > 9$ 。

$(\frac{1}{3})^{x} < \frac{1}{3} = (\frac{1}{3})^{1}$ ：底數小於 $1$ ，函數遞減，得 $x > 1$ 。

$(\frac{1}{3})^{x} > 9 = (\frac{1}{3})^{- 2}$ ：得 $x < - 2$ 。

所以解為 $x < - 2$ 或 $x > 1$ 。

底數介於 0 與 1 之間時，比較指數要把不等號反過來。

第 7 題真數條件：

x + 3 > 0

且

x > 0

，即

x > 0

。

2 = lo g_{2} 4

，左邊

= lo g_{2} 4 (x + 3)

，右邊

= lo g_{2} x^{2}

，所以

4 (x + 3) = x^{2}

，

x^{2} - 4 x - 12 = 0

，

(x - 6) (x + 2) = 0

，

x = 6

或

x = - 2

。

x = - 2

不合真數條件，解為

x = 6

。

代回檢查：

lo g_{2} 9 + 2 = lo g_{2} 36 = 2 lo g_{2} 6

，成立。

指數式先化成同底數；有兩種指數項就換元成二次式；對數方程式解完一定要回頭檢查真數。

03填充 3～7（第 8～12 題）：對數的定義、對數律與換底公式

第 8 題底數條件：

x - 3 > 0

且

x - 3 \neq = 1

，即

x > 3

且

x \neq = 4

。真數條件：

- x^{2} + 7 x - 6 > 0

，即

x^{2} - 7 x + 6 < 0

，

(x - 1) (x - 6) < 0

，

1 < x < 6

。兩者同時成立：

3 < x < 6

且

x \neq = 4

。

第 9 題

3^{l o g_{3} 7} = 7

。

lo g_{2} 25 \times lo g_{5} 8 = \frac{l o g 25}{l o g 2} \times \frac{l o g 8}{l o g 5} = \frac{2 l o g 5}{l o g 2} \times \frac{3 l o g 2}{l o g 5} = 6

。所以值為

7 + 6 = 13

。

第 10 題

lo g 1000 = 3

，

lo g 100 = 2

。方程式變成

3 lo g b + 2 - lo g b = 7

，

2 lo g b = 5

，

lo g b = \frac{5}{2}

，所以

b = 1 0^{\frac{5}{2}} = 1 0^{2} \times 1 0^{\frac{1}{2}} = 10010

。

第 11 題

沿直線 $y = x$ 對摺，點 $(p, q)$ 落到 $(q, p)$ ，所以 $y = 6^{x}$ 的圖形對摺後是 $x = 6^{y}$ ，即 $y = lo g_{6} x$ ， $f (x) = lo g_{6} x$ 。

$f (27) + f (56) - f (7) = lo g_{6} \frac{27 \times 56}{7} = lo g_{6} 216 = lo g_{6} 6^{3} = 3$ 。

第 12 題都化成以

π

為底：

b = lo g_{π^{2}} 25 = \frac{l o g _{π} 25}{l o g _{π} π ^{2}} = \frac{2 l o g _{π} 5}{2} = lo g_{π} 5

，

d = 1 = lo g_{π} π

。所以

a = lo g_{π} \frac{1}{3}

、

d = lo g_{π} π

、

b = lo g_{π} 5

、

c = lo g_{π} 7

。底數

π > 1

，

y = lo g_{π} x

遞增，比真數：

\frac{1}{3} < π < 5 < 7

，所以

a < d < b < c

。

π \approx 3.14

，介於

\frac{1}{3}

與

5

之間。

比較對數大小先化成同一個底數；底數大於 1 時真數愈大對數愈大。

04填充 8、9（第 13～15 題）：對數模型與對數函數圖形上的兩點

第 13 題

y = \frac{1}{l o g 2} \times lo g 256 = \frac{l o g 2 ^{8}}{l o g 2} = \frac{8 l o g 2}{l o g 2} = 8

。

第 14 題設走廊照度

x_{1}

、會議室照度

x_{2}

。

\frac{l o g x _{1}}{l o g 2} = 4

，

lo g x_{1} = 4 lo g 2 = lo g 2^{4}

，

x_{1} = 16

；

\frac{l o g x _{2}}{l o g 2} = 10

，

x_{2} = 2^{10} = 1024

。所以

\frac{x _{1}}{x _{2}} = \frac{16}{1024} = \frac{1}{64}

倍。

也可以直接相減：

lo g x_{1} - lo g x_{2} = (4 - 10) lo g 2

，

\frac{x _{1}}{x _{2}} = 2^{- 6}

。

第 15 題

斜率 $2$ ： $s - r = 2 (b - a)$ 。長度： $(b - a)^{2} + (s - r)^{2} = 5$ ，即 $(b - a)^{2} + 4 (b - a)^{2} = 5$ ， $(b - a)^{2} = 1$ ；因為 $a < b$ ， $b - a = 1$ ， $s - r = 2$ 。

