段考詳解範圍：數與式（實數、絕對值、指數、常用對數）

臺南女中 113 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

單選題 6 題（30 分）、多選題 5 題（30 分）、填充題 5 題（25 分）、混合題 3 題（題末所標配分 5、3、7 分，合計 15 分）

第壹部分：選擇（填）題（占 85 分）　一、單選題（占 30 分）說明：第 1 題至第 6 題，每題 5 分。

實驗室中進行某種細菌的培養，根據細菌繁殖的特性，每隔

12

小時細菌數增加一倍，已知一開始觀察的

2

天後細菌數為

1 0^{9}

個，則至少需要再過幾天，細菌會增加至

1 0^{12}

個以上？

(1) $2$ 天
(2) $3$ 天
(3) $4$ 天
(4) $5$ 天
(5) $6$ 天

計算

1 0^{l o g 2} \times (\frac{64}{27})^{- \frac{4}{3}} \times 4 (\frac{16}{81})^{3} \times (0.25)^{- 2.5}

之值為何？

(1) $2$
(2) $3$
(3) $6$
(4) $0.903$
(5) $1.806$

已知

8^{x} = 9^{y} = 6^{z}

，且

\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = \frac{k}{z}

，則

k

之值為何？

(1) $2$
(2) $3$
(3) $4$
(4) $5$
(5) $6$

求

1 0^{- 0.3010}

之值最接近下列哪一選項？

(1) $0.2$
(2) $0.5$
(3) $0.002$
(4) $20$
(5) $1$

試比較

2^{250}

、

5^{112}

、

6^{100}

的大小，下列選項何者正確？

(1) $5^{112} > 6^{100} > 2^{250}$
(2) $2^{250} > 5^{112} > 6^{100}$
(3) $5^{112} > 2^{250} > 6^{100}$
(4) $2^{250} > 6^{100} > 5^{112}$
(5) $6^{100} > 5^{112} > 2^{250}$

小美的家與公司剛好在一條筆直的道路上，已知小美家的坐標為

3

，公司坐標為

10

。小美想在這條路上選擇一家早餐店吃早餐，設早餐店的地點坐標為

x

，小美希望從家到早餐店吃完早餐，再從早餐店到公司的距離和要在

8

到

11

之間，則小美在路上可以選擇早餐店的範圍所占長度為下列哪一選項？

(1) $2$
(2) $3$
(3) $4$
(4) $5$
(5) $6$

二、多選題（占 30 分）說明：第 7 題至第 11 題，每題 6 分。（6－4－2－0）

下列選項何者正確？

(1) $0. \overline{25} + 0. \overline{2} = 0. \overline{45}$
(2) $(4 + 32)^{- 2} (4 - 32)^{- 2} = - \frac{1}{4}$
(3) 若 $a > b > 2$ ，則 $a + b > 2 ab$
(4) 若 $c + d$ 、 $c - d$ 均為有理數，則 $d$ 必為有理數
(5) 若 $e$ 、 $f$ 皆不為 $0$ ，且 $e > f$ ，則 $e^{2} > f^{2}$

下列選項何者正確？

(1) $17 + 3 < 20$
(2) $3 - 2 > 10 - 3$
(3) $3 < 12 + 25 < 4$
(4) $4 < lo g 98000 < 5$
(5) $- 5 < lo g 0.00089 < - 4$

設

x = \frac{5 - 2}{5 + 2}

，則下列選項何者正確？

(1) $x + x^{- 1} = 18$
(2) $x - x^{- 1} = 85$
(3) $x^{2} + x^{- 2} = 324$
(4) $x^{3} - x^{- 3} = 25845$
(5) $x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} = 25$

設

x

，

y

為實數，若

∣ - x + 2∣ \leq 3

，

∣2 y + 5∣ \leq 1

，則下列選項何者正確？

(1) $- 4 \leq x + y \leq 3$
(2) $1 \leq x^{2} \leq 25$
(3) $- 15 \leq x y \leq 3$
(4) $- \frac{5}{3} \leq \frac{x}{y} \leq \frac{1}{2}$
(5) $- 13 \leq x y - y \leq 6$

