段考詳解範圍：數與式（實數與循環小數、根式、絕對值與數線、指數與算幾不等式、常用對數與科學記號）

屏東高中 109 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 屏東高中 109 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 屏東高中 109 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

單選第 4 題的指數有八位數字，對數值取得不夠精確會差到上千位，要用計算機上更多位的數值；多選第 8 題要把科學記號還原成四捨五入前的範圍，最後的 0 也是有效位數；多選第 9 題的選項 4 分子係數和與分母不相等，不是兩數之間的分點；第 15 題要先化簡雙重根號，再分出整數部分與小數部分；第 18 題的 20 公尺是拒馬的長度，矩形周長要把缺口加回去。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 5 題、多選題 4 題、選填題 11 題，共 20 題；原卷未印配分，卷頭註明可以使用計算機。本頁第 10～20 題依序為原卷選填題 A～K。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單選題

下列哪一個選項是正確的？

(1) $lo g 1 = 1$
(2) $lo g 10 = 1 0^{10}$
(3) $lo g 0.001 = 3$
(4) $lo g \frac{1}{10} = 10$
(5) $1 0^{l o g 2} = 2$

設

a = 22 + 3

，

b = 7 + 2

，

c = 6 + 5

，下列何者正確？

(1) $a > b > c$
(2) $b > a > c$
(3) $a < b < c$
(4) $a < c < b$
(5) $c > a > b$

根據班佛法則，在某銀行裡，所有人的帳戶存款數最高位數字是

a

的人數佔所有人的比例為

lo g (1 + \frac{1}{a})

。求銀行存款數最高位數字是

4

的人數佔所有人的比例最接近下列哪一個選項？（

1 0^{0.3010} \approx 2

）

(1) $10%$
(2) $20%$
(3) $30%$
(4) $40%$
(5) $50%$

梅森質數

2^{82589933} - 1

為幾位數？

(1) $699$
(2) $700$
(3) $24862047$
(4) $24862048$
(5) $24862046$

設

a

，

b

為實數，若

∣ a x + 2∣ \leq b

之解為

- 3 \leq x \leq 5

，則

a - b =

(1) $- 8$
(2) $- 10$
(3) $10$
(4) $6$
(5) $- 6$

二、多選題

下列有關循環小數的敘述，哪些選項是正確的？

(1) $0. \overline{9} < 1$
(2) $0.2 \overline{32} = 0. \overline{23}$
(3) $1. \overline{72} + 3. \overline{28} = 5$
(4) $0. \overline{34} < 0.344$
(5) $0.12 \overline{3}$ 為有理數

下列敘述哪些是正確的？

(1) 若 $a$ 、 $b$ 為實數且 $a + b 2 = 0$ ，則 $a = 0$ 、 $b = 0$
(2) 若 $a + b$ 與 $ab$ 為有理數，則 $a$ 、 $b$ 均為有理數
(3) 若 $a^{2}$ 為有理數，且 $a^{5}$ 為有理數，則 $a$ 也是有理數
(4) 若 $a$ 是有理數， $b$ 是無理數，則 $a + b$ 與 $a - b$ 必為無理數
(5) 任兩相異有理數之間都存在無限多個有理數

已知某個熱門 MV 的點閱人次在考慮有效位數後以科學記號表示：

2.10 \times 1 0^{8}

人次，試選出正確的選項？

(1) 此數為 $9$ 位數
(2) 此數的有效位數為 $2$ 位
(3) 此數共有 $8$ 個 $0$
(4) 點閱人次最少 $205000000$
(5) 點閱人次最多 $210499999$

已知

a

、

b

為實數，且

a < b

，則下列敘述哪些是正確的？

(1) $\frac{a + 2 b}{3} > \frac{2 a + b}{3}$
(2) $\frac{a + b}{2} > \frac{2 a + b}{3}$
(3) $\frac{a + b}{2} > \frac{a + b}{3}$
(4) $a < \frac{a + 3 b}{5} < b$
(5) $\frac{3 a + 2 b}{5} < \frac{3 a + 4 b}{7}$

三、選填題：請依答案格內之題號選擇正確數字或符號畫卡

A. 求值：

(\frac{27}{125})^{- \frac{1}{3}} \times (\frac{9}{25})^{\frac{1}{2}} \times (3^{2})^{2} =

____。（原卷作答格共一格）

B. 數線上有

A

、

B

兩點，坐標分別是

- 9

和

7

，若

P

點在

\overline{A B}

上，且

\overline{A P} : \overline{B P} = 3 : 1

，則

P

點坐標為 ____。（原卷作答格共一格）

C. 設

x

為正整數，滿足

∣2 x - 3∣ < 10

的解共有 ____ 個。（原卷作答格共一格）

D. 設

x - \frac{1}{x} = 4

，則 (1)

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} =

____。(2)

x^{3} - \frac{1}{x ^{3}} =

____。（原卷作答格各兩格）

E. 設

a

，

b

是有理數，滿足

(2 - 2) a + (3 + 22) b = 8 + 32

，求

a + b

之值 ____。（原卷作答格共一格）

F. 已知

11 - 218

的整數部分為

a

，小數部分為

b

，求

\frac{1}{a - b} + b

的值 ____。（原卷作答格共一格）

G. 設

a > 0

，若

a^{2 x} = 3

，則

\frac{a ^{- 3 x} + a ^{x}}{a ^{3 x} + a ^{- x}}

之值為 ____。（約分成最簡分數）（原卷作答格式為分數，分子、分母各一格）

H. 設於某項新實驗中，細菌數

1

日後增加為

a

倍，且已知

3

日後細菌數為

300000

，

5 \frac{1}{2}

日後其數為

9600000

，

b

日後細菌數為

76800000

，求數對

(a, b) =

____。（原卷作答格式為兩格，依序填

a

、

b

）

I. 孫子兵法中說到「圍師必闕」，意思是包圍敵人要留缺口，現以矩形建築拒馬來包圍一個城池，並在北方留下

4

公尺寬的缺口，如模型示意圖。已知包圍城池的拒馬總長度為

20

公尺，則所圍城的矩形最大面積為 ____ 平方公尺。（原卷作答格共兩格）

載入中...

