段考詳解範圍：數與式（實數、絕對值、指數、科學記號）

蘭陽女中 113 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

單選題 5 題（25 分）、多選題 4 題（32 分）、選填題 A～G 共 7 題（35 分）、選填題 H～I 共 2 題（8 分）；卷頭註明：答案中的分數與根式須化至最簡才予以計分。答案已與學校公布的答案逐題核對

一、單選題：每題 5 分，共 25 分。

在

\frac{- 987}{13}

、

π + 3.14159

、

0.2 \overline{024}

、

17 - 168

、

\frac{24}{6}

五個數值中，經化簡整理後有幾個數為無理數？

(1) $1$
(2) $2$
(3) $3$
(4) $4$
(5) $5$

化簡

(3 - 5)^{\frac{3}{2}} (3 + 5)^{\frac{3}{2}} + \frac{8 ^{2}}{2 ^{18}} =

(1) $- 5$
(2) $2$
(3) $5$
(4) $8$
(5) $9$

數線上六點

P (1 0^{2})

，

A

，

B

，

C

，

D

，

Q (1 0^{5})

的距離與相對位置如下圖所示，其中

\overline{A B} = \overline{B C} = \overline{C D} = 2 \overline{P A} = 2 \overline{D Q}

，則代表

1 0^{3}

的點位置在哪個線段上？

(1) $\overline{P A}$
(2) $\overline{A B}$
(3) $\overline{B C}$
(4) $\overline{C D}$
(5) $\overline{D Q}$

載入中...

某人造飛行器航海家 sigma 號自從

1977

年發射後，在

2023

年底已經離太陽

2.40 \times 1 0^{10}

公里遠，且持續以每年

5.38 \times 1 0^{8}

公里的速度向遠離太陽的方向推進，若航海家 sigma 號以這個速度持續遠離太陽，則

2033

年底它與太陽的距離最接近下列何者？

(1) $5.38 \times 1 0^{8}$ 公里
(2) $5.38 \times 1 0^{9}$ 公里
(3) $2.40 \times 1 0^{11}$ 公里
(4) $2.94 \times 1 0^{10}$ 公里
(5) $2.94 \times 1 0^{15}$ 公里

若已知

(2 + 5) (4 - 5) = 3 + 25

，則

6 - 2 3 + 25

的值等於下列何者？

(1) $2 - 5 + 4 + 5$
(2) $2 + 5 + 4 - 5$
(3) $2 + 5 - 4 - 5$
(4) $3 + 5 - 3 - 5$
(5) $4 + 5 - 2 - 5$

二、多選題：每題 8 分，共 32 分。錯 1 個選項得 5 分，錯 2 個選項得 2 分，其餘得 0 分。

下列何者為方程式

∣2 x - 3∣ = 5

的解？

(1) $- 3$
(2) $- 1$
(3) $0$
(4) $\frac{8}{3}$
(5) $4$

下列何者正確？

(1) $\frac{2 + 3 3}{4} > \frac{2 + 3}{2}$
(2) $1 0^{- 1} = - 10$
(3) $(202 4^{3} - 100 π)^{0} = 1$
(4) $(45)^{7} = 5^{\frac{4}{7}}$
(5) $3^{2} > 0$

下列何者正確？

(1) 將某正實數 $x$ 寫為科學記號，得到 $x = a \times 1 0^{n}$ ，其中關於 $a$ ， $n$ 的限制為： $1 \leq a < 10$ ， $n$ 為整數
(2) $\frac{1 5 ^{2022} + 1 5 ^{2024}}{1 5 ^{2022} + 1 5 ^{2023}}$ 最接近的整數為 $14$
(3) $∣ x + a ∣$ 在幾何上的意義是指：數線上，代表座標為 $x$ 的點與代表座標為 $a$ 的點之距離
(4) 若 $a > 0$ ， $m$ ， $n$ 為實數，則 $a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}$
(5) 若 $x$ ， $y$ 均為無理數，則 $x - y$ 必為無理數