又 $r = lo g a$ 、 $s = lo g b$ ，所以 $lo g b - lo g a = 2$ ， $lo g \frac{b}{a} = 2$ ， $b = 100 a$ 。代入 $b - a = 1$ ： $99 a = 1$ ， $a = \frac{1}{99}$ ， $b = \frac{100}{99}$ 。所以 $(a, b) = (\frac{1}{99}, \frac{100}{99})$ 。

對數模型問「幾倍」，就是兩式相減，對數的差變成真數的比。

05混合題 1（第 16～18 題）：複利與 72 法則

第 16 題年利率

0.6%

，一年複利一次，每過一年本利和變成前一年的

(1 + 0.6%)

倍，

n

年後是 50 萬

\times (1 + 0.6%)^{n}

，選 (C)。(A) 是單利；(B)(E) 不是複利的式子；(D) 的期數錯成

3 n

。

第 17 題要

50 \times (1.006)^{n} \geq 100

（萬元），即

(1.006)^{n} \geq 2

。兩邊取常用對數：

n lo g 1.006 \geq lo g 2

，

n \geq \frac{l o g 2}{l o g 1.006} \approx \frac{0.3010}{0.0026} \approx 115.8

。

n

是整數，所以至少需要

116

年。

用

n = 115

檢查：

115 \times 0.0026 = 0.299 < 0.3010

，還不到兩倍；

n = 116

：

116 \times 0.0026 = 0.3016 > 0.3010

，達到。

第 18 題年報酬率

r % = 0.6%

，

r = 0.6

。依 72 法則，約

\frac{72}{0.6} = 120

年本利和達到原來的兩倍，也就是 100 萬元，所以約需

120

年。

72 法則是估計值，與第 (2) 小題用對數算出的 116 年有差距；年利率愈低，這個估計愈偏大。

複利本利和＝本金×(1＋利率)的期數次方；問幾年用取對數，答案無條件進位。

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常見問題

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高師大附中 114 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

多重選擇第 2 題（本頁第 2 題）要用圖上 (0,1)、(1,0) 兩個點當刻度，看出 a、b 都大於 1，才能判斷選項 (4)(5)；填充 2 的第 (2) 格要把底數三分之一的指數換成同一個變數，記得變數是遞減的；填充 3（本頁第 8 題）底數除了大於 0 還不能等於 1；填充 9（本頁第 15 題）要用斜率與長度先定出兩點的橫坐標差；混合題第 (2) 小題要無條件進位。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自高師大附中 114 學年度上學期高二第二次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：對數與對數律、指數函數與對數函數的圖形、指數與對數方程式與不等式、指數與對數的應用

高師大附中 114 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 18 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

一、多重選擇題(每題8分，共3題，合計24分。答錯1個選項給5分，答錯2個選項給2分，答錯3個選項以上或不作答不給分)

坐標平面上，在函數圖形

y = (\frac{1}{2})^{x}

上，標示

A

、

B

、

C

、

D

四個點，其

x

坐標分別為

- 1

、

0

、

1

、

2

。請選出正確的選項。

(1) 點 $B$ 落在直線 $A C$ 上方
(2) 在直線 $A B$ 、直線 $B C$ 、直線 $C D$ 中，以直線 $A B$ 的斜率最大
(3) $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四個點，以點 $B$ 最靠近 $x$ 軸
(4) 直線 $y = 3 x$ 與 $y = (\frac{1}{2})^{x}$ 的圖形有一個交點
(5) 任一水平線與 $y = (\frac{1}{2})^{x}$ 恰有一交點

對數函數

y = a lo g x

、

y = b lo g x

與

y = c lo g x

的圖形如下圖，試問下列哪些選項是正確的？

(1) $b < 0$
(2) $c < 0$
(3) $a < b$
(4) $0 < lo g_{a} b < 1$
(5) $lo g_{b} a < 0$

載入中...

