段考詳解範圍：線性規劃（二元一次不等式的圖形、可行解區域、目標函數的最大最小值、整數解的應用）；卷面未印範圍，依題目內容整理

高師大附中 114 上
高三第三次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 高師大附中 114 上 高三第三次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 11 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 高師大附中 114 上 高三第三次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 1 題要先用斜率認出哪條線是哪個不等式，再由截距與原點的位置定正負；填充第 4 題（本頁第 6 題）的距離平方要確認垂足落在邊上；填充第 5 題（本頁第 7 題）的唯一最大值點要嚴格大於其他頂點；填充第 9 題（本頁第 11 題）別漏了司機只有 9 名的限制。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 11 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 11 題，照原卷順序

考試時間 70 分鐘。多重選擇題 2 題共 16 分；填充題共 14 格，每格 6 分，共 84 分；合計 100 分。原卷兩大題各自從 1 編號，本頁依序連續編為第 1～11 題（填充 1～9 為第 3～11 題）。答案已與學校公布的答案逐題核對，全部一致。

一、多重選擇題（共2題，每題8分。只錯一選項得5分，錯二選項得2分，錯超過二選項或無作答則不給分，共16分）

如圖，聯立不等式

{a x + b y \leq c - 2 x + y \leq d

的圖形為斜線區域，則下列哪些數為正數？

(A) $a$
(B) $b$
(C) $c$
(D) $d$
(E) $ab c d$

載入中...

已知聯立不等式

⎩ ⎨ ⎧ x \geq 0 y \geq 0 a x - y - 1 \leq 0 x + b y - 2 \leq 0

之圖形如附圖，請問下列哪些選項正確？

(A) $a = 1$
(B) $b = 1$
(C) $a + b = 3$
(D) $3 x - y$ 之最大值為 $4$
(E) $3 x - y$ 之最小值為 $- 2$

載入中...

二、填充題（共14格，每格6分，共84分，答案完全正確才給分）

已知直線

L : x + m y - m + 1 = 0

與兩點

A (- 1, - 2), B (2, 2)

，若

L

與

\overline{A B}

不相交，試求實數

m

的範圍為 ____。

已知

x, y

滿足聯立不等式

{- 1 \leq x + y \leq 3 - 2 \leq x + 2 y \leq 6

， (1) 此可行解區域的面積為 ____。 (2) 若

2 x + 3 y

的最大值

M

與最小值

m

，則數對

(M, m) =

____。

三直線

L_{1} : 2 x + 3 y + 9 = 0, L_{2} : x - y + 2 = 0, L_{3} : 8 x + 3 y - 27 = 0

圍成

Δ A B C

。若

P (3, a)

在

Δ A B C

之內部（不含邊界），試求

a

的範圍為 ____。

已知

A (1, 5), B (5, 3), C (7, 8)

為坐標平面上的三點， (1) 試以聯立不等式表示

Δ A B C

的區域（含邊界）____。 (2) 若

P (x, y)

為

Δ A B C

區域上（含邊界）任一點，求

x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y + 5

的最小值為 ____。

已知

(x, y)

為圖中四邊形邊界及其內部的點，若點

(4, 6)

是目標函數

p = m x + y + 10

在圖中取得最大值的唯一點，求實數

m

的範圍為 ____。

載入中...

滿足不等式

0 \leq x \leq 7, 0 \leq y \leq 4, 0 \leq x + y \leq 9, 4 x + 7 y \geq 30

之格子點

(x, y)

有 ____ 個。（

x, y

均為整數之點

(x, y)

稱為格子點）

設

x, y

滿足

⎩ ⎨ ⎧ 2 x + 3 y \geq 6 2 x - y \leq 6 2 x - 5 y + 10 \geq 0

，試求下列各值。 (1)

3 x + y

的最大值為 ____。 (2)

\frac{y + 2}{x + 1}

的最大值為 ____。

根據衛生署的統計，成人每天需要的膳食纖維至少

24

公克、

β

-胡蘿蔔素至少

6

毫克。便利商店看準外食族長期膳食纖維和

β

-胡蘿蔔素是攝取不足的，打算推出兩種生菜沙拉的組合來滿足外食族的一日需求。

A

組合沙拉每盒售價

25

元，可提供膳食纖維

6

公克、

β

-胡蘿蔔素

1

毫克；

B

組合沙拉每盒售價

30

元，可提供膳食纖維

6

公克、

β

-胡蘿蔔素

3

毫克。若嘯禾買

A

組合的沙拉

x

盒，買

B

組合的沙拉

y

盒，所花費的金額為

P

元，則： (1) 當數對

(x, y) =

____ 時，可使花費金額最小。 (2) 最小花費金額為 ____ 元。

某貨運公司有載重

4

噸的小貨車

7

輛、載重

5

噸的大貨車

4

輛及

9

名司機，現在受託每天至少要運送

30

噸的煤，假設每輛貨車及每名司機每天最多運送一次。試問： (1) 這家公司有幾種調度車輛的辦法？____。 (2) 假設小貨車開一趟要

500

元，大貨車要

800

元，則小貨車與大貨車各派幾輛才能最省錢？____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(C)(D)(E)

第 2 題(A)(B)(D)(E)

第 3 題

- 3 < m < 0

第 4 題(1)

32

　(2)

(9, - 3)

第 5 題

- 5 < a < 1

第 6 題(1)

x + 2 y - 11 \geq 0

、

5 x - 2 y - 19 \leq 0

、

x - 2 y + 9 \geq 0

　(2)

\frac{49}{5}

第 7 題

- \frac{1}{2} < m < \frac{3}{2}

第 8 題

15

第 9 題(1)

19

　(2)

4

第 10 題(1)

(3, 1)

　(2)

105

第 11 題(1)

10

　(2) 小貨車派

5

輛、大貨車派

2

輛

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選第 1 題：由圖形判斷係數的正負

1 (A)

錯誤。先認線： $- 2 x + y = d$ 即 $y = 2 x + d$ ，斜率為正，所以它是 $L_{1}$ ； $a x + b y = c$ 是斜率為負的 $L_{2}$ 。

① 原點 $O$ 在斜線區域內，且不在兩條線上，代入兩式都要成立且不取等號： $0 < c$ 、 $0 < d$ ，所以 $c > 0$ 、 $d > 0$ 。

② $L_{2}$ 與 $x$ 軸交在原點左側， $x$ 截距 $\frac{c}{a} < 0$ ；已知 $c > 0$ ，所以 $a < 0$ 。

載入中...

