段考詳解範圍：數與式（實數與根式、絕對值、指數與算幾不等式、常用對數與科學記號）

彰化高中 113 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 27 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 27 題，照原卷順序

是非題 10 題（20 分）、多選題 2 題（20 分）、填充題 13 題（52 分）、計算證明題 2 題（8 分）

一、是非題（占 20 分）說明：第 1 題至第 10 題，每題 2 分。

若

a

為無理數，則

a^{2}

為有理數。

任意兩個相異有理數之間會有無限多個有理數。

設

a

為無理數，

b

、

c

為有理數，若

ab = a c

，則

b = c

。

若

x

為實數，則

∣ x ∣

為正數。

若

x

為實數，則

∣ x + 2∣ - ∣ x - 2∣

的最小值為

- 4

若

a

為正數，則

a^{\frac{7}{2}} = a^{7}

。

若

a

為正數，則

a^{\frac{2}{5}}

與

a^{\frac{5}{2}}

互為倒數。

若

a

為正數，則

(a^{3})^{2} = a^{3}

。

若

a

為大於

1

的正數，則

a^{2} + \frac{1}{a ^{2}} - 2 + a^{2} + \frac{1}{a ^{2}} - 2 = \frac{2}{a}

。

1 0^{10 l o g 2} > 1 0^{3}

。

二、多選題（占 20 分）說明：第 11 題至第 12 題，每題 10 分。（每個選項 2 分）

已知實數

x

，

y

滿足

- 2 \leq x \leq 3

，

∣ y - 3∣ \leq 2

，則下列各式之範圍哪些是正確的？

(1) $- 1 \leq x + y \leq 8$
(2) $- 3 \leq x - y \leq - 2$
(3) $4 \leq x^{2} \leq 9$
(4) $- 2 \leq \frac{x}{y} \leq 3$
(5) $- 6 \leq x y + x + y - 2 \leq 24$

請選出正確的選項。

(1) $9.601 \times 1 0^{6}$ 為取 $3$ 位有效數字表示科學記號。
(2) $2.718 \times 1 0^{10}$ 為 $10$ 位數
(3) $3.141596 \times 1 0^{- 7}$ 小數點後第 $7$ 位開始不為 $0$
(4) $lo g 555666$ 介於 $5$ 與 $6$ 之間
(5) $lo g 0.0113$ 介於 $- 2$ 與 $- 1$ 之間

三、填充題（占 52 分）說明：第 13 題至第 25 題，每題 4 分。

將循環小數

2.0 \overline{24}

化為最簡分數 ____。

展開並化簡

(x - y + 1)^{2} =

____。

化簡

21 - 268 + \frac{12}{21 - 2 68} =

____。

設

x

，

y

為正數，且

x y = 24

，則

8 x + 3 y

的最小值

=

____。

數線上，有相異三點

A

，

B

，

C

滿足

\overline{A B} : \overline{B C} = 5 : 7

，已知

A (- 6)

，

B (y)

，

C (4)

，試求

y

的值

=

____。

A

元素之半衰期為

20

天，

B

元素之半衰期為

12

天，若某物品中

A

，

B

兩元素之質量比為

5 : 8

，則 ____ 天後

A

，

B

兩元素質量比值為

10

。

試比較

a = 2^{0.6}

，

b = \frac{1}{3 0.5}

，

c = 32

，

d = 6 4^{\frac{1}{11}}

這四個數的大小關係為 ____。

試求

1 0^{l o g 35} \times 1 0^{- l o g 7} \times 1 0^{l o g ((0.2)^{2})} =

____。

已知數線上有相異四點

A (- 5)

，

B (x)

，

C (2)

，

D (2 x - 3)

，且滿足

2 \overline{A B} + 3 \overline{C D} = 19

，則

x =

____。

若

a

為正實數，且

a^{\frac{1}{2}} - a^{- \frac{1}{2}} = 5

，

a + a^{- 1} =

____。

已知

a^{2 x} = 11

，則

\frac{a ^{3 x} - a ^{- 3 x}}{a ^{x} - a ^{- x}}

之值為 ____。

設

a

，

b

為實數，若

∣ a x + 2∣ \leq b

之解為

- \frac{1}{3} \leq x \leq 3

，求

(a, b)

的值

=

____。

有 ____ 個整數

x

滿足

∣5 x ∣ + 3 x < 114

。

四、計算證明題（占 8 分）說明：第 26 題至第 27 題。

(1) 利用常用對數的定義與指數律求：若

lo g 3 = t

，且

9 = 1 0^{p}

，用

t

表示

p

。（2 分）(2) 承 (1)，已知

lo g 3

為無理數，試證明

lo g 9

也是無理數。（2 分）

已知

x

為實數，若

t = 3^{x} + 3^{- x}

，令

t

的最小值為

k

，且此時

x

的值為

h

，求數對

(h, k)