設

A (3^{10})

，

B (3^{11})

，

C (\frac{5 \cdot 3 ^{10} + 3 ^{11}}{6})

，

D (\frac{4 \cdot 3 ^{10} + 3 ^{11}}{5})

，

E (\frac{- 3 ^{10} + 7 \cdot 3 ^{11}}{6})

為數線上五點，請選出正確選項。

(1) $D$ 點在 $C$ 點的左方
(2) $E$ 點在 $B$ 點的右方
(3) $\overline{A C} = \overline{B E}$
(4) $4 \overline{A D} = \overline{B D}$
(5) $\overline{A D} > 1 0^{5}$

三、填充題（占 25 分）說明：第 12 題至第 16 題，每題 5 分。

已知有理數

x

、

y

滿足

x + 16 - 83 = 3 + y 4 + 12

，則

x^{2} + y^{2} =

____。

已知實數

a

滿足

2 5^{a} = 2 + 3

，則

\frac{12 5 ^{a} + 12 5 ^{- a}}{5 ^{a} - 2 \cdot 5 ^{- a}}

之值為 ____。

已知

1.623 < lo g 42 < 1.624

，則

4 2^{100}

為 ____ 位數。

一矩形內接於邊長為

12

的正三角形，示意圖如下，則此矩形的最大面積為 ____。

載入中...

設

a

，

b

，

c

均為實數，

a \neq = 0

，若不等式

b \leq ∣ a x + 3∣ \leq c

的解為

- 3 \leq x \leq - 1

或

4 \leq x \leq 6

，則

a + b + c

之值為 ____。

第貳部分：混合題（占 12 分）說明：本部分共有 1 題組，每一子題配分標於題末。限在標示題號作答區內作答。選擇題與「非選擇題作圖部分」使用 2B 鉛筆作答，更正時，應以橡皮擦擦拭，切勿使用修正液（帶）。非選擇題由左而右橫式書寫，作答時必須寫出計算過程或理由，否則將酌予扣分。（第 17～18 題為題組。流傳版本此處印「占 12 分」，各子題題末所標配分為 5、3、7 分，合計 15 分。）

地震規模的大小通常用芮氏等級表示，設

I

為地震芮氏規模

r

級時震央所釋放出來的能量，則

I

與

r

的關係如下：

lo g I = r + 0.2

，發明原子彈後，我們常把地震所釋放的能量和一顆原子彈炸後所釋放的能量做比較，已知芮氏地震規模

5.8

的地震，其震央釋放出來的能量

I_{1}

，約為一顆原子彈爆炸後所釋放的能量，今芮氏地震規模

7.3

的地震，震央所釋放能量

I_{2}

，則下列選項何者正確？（多選題，5 分；5－3－1－0）

(1) $10 = 6$
(2) $I_{2}$ 的整數部分是為 $7$ 位數
(3) $\frac{1}{I _{2}}$ 從小數點後第 $8$ 位開始出現不為 $0$ 的數字
(4) 芮氏等級每增加 $1$ 級，震央所釋放能量增加為原來的 $10$ 倍
(5) 若震央所釋放能量為 $2 I_{1}$ ，則芮氏地震規模為 $5.8 + 2 = 7.8$ 級

設芮氏地震規模

5.8

的地震，其震央所釋放出來的能量，約為一顆原子彈爆炸後所釋放的能量，則芮氏地震規模

7.3

的地震，震央所釋放能量約為幾顆原子彈爆炸後所釋放的能量？（單選題，3 分）

(1) $64$
(2) $56$
(3) $48$
(4) $40$
(5) $32$

試求不等式

∣3 x ∣ + ∣ x - 4∣ \geq 10

的實數解？須將數線分段來討論解的情形，其他方法不給分。（非選擇題，7 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(4)