1 (B)

錯誤。 $L_{2}$ 與 $y$ 軸交在原點下方， $y$ 截距 $\frac{c}{b} < 0$ ； $c > 0$ ，所以 $b < 0$ 。

也可以由斜率 $- \frac{a}{b} < 0$ 得 $a$ 、 $b$ 同號，再由 $a < 0$ 得 $b < 0$ 。

1 (C)正確。由 (A) 的 ①，原點代入

a x + b y \leq c

得

0 \leq c

，又原點不在

L_{2}

上，所以

c > 0

。

1 (D)正確。

L_{1} : y = 2 x + d

的

y

截距是

d

，圖上

L_{1}

交

y

軸在原點上方，所以

d > 0

。

1 (E)

正確。 $a < 0$ 、 $b < 0$ 、 $c > 0$ 、 $d > 0$ ，兩負兩正相乘， $ab c d > 0$ 。

答案 (C)(D)(E)。

看圖判斷係數：先用斜率認出哪條線是哪個式子，再用截距與「原點在哪一側」定正負。

02多選第 2 題：由頂點反求係數

2 (A)

正確。圖上斜率為正的邊界線過 $(1, 0)$ 與 $(\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$ ，它是 $a x - y - 1 = 0$ 。

代入 $(1, 0)$ ： $a - 0 - 1 = 0$ ，得 $a = 1$ 。再代 $(\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$ 檢查： $\frac{3}{2} - \frac{1}{2} - 1 = 0$ ，成立。

載入中...

2 (B)

正確。斜率為負的邊界線過 $(0, 2)$ 與 $(\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$ ，它是 $x + b y - 2 = 0$ 。

代入 $(0, 2)$ ： $2 b - 2 = 0$ ，得 $b = 1$ 。再代 $(\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$ ： $\frac{3}{2} + \frac{1}{2} - 2 = 0$ ，成立。

2 (C)錯誤。

a + b = 1 + 1 = 2 \neq = 3

。

2 (D)

正確。可行解區域是四邊形，頂點 $(0, 0)$ 、 $(1, 0)$ 、 $(\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$ 、 $(0, 2)$ 。一次式的最大最小值出現在頂點，逐一代入 $3 x - y$ ：

$0, 3, \frac{9}{2} - \frac{1}{2} = 4, - 2$

最大值為 $4$ ，在 $(\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$ 取得。

2 (E)

正確。由 (D) 的四個值，最小值為 $- 2$ ，在 $(0, 2)$ 取得。

答案 (A)(B)(D)(E)。

由圖反求不等式的係數：把圖上標出的頂點代進邊界線的方程式。

03填充 1（第 3 題）：直線與線段不相交

第 3 題

設 $f (x, y) = x + m y - m + 1$ 。 $L$ 與線段 $\overline{A B}$ 不相交，就是 $A$ 、 $B$ 兩點都不在 $L$ 上，而且在 $L$ 的同一側，即 $f (A) \cdot f (B) > 0$ 。

① $f (- 1, - 2) = - 1 - 2 m - m + 1 = - 3 m$ 。

② $f (2, 2) = 2 + 2 m - m + 1 = m + 3$ 。

③ $(- 3 m) (m + 3) > 0$ ，即 $m (m + 3) < 0$ ，得 $- 3 < m < 0$ 。

答案 $- 3 < m < 0$ 。

載入中...

另一個看法：

L

可寫成

(x + 1) + m (y - 1) = 0

，不論

m

為何都經過

P (- 1, 1)

。

m = 0

時

L

為

x = - 1

，經過

A

；

m = - 3

時

L

經過

B

。直線繞著

P

轉，夾在這兩條之間（

- 3 < m < 0

）的才碰不到線段。

線段與直線不相交 ⟺ 兩端點代入直線式同號。

04填充 2（第 4 題）：平行四邊形區域

第 4 題

① 求頂點：四條邊界線兩兩相交（平行的不算），解聯立：

$x + y = - 1$ 與 $x + 2 y = - 2$ 交於 $(0, - 1)$ ； $x + y = 3$ 與 $x + 2 y = - 2$ 交於 $(8, - 5)$ ；

$x + y = 3$ 與 $x + 2 y = 6$ 交於 $(0, 3)$ ； $x + y = - 1$ 與 $x + 2 y = 6$ 交於 $(- 8, 7)$ 。

② 區域是平行四邊形，對角線連 $(0, - 1)$ 與 $(0, 3)$ ，落在 $y$ 軸上，長 $4$ 。另兩個頂點 $(8, - 5)$ 、 $(- 8, 7)$ 到 $y$ 軸的距離都是 $8$ 。

③ 面積是兩個三角形相加：

$\frac{1}{2} \times 4 \times 8 + \frac{1}{2} \times 4 \times 8 = 32$

④ $2 x + 3 y$ 在四個頂點的值： $(0, - 1)$ 為 $- 3$ ； $(8, - 5)$ 為 $1$ ； $(0, 3)$ 為 $9$ ； $(- 8, 7)$ 為 $5$ 。

所以 $M = 9$ 、 $m = - 3$ 。

答案 (1) $32$ 　(2) $(9, - 3)$ 。

載入中...