關於

12.34 \times 1 0^{7}

，下列何者正確？

(1) 以上為科學記號表示法
(2) 此數為 $8$ 位數
(3) 此數共有 $5$ 個 $0$
(4) 此數小於 $1$ 億
(5) 此數的 $2$ 位有效數字科學記號表示法為 $1.2 \times 1 0^{8}$

三、選填題：每題 5 分，共 35 分。（原卷題號 A～G，即本頁第 10～16 題）

若

3^{x} = 5

，則

12 \times 9^{x - 1} =

____。

若

2^{a} + 2^{- a} = 10

，則

(2)^{a} + (2)^{- a} =

____。

設

a

，

b

均為有理數，且

(1 + 5) a + (2 - 35) b = 2 + 75

，則數對

(a, b) =

____。

數線上兩點

A (- 3)

、

B (12)

，且

\overline{A B}

外一點

P (x)

滿足

\overline{A P} : \overline{B P} = 4 : 3

，則

x =

____。

設

a

，

b

均為實數，且

∣2 x + a ∣ > b

的解為

x < - 8

或

x > 2

，則數對

(a, b) =

____。

某超商的御飯糰上標示：請保存於

18 \pm 3^{\circ} C

中，已知此御飯糰保存於

x^{\circ} C

的冰櫃中，其正常保存溫度的範圍恰可表示為

∣ x - a ∣ \leq b

，則數對

(a, b) =

____。

如下圖所示，數線上四點

O (0)

，

A (x)

，

B (y)

，

C (5)

，且

\overline{O P} = \overline{P Q} = \overline{QR}

，

\overline{A P} ∥ \overline{B Q} ∥ \overline{C R}

，則

x - y =

____。

載入中...

四、選填題：每題 4 分，共 8 分。（原卷題號 H、I，即本頁第 17、18 題）

如下圖所示，

△ A B C

為直角三角形，且

P T C R

為矩形，若

\overline{P R} = 3

公分，

\overline{P T} = 2

公分，則

△ A B C

面積的最小值為 ____ 平方公分。

載入中...

設

a

，

b

均為正實數，且

\frac{2024}{a + b} - \frac{2024}{a} + \frac{2024}{b} = 0

，則

(\frac{b}{a})^{3} + (\frac{a}{b})^{3} =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)

第 2 題(5)

第 3 題(1)

第 4 題(4)

第 5 題(3)

第 6 題(2)(5)

第 7 題(1)(3)(5)

第 8 題(1)(2)(4)

第 9 題(3)(5)

第 10 題

\frac{100}{3}

第 11 題

23

第 12 題

(4, - 1)

第 13 題

57

第 14 題

(6, 10)

第 15 題

(18, 3)

第 16 題

- \frac{5}{3}

第 17 題

12

第 18 題

25

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01單選 1～5：無理數的判斷、指數律、科學記號、雙重根號

第 1 題答案 (2)。逐一判斷：

\frac{- 987}{13}

是兩個整數相除，有理數。

π

是無理數，加上有限小數

3.14159

仍是無理數。

0.2 \overline{024}

是循環小數，有理數。

17 - 168 = 17 - 242

，找兩數和

17

、積

42

：

14

和

3

，所以它等於

14 - 3

，是無理數。

\frac{24}{6} = 4 = 2

，有理數。無理數有

π + 3.14159

和

17 - 168

兩個。

14 - 3

是無理數：若它等於有理數

r

，則

14 = r + 3

，兩邊平方得

3 = \frac{11 - r ^{2}}{2 r}

是有理數，矛盾。這題的個數

2

剛好也是選項 (2)。

第 2 題答案 (5)。前項：兩個底數都是正數，

(3 - 5)^{\frac{3}{2}} (3 + 5)^{\frac{3}{2}} = [(3 - 5) (3 + 5)]^{\frac{3}{2}} = (9 - 5)^{\frac{3}{2}} = 4^{\frac{3}{2}} = 8