。（4 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：1＝正確、2＝錯誤（照原卷作答規定）

101

第 11 題(1)(4)

第 12 題(3)(4)(5)

第 13 題

\frac{334}{165}

第 14 題

x^{2} + y^{2} - 2 x y + 2 x - 2 y + 1

第 15 題

\frac{25 17 - 2}{13}

第 16 題

48

第 17 題

- 31

或

- \frac{11}{6}

第 18 題

120

第 19 題

a > d > b = c

第 20 題

0.2

第 21 題

\frac{3}{2}

第 22 題

27

第 23 題

\frac{133}{11}

第 24 題

(- \frac{3}{2}, \frac{5}{2})

第 25 題

71

第 26 題(1)

p = 2 t

；(2) 見詳解（反證法）

第 27 題

(0, 2)

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01是非 1～5：有理數、無理數與絕對值

第 1 題2取

a = 1 + 2

，它是無理數，但

a^{2} = 3 + 22

仍是無理數，所以敘述不成立。

a = 2

時

a^{2} = 2

是有理數，但只要有一個反例，「則」就不成立。

第 2 題1設

p < q

是兩個有理數，中點

\frac{p + q}{2}

也是有理數，而且介於兩者之間。再對

p

和這個中點取中點，又得到一個新的有理數；這樣可以一直做下去，所以有無限多個。

第 3 題1

ab = a c

移項得

a (b - c) = 0

。

0

是有理數，而

a

是無理數，所以

a \neq = 0

，只能是

b - c = 0

，即

b = c

。

第 4 題2

x = 0

時

∣ x ∣ = 0

，

0

不是正數。正確的說法是

∣ x ∣ \geq 0

。

第 5 題1分段：

x \leq - 2

時，原式

= - (x + 2) + (x - 2) = - 4

；

- 2 < x < 2

時，原式

= (x + 2) + (x - 2) = 2 x

，介於

- 4

和

4

之間；

x \geq 2

時，原式

= (x + 2) - (x - 2) = 4

。所以最小值是

- 4

（

x \leq - 2

時都取到），最大值是

4

。

幾何意義：

∣ x + 2∣ - ∣ x - 2∣

是「

x

到

- 2

的距離」減「

x

到

2

的距離」，兩點相距

4

，所以差介於

- 4

和

4

之間。

02是非 6～10：指數律、根式與 log 的意義

第 6 題1

a > 0

時，分數指數的定義是

a^{\frac{m}{n}} = n a^{m}

，所以

a^{\frac{7}{2}} = a^{7}

。

第 7 題2互為倒數表示相乘等於

1

。

a^{\frac{2}{5}} \times a^{\frac{5}{2}} = a^{\frac{2}{5} + \frac{5}{2}} = a^{\frac{29}{10}}