第 2 題(3)

第 3 題(5)

第 4 題(2)

第 5 題(1)

第 6 題(2)

第 7 題(3)(4)

第 8 題(2)(4)

第 9 題(1)(5)

第 10 題(1)(3)(5)

第 11 題(2)(3)(4)

第 12 題

53

第 13 題

3 + 33

第 14 題

163

第 15 題

183

第 16 題

12

第 17 題(3)(4)

第 18 題(5)

第 19 題

x \leq - \frac{3}{2}

或

x \geq 3

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～6：指數律、對數比大小與距離和

第 1 題答案 (4)。從

1 0^{9}

個要變成

1 0^{12}

個以上，就是要變成

1000

倍以上。每

12

小時變

2

倍，經過

n

個

12

小時變

2^{n}

倍，要

2^{n} \geq 1000

。

2^{9} = 512

不夠，

2^{10} = 1024

夠了，所以

n = 10

，共

120

小時，也就是

5

天。

題目問的是「再過」幾天，從細菌數是

1 0^{9}

的那個時刻算起；前面的

2

天不用加進去。

第 2 題答案 (3)。逐項化簡：

1 0^{l o g 2} = 2

；

(\frac{64}{27})^{- \frac{4}{3}} = (\frac{27}{64})^{\frac{4}{3}} = (\frac{3}{4})^{4} = \frac{81}{256}

；

4 (\frac{16}{81})^{3} = (\frac{16}{81})^{\frac{3}{4}} = (\frac{2}{3})^{3} = \frac{8}{27}

；

(0.25)^{- 2.5} = (\frac{1}{4})^{- \frac{5}{2}} = 4^{\frac{5}{2}} = 2^{5} = 32

。相乘：

2 \times \frac{81}{256} \times \frac{8}{27} \times 32 = 2 \times \frac{81}{27} \times \frac{8 \times 32}{256} = 2 \times 3 \times 1 = 6

。

lo g 2

的意思就是「

10

的幾次方等於

2

」，所以

1 0^{l o g 2} = 2

。

第 3 題答案 (5)。設

8^{x} = 9^{y} = 6^{z} = t

。由

\frac{2}{x}

、

\frac{3}{y}

、

\frac{k}{z}

有意義知

x

、

y

、

z

都不是

0

，所以

t \neq = 1

。兩邊分別開

x

、

y

、

z

次方：

8 = t^{\frac{1}{x}}

，

9 = t^{\frac{1}{y}}

，

6 = t^{\frac{1}{z}}

。於是

t^{\frac{2}{x} + \frac{3}{y}} = 8^{2} \times 9^{3} = 2^{6} \times 3^{6} = 6^{6} = t^{\frac{6}{z}}