J. 郊區一筆直的路段設有水廠

A

與電廠

B

各一座，其坐標如右圖所示

A (- 2)

，

B (4)

，為了回饋沿路居民，水電的基本費計算方式為：「住戶到電廠距離的

2

倍加上該住戶到水廠的距離和為該用戶的水電基本費。」試求該路段基本費不超過

21

元的區域範圍 ____。（令該路段住戶

P

的坐標為

x

，即求

x

範圍，並以區間表示）（原卷作答格式為

[

㉕㉖

,

㉗

]

，負號占一格）

載入中...

K. 已知芮氏規模

M

的地震與釋出能量

E

的關係為：

M = \frac{lo g ( \frac{E}{A} )}{lo g 32}

，

A

是常數。試問：芮氏規模

8.0

地震釋出的能量是芮氏規模

7.6

地震釋出的能量的 ____ 倍。（原卷作答格共一格）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(5)

第 2 題(3)

第 3 題(1)

第 4 題(4)

第 5 題(2)

第 6 題(2)(4)(5)

第 7 題(3)(4)(5)

第 8 題(1)(5)

第 9 題(1)(2)(5)

第 10 題

9

第 11 題

3

第 12 題

6

第 13 題(1)

18

；(2)

76

第 14 題

3

第 15 題

3

第 16 題

\frac{1}{3}

第 17 題

(a, b) = (4, 7)

第 18 題

36

第 19 題

[- 5, 9]

第 20 題

4

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～5：對數的定義、根式比大小、對數估算、位數與絕對值不等式

第 1 題答案 (5)。

lo g x = k

的意思是

1 0^{k} = x

。(1)

1 0^{0} = 1

，所以

lo g 1 = 0

。(2)

1 0^{1} = 10

，所以

lo g 10 = 1

。(3)

0.001 = 1 0^{- 3}

，所以

lo g 0.001 = - 3

。(4)

\frac{1}{10} = 1 0^{- 1}

，所以

lo g \frac{1}{10} = - 1

。(5)

