高師大附中 114 上
高二第三次段考
數學試題、答案與詳解

① 把 $\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|$ 平方展開：

$${\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|}^2={\left|\overrightarrow{a}\right|}^2+2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2$$

② 代入：$13=9+2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+16$，得 $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=-6$。

③ 設夾角為 $\theta$：$\cos \theta =\frac{-6}{3\times 4}=-\frac{1}{2}$，所以 $\theta =120^{\circ }$。

答案 (D)。

逐一算出坐標，再比長度的平方：

(A) $-3\overrightarrow{u}=(-3,-9)$，長度平方 $9+81=90$。

(B) $2\overrightarrow{v}=(-6,4)$，長度平方 $36+16=52$。

(C) $-2\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=(-2+3,-6-2)=(1,-8)$，長度平方 $1+64=65$。

(D) $2\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=(2+3,6-2)=(5,4)$，長度平方 $25+16=41$。

(E) $\overrightarrow{u}+2\overrightarrow{v}=(1-6,3+4)=(-5,7)$，長度平方 $25+49=74$。

最大的是 $90$，答案 (A)。

① 先用餘弦定理求兩個角：

$$\cos A=\frac{5^2+7^2-9^2}{2\times 5\times 7}=-\frac{1}{10},\cos B=\frac{5^2+9^2-7^2}{2\times 5\times 9}=\frac{19}{30}$$

② (A) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=5\times 7\times \cos A=-\frac{7}{2}$；(B) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\frac{7}{2}$。

③ (C) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=5\times 9\times \cos B=\frac{57}{2}$；(D) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=-\frac{57}{2}$。

④ (E) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AB}=25$。

⑤ 比較 $-\frac{7}{2}$、$\frac{7}{2}$、$\frac{57}{2}$、$-\frac{57}{2}$、$25$，最大的是 $\frac{57}{2}=28.5$。

答案 (C)。

① $\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx \frac{1+2.2}{2}=1.6$。

② 頭頂到肚臍的距離 $165-100=65$ 公分，穿鞋不會改變它。

③ 穿 $h$ 公分高的鞋，下半身（肚臍到腳底）變成 $100+h$ 公分。

④ 要 $\frac{100+h}{65}=1.6$，得 $100+h=104$，$h=4$。

答案 (B)。

$0\le \alpha \le 1$、$0\le \beta \le 1$ 表示 $P$ 要落在 $\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$ 張成的平行四邊形（含邊界）裡。每個選項解 $(2,2)=\alpha \overrightarrow{OA}+\beta \overrightarrow{OB}$，看係數是否都在 $0$ 到 $1$ 之間。

(A) 正確。 $3\alpha +3\beta =2$、$2\alpha +4\beta =2$，解得 $\alpha =\beta =\frac{1}{3}$。

(B) 錯誤。 $2\alpha -4\beta =2$、$-3\alpha +3\beta =2$，解得 $\beta =-\frac{5}{3}<0$。

(C) 正確。 $3\alpha +4\beta =2$、$4\alpha -\beta =2$，解得 $\alpha =\frac{10}{19}$、$\beta =\frac{2}{19}$。

(D) 錯誤。 $\alpha +\beta =2$、$-\alpha +\beta =2$，解得 $\alpha =0$、$\beta =2>1$。

(E) 正確。 $\alpha +2\beta =2$、$2\alpha +\beta =2$，解得 $\alpha =\beta =\frac{2}{3}$。

答案 (A)(C)(E)。

$L_1:2x-3y+3=0$ 的法向量是 $(2,-3)$，方向向量與它垂直，可取 $(3,2)$。

(A) 正確。 $(4,-6)=2(2,-3)$，與 $(2,-3)$ 平行，也是法向量。

(B) 正確。 $(3,2)\cdot (2,-3)=6-6=0$，與法向量垂直，是方向向量。

(C) 錯誤。 $(-2,3)=-(2,-3)$，它是法向量，不是方向向量。

(D) 錯誤。 由 $3y=2x+3$ 得 $y=\frac{2}{3}x+1$，斜率是 $\frac{2}{3}$。

(E) 正確。 兩法向量 $(2,-3)$、$(5,-1)$ 的夾角 $\theta$：

$$\cos \theta =\frac{10+3}{\sqrt{13}\times \sqrt{26}}=\frac{13}{13\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

$\theta =45^{\circ }$，兩直線的銳夾角就是 $45^{\circ }$。

答案 (A)(B)(E)。

① $\overrightarrow{AB}=(2-(-1),3-2)=(3,1)$，$\overrightarrow{BC}=(3-2,-1-3)=(1,-4)$。