。因為

t > 0

且

t \neq = 1

，指數相等：

\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = \frac{6}{z}

，

k = 6

。

看到

\frac{1}{x}

、

\frac{1}{y}

、

\frac{1}{z}

出現在指數的關係式裡，就把連等式設成

t

，把

8

、

9

、

6

都寫成

t

的次方。

第 4 題答案 (2)。

lo g 2 \approx 0.3010

，也就是

1 0^{0.3010} \approx 2

。所以

1 0^{- 0.3010} = \frac{1}{1 0 ^{0.3010}} \approx \frac{1}{2} = 0.5

。

第 5 題答案 (1)。取常用對數比較（

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

，

lo g 5 = 1 - lo g 2 \approx 0.6990

）：

lo g 2^{250} = 250 \times 0.3010 = 75.25

；

lo g 5^{112} = 112 \times 0.6990 \approx 78.29

；

lo g 6^{100} = 100 \times (0.3010 + 0.4771) = 77.81

。對數值越大，原數越大，所以

5^{112} > 6^{100} > 2^{250}

。

後兩個也可以不用對數：

2^{250} = (2^{5})^{50} = 3 2^{50}

，

6^{100} = (6^{2})^{50} = 3 6^{50}

，所以

6^{100} > 2^{250}

。卷面沒有另外印

lo g 3

的近似值，這裡用的是

0.4771

。

第 6 題答案 (2)。從家到早餐店、再到公司的距離和是

∣ x - 3∣ + ∣ x - 10∣

。

x

在

3

和

10

之間時，距離和固定是

7

，不在

8

到

11

之間。

x > 10

時距離和是

(x - 3) + (x - 10) = 2 x - 13

，

8 \leq 2 x - 13 \leq 11

得

10.5 \leq x \leq 12

。

x < 3

時距離和是

(3 - x) + (10 - x) = 13 - 2 x

，

8 \leq 13 - 2 x \leq 11

得

1 \leq x \leq 2.5

。兩段長度都是

1.5

，合計

3

。

早餐店可以在家的另一側，也可以在公司的另一側，兩邊各有一段，要加起來。

指數的題目先把每個數寫成同一個底數（或同一個指數）的次方再運算；底數湊不齊時取常用對數，比較指數部分。

02多選 7～11：實數的性質、根式、範圍估計與數線

第 7 題答案 (3)(4)。(1) 錯：

0. \overline{25} = \frac{25}{99}

，

0. \overline{2} = \frac{2}{9} = \frac{22}{99}

，相加是

\frac{47}{99} = 0. \overline{47}

。(2) 錯：

(4 + 32) (4 - 32) = 16 - 18 = - 2

，所以原式

= (- 2)^{- 2} = \frac{1}{4}

，是正的。(3) 對：

a

、

b

都是正數，由算幾不等式

a + b \geq 2 ab

，等號只在

a = b

時成立；現在

a > b

，所以

a + b > 2 ab

。(4) 對：

d = \frac{( c + d ) - ( c - d )}{2}

，有理數相減再除以

2

仍是有理數。(5) 錯：取

e = 1

、

f = - 2

，

e > f

但

e^{2} = 1 < 4 = f^{2}

。

(1) 的

0. \overline{2} = 0.2222 \dots

，和

0.2525 \dots

逐位相加是

0.4747 \dots

，不是把

25

和

2

直接湊成

45

。

第 8 題答案 (2)(4)。(1) 錯：

17 > 4

、

3 > 1

，左邊大於

5

；右邊

20 < 5

。(2) 對：兩邊移項，等於比較

3 + 3

和

10 + 2

。兩邊都是正數，平方後是

12 + 63 = 12 + 108

和

12 + 220 = 12 + 80

，前者大，所以

3 + 3 > 10 + 2

，即

3 - 2 > 10 - 3

。(3) 錯：

25 = 20 > 4

，所以

12 + 25 > 16

，

12 + 25 > 4

。(4) 對：

1 0^{4} < 98000 < 1 0^{5}

，所以

4 < lo g 98000 < 5

。(5) 錯：

0.00089 = 8.9 \times 1 0^{- 4}

，

1 0^{- 4} < 0.00089 < 1 0^{- 3}

，所以

- 4 < lo g 0.00089 < - 3

。

(2) 兩邊都有減號時，先移項讓兩邊都是「正數加正數」再平方比較。(5) 要先寫成科學記號，

10

的次方是

- 4

，對數值落在

- 4

和

- 3

之間。

第 9 題答案 (1)(5)。分母有理化：

x = \frac{( 5 - 2 ) ^{2}}{( 5 + 2 ) ( 5 - 2 )} = (5 - 2)^{2} = 9 - 45

，同理

x^{- 1} = (5 + 2)^{2} = 9 + 45

。(1) 對：

x + x^{- 1} = 18

。(2) 錯：

x - x^{- 1} = - 85

。(3) 錯：

x^{2} + x^{- 2} = (x + x^{- 1})^{2} - 2 = 324 - 2 = 322

。(4) 錯：

x^{3} - x^{- 3} = (x - x^{- 1}) (x^{2} + 1 + x^{- 2}) = - 85 \times 323 = - 25845