若

(a, b)

是對數函數

y = lo g x

圖形上的一點，則下列哪些選項中的點也在該對數函數的圖形上？

(1) $(\frac{1}{10}, - 1)$
(2) $(100 a, b + 2)$
(3) $(a^{2}, 2 b)$
(4) $(3 a, - 3 b)$
(5) $(a + 10, b + 1)$

二、填充題(每格全對才給分，依答對格數給分，參考下表，共66分)

填充 2（第 5～7 題）　試解下列方程式與不等式：

(1) 方程式

1 6^{3 x - 1} = 3 2^{2 x + 2}

的解為 ____。

(2) 不等式

(\frac{1}{3})^{2 x - 1} - 28 (\frac{1}{3})^{x} + 9 > 0

的解為 ____。

(3) 方程式

lo g_{2} (x + 3) + 2 = 2 lo g_{2} x

的解為 ____。

若對數

lo g_{(x - 3)} (- x^{2} + 7 x - 6)

有意義，試求實數

x

的範圍為 ____。

試求

3^{l o g_{3} 7} + lo g_{2} 25 \times lo g_{5} 8

的值為 ____。

設正實數

b

滿足

(lo g 1000) (lo g b) + lo g 100 - lo g b = 7

，試求

b =

____。（化為最簡根式）

小華在坐標平面上畫了一個函數

y = 6^{x}

的圖形，在墨水還沒乾的時候，沿著直線

y = x

對摺。若攤開後墨水所造成新的圖形是

y = f (x)

的圖形，則

f (27) + f (56) - f (7) =

____。

設

a = lo g_{π} \frac{1}{3}

，

b = lo g_{π^{2}} 25

，

c = lo g_{π} 7

，

d = 1

，則

a

、

b

、

c

、

d

四數的大小關係為 ____。

y = k lo g x

，這裡的

x

是外界刺激訊號的發送強度，而

y

代表人類對這刺激訊號強度的反應量（感受程度），常數

k

是與人類及刺激訊號種類相關的係數。設「環境照度」為

x

（單位：勒克斯），眼睛對環境的「亮度感覺」為

y

，這裡

y

與

x

滿足

y = k lo g x

的關係式，

(1) 已知

k = \frac{1}{l o g 2}

，教室的環境照度為 256 勒克斯，則此時眼睛對教室的亮度感覺為 ____。

(2) 承第(1)題，若眼睛在走廊的亮度感覺為 4，而在會議室的亮度感覺為 10，則走廊的環境照度為會議室環境照度的 ____ 倍。

在坐標平面上，

A (a, r)

、

B (b, s)

為函數圖形

y = lo g x

上的兩點，其中

a < b

。已知

A

、

B

連線的斜率等於 2，且線段

\overline{A B}

的長度為

5

，則數對

(a, b) =

____。

三、混合題(共10分，每題配分標於題末，非選擇題作答時必須寫出計算過程或理由，否則將酌予扣分)

混合題 1（第 16～18 題）　已知某銀行定期存款約定年利率為

0.6%

，今小奇存入 50 萬元，試回答下列問題。（注意：①已知

lo g 1.006 \approx 0.0026

，

lo g 2 \approx 0.3010

　②第(2)～(3)小題之答案請取整數）

(1) 若一年為一期，以複利計算，

n

年後可以領回本利和多少元？（單選題，2 分）　(A) 50 萬

\times (1 + n \times 0.6%)

　(B) 50 萬

\times [1 + (0.6%)^{n}]

\times (1 + 0.6%)^{n}

　(D) 50 萬

\times (1 + 0.6%)^{3 n}

(E) 50 萬

\times n (1 + 0.6%)

(2) 若一年為一期，以複利計算，小奇欲達本利和 100 萬元至少需要幾年？（非選擇題，5 分）

(3) 金融學中常會提到「72 法則」，它是指「年報酬率

r %

的投資商品，一年複利一次，約經過

\frac{72}{r}

年資產（本利和）將會達到原來的兩倍。」請以此規則計算，年利率

0.6%

時，小奇欲達本利和 100 萬元至少需要幾年？（非選擇題，3 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(4)

第 2 題(2)(4)

第 3 題(1)(2)(3)

第 4 題

9

第 5 題

x = 7

第 6 題

x < - 2

或

x > 1

第 7 題

x = 6

第 8 題

3 < x < 6

且

x \neq = 4

第 9 題

13

第 10 題

10010

第 11 題

3

第 12 題

a < d < b < c

第 13 題

8

第 14 題

\frac{1}{64}

第 15 題

(\frac{1}{99}, \frac{100}{99})

第 16 題(C)

第 17 題

116

年

第 18 題

120

年

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多重選擇 1～3（第 1～3 題）：指數函數與對數函數的圖形

第 1 題

四點為 $A (- 1, 2)$ 、 $B (0, 1)$ 、 $C (1, \frac{1}{2})$ 、 $D (2, \frac{1}{4})$ 。

(3) 錯誤。 四點到 $x$ 軸的距離是 $y$ 坐標 $2$ 、 $1$ 、 $\frac{1}{2}$ 、 $\frac{1}{4}$ ，最靠近 $x$ 軸的是 $D$ 。