，只有

a = 1

時才是

1

；例如

a = 2

時就不是。

a^{\frac{2}{5}}

的倒數是

a^{- \frac{2}{5}}

。

指數互為倒數（

\frac{2}{5}

和

\frac{5}{2}

）不代表兩數互為倒數；指數互為相反數才是。

第 8 題2

(a^{3})^{2} = a^{3 \times 2} = a^{23}

。

23 \approx 3.46 \neq = 3

，所以除了

a = 1

以外，

a^{23} \neq = a^{3}

。

次方的次方是指數相乘：

3 \times 2

，不是

(3)^{2}

。

第 9 題2

a^{2} + \frac{1}{a ^{2}} - 2 = (a - \frac{1}{a})^{2}

。

a > 1

時

a > \frac{1}{a}

，所以

a^{2} + \frac{1}{a ^{2}} - 2 = a - \frac{1}{a}

。左邊是

2 (a - \frac{1}{a}) = 2 a - \frac{2}{a}

。取

a = 2

：左邊

= 3

，右邊

= 1

，不相等。

流傳版本上兩個根號印得完全相同，本頁照印。若其中一個根號內是

a^{2} + \frac{1}{a ^{2}} + 2 = (a + \frac{1}{a})^{2}

，左邊會是

(a + \frac{1}{a}) + (a - \frac{1}{a}) = 2 a

，

a > 1

時也不等於

\frac{2}{a}

，結論同樣是「錯」。

第 10 題1

1 0^{10 l o g 2} = (1 0^{l o g 2})^{10} = 2^{10} = 1024

，而

1 0^{3} = 1000

，

1024 > 1000

。

也可以比指數：

10 lo g 2 \approx 3.010 > 3

。

是非題判斷「則」的敘述：要說它錯，舉一個反例就夠；要說它對，必須對所有情形都成立。

03多選 11～12：範圍的運算、科學記號與 log

第 11 題答案 (1)(4)。先把

∣ y - 3∣ \leq 2

寫成

1 \leq y \leq 5

。(1) 對：兩式相加，

- 2 + 1 \leq x + y \leq 3 + 5

。(2) 錯：

- 5 \leq - y \leq - 1

，再和

- 2 \leq x \leq 3

相加，得

- 7 \leq x - y \leq 2

。(3) 錯：

x

的範圍包含

0

，所以

0 \leq x^{2} \leq 9

。(4) 對：

y > 0

。

x \geq 0

時

0 \leq \frac{x}{y} \leq \frac{3}{1} = 3

；

x < 0

時

\frac{x}{y} \geq \frac{- 2}{1} = - 2

，所以

- 2 \leq \frac{x}{y} \leq 3

。(5) 錯：

x y + x + y - 2 = (x + 1) (y + 1) - 3

，其中

- 1 \leq x + 1 \leq 4

，

2 \leq y + 1 \leq 6

，乘積最小是

(- 1) \times 6 = - 6

、最大是

4 \times 6 = 24

，再減

3

得

- 9 \leq x y + x + y - 2 \leq 21

。

相減不能「同向相減」，要先把

y

變成

- y

再相加；範圍跨過

0

時，平方的最小值是

0

。(5) 的

- 6

和

24

是

(x + 1) (y + 1)

的範圍，還沒有減

3

。

第 12 題答案 (3)(4)(5)。(1) 錯：

9.601

有

4

位有效數字。(2) 錯：

2.718 \times 1 0^{10} = 27180000000

，

1 0^{10}

本身就是

11

位數，所以這是

11

位數。(3) 對：

3.141596 \times 1 0^{- 7} = 0.0000003141596

，小數點後先有

6

個

0

，第

7

位是

3

。(4) 對：

1 0^{5} < 555666 < 1 0^{6}

，所以

5 < lo g 555666 < 6

。(5) 對：

1 0^{- 2} < 0.0113 < 1 0^{- 1}

，所以

- 2 < lo g 0.0113 < - 1

。

a \times 1 0^{n}

（

1 \leq a < 10

，

n

是正整數）是

n + 1

位數；

a \times 1 0^{- n}

在小數點後第

n

位開始不為

0

。

04填充 13～17：循環小數、乘法公式、雙重根號、算幾不等式與分點

第 13 題設

t = 0.0 \overline{24}

，則

10 t = 0. \overline{24} = \frac{24}{99} = \frac{8}{33}

，所以

t = \frac{8}{330} = \frac{4}{165}

。

2.0 \overline{24} = 2 + \frac{4}{165} = \frac{334}{165}

。

334 = 2 \times 167

，

165 = 3 \times 5 \times 11

，沒有公因數，已是最簡分數。

循環節是「

24

」，前面的

0

不在循環節內，所以分母是

990

而不是

999

。

第 14 題用

(p + q + r)^{2} = p^{2} + q^{2} + r^{2} + 2 pq + 2 q r + 2 r p

，取

p = x

、

q = - y

、

r = 1

：

(x - y + 1)^{2} = x^{2} + y^{2} + 1 - 2 x y - 2 y + 2 x

，整理成

x^{2} + y^{2} - 2 x y + 2 x - 2 y + 1

。

第 15 題找兩個數和為

21

、積為

68

：

17

和

4

。所以

21 - 268 = 17 - 4 = 17 - 2

。第二項有理化：

\frac{12}{17 - 2} = \frac{12 ( 17 + 2 )}{17 - 4} = \frac{12 17 + 24}{13}

。相加：

\frac{13 ( 17 - 2 ) + 12 17 + 24}{13} = \frac{25 17 - 2}{13}

。

雙重根號開出來要取正的：

17 > 2

，所以是

17 - 2

而不是

2 - 17

。

第 16 題

8 x

、

3 y

都是正數，由算幾不等式

\frac{8 x + 3 y}{2} \geq 8 x \cdot 3 y = 24 x y = 24 \times 24 = 24

，所以

8 x + 3 y \geq 48

。等號在

8 x = 3 y = 24

，即

x = 3

、

y = 8

時成立（此時

x y = 24

），所以最小值是

48

。

第 17 題

\overline{A B} = ∣ y + 6∣

，

\overline{B C} = ∣ y - 4∣

，條件是

7∣ y + 6∣ = 5∣ y - 4∣

。

7 (y + 6) = 5 (y - 4)