。後項：

8^{2} = 2^{32}

，

18 = 32

，所以

\frac{8 ^{2}}{2 ^{18}} = \frac{2 ^{32}}{2 ^{32}} = 1

。原式

= 8 + 1 = 9

。

第 3 題答案 (1)。設

\overline{P A} = k

，則

\overline{A B} = \overline{B C} = \overline{C D} = 2 k

，

\overline{D Q} = k

，

\overline{P Q} = k + 2 k + 2 k + 2 k + k = 8 k

。而

\overline{P Q} = 1 0^{5} - 1 0^{2} = 99900

，所以

k = 12487.5

，

A

的坐標是

100 + 12487.5 = 12587.5

。

1 0^{3} = 1000

介於

P

的坐標

100

和

A

的坐標

12587.5

之間，所以在

\overline{P A}

上。

數線上是照數值的大小等距排列，不是照指數排列；

1 0^{3}

離

1 0^{2}

只有

900

，而

\overline{P Q}

全長有

99900

。

第 4 題答案 (4)。從

2023

年底到

2033

年底經過

10

年，多走了

10 \times 5.38 \times 1 0^{8} = 5.38 \times 1 0^{9} = 0.538 \times 1 0^{10}

公里。距離

= 2.40 \times 1 0^{10} + 0.538 \times 1 0^{10} = 2.938 \times 1 0^{10}

，最接近

2.94 \times 1 0^{10}

公里。

科學記號相加要先化成同一個

10

的次方，再把前面的數相加。

第 5 題答案 (3)。令

p = 2 + 5

、

q = 4 - 5

，則

p + q = 6

，由題目給的等式

pq = 3 + 25

。所以

6 - 2 3 + 25 = p + q - 2 pq = (p - q)^{2}

。

p \approx 4.24

、

q \approx 1.76

都是正數且

p > q

，所以

p - q > 0

，原式

= p - q = 2 + 5 - 4 - 5

。

選項 (1)、(5) 裡的

2 - 5

根號內是負數，沒有意義。開根號的結果不能是負的，所以要寫成「大的減小的」。

02多選 6～9：絕對值方程式、指數的性質、科學記號

第 6 題答案 (2)(5)。

∣2 x - 3∣ = 5

表示

2 x - 3 = 5

或

2 x - 3 = - 5

，解得

x = 4

或

x = - 1

。逐項代入：(1)

x = - 3

時

∣ - 9∣ = 9

，不是。(2)

x = - 1

時

∣ - 5∣ = 5

，是。(3)

x = 0

時

∣ - 3∣ = 3

，不是。(4)

x = \frac{8}{3}

時

\frac{16}{3} - 3 = \frac{7}{3}

，不是。(5)