lo g 2

就是「

10

的幾次方會等於

2

」的那個次方，所以

1 0^{l o g 2} = 2

，正確。

1 0^{l o g x} = x

只是把定義重說一次。

第 2 題答案 (3)。

a = 8 + 3

，

b = 7 + 4

，

c = 6 + 5

，三個數根號裡的和都是

11

。三數都是正數，比較平方即可：

a^{2} = 11 + 224

，

b^{2} = 11 + 228

，

c^{2} = 11 + 230

。因為

24 < 28 < 30

，所以

a^{2} < b^{2} < c^{2}

，得

a < b < c

。

根號裡的和相同時，兩數越接近，乘積越大，根號相加也越大。

第 3 題答案 (1)。

a = 4

時比例為

lo g (1 + \frac{1}{4}) = lo g \frac{5}{4}

。把

\frac{5}{4}

寫成

10

的次方：

\frac{5}{4} = \frac{10}{8} = \frac{10}{2 ^{3}}

，而

2 \approx 1 0^{0.3010}

，所以

2^{3} \approx 1 0^{0.9030}

，

\frac{5}{4} \approx 1 0^{1 - 0.9030} = 1 0^{0.0970}

。於是

lo g \frac{5}{4} \approx 0.0970

，約

9.7%

，最接近

10%

。

題目給的提示

1 0^{0.3010} \approx 2

就是

lo g 2 \approx 0.3010

。

第 4 題答案 (4)。

2^{82589933}

的個位數字不是

0

，減

1

之後位數不變，所以只要求

2^{82589933}

的位數。用計算機得

lo g 2 \approx 0.30103

，也就是

2 \approx 1 0^{0.30103}

，所以

2^{82589933} \approx 1 0^{0.30103 \times 82589933} \approx 1 0^{24862047.5}

。這個數介於

1 0^{24862047}

與

1 0^{24862048}

之間，是

24862048

位數。

1 0^{n}

是

n + 1

位數，所以指數的整數部分加

1

才是位數。這題的指數有八位數字，

lo g 2

只取

0.3010

會算成

1 0^{24859569.8}

，得到

24859570

位，不在五個選項裡，所以改用計算機上較精確的

0.30103

（更精確是

0.3010299957

，算出指數約

24862047.17

，結論相同）。

第 5 題答案 (2)。解是

- 3 \leq x \leq 5

，中心在

x = 1

，半徑是

4

，所以原不等式與

∣ x - 1∣ \leq 4

相同。中心使絕對值裡面為

0

：

a \times 1 + 2 = 0

，得

a = - 2

。此時

∣ - 2 x + 2∣ = 2∣ x - 1∣

，

∣ x - 1∣ \leq 4

即

2∣ x - 1∣ \leq 8

，所以

b = 8

。

a - b = - 2 - 8 = - 10

。

檢查：

∣ - 2 x + 2∣ \leq 8

即

- 8 \leq - 2 x + 2 \leq 8

，

- 10 \leq - 2 x \leq 6

，同除以

- 2

要變號，得

- 3 \leq x \leq 5

。

lo g x = k

就是

1 0^{k} = x

；判斷位數時把數寫成

10

的次方，看指數的整數部分。

02多選 6～9：循環小數、有理數與無理數、科學記號、不等式

第 6 題答案 (2)(4)(5)。(1) 錯：設

z = 0. \overline{9}

，則

10 z = 9. \overline{9}

，相減得

9 z = 9

，

z = 1

，兩數相等。(2) 對：

0.2 \overline{32} = 0.2323232 \dots

，

0. \overline{23} = 0.232323 \dots

，每一位都相同。(3) 錯：

1. \overline{72} = 1 + \frac{72}{99}

，

3. \overline{28} = 3 + \frac{28}{99}

，相加得

4 + \frac{100}{99} = 5 + \frac{1}{99}

，比

5

大。(4) 對：

0. \overline{34} = 0.3434 \dots

，小數第三位是

3

，比

0.344

的第三位

4

小。(5) 對：循環小數都能化成分數，

0.12 \overline{3} = \frac{123 - 12}{900} = \frac{111}{900} = \frac{37}{300}

，是有理數。

(3) 若把循環小數當成有限小數

1.72 + 3.28

來加就會得到

5

；循環的部分相加後還有進位。

第 7 題答案 (3)(4)(5)。(1) 錯：題目只說

a

、

b

是實數，取

a = 2

、

b = - 2

，則

a + b 2 = 2 - 2 = 0

，但

a

、

b

都不是

0

。(2) 錯：取

a = 2

、

b = - 2

，

a + b = 0

、

ab = - 2

都是有理數，但

a

、

b

是無理數。(3) 對：

a = 0

時成立；

a \neq = 0

時

a^{4} = (a^{2})^{2}

是不為

0

的有理數，

a = \frac{a ^{5}}{a ^{4}}

是兩個有理數相除，為有理數。(4) 對：若

a + b

是有理數，則

b = (a + b) - a

是有理數，矛盾；若

a - b

是有理數，則

b = a - (a - b)

是有理數，也矛盾。(5) 對：兩相異有理數

p < q

的平均

\frac{p + q}{2}

是介於其間的有理數；再取

p

與這個平均的平均，可以一直做下去，得到無限多個。

(1) 要把條件改成「

a

、

b

為有理數」才成立。

第 8 題答案 (1)(5)。

2.10 \times 1 0^{8}

是四捨五入後的近似值，寫出

2

、

1

、

0

三位，表示原數

N

滿足

2.095 \times 1 0^{8} \leq N < 2.105 \times 1 0^{8}

，即

209500000 \leq N < 210500000

。(1) 對：這個範圍裡的數都是

9

位數。(2) 錯：有效位數是

2

、

1

、

0

共

3

位，最後的

0

也算。(3) 錯：第四位以後的數字並不知道，不能說有幾個

0

；就算寫成

210000000

也只有

7

個

0

。(4) 錯：最少是

209500000

。(5) 對：人次是整數，小於

210500000

的最大整數是

210499999

。

2.10 \times 1 0^{8}

與

2.1 \times 1 0^{8}

不同：前者準到第三位，後者只準到第二位。

第 9 題答案 (1)(2)(5)。分母都是正數，去分母不必變號。 (1) 對：兩邊同乘

3

，

a + 2 b > 2 a + b

即

b > a

，成立。 (2) 對：兩邊同乘

6

，

3 a + 3 b > 4 a + 2 b

即

b > a

，成立。 (3) 錯：兩邊同乘

6

得

3 (a + b) > 2 (a + b)

，即

a + b > 0

，不一定成立；例如

a = - 2

、

b = - 1

時左邊是

- \frac{3}{2}

，右邊是

- 1

。 (4) 錯：左半

5 a < a + 3 b

即

4 a < 3 b

，不一定成立；例如

a = 10

、

b = 11

時

\frac{a + 3 b}{5} = \frac{43}{5} = 8.6

，比

a

還小。 (5) 對：兩邊同乘

35

，

21 a + 14 b < 15 a + 20 b

即

6 a < 6 b

，成立。

(4) 的分子係數和是

4

，分母卻是

5

，它不是

a

、

b

之間的分點；分點要像

\frac{a + 3 b}{4}

這樣，分子係數和等於分母。

判斷「一定成立」的敘述，錯的舉一個反例，對的要說出理由。

03選填 10～15（原卷選填 A～F）：指數律、分點、絕對值不等式、乘法公式、比較係數與雙重根號

第 10 題三項分開算。

\frac{27}{125} = (\frac{3}{5})^{3}

，所以第一項是

(\frac{3}{5})^{3 \times (- \frac{1}{3})} = (\frac{3}{5})^{- 1} = \frac{5}{3}

。

\frac{9}{25} = (\frac{3}{5})^{2}

，所以第二項是

\frac{3}{5}

。第三項是

3^{2 \times 2} = 3^{2} = 9

。三項相乘：

\frac{5}{3} \times \frac{3}{5} \times 9 = 9

。

負指數是取倒數；指數是無理數時，指數律照樣成立。

第 11 題

P

在

\overline{A B}

上且

\overline{A P} : \overline{B P} = 3 : 1

，由分點公式，

P

的坐標是

\frac{1 \times ( - 9 ) + 3 \times 7}{3 + 1} = \frac{12}{4} = 3

。檢查：

\overline{A P} = 12

，

\overline{B P} = 4

，比是

3 : 1

。

\overline{A B} = 16

分成

4

等份，每份

4

；

P

離

A

三份，

- 9 + 12 = 3

。

第 12 題

∣2 x - 3∣ < 10

即

- 10 < 2 x - 3 < 10

，各加

3

得

- 7 < 2 x < 13

，所以

- 3.5 < x < 6.5

。其中的正整數是

1

、

2

、

3

、

4

、

5

、

6

，共

6

個。

題目限定正整數，

0

與負整數不算。

第 13 題(1) 把

x - \frac{1}{x} = 4

兩邊平方：

x^{2} - 2 + \frac{1}{x ^{2}} = 16

，所以

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = 18

。 (2) 由立方差公式，

x^{3} - \frac{1}{x ^{3}} = (x - \frac{1}{x}) (x^{2} + 1 + \frac{1}{x ^{2}}) = 4 \times (18 + 1) = 76