。(5) 對：

x^{\frac{1}{2}} = 5 - 2

，

x^{- \frac{1}{2}} = 5 + 2

，相加是

25

。

x = (5 - 2)^{2} \approx 0.056

比

1

小，

x^{- 1}

比

1

大，所以

x - x^{- 1}

和

x^{3} - x^{- 3}

都是負的；(2)(4) 的數字對、正負號不對。

第 10 題答案 (1)(3)(5)。

∣ - x + 2∣ \leq 3

即

∣ x - 2∣ \leq 3

，

- 1 \leq x \leq 5

；

∣2 y + 5∣ \leq 1

即

- 1 \leq 2 y + 5 \leq 1

，

- 3 \leq y \leq - 2

。(1) 對：兩式相加，

- 4 \leq x + y \leq 3

。(2) 錯：

x

可以是

0

，

x^{2}

的範圍是

0 \leq x^{2} \leq 25

。(3) 對：

y

是負數，

x

越大

x y

越小；

x = 5

、

y = - 3

時最小

- 15

，

x = - 1

、

y = - 3

時最大

3

。(4) 錯：

x = 5

、

y = - 2

時

\frac{x}{y} = - \frac{5}{2} < - \frac{5}{3}

。(5) 對：

x y - y = y (x - 1)

，

- 2 \leq x - 1 \leq 4

、

- 3 \leq y \leq - 2

，最小是

4 \times (- 3) = - 12

，最大是

(- 2) \times (- 3) = 6

，所以

- 12 \leq x y - y \leq 6

，當然也滿足

- 13 \leq x y - y \leq 6

。

(5) 的

- 13

是把

x y

的最小值

- 15

和

y

的最大值

- 2

分開相減得到的，實際上取不到（兩個極值發生在不同的

y

）；真正的範圍是

- 12

到

6

。不過「

- 13 \leq x y - y \leq 6

」這個不等式對所有符合條件的

x

、

y

仍然成立，流傳版本的參考答案也把 (5) 列為正確。

第 11 題答案 (2)(3)(4)。令

u = 3^{10}

，則

3^{11} = 3 u

。五點坐標：

A = u

，

B = 3 u

，

C = \frac{5 u + 3 u}{6} = \frac{4}{3} u

，

D = \frac{4 u + 3 u}{5} = \frac{7}{5} u

，

E = \frac{- u + 21 u}{6} = \frac{10}{3} u

。(1) 錯：

\frac{7}{5} > \frac{4}{3}

，

D

在

C

的右方。(2) 對：

\frac{10}{3} u > 3 u

。(3) 對：

\overline{A C} = \frac{1}{3} u

，

\overline{B E} = \frac{1}{3} u

。(4) 對：

\overline{A D} = \frac{2}{5} u

，

\overline{B D} = \frac{8}{5} u

，

4 \overline{A D} = \overline{B D}

。(5) 錯：

3^{10} = 59049

，

\overline{A D} = \frac{2}{5} \times 59049 = 23619.6 < 1 0^{5}

。

用分點公式看也可以：

C

是

\overline{A B}

上

\overline{A C} : \overline{C B} = 1 : 5

的內分點，

D

是

1 : 4

的內分點，

E

是

\overline{A E} : \overline{B E} = 7 : 1

的外分點，在

B

的右邊。

03填充 12～16：雙重根號、指數求值、位數、算幾不等式與絕對值

第 12 題

16 - 83 = 16 - 248

，和

16

、積

48

的兩數是

12

和

4

，所以

16 - 83 = 12 - 4 = 23 - 2

。

4 + 12 = 4 + 23

，和

4

、積

3

的兩數是

3

和

1

，所以

4 + 12 = 3 + 1

。原式變成

(x - 2) + 23 = (3 + y) + y 3

。

x

、

y

是有理數，

3

是無理數，比較兩邊：

y = 2

，

x - 2 = 3 + y = 5

，

x = 7

。

x^{2} + y^{2} = 49 + 4 = 53

。

化簡雙重根號要先把裡面湊成

2

的形式：

83 = 248

，

12 = 23