(2) 也可以不求頂點：

2 x + 3 y = (x + y) + (x + 2 y)

，兩個括號各自可以同時取到最大（

3

與

6

，即頂點

(0, 3)

）或同時取到最小（

- 1

與

- 2

，即頂點

(0, - 1)

），所以最大

9

、最小

- 3

。

兩組平行線夾出的區域是平行四邊形；面積可以用落在坐標軸上的對角線切成兩個三角形來算。

05填充 3（第 5 題）：點在三角形內部

第 5 題

① 求三頂點： $L_{1}$ 與 $L_{2}$ 交於 $(- 3, - 1)$ ； $L_{2}$ 與 $L_{3}$ 交於 $(\frac{21}{11}, \frac{43}{11})$ ； $L_{1}$ 與 $L_{3}$ 交於 $(6, - 7)$ 。

② $P (3, a)$ 在鉛直線 $x = 3$ 上。三頂點的 $x$ 坐標中， $\frac{21}{11} < 3 < 6$ ，所以 $x = 3$ 穿過三角形時，交的是 $L_{3}$ 與 $L_{1}$ 這兩邊。

③ 代 $x = 3$ ： $L_{3}$ 上 $24 + 3 y - 27 = 0$ ， $y = 1$ ； $L_{1}$ 上 $6 + 3 y + 9 = 0$ ， $y = - 5$ 。

④ 內部不含邊界， $P$ 要嚴格夾在兩交點之間： $- 5 < a < 1$ 。

答案 $- 5 < a < 1$ 。

載入中...

也可以用「

P

與第三個頂點在每一邊的同側」列三個不等式：

L_{1}

給

a > - 5

，

L_{3}

給

a < 1

，

L_{2}

給

a < 5

，三者取交集仍是

- 5 < a < 1

。

點在

x = k

上移動時，先看這條鉛直線碰到三角形的哪兩條邊，答案就是兩個交點之間。

06填充 4（第 6 題）：三角形區域與距離平方

第 6 題

(1) 先求三邊的直線，再用第三個頂點決定方向。

① 直線 $A B$ ： $x + 2 y - 11 = 0$ ；代 $C (7, 8)$ 得 $12 > 0$ ，所以取 $x + 2 y - 11 \geq 0$ 。

② 直線 $B C$ ： $5 x - 2 y - 19 = 0$ ；代 $A (1, 5)$ 得 $- 24 < 0$ ，所以取 $5 x - 2 y - 19 \leq 0$ 。

③ 直線 $C A$ ： $x - 2 y + 9 = 0$ ；代 $B (5, 3)$ 得 $8 > 0$ ，所以取 $x - 2 y + 9 \geq 0$ 。

(2) 配方： $x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y + 5 = (x - 2)^{2} + (y - 1)^{2}$ ，這是 $P$ 到 $Q (2, 1)$ 的距離平方。

④ $Q$ 代入 $x + 2 y - 11$ 得 $- 7 < 0$ ， $Q$ 在 $A B$ 的另一側（三角形外）。 $Q$ 到直線 $A B$ 的垂足 $H (\frac{17}{5}, \frac{19}{5})$ ， $x$ 坐標在 $1$ 與 $5$ 之間，落在邊 $\overline{A B}$ 上。

⑤ 所以三角形上離 $Q$ 最近的點是 $H$ ，最近距離是 $Q$ 到 $A B$ 的距離：

$\frac{∣ 2 + 2 - 11 ∣}{1 ^{2} + 2 ^{2}} = \frac{7}{5}$

最小值為 $(\frac{7}{5})^{2} = \frac{49}{5}$ 。

答案 (1) $x + 2 y - 11 \geq 0$ 、 $5 x - 2 y - 19 \leq 0$ 、 $x - 2 y + 9 \geq 0$ 三式聯立　(2) $\frac{49}{5}$ 。

載入中...

若垂足落在邊的延長線上，最近點就會是頂點，不能直接用點到直線距離。本題垂足在邊上，所以可以用。三頂點到

Q

的距離平方分別是

17

、

13

、

74

，都比

\frac{49}{5} = 9.8

大，也可對照。

x^{2} + y^{2}

型的式子先配方，看成到某定點的距離平方；最近點可能在邊上（垂足），也可能在頂點。

07填充 5（第 7 題）：唯一最大值點

第 7 題

四邊形的頂點是 $(0, 0)$ 、 $(8, 0)$ 、 $(4, 6)$ 、 $(0, 4)$ 。 $p = m x + y + 10$ 是一次式，在多邊形上的最大值出現在頂點。

① $(4, 6)$ 是取得最大值的唯一點，等於 $(4, 6)$ 的值比其他三個頂點都大（若有一個頂點的值相等，連接它們的整條邊都會取到最大值，就不唯一）。

② 各頂點的值： $(4, 6)$ 為 $4 m + 16$ ； $(0, 0)$ 為 $10$ ； $(8, 0)$ 為 $8 m + 10$ ； $(0, 4)$ 為 $14$ 。

③ $4 m + 16 > 10$ ，得 $m > - \frac{3}{2}$ 。

④ $4 m + 16 > 8 m + 10$ ，得 $m < \frac{3}{2}$ 。

⑤ $4 m + 16 > 14$ ，得 $m > - \frac{1}{2}$ 。

⑥ 三者同時成立： $- \frac{1}{2} < m < \frac{3}{2}$ 。

答案 $- \frac{1}{2} < m < \frac{3}{2}$ 。

載入中...