。

相減的平方，中間項是

- 2

，移項後要加

2

；立方差括號裡的中間項是

x \times \frac{1}{x} = 1

。

第 14 題展開後把有理數與

2

的倍數分開：

(2 a + 3 b) + (- a + 2 b) 2 = 8 + 32

。

a

、

b

是有理數，所以兩邊的有理數部分相等、

2

的係數也相等：

2 a + 3 b = 8

，

- a + 2 b = 3

。由第二式

a = 2 b - 3

，代入第一式得

7 b - 6 = 8

，

b = 2

，

a = 1

。所以

a + b = 3

。

「係數對應相等」要靠

a

、

b

是有理數這個條件。

第 15 題找兩數和為

11

、積為

18

：

9

和

2

。所以

11 - 218 = (9 - 2)^{2} = 3 - 2

。因為

1 < 2 < 2

，所以

1 < 3 - 2 < 2

，整數部分

a = 1

，小數部分

b = (3 - 2) - 1 = 2 - 2

。

a - b = 2 - 1

，

\frac{1}{a - b} = \frac{1}{2 - 1} = 2 + 1

。所求

= (2 + 1) + (2 - 2) = 3

。

化簡雙重根號時要寫成大的減小的，

9 - 2

才是正數。小數部分是原數減去整數部分。

有理數與無理數混在一起的等式，把兩種部分分開，各自相等。

04選填 16～20（原卷選填 G～K）：指數律求值、指數成長、算幾不等式、絕對值不等式與芮氏規模

第 16 題分子、分母同乘

a^{3 x}

：分子變成

1 + a^{4 x}

，分母變成

a^{6 x} + a^{2 x}

。已知

a^{2 x} = 3

，所以

a^{4 x} = 3^{2} = 9

，

a^{6 x} = 3^{3} = 27

。原式

= \frac{1 + 9}{27 + 3} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}

。

不必求出

a^{x}

；同乘一個適當的次方，把每一項都變成

a^{2 x}

的次方。

第 17 題每過

1

日變成

a

倍，所以過

t

日變成

a^{t}

倍。從第

3

日到第

5 \frac{1}{2}

日過了

2.5

日：

a^{2.5} = \frac{9600000}{300000} = 32

。

a^{\frac{5}{2}} = 2^{5}

，兩邊取

\frac{2}{5}

次方得

a = 2^{2} = 4

。從第

3

日到第

b

日：

4^{b - 3} = \frac{76800000}{300000} = 256 = 4^{4}

，所以

b - 3 = 4

，

b = 7

。數對

(a, b) = (4, 7)

。

用兩個時刻的數量相除，一開始的細菌數就消掉了，不必求。

第 18 題設矩形有缺口的那一邊長

x

公尺、另一邊長

y

公尺。矩形周長扣掉

4

公尺的缺口就是拒馬的總長：

2 x + 2 y - 4 = 20

，所以

x + y = 12

。由算幾不等式，

\frac{x + y}{2} \geq x y

，即

6 \geq x y

，

x y \leq 36

。等號在

x = y = 6

時成立，此時有缺口的那一邊長

6

公尺，放得下

4

公尺的缺口。最大面積為

36

平方公尺。

20

公尺是拒馬的長度，不是矩形的周長；周長要把缺口的

4

公尺加回去，是

24

公尺。本頁的圖是示意圖，沒有照實際比例畫。

第 19 題住戶坐標為

x

，到電廠

B

的距離是

∣ x - 4∣

，到水廠

A

的距離是

∣ x + 2∣

，基本費是

2∣ x - 4∣ + ∣ x + 2∣

。要解

2∣ x - 4∣ + ∣ x + 2∣ \leq 21

，依

x

與

- 2

、

4

的位置分三段。 ①

x \geq 4

：

2 (x - 4) + (x + 2) = 3 x - 6 \leq 21

，

x \leq 9

，所以

4 \leq x \leq 9

。 ②

- 2 \leq x < 4

：

2 (4 - x) + (x + 2) = 10 - x \leq 21

，

x \geq - 11

，這一段全部符合。 ③

x < - 2

：

2 (4 - x) - (x + 2) = 6 - 3 x \leq 21

，

x \geq - 5

，所以

- 5 \leq x < - 2

。三段合起來是

- 5 \leq x \leq 9

，即區間

[- 5, 9]

。

2

倍乘在到電廠的距離上，不是到水廠的距離。每一段解出來的範圍要和那一段的條件取共同部分。

第 20 題由關係式得

lo g (\frac{E}{A}) = M \times lo g 32

。依

lo g

的意義，

\frac{E}{A} = 1 0^{M \times l o g 32} = (1 0^{l o g 32})^{M} = 3 2^{M}

，所以

E = A \times 3 2^{M}

。規模

8.0

與

7.6

的能量相除：

\frac{A \times 3 2 ^{8}}{A \times 3 2 ^{7.6}} = 3 2^{0.4} = (2^{5})^{\frac{2}{5}} = 2^{2} = 4