(5) 錯誤。 $(\frac{1}{2})^{x} > 0$ ，水平線 $y = 0$ 或 $y = - 1$ 與圖形沒有交點。

第 2 題

(1) 錯誤。 $b > 0$ 。

(2) 正確。 $c < 0$ 。

(3) 錯誤。 $a > b$ 。

(5) 錯誤。 $a > 1$ 、 $b > 1$ ， $lo g_{b} a = \frac{l o g a}{l o g b} > 0$ （事實上大於 $1$ ）。

若不看

(0, 1)

、

(1, 0)

兩個刻度點，只由三條曲線的上下順序只能得到

a > b > 0 > c

，這時 (4)(5) 都不一定成立（例如

a = \frac{1}{2}

、

b = \frac{1}{4}

時

lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4} = 2

）；本題要靠圖上的刻度判斷

a

、

b

都大於

1

。

第 3 題

$(a, b)$ 在圖形上，所以 $a > 0$ 且 $b = lo g a$ 。逐一檢查 $y$ 坐標是否等於 $lo g (x 坐標)$ ：

(1) 正確。 $lo g \frac{1}{10} = - 1$ ，與 $a$ 、 $b$ 無關。

(2) 正確。 $lo g (100 a) = lo g 100 + lo g a = 2 + b$ 。

(3) 正確。 $lo g a^{2} = 2 lo g a = 2 b$ 。

(5) 錯誤。 $lo g (a + 10) = b + 1 = lo g (10 a)$ 要成立須 $a + 10 = 10 a$ ，只有 $a = \frac{10}{9}$ 才成立。例如 $a = 10$ ： $lo g 20 \neq = 2$ 。

判斷「點在不在

y = lo g x

上」，就是把

x

坐標取對數，看是否等於

y

坐標；用對數律把它化成

lo g a

的式子。

02填充 1、2（第 4～7 題）：放大次數、指數與對數方程式與不等式

第 4 題單位統一成公分：

380

公尺

= 38000

公分。照射

n

次後身高

140 \times 2^{n}

，要

140 \times 2^{n} > 38000

，即

2^{n} > \frac{38000}{140} = \frac{1900}{7} \approx 271.4

。因為

2^{8} = 256 < 271.4 < 512 = 2^{9}

，所以至少要照射

9

次。

第 5 題化成同底數

2

：

1 6^{3 x - 1} = 2^{4 (3 x - 1)}

，

3 2^{2 x + 2} = 2^{5 (2 x + 2)}

。指數相等：

12 x - 4 = 10 x + 10

，得

x = 7

。

第 6 題

$(\frac{1}{3})^{x} < \frac{1}{3} = (\frac{1}{3})^{1}$ ：底數小於 $1$ ，函數遞減，得 $x > 1$ 。

$(\frac{1}{3})^{x} > 9 = (\frac{1}{3})^{- 2}$ ：得 $x < - 2$ 。

所以解為 $x < - 2$ 或 $x > 1$ 。

底數介於 0 與 1 之間時，比較指數要把不等號反過來。

第 7 題真數條件：

x + 3 > 0

且

x > 0

，即

x > 0

。

2 = lo g_{2} 4

，左邊

= lo g_{2} 4 (x + 3)

，右邊

= lo g_{2} x^{2}

，所以

4 (x + 3) = x^{2}

，

x^{2} - 4 x - 12 = 0

，

(x - 6) (x + 2) = 0

，

x = 6

或

x = - 2

。

x = - 2

不合真數條件，解為

x = 6

。

代回檢查：

lo g_{2} 9 + 2 = lo g_{2} 36 = 2 lo g_{2} 6

，成立。

指數式先化成同底數；有兩種指數項就換元成二次式；對數方程式解完一定要回頭檢查真數。

03填充 3～7（第 8～12 題）：對數的定義、對數律與換底公式

第 8 題底數條件：

x - 3 > 0

且

x - 3 \neq = 1

，即

x > 3

且

x \neq = 4

。真數條件：

- x^{2} + 7 x - 6 > 0

，即

x^{2} - 7 x + 6 < 0

，

(x - 1) (x - 6) < 0

，

1 < x < 6

。兩者同時成立：

3 < x < 6

且

x \neq = 4

。

第 9 題

3^{l o g_{3} 7} = 7

。

lo g_{2} 25 \times lo g_{5} 8 = \frac{l o g 25}{l o g 2} \times \frac{l o g 8}{l o g 5} = \frac{2 l o g 5}{l o g 2} \times \frac{3 l o g 2}{l o g 5} = 6