用斜率看：

p

的等值線

m x + y = k

斜率為

- m

。過

(4, 6)

的兩條邊斜率分別是

\frac{1}{2}

與

- \frac{3}{2}

；等值線斜率要嚴格夾在兩者之間，即

- \frac{3}{2} < - m < \frac{1}{2}

，同樣得

- \frac{1}{2} < m < \frac{3}{2}

。

「唯一」最大值點：該頂點的值要嚴格大於其他每個頂點的值。

08填充 6（第 8 題）：數格子點

第 8 題

$y$ 只能是 $0, 1, 2, 3, 4$ ，逐列數。每列 $x$ 要同時滿足 $0 \leq x \leq 7$ 、 $x \leq 9 - y$ 、 $4 x \geq 30 - 7 y$ 。

① $y = 0$ ： $4 x \geq 30$ ， $x \geq 7.5$ ，但 $x \leq 7$ ， $0$ 個。

② $y = 1$ ： $4 x \geq 23$ ， $x \geq 5.75$ ， $x = 6, 7$ ， $2$ 個。

③ $y = 2$ ： $4 x \geq 16$ ， $x \geq 4$ ， $x = 4, 5, 6, 7$ ， $4$ 個。

④ $y = 3$ ： $4 x \geq 9$ ， $x \geq 2.25$ ，又 $x \leq 6$ ， $x = 3, 4, 5, 6$ ， $4$ 個。

⑤ $y = 4$ ： $4 x \geq 2$ ， $x \geq 0.5$ ，又 $x \leq 5$ ， $x = 1, 2, 3, 4, 5$ ， $5$ 個。

合計 $0 + 2 + 4 + 4 + 5 = 15$ 。

答案 $15$ 個。

載入中...

數格子點：固定一個變數逐列數，每列把所有限制合併成一段整數範圍。

09填充 7（第 9 題）：一次式與斜率的最大值

第 9 題

① 三條邊界線兩兩交於 $(3, 0)$ 、 $(5, 4)$ 、 $(0, 2)$ 。代三角形內的點 $(2, 2)$ 檢查三式都成立，所以可行解區域是這三點圍成的三角形。

(1) $3 x + y$ 在三頂點的值： $(3, 0)$ 為 $9$ ； $(5, 4)$ 為 $19$ ； $(0, 2)$ 為 $2$ 。最大值 $19$ 。

(2) $\frac{y + 2}{x + 1} = \frac{y - ( - 2 )}{x - ( - 1 )}$ ，是點 $(x, y)$ 與定點 $E (- 1, - 2)$ 連線的斜率。

② $E$ 在區域的左下方，連到三角形各點的線斜率都是正的，最陡的一條連到頂點。三頂點的斜率：

$\frac{0 + 2}{3 + 1} = \frac{1}{2}, \frac{4 + 2}{5 + 1} = 1, \frac{2 + 2}{0 + 1} = 4$

③ 最大值 $4$ ，在 $(0, 2)$ 取得。

答案 (1) $19$ 　(2) $4$ 。

載入中...

區域內

x \geq 0

，所以

x + 1 > 0

，分母不會是

0

。

\frac{y - b}{x - a}

看成與定點

(a, b)

連線的斜率，極值出現在頂點。

10填充 8（第 10 題）：沙拉的最小花費

第 10 題

① 列式： $x, y$ 為非負整數，

$6 x + 6 y \geq 24, x + 3 y \geq 6, x \geq 0, y \geq 0$

即 $x + y \geq 4$ 、 $x + 3 y \geq 6$ 。目標 $P = 25 x + 30 y$ 要最小。

② 可行解區域往右上無限延伸，頂點是 $(0, 4)$ 、 $(3, 1)$ 、 $(6, 0)$ （ $(3, 1)$ 由 $x + y = 4$ 與 $x + 3 y = 6$ 解出）。

③ 係數都是正的，往右上走 $P$ 只會變大，最小值出現在頂點： $(0, 4)$ 為 $120$ ； $(3, 1)$ 為 $105$ ； $(6, 0)$ 為 $150$ 。

④ 最小值 $105$ 在 $(3, 1)$ ，剛好是整數，就是所求。

答案 (1) $(3, 1)$ 　(2) $105$ 元。

載入中...

無界區域求最小值：目標函數係數都為正時，最小值仍在頂點；頂點是整數就直接用。

11填充 9（第 11 題）：貨車調度

第 11 題

① 設派小貨車 $x$ 輛、大貨車 $y$ 輛（整數）：

$0 \leq x \leq 7, 0 \leq y \leq 4, x + y \leq 9, 4 x + 5 y \geq 30$

（ $x + y \leq 9$ 是司機只有 $9$ 名。）

(1) 逐列數：

② $y = 0$ ： $x \geq 7.5$ ， $0$ 種。 $y = 1$ ： $x \geq 6.25$ ， $x = 7$ ， $1$ 種。

③ $y = 2$ ： $x \geq 5$ ， $x = 5, 6, 7$ ， $3$ 種。 $y = 3$ ： $x \geq 3.75$ 且 $x \leq 6$ ， $x = 4, 5, 6$ ， $3$ 種。

④ $y = 4$ ： $x \geq 2.5$ 且 $x \leq 5$ ， $x = 3, 4, 5$ ， $3$ 種。

合計 $10$ 種。

(2) 費用 $500 x + 800 y$ 。每一列取最小的 $x$ 最省：

⑤ $(7, 1)$ 為 $4300$ ； $(5, 2)$ 為 $4100$ ； $(4, 3)$ 為 $4400$ ； $(3, 4)$ 為 $4700$ 。

⑥ 最省是 $(5, 2)$ ， $4100$ 元。

答案 (1) $10$ 種　(2) 小貨車派 $5$ 輛、大貨車派 $2$ 輛。

載入中...