，是

4

倍。

規模每增加

1

，能量變成

32

倍；增加

0.4

就是

3 2^{0.4}

倍，不是

32 \times 0.4

倍。

指數成長的問題，用兩個時刻的量相除，再把兩邊寫成同一個底數的次方。

同一次段考的其他學校

同樣是高一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

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上傳考卷

常見問題

屏東高中 109 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

屏東高中 109 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

單選第 4 題的指數有八位數字，對數值取得不夠精確會差到上千位，要用計算機上更多位的數值；多選第 8 題要把科學記號還原成四捨五入前的範圍，最後的 0 也是有效位數；多選第 9 題的選項 4 分子係數和與分母不相等，不是兩數之間的分點；第 15 題要先化簡雙重根號，再分出整數部分與小數部分；第 18 題的 20 公尺是拒馬的長度，矩形周長要把缺口加回去。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自屏東高中 109 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高一

段考詳解範圍：數與式（實數與循環小數、根式、絕對值與數線、指數與算幾不等式、常用對數與科學記號）

屏東高中 109 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

一、單選題

下列哪一個選項是正確的？

(1) $lo g 1 = 1$
(2) $lo g 10 = 1 0^{10}$
(3) $lo g 0.001 = 3$
(4) $lo g \frac{1}{10} = 10$
(5) $1 0^{l o g 2} = 2$

設

a = 22 + 3

，

b = 7 + 2

，

c = 6 + 5

，下列何者正確？

(1) $a > b > c$
(2) $b > a > c$
(3) $a < b < c$
(4) $a < c < b$
(5) $c > a > b$

根據班佛法則，在某銀行裡，所有人的帳戶存款數最高位數字是

a

的人數佔所有人的比例為

lo g (1 + \frac{1}{a})

。求銀行存款數最高位數字是

4

的人數佔所有人的比例最接近下列哪一個選項？（

1 0^{0.3010} \approx 2

）

(1) $10%$
(2) $20%$
(3) $30%$
(4) $40%$
(5) $50%$

梅森質數

2^{82589933} - 1

為幾位數？

(1) $699$
(2) $700$
(3) $24862047$
(4) $24862048$
(5) $24862046$

設

a

，

b

為實數，若

∣ a x + 2∣ \leq b

之解為

- 3 \leq x \leq 5

，則

a - b =

(1) $- 8$
(2) $- 10$
(3) $10$
(4) $6$
(5) $- 6$

二、多選題

下列有關循環小數的敘述，哪些選項是正確的？

(1) $0. \overline{9} < 1$
(2) $0.2 \overline{32} = 0. \overline{23}$
(3) $1. \overline{72} + 3. \overline{28} = 5$
(4) $0. \overline{34} < 0.344$
(5) $0.12 \overline{3}$ 為有理數

下列敘述哪些是正確的？

(1) 若 $a$ 、 $b$ 為實數且 $a + b 2 = 0$ ，則 $a = 0$ 、 $b = 0$
(2) 若 $a + b$ 與 $ab$ 為有理數，則 $a$ 、 $b$ 均為有理數
(3) 若 $a^{2}$ 為有理數，且 $a^{5}$ 為有理數，則 $a$ 也是有理數
(4) 若 $a$ 是有理數， $b$ 是無理數，則 $a + b$ 與 $a - b$ 必為無理數
(5) 任兩相異有理數之間都存在無限多個有理數

已知某個熱門 MV 的點閱人次在考慮有效位數後以科學記號表示：

2.10 \times 1 0^{8}

人次，試選出正確的選項？

(1) 此數為 $9$ 位數
(2) 此數的有效位數為 $2$ 位
(3) 此數共有 $8$ 個 $0$
(4) 點閱人次最少 $205000000$
(5) 點閱人次最多 $210499999$

已知

a

、

b

為實數，且

a < b

，則下列敘述哪些是正確的？

(1) $\frac{a + 2 b}{3} > \frac{2 a + b}{3}$
(2) $\frac{a + b}{2} > \frac{2 a + b}{3}$
(3) $\frac{a + b}{2} > \frac{a + b}{3}$
(4) $a < \frac{a + 3 b}{5} < b$
(5) $\frac{3 a + 2 b}{5} < \frac{3 a + 4 b}{7}$

三、選填題：請依答案格內之題號選擇正確數字或符號畫卡

A. 求值：

(\frac{27}{125})^{- \frac{1}{3}} \times (\frac{9}{25})^{\frac{1}{2}} \times (3^{2})^{2} =

____。（原卷作答格共一格）

B. 數線上有

A

、

B

兩點，坐標分別是

- 9

和

7

，若

P

點在

\overline{A B}

上，且

\overline{A P} : \overline{B P} = 3 : 1

，則

P

點坐標為 ____。（原卷作答格共一格）

C. 設

x

為正整數，滿足

∣2 x - 3∣ < 10

的解共有 ____ 個。（原卷作答格共一格）

D. 設

x - \frac{1}{x} = 4

，則 (1)

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} =

____。(2)

x^{3} - \frac{1}{x ^{3}} =

____。（原卷作答格各兩格）

E. 設

a

，

b

是有理數，滿足

(2 - 2) a + (3 + 22) b = 8 + 32

，求

a + b

之值 ____。（原卷作答格共一格）

F. 已知

11 - 218

的整數部分為

a

，小數部分為

b

，求

\frac{1}{a - b} + b

的值 ____。（原卷作答格共一格）

G. 設

a > 0

，若

a^{2 x} = 3

，則

\frac{a ^{- 3 x} + a ^{x}}{a ^{3 x} + a ^{- x}}

之值為 ____。（約分成最簡分數）（原卷作答格式為分數，分子、分母各一格）

H. 設於某項新實驗中，細菌數

1

日後增加為

a

倍，且已知

3

日後細菌數為

300000

，

5 \frac{1}{2}

日後其數為

9600000

，

b

日後細菌數為

76800000

，求數對

(a, b) =

____。（原卷作答格式為兩格，依序填

a

、

b

）

I. 孫子兵法中說到「圍師必闕」，意思是包圍敵人要留缺口，現以矩形建築拒馬來包圍一個城池，並在北方留下

4

公尺寬的缺口，如模型示意圖。已知包圍城池的拒馬總長度為

20

公尺，則所圍城的矩形最大面積為 ____ 平方公尺。（原卷作答格共兩格）

載入中...