② $\overrightarrow{AD}=2(3,1)-3(1,-4)=(6,2)-(3,-12)=(3,14)$。

③ $D=A+\overrightarrow{AD}=(-1+3,2+14)=(2,16)$。

答案 $(2,16)$。

① 題目的「$P$ 點在 $AB$ 上」指 $P$ 在線段 $\overline{AB}$ 上（與學校答案一致），$\overline{AP}:\overline{PB}=3:2$，所以 $\overrightarrow{AP}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}$。

② $\overrightarrow{AB}=(1-(-4),4-9)=(5,-5)$，$\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}=(3,-3)$。

③ $P=(-4+3,9-3)=(-1,6)$。

答案 $(-1,6)$。

① 若 $0\le r\le 1$、$0\le s\le 1$，$P$ 掃出 $\overrightarrow{x}$、$\overrightarrow{y}$ 張成的平行四邊形，面積是 $\Delta ABC$ 的 $2$ 倍，即 $8$。

② 現在 $r$ 的範圍長 $2-(-1)=3$，$s$ 的範圍長 $\frac{1}{2}-\left(-\frac{3}{2}\right)=2$。

③ $P$ 掃出的是邊長為 $3\overrightarrow{x}$、$2\overrightarrow{y}$ 的平行四邊形，面積是基本平行四邊形的 $3\times 2=6$ 倍。

④ 面積 $=6\times 8=48$。

答案 $48$。

① $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$（平行四邊形的對角線）。

② $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=4\times 3\times \cos 60^{\circ }=6$。

③ 平方展開：

$${\left|\overrightarrow{OC}\right|}^2=4^2+2\times 6+3^2=37$$

④ $\overline{OC}=\sqrt{37}$ 公里。

答案 $\sqrt{37}$。

① $\overrightarrow{u}$ 與 $\overrightarrow{b}$ 平行，$\overrightarrow{v}$ 與 $\overrightarrow{b}$ 垂直，所以 $\overrightarrow{u}$ 就是 $\overrightarrow{a}$ 在 $\overrightarrow{b}$ 上的正射影。

② $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=8+7=15$，${\left|\overrightarrow{b}\right|}^2=5$。

③ $\overrightarrow{u}=\frac{15}{5}\overrightarrow{b}=3(2,1)=(6,3)$。

④ $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{u}=(4-6,7-3)=(-2,4)$。

⑤ 檢查：$(-2,4)\cdot (2,1)=-4+4=0$，確實垂直。

答案 $(-2,4)$。

① 設 $A(a,0)$、$B(0,b)$，$a>0$，$b>0$。

② $\overrightarrow{PA}=(a-3,-1)$，$\overrightarrow{PB}=(-3,b-1)$。

③ 垂直，內積為 $0$：$-3(a-3)-(b-1)=0$，整理得 $3a+b=10$。

④ $\Delta OAB$ 面積 $=\frac{1}{2}ab$。由算幾不等式：

$$\frac{3a+b}{2}\ge \sqrt{3a\cdot b}\Rightarrow 5\ge \sqrt{3ab}\Rightarrow ab\le \frac{25}{3}$$

⑤ 等號在 $3a=b=5$，即 $a=\frac{5}{3}$、$b=5$ 時成立。

⑥ 面積最大值 $=\frac{1}{2}\times \frac{25}{3}=\frac{25}{6}$。

答案 $\frac{25}{6}$。

① 三個向量長度都是 $1$。由 $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=-\sqrt{2}\overrightarrow{OC}$，兩邊取長度平方：

$$1+2\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}+1=2$$

得 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0$，$\angle AOB=\frac{\pi }{2}$。

② 同樣由 $\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{OB}-\sqrt{2}\overrightarrow{OC}$：

$$1=1+2\sqrt{2}\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}+2$$

得 $\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}=-\frac{1}{\sqrt{2}}$，$\angle BOC=\frac{3\pi }{4}$。

③ 同理 $\angle AOC=\frac{3\pi }{4}$，三個圓心角 $\frac{\pi }{2}+\frac{3\pi }{4}+\frac{3\pi }{4}=2\pi$，$A$ 不在弧 $BC$（$\angle BOC$ 所對的那段）上。

④ 圓周角是同弧圓心角的一半：$\angle BAC=\frac{1}{2}\times \frac{3\pi }{4}=\frac{3\pi }{8}$。

答案 $\frac{3\pi }{8}$。

① $\overrightarrow{AB}=(9,-7)$，$\overrightarrow{AC}=(-2,3)$。

② $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=-18-21=-39$，${\left|\overrightarrow{AC}\right|}^2=4+9=13$。