實數區域的頂點

(2.5, 4)

、

(7, 0.4)

不是整數，不能直接用；所以在格子點中比較。圖上的等值線

5 x + 8 y = 41

（即費用

4100

元）經過

(5, 2)

，其他可行的格子點都在它的右上方。

要求整數解時，若最佳頂點不是整數，就在附近的格子點中逐一比較。

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常見問題

高師大附中 114 上高三第三次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 11 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

高師大附中 114 上高三第三次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 1 題要先用斜率認出哪條線是哪個不等式，再由截距與原點的位置定正負；填充第 4 題（本頁第 6 題）的距離平方要確認垂足落在邊上；填充第 5 題（本頁第 7 題）的唯一最大值點要嚴格大於其他頂點；填充第 9 題（本頁第 11 題）別漏了司機只有 9 名的限制。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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題目取自高師大附中 114 學年度上學期高三第三次段考數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：線性規劃（二元一次不等式的圖形、可行解區域、目標函數的最大最小值、整數解的應用）；卷面未印範圍，依題目內容整理

高師大附中 114 上
高三第三次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 11 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 11 題，照原卷順序

一、多重選擇題（共2題，每題8分。只錯一選項得5分，錯二選項得2分，錯超過二選項或無作答則不給分，共16分）

如圖，聯立不等式

{a x + b y \leq c - 2 x + y \leq d

的圖形為斜線區域，則下列哪些數為正數？

(A) $a$
(B) $b$
(C) $c$
(D) $d$
(E) $ab c d$

載入中...

已知聯立不等式

⎩ ⎨ ⎧ x \geq 0 y \geq 0 a x - y - 1 \leq 0 x + b y - 2 \leq 0

之圖形如附圖，請問下列哪些選項正確？

(A) $a = 1$
(B) $b = 1$
(C) $a + b = 3$
(D) $3 x - y$ 之最大值為 $4$
(E) $3 x - y$ 之最小值為 $- 2$

載入中...

二、填充題（共14格，每格6分，共84分，答案完全正確才給分）

已知直線

L : x + m y - m + 1 = 0

與兩點

A (- 1, - 2), B (2, 2)

，若

L

與

\overline{A B}

不相交，試求實數

m

的範圍為 ____。

已知

x, y

滿足聯立不等式

{- 1 \leq x + y \leq 3 - 2 \leq x + 2 y \leq 6

， (1) 此可行解區域的面積為 ____。 (2) 若

2 x + 3 y

的最大值

M

與最小值

m

，則數對

(M, m) =

____。

三直線

L_{1} : 2 x + 3 y + 9 = 0, L_{2} : x - y + 2 = 0, L_{3} : 8 x + 3 y - 27 = 0

圍成

Δ A B C

。若

P (3, a)

在

Δ A B C

之內部（不含邊界），試求

a

的範圍為 ____。

已知

A (1, 5), B (5, 3), C (7, 8)

為坐標平面上的三點， (1) 試以聯立不等式表示

Δ A B C

的區域（含邊界）____。 (2) 若

P (x, y)

為

Δ A B C

區域上（含邊界）任一點，求

x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y + 5

的最小值為 ____。

已知

(x, y)

為圖中四邊形邊界及其內部的點，若點

(4, 6)

是目標函數

p = m x + y + 10

在圖中取得最大值的唯一點，求實數

m

的範圍為 ____。

載入中...

滿足不等式

0 \leq x \leq 7, 0 \leq y \leq 4, 0 \leq x + y \leq 9, 4 x + 7 y \geq 30

之格子點

(x, y)

有 ____ 個。（

x, y

均為整數之點

(x, y)

稱為格子點）

設

x, y

滿足

⎩ ⎨ ⎧ 2 x + 3 y \geq 6 2 x - y \leq 6 2 x - 5 y + 10 \geq 0

，試求下列各值。 (1)

3 x + y

的最大值為 ____。 (2)

\frac{y + 2}{x + 1}

的最大值為 ____。

根據衛生署的統計，成人每天需要的膳食纖維至少

24

公克、

β

-胡蘿蔔素至少

6

毫克。便利商店看準外食族長期膳食纖維和

β

-胡蘿蔔素是攝取不足的，打算推出兩種生菜沙拉的組合來滿足外食族的一日需求。

A

組合沙拉每盒售價

25

元，可提供膳食纖維

6

公克、

β

-胡蘿蔔素

1

毫克；

B

組合沙拉每盒售價

30

元，可提供膳食纖維

6

公克、

β

-胡蘿蔔素

3

毫克。若嘯禾買

A

組合的沙拉

x

盒，買

B

組合的沙拉

y

盒，所花費的金額為

P

元，則： (1) 當數對

(x, y) =

____ 時，可使花費金額最小。 (2) 最小花費金額為 ____ 元。

某貨運公司有載重

4

噸的小貨車

7

輛、載重

5

噸的大貨車

4

輛及

9

名司機，現在受託每天至少要運送

30

噸的煤，假設每輛貨車及每名司機每天最多運送一次。試問： (1) 這家公司有幾種調度車輛的辦法？____。 (2) 假設小貨車開一趟要

500

元，大貨車要

800

元，則小貨車與大貨車各派幾輛才能最省錢？____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(C)(D)(E)

第 2 題(A)(B)(D)(E)

第 3 題

- 3 < m < 0

第 4 題(1)

32

　(2)

(9, - 3)

第 5 題

- 5 < a < 1

第 6 題(1)

x + 2 y - 11 \geq 0

、

5 x - 2 y - 19 \leq 0

、

x - 2 y + 9 \geq 0

　(2)

\frac{49}{5}

第 7 題

- \frac{1}{2} < m < \frac{3}{2}

第 8 題

15

第 9 題(1)

19

　(2)

4

第 10 題(1)

(3, 1)

　(2)

105

第 11 題(1)

10

　(2) 小貨車派

5

輛、大貨車派

2

輛

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選第 1 題：由圖形判斷係數的正負

1 (A)

錯誤。先認線： $- 2 x + y = d$ 即 $y = 2 x + d$ ，斜率為正，所以它是 $L_{1}$ ； $a x + b y = c$ 是斜率為負的 $L_{2}$ 。

① 原點 $O$ 在斜線區域內，且不在兩條線上，代入兩式都要成立且不取等號： $0 < c$ 、 $0 < d$ ，所以 $c > 0$ 、 $d > 0$ 。

② $L_{2}$ 與 $x$ 軸交在原點左側， $x$ 截距 $\frac{c}{a} < 0$ ；已知 $c > 0$ ，所以 $a < 0$ 。

載入中...