J. 郊區一筆直的路段設有水廠

A

與電廠

B

各一座，其坐標如右圖所示

A (- 2)

，

B (4)

，為了回饋沿路居民，水電的基本費計算方式為：「住戶到電廠距離的

2

倍加上該住戶到水廠的距離和為該用戶的水電基本費。」試求該路段基本費不超過

21

元的區域範圍 ____。（令該路段住戶

P

的坐標為

x

，即求

x

範圍，並以區間表示）（原卷作答格式為

[

㉕㉖

,

㉗

]

，負號占一格）

載入中...

K. 已知芮氏規模

M

的地震與釋出能量

E

的關係為：

M = \frac{lo g ( \frac{E}{A} )}{lo g 32}

，

A

是常數。試問：芮氏規模

8.0

地震釋出的能量是芮氏規模

7.6

地震釋出的能量的 ____ 倍。（原卷作答格共一格）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(5)

第 2 題(3)

第 3 題(1)

第 4 題(4)

第 5 題(2)

第 6 題(2)(4)(5)

第 7 題(3)(4)(5)

第 8 題(1)(5)

第 9 題(1)(2)(5)

第 10 題

9

第 11 題

3

第 12 題

6

第 13 題(1)

18

；(2)

76

第 14 題

3

第 15 題

3

第 16 題

\frac{1}{3}

第 17 題

(a, b) = (4, 7)

第 18 題

36

第 19 題

[- 5, 9]

第 20 題

4

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～5：對數的定義、根式比大小、對數估算、位數與絕對值不等式

第 1 題答案 (5)。

lo g x = k

的意思是

1 0^{k} = x

。(1)

1 0^{0} = 1

，所以

lo g 1 = 0

。(2)

1 0^{1} = 10

，所以

lo g 10 = 1

。(3)

0.001 = 1 0^{- 3}

，所以

lo g 0.001 = - 3

。(4)

\frac{1}{10} = 1 0^{- 1}

，所以

lo g \frac{1}{10} = - 1

。(5)