③ 正射影：

$$\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{{\left|\overrightarrow{AC}\right|}^2}\overrightarrow{AC}=\frac{-39}{13}(-2,3)=(6,-9)$$

答案 $(6,-9)$。

① 設每層樓高 $1$、樓地板長 $w$。以二樓地板 $EF$ 為高度 $1$，則三樓地板 $CD$ 高 $2$，四樓地板 $AB$ 高 $3$，五樓地板高 $4$。設 $P$ 的高度為 $t$（$t>4$）。

② 五樓地板截三角形 $PAB$ 的線段與 $\overline{AB}$ 平行，兩三角形相似，長度比＝到 $P$ 的高度比：

$$\frac{t-4}{t-3}=\frac{1}{3}$$

③ 解得 $3t-12=t-3$，$t=\frac{9}{2}$。

④ 再看三角形 $PCD$：五樓地板截出的線段與 $\overline{CD}$ 的比

$$\frac{t-4}{t-2}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{5}{2}}=\frac{1}{5}$$

⑤ $\overline{CD}$ 等於樓地板長，所以截出的線段是樓地板的 $\frac{1}{5}$ 倍。

答案 $\frac{1}{5}$。

① $M$ 在 $y$ 軸上，兩切線對稱於 $y$ 軸，$y$ 軸平分 $\angle AOB$，所以 $\angle MOB=30^{\circ }$。

② 切線垂直於半徑：$\angle OBM=90^{\circ }$，$\overline{MB}=2\sqrt{3}$。

③ 直角三角形 $OBM$ 中，$\tan 30^{\circ }=\frac{\overline{MB}}{\overline{OB}}$，所以 $\overline{OB}=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{1}{\sqrt{3}}}=6$。

④ $B$ 在第二象限，$\overrightarrow{OB}$ 與正 $x$ 軸夾 $90^{\circ }+30^{\circ }=120^{\circ }$：

$$B=(6\cos 120^{\circ },6\sin 120^{\circ })=(-3,3\sqrt{3})$$

答案 $(-3,3\sqrt{3})$。

① 以 $A$ 為原點、$\overrightarrow{AB}$ 為正 $x$ 方向建坐標。正六邊形邊長 $2$，相鄰兩邊夾 $120^{\circ }$：$\overrightarrow{a}=(2,0)$，$\overrightarrow{b}=(1,\sqrt{3})$。

② $D$ 與 $A$ 相鄰，$\overrightarrow{AD}=(-1,\sqrt{3})$（即 $\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$）。

③ 三個六邊形的中心：右下 $(1,\sqrt{3})$、上 $(1,3\sqrt{3})$、左 $(-2,2\sqrt{3})$（相鄰中心相距 $2\sqrt{3}$）。中心到頂點的距離等於邊長 $2$：$P$ 是左邊六邊形最左的頂點，由中心往左 $2$，$P=(-4,2\sqrt{3})$；$Q$ 是上面六邊形最右的頂點，由中心往右 $2$，$Q=(3,3\sqrt{3})$。

④ $\overrightarrow{PQ}=(7,\sqrt{3})$。

⑤ $\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{AD}=7\times (-1)+\sqrt{3}\times \sqrt{3}=-7+3=-4$。

答案 $-4$。

① 建坐標：$B(0,0)$、$A(0,1)$、$C(2,0)$。正方形 $ABDE$ 在 $\overline{AB}$ 左側：$D(-1,0)$、$E(-1,1)$。

② $\overrightarrow{AC}=(2,-1)$，正方形 $ACFG$ 在三角形外側，另一邊取與它垂直、同長的 $(1,2)$：$F=C+(1,2)=(3,2)$，$G=A+(1,2)=(1,3)$。

③ 求交點 $P$：$\overline{DF}$ 上的點 $(-1+4k,2k)$，$\overline{CG}$ 上的點 $(2-m,3m)$。

由 $2k=3m$、$-1+4k=2-m$，解得 $m=\frac{3}{7}$，$P=\left(\frac{11}{7},\frac{9}{7}\right)$。

④ $\overrightarrow{PC}=\left(\frac{3}{7},-\frac{9}{7}\right)$，與 $(1,-3)$ 同向；$\overrightarrow{PD}=\left(-\frac{18}{7},-\frac{9}{7}\right)$，與 $(-2,-1)$ 同向。

⑤ 夾角餘弦：

$$\cos \angle CPD=\frac{(1)(-2)+(-3)(-1)}{\sqrt{10}\times \sqrt{5}}=\frac{1}{5\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{10}$$

答案 $\frac{\sqrt{2}}{10}$。