1 (B)

錯誤。 $L_{2}$ 與 $y$ 軸交在原點下方， $y$ 截距 $\frac{c}{b} < 0$ ； $c > 0$ ，所以 $b < 0$ 。

也可以由斜率 $- \frac{a}{b} < 0$ 得 $a$ 、 $b$ 同號，再由 $a < 0$ 得 $b < 0$ 。

1 (C)正確。由 (A) 的 ①，原點代入

a x + b y \leq c

得

0 \leq c

，又原點不在

L_{2}

上，所以

c > 0

。

1 (D)正確。

L_{1} : y = 2 x + d

的

y

截距是

d

，圖上

L_{1}

交

y

軸在原點上方，所以

d > 0

。

1 (E)

正確。 $a < 0$ 、 $b < 0$ 、 $c > 0$ 、 $d > 0$ ，兩負兩正相乘， $ab c d > 0$ 。

答案 (C)(D)(E)。

看圖判斷係數：先用斜率認出哪條線是哪個式子，再用截距與「原點在哪一側」定正負。

02多選第 2 題：由頂點反求係數

2 (A)

正確。圖上斜率為正的邊界線過 $(1, 0)$ 與 $(\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$ ，它是 $a x - y - 1 = 0$ 。

代入 $(1, 0)$ ： $a - 0 - 1 = 0$ ，得 $a = 1$ 。再代 $(\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$ 檢查： $\frac{3}{2} - \frac{1}{2} - 1 = 0$ ，成立。

載入中...

2 (B)

正確。斜率為負的邊界線過 $(0, 2)$ 與 $(\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$ ，它是 $x + b y - 2 = 0$ 。

代入 $(0, 2)$ ： $2 b - 2 = 0$ ，得 $b = 1$ 。再代 $(\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$ ： $\frac{3}{2} + \frac{1}{2} - 2 = 0$ ，成立。

2 (C)錯誤。

a + b = 1 + 1 = 2 \neq = 3

。

2 (D)

正確。可行解區域是四邊形，頂點 $(0, 0)$ 、 $(1, 0)$ 、 $(\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$ 、 $(0, 2)$ 。一次式的最大最小值出現在頂點，逐一代入 $3 x - y$ ：

$0, 3, \frac{9}{2} - \frac{1}{2} = 4, - 2$

最大值為 $4$ ，在 $(\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$ 取得。

2 (E)

正確。由 (D) 的四個值，最小值為 $- 2$ ，在 $(0, 2)$ 取得。

答案 (A)(B)(D)(E)。

由圖反求不等式的係數：把圖上標出的頂點代進邊界線的方程式。

03填充 1（第 3 題）：直線與線段不相交

第 3 題

設 $f (x, y) = x + m y - m + 1$ 。 $L$ 與線段 $\overline{A B}$ 不相交，就是 $A$ 、 $B$ 兩點都不在 $L$ 上，而且在 $L$ 的同一側，即 $f (A) \cdot f (B) > 0$ 。

① $f (- 1, - 2) = - 1 - 2 m - m + 1 = - 3 m$ 。

② $f (2, 2) = 2 + 2 m - m + 1 = m + 3$ 。

③ $(- 3 m) (m + 3) > 0$ ，即 $m (m + 3) < 0$ ，得 $- 3 < m < 0$ 。

答案 $- 3 < m < 0$ 。

載入中...

另一個看法：

L

可寫成

(x + 1) + m (y - 1) = 0

，不論

m

為何都經過

P (- 1, 1)

。

m = 0

時

L

為

x = - 1

，經過

A

；

m = - 3

時

L

經過

B

。直線繞著

P

轉，夾在這兩條之間（

- 3 < m < 0

）的才碰不到線段。

線段與直線不相交 ⟺ 兩端點代入直線式同號。

04填充 2（第 4 題）：平行四邊形區域

第 4 題

① 求頂點：四條邊界線兩兩相交（平行的不算），解聯立：

$x + y = - 1$ 與 $x + 2 y = - 2$ 交於 $(0, - 1)$ ； $x + y = 3$ 與 $x + 2 y = - 2$ 交於 $(8, - 5)$ ；

$x + y = 3$ 與 $x + 2 y = 6$ 交於 $(0, 3)$ ； $x + y = - 1$ 與 $x + 2 y = 6$ 交於 $(- 8, 7)$ 。

② 區域是平行四邊形，對角線連 $(0, - 1)$ 與 $(0, 3)$ ，落在 $y$ 軸上，長 $4$ 。另兩個頂點 $(8, - 5)$ 、 $(- 8, 7)$ 到 $y$ 軸的距離都是 $8$ 。

③ 面積是兩個三角形相加：

$\frac{1}{2} \times 4 \times 8 + \frac{1}{2} \times 4 \times 8 = 32$

④ $2 x + 3 y$ 在四個頂點的值： $(0, - 1)$ 為 $- 3$ ； $(8, - 5)$ 為 $1$ ； $(0, 3)$ 為 $9$ ； $(- 8, 7)$ 為 $5$ 。

所以 $M = 9$ 、 $m = - 3$ 。

答案 (1) $32$ 　(2) $(9, - 3)$ 。

載入中...