lo g 2

就是「

10

的幾次方會等於

2

」的那個次方，所以

1 0^{l o g 2} = 2

，正確。

1 0^{l o g x} = x

只是把定義重說一次。

第 2 題答案 (3)。

a = 8 + 3

，

b = 7 + 4

，

c = 6 + 5

，三個數根號裡的和都是

11

。三數都是正數，比較平方即可：

a^{2} = 11 + 224

，

b^{2} = 11 + 228

，

c^{2} = 11 + 230

。因為

24 < 28 < 30

，所以

a^{2} < b^{2} < c^{2}

，得

a < b < c

。

根號裡的和相同時，兩數越接近，乘積越大，根號相加也越大。

第 3 題答案 (1)。

a = 4

時比例為

lo g (1 + \frac{1}{4}) = lo g \frac{5}{4}

。把

\frac{5}{4}

寫成

10

的次方：

\frac{5}{4} = \frac{10}{8} = \frac{10}{2 ^{3}}

，而

2 \approx 1 0^{0.3010}

，所以

2^{3} \approx 1 0^{0.9030}

，

\frac{5}{4} \approx 1 0^{1 - 0.9030} = 1 0^{0.0970}

。於是

lo g \frac{5}{4} \approx 0.0970

，約

9.7%

，最接近

10%

。

題目給的提示

1 0^{0.3010} \approx 2

就是

lo g 2 \approx 0.3010

。

第 4 題答案 (4)。

2^{82589933}

的個位數字不是

0

，減

1

之後位數不變，所以只要求

2^{82589933}

的位數。用計算機得

lo g 2 \approx 0.30103

，也就是

2 \approx 1 0^{0.30103}

，所以

2^{82589933} \approx 1 0^{0.30103 \times 82589933} \approx 1 0^{24862047.5}

。這個數介於

1 0^{24862047}

與

1 0^{24862048}

之間，是

24862048

位數。

1 0^{n}

是

n + 1

位數，所以指數的整數部分加

1

才是位數。這題的指數有八位數字，

lo g 2

只取

0.3010

會算成

1 0^{24859569.8}

，得到

24859570

位，不在五個選項裡，所以改用計算機上較精確的

0.30103

（更精確是

0.3010299957

，算出指數約

24862047.17

，結論相同）。

第 5 題答案 (2)。解是

- 3 \leq x \leq 5

，中心在

x = 1

，半徑是

4

，所以原不等式與

∣ x - 1∣ \leq 4

相同。中心使絕對值裡面為

0

：

a \times 1 + 2 = 0

，得

a = - 2

。此時

∣ - 2 x + 2∣ = 2∣ x - 1∣

，

∣ x - 1∣ \leq 4

即

2∣ x - 1∣ \leq 8

，所以

b = 8

。

a - b = - 2 - 8 = - 10

。

檢查：

∣ - 2 x + 2∣ \leq 8

即

- 8 \leq - 2 x + 2 \leq 8

，

- 10 \leq - 2 x \leq 6

，同除以

- 2

要變號，得

- 3 \leq x \leq 5

。

lo g x = k

就是

1 0^{k} = x

；判斷位數時把數寫成

10

的次方，看指數的整數部分。

02多選 6～9：循環小數、有理數與無理數、科學記號、不等式

第 6 題答案 (2)(4)(5)。(1) 錯：設

z = 0. \overline{9}

，則

10 z = 9. \overline{9}

，相減得

9 z = 9

，

z = 1

，兩數相等。(2) 對：

0.2 \overline{32} = 0.2323232 \dots

，

0. \overline{23} = 0.232323 \dots

，每一位都相同。(3) 錯：

1. \overline{72} = 1 + \frac{72}{99}

，

3. \overline{28} = 3 + \frac{28}{99}

，相加得

4 + \frac{100}{99} = 5 + \frac{1}{99}

，比

5

大。(4) 對：

0. \overline{34} = 0.3434 \dots

，小數第三位是

3

，比

0.344

的第三位

4

小。(5) 對：循環小數都能化成分數，

0.12 \overline{3} = \frac{123 - 12}{900} = \frac{111}{900} = \frac{37}{300}

，是有理數。

(3) 若把循環小數當成有限小數

1.72 + 3.28

來加就會得到

5

；循環的部分相加後還有進位。

第 7 題答案 (3)(4)(5)。(1) 錯：題目只說

a

、

b

是實數，取

a = 2

、

b = - 2

，則

a + b 2 = 2 - 2 = 0

，但

a

、

b

都不是

0

。(2) 錯：取

a = 2

、

b = - 2

，

a + b = 0

、

ab = - 2

都是有理數，但

a

、

b

是無理數。(3) 對：

a = 0

時成立；

a \neq = 0

時

a^{4} = (a^{2})^{2}

是不為

0

的有理數，

a = \frac{a ^{5}}{a ^{4}}

是兩個有理數相除，為有理數。(4) 對：若

a + b

是有理數，則

b = (a + b) - a

是有理數，矛盾；若

a - b

是有理數，則

b = a - (a - b)

是有理數，也矛盾。(5) 對：兩相異有理數

p < q

的平均

\frac{p + q}{2}

是介於其間的有理數；再取

p

與這個平均的平均，可以一直做下去，得到無限多個。

(1) 要把條件改成「

a

、

b

為有理數」才成立。

第 8 題答案 (1)(5)。

2.10 \times 1 0^{8}

是四捨五入後的近似值，寫出

2

、

1

、

0

三位，表示原數

N

滿足

2.095 \times 1 0^{8} \leq N < 2.105 \times 1 0^{8}

，即

209500000 \leq N < 210500000

。(1) 對：這個範圍裡的數都是

9

位數。(2) 錯：有效位數是

2

、

1

、

0

共

3

位，最後的

0

也算。(3) 錯：第四位以後的數字並不知道，不能說有幾個

0

；就算寫成

210000000

也只有

7

個

0

。(4) 錯：最少是

209500000

。(5) 對：人次是整數，小於

210500000

的最大整數是

210499999

。

2.10 \times 1 0^{8}

與

2.1 \times 1 0^{8}

不同：前者準到第三位，後者只準到第二位。

第 9 題答案 (1)(2)(5)。分母都是正數，去分母不必變號。 (1) 對：兩邊同乘

3

，

a + 2 b > 2 a + b

即

b > a

，成立。 (2) 對：兩邊同乘

6

，

3 a + 3 b > 4 a + 2 b

即

b > a

，成立。 (3) 錯：兩邊同乘

6

得

3 (a + b) > 2 (a + b)

，即

a + b > 0

，不一定成立；例如

a = - 2

、

b = - 1

時左邊是

- \frac{3}{2}

，右邊是

- 1

。 (4) 錯：左半

5 a < a + 3 b

即

4 a < 3 b

，不一定成立；例如

a = 10

、

b = 11

時

\frac{a + 3 b}{5} = \frac{43}{5} = 8.6

，比

a

還小。 (5) 對：兩邊同乘

35

，

21 a + 14 b < 15 a + 20 b

即

6 a < 6 b

，成立。

(4) 的分子係數和是

4

，分母卻是

5

，它不是

a

、

b

之間的分點；分點要像

\frac{a + 3 b}{4}

這樣，分子係數和等於分母。

判斷「一定成立」的敘述，錯的舉一個反例，對的要說出理由。

03選填 10～15（原卷選填 A～F）：指數律、分點、絕對值不等式、乘法公式、比較係數與雙重根號

第 10 題三項分開算。

\frac{27}{125} = (\frac{3}{5})^{3}

，所以第一項是

(\frac{3}{5})^{3 \times (- \frac{1}{3})} = (\frac{3}{5})^{- 1} = \frac{5}{3}

。

\frac{9}{25} = (\frac{3}{5})^{2}

，所以第二項是

\frac{3}{5}

。第三項是

3^{2 \times 2} = 3^{2} = 9

。三項相乘：

\frac{5}{3} \times \frac{3}{5} \times 9 = 9

。

負指數是取倒數；指數是無理數時，指數律照樣成立。

第 11 題

P

在

\overline{A B}

上且

\overline{A P} : \overline{B P} = 3 : 1

，由分點公式，

P

的坐標是

\frac{1 \times ( - 9 ) + 3 \times 7}{3 + 1} = \frac{12}{4} = 3

。檢查：

\overline{A P} = 12

，

\overline{B P} = 4

，比是

3 : 1

。

\overline{A B} = 16

分成

4

等份，每份

4

；

P

離

A

三份，

- 9 + 12 = 3

。

第 12 題

∣2 x - 3∣ < 10

即

- 10 < 2 x - 3 < 10

，各加

3

得

- 7 < 2 x < 13

，所以

- 3.5 < x < 6.5

。其中的正整數是

1

、

2

、

3

、

4

、

5

、

6

，共

6

個。

題目限定正整數，

0

與負整數不算。

第 13 題(1) 把

x - \frac{1}{x} = 4

兩邊平方：

x^{2} - 2 + \frac{1}{x ^{2}} = 16

，所以

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = 18

。 (2) 由立方差公式，

x^{3} - \frac{1}{x ^{3}} = (x - \frac{1}{x}) (x^{2} + 1 + \frac{1}{x ^{2}}) = 4 \times (18 + 1) = 76