。所以值為

7 + 6 = 13

。

第 10 題

lo g 1000 = 3

，

lo g 100 = 2

。方程式變成

3 lo g b + 2 - lo g b = 7

，

2 lo g b = 5

，

lo g b = \frac{5}{2}

，所以

b = 1 0^{\frac{5}{2}} = 1 0^{2} \times 1 0^{\frac{1}{2}} = 10010

。

第 11 題

沿直線 $y = x$ 對摺，點 $(p, q)$ 落到 $(q, p)$ ，所以 $y = 6^{x}$ 的圖形對摺後是 $x = 6^{y}$ ，即 $y = lo g_{6} x$ ， $f (x) = lo g_{6} x$ 。

$f (27) + f (56) - f (7) = lo g_{6} \frac{27 \times 56}{7} = lo g_{6} 216 = lo g_{6} 6^{3} = 3$ 。

第 12 題都化成以

π

為底：

b = lo g_{π^{2}} 25 = \frac{l o g _{π} 25}{l o g _{π} π ^{2}} = \frac{2 l o g _{π} 5}{2} = lo g_{π} 5

，

d = 1 = lo g_{π} π

。所以

a = lo g_{π} \frac{1}{3}

、

d = lo g_{π} π

、

b = lo g_{π} 5

、

c = lo g_{π} 7

。底數

π > 1

，

y = lo g_{π} x

遞增，比真數：

\frac{1}{3} < π < 5 < 7

，所以

a < d < b < c

。

π \approx 3.14

，介於

\frac{1}{3}

與

5

之間。

比較對數大小先化成同一個底數；底數大於 1 時真數愈大對數愈大。

04填充 8、9（第 13～15 題）：對數模型與對數函數圖形上的兩點

第 13 題

y = \frac{1}{l o g 2} \times lo g 256 = \frac{l o g 2 ^{8}}{l o g 2} = \frac{8 l o g 2}{l o g 2} = 8

。

第 14 題設走廊照度

x_{1}

、會議室照度

x_{2}

。

\frac{l o g x _{1}}{l o g 2} = 4

，

lo g x_{1} = 4 lo g 2 = lo g 2^{4}

，

x_{1} = 16

；

\frac{l o g x _{2}}{l o g 2} = 10

，

x_{2} = 2^{10} = 1024

。所以

\frac{x _{1}}{x _{2}} = \frac{16}{1024} = \frac{1}{64}

倍。

也可以直接相減：

lo g x_{1} - lo g x_{2} = (4 - 10) lo g 2

，

\frac{x _{1}}{x _{2}} = 2^{- 6}

。

第 15 題

斜率 $2$ ： $s - r = 2 (b - a)$ 。長度： $(b - a)^{2} + (s - r)^{2} = 5$ ，即 $(b - a)^{2} + 4 (b - a)^{2} = 5$ ， $(b - a)^{2} = 1$ ；因為 $a < b$ ， $b - a = 1$ ， $s - r = 2$ 。

對數模型問「幾倍」，就是兩式相減，對數的差變成真數的比。

05混合題 1（第 16～18 題）：複利與 72 法則

第 16 題年利率

0.6%

，一年複利一次，每過一年本利和變成前一年的

(1 + 0.6%)

倍，

n

年後是 50 萬

\times (1 + 0.6%)^{n}

，選 (C)。(A) 是單利；(B)(E) 不是複利的式子；(D) 的期數錯成

3 n

。

第 17 題要

50 \times (1.006)^{n} \geq 100

（萬元），即

(1.006)^{n} \geq 2

。兩邊取常用對數：

n lo g 1.006 \geq lo g 2

，

n \geq \frac{l o g 2}{l o g 1.006} \approx \frac{0.3010}{0.0026} \approx 115.8

。

n

是整數，所以至少需要

116

年。

用

n = 115

檢查：

115 \times 0.0026 = 0.299 < 0.3010

，還不到兩倍；

n = 116

：

116 \times 0.0026 = 0.3016 > 0.3010

，達到。

第 18 題年報酬率

r % = 0.6%

，

r = 0.6

。依 72 法則，約

\frac{72}{0.6} = 120

年本利和達到原來的兩倍，也就是 100 萬元，所以約需

120

年。

72 法則是估計值，與第 (2) 小題用對數算出的 116 年有差距；年利率愈低，這個估計愈偏大。

複利本利和＝本金×(1＋利率)的期數次方；問幾年用取對數，答案無條件進位。

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