x = 4

時

∣5∣ = 5

，是。

第 7 題答案 (1)(3)(5)。(1) 對：右邊通分成

\frac{2 2 + 2 3}{4}

，左邊減右邊

= \frac{3 - 2}{4} > 0

。(2) 錯：

1 0^{- 1} = \frac{1}{10}

，是正數。(3) 對：

202 4^{3} > 202 4^{1} = 2024

，而

100 π \approx 314

，所以底數

202 4^{3} - 100 π

不是

0

，不為

0

的數的

0

次方是

1

。(4) 錯：

45 = 5^{\frac{1}{4}}

，

(5^{\frac{1}{4}})^{7} = 5^{\frac{7}{4}}

，不是

5^{\frac{4}{7}}

。(5) 對：正數的任何實數次方都是正數。

(3) 要先確認底數不是

0

，因為

0^{0}

沒有定義。

第 8 題答案 (1)(2)(4)。(1) 對：這就是科學記號的規定。(2) 對：分子分母同除以

1 5^{2022}

，得

\frac{1 + 1 5 ^{2}}{1 + 15} = \frac{226}{16} = 14.125

，最接近的整數是

14

。(3) 錯：

∣ x + a ∣ = ∣ x - (- a) ∣

，是座標

x

的點與座標

- a

的點的距離。(4) 對：底數為正數時，指數律對實數指數都成立。(5) 錯：取

x = y = 2

，

x - y = 0

是有理數。

(3) 絕對值裡面要寫成「相減」才是兩點的距離：

∣ x - a ∣

才是

x

與

a

的距離。

第 9 題答案 (3)(5)。

12.34 \times 1 0^{7} = 123400000 = 1.234 \times 1 0^{8}

。(1) 錯：科學記號前面的數要滿足

1 \leq a < 10

，

12.34

不符合。(2) 錯：

123400000

是

9

位數。(3) 對：

123400000

的後面有

5

個

0

。(4) 錯：

1

億

= 1 0^{8}

，而

1.234 \times 1 0^{8} > 1 0^{8}

。(5) 對：

1.234 \times 1 0^{8}

取

2

位有效數字，第三位

3

捨去，得

1.2 \times 1 0^{8}

。

03選填 10～12（原卷 A～C）：指數式求值、有理數係數的比較

第 10 題

9^{x - 1} = \frac{9 ^{x}}{9} = \frac{( 3 ^{x} ) ^{2}}{9} = \frac{25}{9}

，所以

12 \times 9^{x - 1} = 12 \times \frac{25}{9} = \frac{100}{3}

。

第 11 題令

t = (2)^{a} + (2)^{- a}

。因為

[(2)^{a}]^{2} = 2^{a}

，兩邊平方：

t^{2} = 2^{a} + 2 + 2^{- a} = 10 + 2 = 12

。

(2)^{a}

和

(2)^{- a}

都是正數，所以

t > 0

，

t = 12 = 23

。

(2)^{a} \times (2)^{- a} = 1

，所以平方後中間那一項是

2

。

第 12 題左邊展開整理成

(a + 2 b) + (a - 3 b) 5

。

a

、

b

是有理數，

5

是無理數，所以有理數部分與

5

的係數分別相等：

a + 2 b = 2

，

a - 3 b = 7

。兩式相減得

5 b = - 5

，

b = - 1

，代回得

a = 4

。

(a, b) = (4, - 1)

。

驗算：

4 (1 + 5) - (2 - 35) = 2 + 75

。

指數求值題先把條件化成「某個底數的次方等於多少」，再把所求的式子改寫成它的次方。

04選填 13～16（原卷 D～G）：數線上的分點與絕對值不等式

第 13 題

P

在

\overline{A B}

外，且

\overline{A P} > \overline{B P}

，所以

P

離

B

比較近，在

B

的右邊，

x > 12

。這時

\overline{A P} = x + 3

，

\overline{B P} = x - 12

，由

(x + 3) : (x - 12) = 4 : 3

得

3 (x + 3) = 4 (x - 12)

，

x = 57

。

驗算：

\overline{A P} = 60

，

\overline{B P} = 45

，

60 : 45 = 4 : 3

。若

P

在

A

的左邊，

\overline{A P}

會比

\overline{B P}

小，不合。

第 14 題解是「

x < - 8

或

x > 2

」，兩個端點的中點是

- 3

，到中點的距離是

5

，所以解等於

∣ x + 3∣ > 5

。兩邊乘以

2

：

∣2 x + 6∣ > 10

。對照

∣2 x + a ∣ > b

得

a = 6

、

b = 10

。

驗算：

x = - 8

時

∣2 x + 6∣ = 10

，

x = 2

時

∣2 x + 6∣ = 10

，兩個端點都剛好等於

b

。

第 15 題

18 \pm 3

表示溫度在

18 - 3

到

18 + 3

之間，即

15 \leq x \leq 21

。這個範圍的中點是

18

，到中點的距離不超過

3

，所以是

∣ x - 18∣ \leq 3

，

(a, b) = (18, 3)

。

第 16 題三條直線

A P

、

B Q

、

C R

互相平行，平行線在兩條截線上截出的線段成比例，所以

\overline{O A} : \overline{A B} : \overline{B C} = \overline{O P} : \overline{P Q} : \overline{QR} = 1 : 1 : 1