。

相減的平方，中間項是

- 2

，移項後要加

2

；立方差括號裡的中間項是

x \times \frac{1}{x} = 1

。

第 14 題展開後把有理數與

2

的倍數分開：

(2 a + 3 b) + (- a + 2 b) 2 = 8 + 32

。

a

、

b

是有理數，所以兩邊的有理數部分相等、

2

的係數也相等：

2 a + 3 b = 8

，

- a + 2 b = 3

。由第二式

a = 2 b - 3

，代入第一式得

7 b - 6 = 8

，

b = 2

，

a = 1

。所以

a + b = 3

。

「係數對應相等」要靠

a

、

b

是有理數這個條件。

第 15 題找兩數和為

11

、積為

18

：

9

和

2

。所以

11 - 218 = (9 - 2)^{2} = 3 - 2

。因為

1 < 2 < 2

，所以

1 < 3 - 2 < 2

，整數部分

a = 1

，小數部分

b = (3 - 2) - 1 = 2 - 2

。

a - b = 2 - 1

，

\frac{1}{a - b} = \frac{1}{2 - 1} = 2 + 1

。所求

= (2 + 1) + (2 - 2) = 3

。

化簡雙重根號時要寫成大的減小的，

9 - 2

才是正數。小數部分是原數減去整數部分。

有理數與無理數混在一起的等式，把兩種部分分開，各自相等。

04選填 16～20（原卷選填 G～K）：指數律求值、指數成長、算幾不等式、絕對值不等式與芮氏規模

第 16 題分子、分母同乘

a^{3 x}

：分子變成

1 + a^{4 x}

，分母變成

a^{6 x} + a^{2 x}

。已知

a^{2 x} = 3

，所以

a^{4 x} = 3^{2} = 9

，

a^{6 x} = 3^{3} = 27

。原式

= \frac{1 + 9}{27 + 3} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}

。

不必求出

a^{x}

；同乘一個適當的次方，把每一項都變成

a^{2 x}

的次方。

第 17 題每過

1

日變成

a

倍，所以過

t

日變成

a^{t}

倍。從第

3

日到第

5 \frac{1}{2}

日過了

2.5

日：

a^{2.5} = \frac{9600000}{300000} = 32

。

a^{\frac{5}{2}} = 2^{5}

，兩邊取

\frac{2}{5}

次方得

a = 2^{2} = 4

。從第

3

日到第

b

日：

4^{b - 3} = \frac{76800000}{300000} = 256 = 4^{4}

，所以

b - 3 = 4

，

b = 7

。數對

(a, b) = (4, 7)

。

用兩個時刻的數量相除，一開始的細菌數就消掉了，不必求。

第 18 題設矩形有缺口的那一邊長

x

公尺、另一邊長

y

公尺。矩形周長扣掉

4

公尺的缺口就是拒馬的總長：

2 x + 2 y - 4 = 20

，所以

x + y = 12

。由算幾不等式，

\frac{x + y}{2} \geq x y

，即

6 \geq x y

，

x y \leq 36

。等號在

x = y = 6

時成立，此時有缺口的那一邊長

6

公尺，放得下

4

公尺的缺口。最大面積為

36

平方公尺。

20

公尺是拒馬的長度，不是矩形的周長；周長要把缺口的

4

公尺加回去，是

24

公尺。本頁的圖是示意圖，沒有照實際比例畫。

第 19 題住戶坐標為

x

，到電廠

B

的距離是

∣ x - 4∣

，到水廠

A

的距離是

∣ x + 2∣

，基本費是

2∣ x - 4∣ + ∣ x + 2∣

。要解

2∣ x - 4∣ + ∣ x + 2∣ \leq 21

，依

x

與

- 2

、

4

的位置分三段。 ①

x \geq 4

：

2 (x - 4) + (x + 2) = 3 x - 6 \leq 21

，

x \leq 9

，所以

4 \leq x \leq 9

。 ②

- 2 \leq x < 4

：

2 (4 - x) + (x + 2) = 10 - x \leq 21

，

x \geq - 11

，這一段全部符合。 ③

x < - 2

：

2 (4 - x) - (x + 2) = 6 - 3 x \leq 21

，

x \geq - 5

，所以

- 5 \leq x < - 2

。三段合起來是

- 5 \leq x \leq 9

，即區間

[- 5, 9]

。

2

倍乘在到電廠的距離上，不是到水廠的距離。每一段解出來的範圍要和那一段的條件取共同部分。

第 20 題由關係式得

lo g (\frac{E}{A}) = M \times lo g 32

。依

lo g

的意義，

\frac{E}{A} = 1 0^{M \times l o g 32} = (1 0^{l o g 32})^{M} = 3 2^{M}

，所以

E = A \times 3 2^{M}

。規模

8.0

與

7.6

的能量相除：

\frac{A \times 3 2 ^{8}}{A \times 3 2 ^{7.6}} = 3 2^{0.4} = (2^{5})^{\frac{2}{5}} = 2^{2} = 4

，是

4

倍。

規模每增加

1

，能量變成

32

倍；增加

0.4

就是

3 2^{0.4}

倍，不是

32 \times 0.4

倍。

指數成長的問題，用兩個時刻的量相除，再把兩邊寫成同一個底數的次方。

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