(2) 也可以不求頂點：

2 x + 3 y = (x + y) + (x + 2 y)

，兩個括號各自可以同時取到最大（

3

與

6

，即頂點

(0, 3)

）或同時取到最小（

- 1

與

- 2

，即頂點

(0, - 1)

），所以最大

9

、最小

- 3

。

兩組平行線夾出的區域是平行四邊形；面積可以用落在坐標軸上的對角線切成兩個三角形來算。

05填充 3（第 5 題）：點在三角形內部

第 5 題

① 求三頂點： $L_{1}$ 與 $L_{2}$ 交於 $(- 3, - 1)$ ； $L_{2}$ 與 $L_{3}$ 交於 $(\frac{21}{11}, \frac{43}{11})$ ； $L_{1}$ 與 $L_{3}$ 交於 $(6, - 7)$ 。

② $P (3, a)$ 在鉛直線 $x = 3$ 上。三頂點的 $x$ 坐標中， $\frac{21}{11} < 3 < 6$ ，所以 $x = 3$ 穿過三角形時，交的是 $L_{3}$ 與 $L_{1}$ 這兩邊。

③ 代 $x = 3$ ： $L_{3}$ 上 $24 + 3 y - 27 = 0$ ， $y = 1$ ； $L_{1}$ 上 $6 + 3 y + 9 = 0$ ， $y = - 5$ 。

④ 內部不含邊界， $P$ 要嚴格夾在兩交點之間： $- 5 < a < 1$ 。

答案 $- 5 < a < 1$ 。

載入中...

也可以用「

P

與第三個頂點在每一邊的同側」列三個不等式：

L_{1}

給

a > - 5

，

L_{3}

給

a < 1

，

L_{2}

給

a < 5

，三者取交集仍是

- 5 < a < 1

。

點在

x = k

上移動時，先看這條鉛直線碰到三角形的哪兩條邊，答案就是兩個交點之間。

06填充 4（第 6 題）：三角形區域與距離平方

第 6 題

(1) 先求三邊的直線，再用第三個頂點決定方向。

① 直線 $A B$ ： $x + 2 y - 11 = 0$ ；代 $C (7, 8)$ 得 $12 > 0$ ，所以取 $x + 2 y - 11 \geq 0$ 。

② 直線 $B C$ ： $5 x - 2 y - 19 = 0$ ；代 $A (1, 5)$ 得 $- 24 < 0$ ，所以取 $5 x - 2 y - 19 \leq 0$ 。

③ 直線 $C A$ ： $x - 2 y + 9 = 0$ ；代 $B (5, 3)$ 得 $8 > 0$ ，所以取 $x - 2 y + 9 \geq 0$ 。

(2) 配方： $x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y + 5 = (x - 2)^{2} + (y - 1)^{2}$ ，這是 $P$ 到 $Q (2, 1)$ 的距離平方。

⑤ 所以三角形上離 $Q$ 最近的點是 $H$ ，最近距離是 $Q$ 到 $A B$ 的距離：

$\frac{∣ 2 + 2 - 11 ∣}{1 ^{2} + 2 ^{2}} = \frac{7}{5}$

最小值為 $(\frac{7}{5})^{2} = \frac{49}{5}$ 。

答案 (1) $x + 2 y - 11 \geq 0$ 、 $5 x - 2 y - 19 \leq 0$ 、 $x - 2 y + 9 \geq 0$ 三式聯立　(2) $\frac{49}{5}$ 。

載入中...

若垂足落在邊的延長線上，最近點就會是頂點，不能直接用點到直線距離。本題垂足在邊上，所以可以用。三頂點到

Q

的距離平方分別是

17

、

13

、

74

，都比

\frac{49}{5} = 9.8

大，也可對照。

x^{2} + y^{2}

型的式子先配方，看成到某定點的距離平方；最近點可能在邊上（垂足），也可能在頂點。

07填充 5（第 7 題）：唯一最大值點

第 7 題

四邊形的頂點是 $(0, 0)$ 、 $(8, 0)$ 、 $(4, 6)$ 、 $(0, 4)$ 。 $p = m x + y + 10$ 是一次式，在多邊形上的最大值出現在頂點。

① $(4, 6)$ 是取得最大值的唯一點，等於 $(4, 6)$ 的值比其他三個頂點都大（若有一個頂點的值相等，連接它們的整條邊都會取到最大值，就不唯一）。

② 各頂點的值： $(4, 6)$ 為 $4 m + 16$ ； $(0, 0)$ 為 $10$ ； $(8, 0)$ 為 $8 m + 10$ ； $(0, 4)$ 為 $14$ 。

③ $4 m + 16 > 10$ ，得 $m > - \frac{3}{2}$ 。

④ $4 m + 16 > 8 m + 10$ ，得 $m < \frac{3}{2}$ 。

⑤ $4 m + 16 > 14$ ，得 $m > - \frac{1}{2}$ 。

⑥ 三者同時成立： $- \frac{1}{2} < m < \frac{3}{2}$ 。

答案 $- \frac{1}{2} < m < \frac{3}{2}$ 。

載入中...