。也就是

A

、

B

把

\overline{O C}

三等分：

x = \frac{5}{3}

，

y = \frac{10}{3}

。

x - y = \frac{5}{3} - \frac{10}{3} = - \frac{5}{3}

。

題目問的是

x - y

，

A

在

B

的左邊，所以答案是負的。

「

x < p

或

x > q

」這種解，先找中點和半徑寫成

∣ x - 中點 ∣ > 半徑

，再調整成題目給的樣子比較係數。

05選填 17～18（原卷 H、I）：算幾不等式、乘法公式求值

第 17 題直角在

C

。設

\overline{B T} = s

、

\overline{A R} = t

（

s > 0

，

t > 0

）。

\overline{P R}

平行

\overline{B C}

，所以

∠ A P R = ∠ P B T

，又兩個三角形各有一個直角，

△ A P R

和

△ P B T

相似：

\overline{A R} : \overline{P R} = \overline{P T} : \overline{B T}

，即

t : 3 = 2 : s

，

s t = 6

。

△ A B C

的面積等於矩形加上兩個小三角形：矩形是

3 \times 2 = 6

，

△ A P R

是

\frac{1}{2} \times 3 \times t

，

△ P B T

是

\frac{1}{2} \times s \times 2

，合計

6 + \frac{3 t + 2 s}{2}

。由算幾不等式

\frac{3 t + 2 s}{2} \geq 3 t \cdot 2 s = 6 \times 6 = 6

，所以面積

\geq 6 + 6 = 12

。等號在

3 t = 2 s

時成立，配合

s t = 6

得

s = 3

、

t = 2

，確實取得到，最小值是

12

平方公分。

矩形的面積固定是

6

，會變的只有兩個小三角形的面積和。取到最小值時

\overline{B C} = 6

、

\overline{A C} = 4

，

P

是斜邊的中點。

第 18 題條件兩邊同除以

2024

：

\frac{1}{a + b} - \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 0

。兩邊同乘

ab (a + b)

：

ab - b (a + b) + a (a + b) = 0

，整理得

a^{2} + ab - b^{2} = 0

。兩邊同除以

ab

：

\frac{a}{b} + 1 - \frac{b}{a} = 0

，即

\frac{b}{a} - \frac{a}{b} = 1

。令

u = \frac{b}{a}

，則

\frac{a}{b} = \frac{1}{u}

，

u - \frac{1}{u} = 1

。

(u + \frac{1}{u})^{2} = (u - \frac{1}{u})^{2} + 4 = 5

，而

u > 0

，所以

u + \frac{1}{u} = 5

。所求

u^{3} + \frac{1}{u ^{3}} = (u + \frac{1}{u})^{3} - 3 (u + \frac{1}{u}) = 55 - 35 = 25

。

(p + q)^{3} = p^{3} + q^{3} + 3 pq (p + q)

，這裡

pq = u \cdot \frac{1}{u} = 1

。實際上

\frac{b}{a} = \frac{1 + 5}{2}

，但不必解出來。

兩個正數的乘積固定時，它們的和在兩數相等時最小；

u

和

\frac{1}{u}

的和、差、平方和、立方和都可以互相用乘法公式換算。

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蘭陽女中 113 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題要用數值算出各點的坐標，不能照指數的大小去排；多選第 8 題選項 (3) 絕對值裡是相加，對應的是到負 a 的距離；多選第 9 題要先把數改寫成標準的科學記號再判斷位數與大小；原卷 D 題（本頁第 13 題）要先判斷 P 在 B 的哪一側；原卷 H 題（本頁第 17 題）要先用相似形得到兩段長度的乘積固定，再用算幾不等式；原卷 I 題（本頁第 18 題）要把分式條件化成兩個比值相減等於 1。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自蘭陽女中 113 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

蘭陽女中 113 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 18 題，照原卷順序

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每一題，錯在哪一步

01單選 1～5：無理數的判斷、指數律、科學記號、雙重根號

02多選 6～9：絕對值方程式、指數的性質、科學記號

03選填 10～12（原卷 A～C）：指數式求值、有理數係數的比較

04選填 13～16（原卷 D～G）：數線上的分點與絕對值不等式

05選填 17～18（原卷 H、I）：算幾不等式、乘法公式求值

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常見問題

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數學試題、答案與詳解

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