。

第 13 題令

t = 2 5^{a} = 2 + 3

。分子分母同乘以

5^{a}

：分子

5^{a} (12 5^{a} + 12 5^{- a}) = 62 5^{a} + 2 5^{- a} = t^{2} + \frac{1}{t}

，分母

5^{a} (5^{a} - 2 \cdot 5^{- a}) = 2 5^{a} - 2 = t - 2

。

t^{2} = 7 + 43

，

\frac{1}{t} = \frac{1}{2 + 3} = 2 - 3

，分子是

9 + 33

；分母是

3

。所求

= \frac{9 + 3 3}{3} = 33 + 3

，即

3 + 33

。

已知的是

2 5^{a}

，所以同乘

5^{a}

把每一項都變成

2 5^{a}

的整數次方，不需要去求

5^{a}

。

第 14 題

lo g 4 2^{100} = 100 lo g 42

，由

1.623 < lo g 42 < 1.624

得

162.3 < lo g 4 2^{100} < 162.4

。所以

1 0^{162} < 4 2^{100} < 1 0^{163}

，

4 2^{100}

是

163

位數。

對數值的整數部分是

162

，位數要再加

1

。

第 15 題設矩形的高為

h

、在底邊上的寬為

w

。正三角形的底角是

6 0^{\circ}

，矩形左右兩側各剩一個

3 0^{\circ}

–

6 0^{\circ}

–

9 0^{\circ}

的直角三角形，高

h

、底

\frac{h}{3}

，所以

w = 12 - \frac{2 h}{3}

。令

p = \frac{2 h}{3}

，則

w + p = 12

，面積

w h = \frac{3}{2} w p

。由算幾不等式

\frac{w + p}{2} \geq w p

得

w p \leq 36

，所以面積

\leq \frac{3}{2} \times 36 = 183

。等號在

w = p = 6

，也就是

w = 6

、

h = 33

時成立，最大面積是

183

。

這時矩形的寬是底邊的一半、高是正三角形高

63

的一半，面積剛好是正三角形面積

363

的一半。

第 16 題

∣ a x + 3∣ = ∣ a ∣ x + \frac{3}{a}

，所以

b \leq ∣ a x + 3∣ \leq c

的解是以

x = - \frac{3}{a}

為中心、左右對稱的兩段。題目的兩段

- 3 \leq x \leq - 1

和

4 \leq x \leq 6

的對稱中心是

\frac{- 1 + 4}{2} = \frac{3}{2}

，所以

- \frac{3}{a} = \frac{3}{2}

，

a = - 2

。這時

∣ a x + 3∣ = ∣ - 2 x + 3∣ = 2 x - \frac{3}{2}

。兩段靠中心的端點

x = - 1

、

x = 4

到中心的距離是

\frac{5}{2}

，對應

b = 2 \times \frac{5}{2} = 5

；外側端點

x = - 3

、

x = 6

到中心的距離是

\frac{9}{2}

，對應

c = 9

。

a + b + c = - 2 + 5 + 9 = 12

。

驗算：

5 \leq ∣ - 2 x + 3∣ \leq 9

即

5 \leq 2 x - 3 \leq 9

或

- 9 \leq 2 x - 3 \leq - 5

，解得

4 \leq x \leq 6

或

- 3 \leq x \leq - 1

。

a

是負的，加總時不要漏掉負號。

絕對值不等式的解一定對稱於「絕對值裡面等於

0

的那個點」；由解回推係數時，先找對稱中心，再看端點到中心的距離。

04混合題 17～19：地震規模（常用對數的應用）與分段討論

第 17 題答案 (3)(4)。規模

5.8

：

lo g I_{1} = 5.8 + 0.2 = 6

，

I_{1} = 1 0^{6}

。規模

7.3

：

lo g I_{2} = 7.3 + 0.2 = 7.5

，

I_{2} = 1 0^{7.5} = 1 0^{7} \times 10 \approx 3.16 \times 1 0^{7}

。(1) 錯：照印的式子

10 = 6

不成立。(2) 錯：

1 0^{7} < I_{2} < 1 0^{8}

，整數部分是

8

位數。(3) 對：

\frac{1}{I _{2}} = 1 0^{- 7.5} = 1 0^{0.5} \times 1 0^{- 8} \approx 3.16 \times 1 0^{- 8} = 0.0000000316 \dots