用斜率看：

p

的等值線

m x + y = k

斜率為

- m

。過

(4, 6)

的兩條邊斜率分別是

\frac{1}{2}

與

- \frac{3}{2}

；等值線斜率要嚴格夾在兩者之間，即

- \frac{3}{2} < - m < \frac{1}{2}

，同樣得

- \frac{1}{2} < m < \frac{3}{2}

。

「唯一」最大值點：該頂點的值要嚴格大於其他每個頂點的值。

08填充 6（第 8 題）：數格子點

第 8 題

$y$ 只能是 $0, 1, 2, 3, 4$ ，逐列數。每列 $x$ 要同時滿足 $0 \leq x \leq 7$ 、 $x \leq 9 - y$ 、 $4 x \geq 30 - 7 y$ 。

① $y = 0$ ： $4 x \geq 30$ ， $x \geq 7.5$ ，但 $x \leq 7$ ， $0$ 個。

② $y = 1$ ： $4 x \geq 23$ ， $x \geq 5.75$ ， $x = 6, 7$ ， $2$ 個。

③ $y = 2$ ： $4 x \geq 16$ ， $x \geq 4$ ， $x = 4, 5, 6, 7$ ， $4$ 個。

④ $y = 3$ ： $4 x \geq 9$ ， $x \geq 2.25$ ，又 $x \leq 6$ ， $x = 3, 4, 5, 6$ ， $4$ 個。

⑤ $y = 4$ ： $4 x \geq 2$ ， $x \geq 0.5$ ，又 $x \leq 5$ ， $x = 1, 2, 3, 4, 5$ ， $5$ 個。

合計 $0 + 2 + 4 + 4 + 5 = 15$ 。

答案 $15$ 個。

載入中...

數格子點：固定一個變數逐列數，每列把所有限制合併成一段整數範圍。

09填充 7（第 9 題）：一次式與斜率的最大值

第 9 題

① 三條邊界線兩兩交於 $(3, 0)$ 、 $(5, 4)$ 、 $(0, 2)$ 。代三角形內的點 $(2, 2)$ 檢查三式都成立，所以可行解區域是這三點圍成的三角形。

(1) $3 x + y$ 在三頂點的值： $(3, 0)$ 為 $9$ ； $(5, 4)$ 為 $19$ ； $(0, 2)$ 為 $2$ 。最大值 $19$ 。

(2) $\frac{y + 2}{x + 1} = \frac{y - ( - 2 )}{x - ( - 1 )}$ ，是點 $(x, y)$ 與定點 $E (- 1, - 2)$ 連線的斜率。

② $E$ 在區域的左下方，連到三角形各點的線斜率都是正的，最陡的一條連到頂點。三頂點的斜率：

$\frac{0 + 2}{3 + 1} = \frac{1}{2}, \frac{4 + 2}{5 + 1} = 1, \frac{2 + 2}{0 + 1} = 4$

③ 最大值 $4$ ，在 $(0, 2)$ 取得。

答案 (1) $19$ 　(2) $4$ 。

載入中...

區域內

x \geq 0

，所以

x + 1 > 0

，分母不會是

0

。

\frac{y - b}{x - a}

看成與定點

(a, b)

連線的斜率，極值出現在頂點。

10填充 8（第 10 題）：沙拉的最小花費

第 10 題

① 列式： $x, y$ 為非負整數，

$6 x + 6 y \geq 24, x + 3 y \geq 6, x \geq 0, y \geq 0$

即 $x + y \geq 4$ 、 $x + 3 y \geq 6$ 。目標 $P = 25 x + 30 y$ 要最小。

② 可行解區域往右上無限延伸，頂點是 $(0, 4)$ 、 $(3, 1)$ 、 $(6, 0)$ （ $(3, 1)$ 由 $x + y = 4$ 與 $x + 3 y = 6$ 解出）。

③ 係數都是正的，往右上走 $P$ 只會變大，最小值出現在頂點： $(0, 4)$ 為 $120$ ； $(3, 1)$ 為 $105$ ； $(6, 0)$ 為 $150$ 。

④ 最小值 $105$ 在 $(3, 1)$ ，剛好是整數，就是所求。

答案 (1) $(3, 1)$ 　(2) $105$ 元。

載入中...

無界區域求最小值：目標函數係數都為正時，最小值仍在頂點；頂點是整數就直接用。

11填充 9（第 11 題）：貨車調度

第 11 題

① 設派小貨車 $x$ 輛、大貨車 $y$ 輛（整數）：

$0 \leq x \leq 7, 0 \leq y \leq 4, x + y \leq 9, 4 x + 5 y \geq 30$

（ $x + y \leq 9$ 是司機只有 $9$ 名。）

(1) 逐列數：

② $y = 0$ ： $x \geq 7.5$ ， $0$ 種。 $y = 1$ ： $x \geq 6.25$ ， $x = 7$ ， $1$ 種。

③ $y = 2$ ： $x \geq 5$ ， $x = 5, 6, 7$ ， $3$ 種。 $y = 3$ ： $x \geq 3.75$ 且 $x \leq 6$ ， $x = 4, 5, 6$ ， $3$ 種。

④ $y = 4$ ： $x \geq 2.5$ 且 $x \leq 5$ ， $x = 3, 4, 5$ ， $3$ 種。

合計 $10$ 種。

(2) 費用 $500 x + 800 y$ 。每一列取最小的 $x$ 最省：

⑤ $(7, 1)$ 為 $4300$ ； $(5, 2)$ 為 $4100$ ； $(4, 3)$ 為 $4400$ ； $(3, 4)$ 為 $4700$ 。

⑥ 最省是 $(5, 2)$ ， $4100$ 元。

答案 (1) $10$ 種　(2) 小貨車派 $5$ 輛、大貨車派 $2$ 輛。

載入中...

實數區域的頂點

(2.5, 4)

、

(7, 0.4)

不是整數，不能直接用；所以在格子點中比較。圖上的等值線

5 x + 8 y = 41

（即費用

4100

元）經過

(5, 2)

，其他可行的格子點都在它的右上方。

要求整數解時，若最佳頂點不是整數，就在附近的格子點中逐一比較。

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04填充 2（第 4 題）：平行四邊形區域

05填充 3（第 5 題）：點在三角形內部

06填充 4（第 6 題）：三角形區域與距離平方

07填充 5（第 7 題）：唯一最大值點

08填充 6（第 8 題）：數格子點

09填充 7（第 9 題）：一次式與斜率的最大值

10填充 8（第 10 題）：沙拉的最小花費

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