，小數點後前

7

位都是

0

，第

8

位開始不是

0

。(4) 對：

r

增加

1

，

lo g I

增加

1

，

I

變成原來的

10

倍。(5) 錯：

lo g (2 I_{1}) = lo g 2 + 6 \approx 6.3010

，

r = 6.3010 - 0.2 = 6.101

，大約是規模

6.1

；能量變

2

倍，規模只增加

lo g 2 \approx 0.3

。

流傳版本選項 (3) 的分子印作

I

（沒有下標），依答案應為

1

：若分子是

I_{1}

，

\frac{I _{1}}{I _{2}} = 1 0^{- 1.5} \approx 0.0316

，從小數點後第

2

位就不是

0

，(3) 就不成立。選項 (1) 流傳版本印作「

10 = 6

」，看起來有漏字，原貌無法確定；流傳版本的參考答案是 (3)(4)，不含 (1)。本題算出

lo g I_{1} = 6

、

I_{1} = 1 0^{6}

，作答時以學校原卷的選項為準。

第 18 題答案 (5)。一顆原子彈的能量約為

I_{1} = 1 0^{6}

，規模

7.3

的能量

I_{2} = 1 0^{7.5}

。

\frac{I _{2}}{I _{1}} = 1 0^{1.5} = 1010 \approx 31.6

，最接近

32

顆。

規模相差

1.5

，能量相差

1 0^{1.5}

倍，不是

1.5

倍，也不是

15

倍。

第 19 題

3 x

在

x = 0

變號，

x - 4

在

x = 4

變號，把數線分成三段。①

x < 0

：

- 3 x - (x - 4) \geq 10

，

- 4 x \geq 6

，

x \leq - \frac{3}{2}

；和

x < 0

取共同部分，得

x \leq - \frac{3}{2}

。②

0 \leq x < 4

：

3 x - (x - 4) \geq 10

，

2 x \geq 6

，

x \geq 3

；和

0 \leq x < 4

取共同部分，得

3 \leq x < 4

。③

x \geq 4

：

3 x + (x - 4) \geq 10

，

4 x \geq 14

，

x \geq \frac{7}{2}

；和

x \geq 4

取共同部分，得

x \geq 4

。三段合起來：

x \leq - \frac{3}{2}

或

x \geq 3

。

每一段解出來的範圍都要和那一段的前提取共同部分；②、③ 兩段的結果

3 \leq x < 4

和

x \geq 4

剛好接成

x \geq 3

。

lo g I = r + 0.2

這種關係式，規模差多少，能量就差

10

的多少次方倍；絕對值裡有兩個變號點時，照變號點把數線分段，逐段去絕對值。

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第 10 題要先解出 x 和 y 的範圍，再注意 y 是負數時乘除會讓大小反過來，選項 5 的範圍比實際寬但仍然成立；第 13 題要把分子分母同乘 5 的 a 次方，全部化成 25 的 a 次方；第 16 題要先由兩段解的對稱中心求出 a，而且 a 是負的；第 17 題要把規模代回關係式算出能量是 10 的幾次方，再判斷位數與小數點後第幾位。詳解逐題寫在本頁。

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臺南女中 113 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解

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02多選 7～11：實數的性質、根式、範圍估計與數線

03填充 12～16：雙重根號、指數求值、位數、算幾不等式與絕對值

04混合題 17～19：地震規模（常用對數的應用）與分段討論

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臺南女中 113 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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