得

2 y = - 62

，

y = - 31

；

7 (y + 6) = - 5 (y - 4)

得

12 y = - 22

，

y = - \frac{11}{6}

。兩個值都不等於

- 6

或

4

，三點相異。

y = - \frac{11}{6}

時

B

在

A

、

C

之間（內分）；

y = - 31

時

B

在

A

的左邊（外分），

\overline{A B} = 25

、

\overline{B C} = 35

。題目沒有說

B

在中間，兩種都要算。

05填充 18～21：半衰期、同底比大小、log 的意義與絕對值方程式

第 18 題設現在

A

、

B

的質量是

5 m

、

8 m

。

t

天後，

A

剩

5 m (\frac{1}{2})^{\frac{t}{20}}

，

B

剩

8 m (\frac{1}{2})^{\frac{t}{12}}

。比值是

\frac{5}{8} \times 2^{\frac{t}{12} - \frac{t}{20}} = \frac{5}{8} \times 2^{\frac{t}{30}}

。令它等於

10

：

2^{\frac{t}{30}} = 16 = 2^{4}

，所以

\frac{t}{30} = 4

，

t = 120

。

驗算：

120

天是

A

的

6

個半衰期、

B

的

10

個半衰期，比值

\frac{5 \times 2 ^{- 6}}{8 \times 2 ^{- 10}} = \frac{5 \times 2 ^{4}}{8} = 10

。

第 19 題全部化成以

2

為底：

a = 2^{0.6} = 2^{\frac{3}{5}}

；

b = \frac{1}{3 0.5} = (2^{- 1})^{- \frac{1}{3}} = 2^{\frac{1}{3}}

；

c = 32 = 2^{\frac{1}{3}}

；

d = (2^{6})^{\frac{1}{11}} = 2^{\frac{6}{11}}

。比指數：

\frac{3}{5} = 0.6

，

\frac{6}{11} \approx 0.545

，

\frac{1}{3} \approx 0.333

。底數

2 > 1

，指數越大數越大，所以

a > d > b = c

。

流傳版本的參考答案寫

a > d > c > b

，但照題幹

b = \frac{1}{3 0.5} = 32

，和

c

是同一個數，本站答案寫

a > d > b = c

。

第 20 題

1 0^{l o g N} = N

。所以

1 0^{l o g 35} = 35

；

1 0^{- l o g 7} = \frac{1}{1 0 ^{l o g 7}} = \frac{1}{7}

；

1 0^{l o g ((0.2)^{2})} = (0.2)^{2} = 0.04

。相乘：

35 \times \frac{1}{7} \times 0.04 = 5 \times 0.04 = 0.2

。

第 21 題

\overline{A B} = ∣ x + 5∣

，

\overline{C D} = ∣2 x - 3 - 2∣ = ∣2 x - 5∣

，方程式是

2∣ x + 5∣ + 3∣2 x - 5∣ = 19

。分三段：①

x < - 5

：

- 2 (x + 5) - 3 (2 x - 5) = 19

，

- 8 x + 5 = 19

，

x = - \frac{7}{4}

，不在這一段，不合。②

- 5 \leq x < \frac{5}{2}

：

2 (x + 5) - 3 (2 x - 5) = 19

，

- 4 x + 25 = 19

，

x = \frac{3}{2}

，合。③

x \geq \frac{5}{2}

：

2 (x + 5) + 3 (2 x - 5) = 19

，

8 x - 5 = 19

，

x = 3

。但

x = 3

時

D (2 x - 3) = D (3)

和

B (3)

是同一點，不合「相異四點」。所以

x = \frac{3}{2}

（此時四點是

- 5

、

\frac{3}{2}

、

2

、

0

）。

流傳版本的參考答案寫「

3

或

\frac{3}{2}

」，但

x = 3

時

B

、

D

兩點重合，與題目的「相異四點」不合，本站答案只取

\frac{3}{2}

。

比較指數式的大小，先化成同一個底數；底數大於

1

時，指數越大，數越大。

06填充 22～25：對稱式求值、絕對值不等式

第 22 題把

a^{\frac{1}{2}} - a^{- \frac{1}{2}} = 5

兩邊平方：

a - 2 \cdot a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{- \frac{1}{2}} + a^{- 1} = 25

，中間項是

2

，所以

a + a^{- 1} = 27

。

第 23 題令

u = a^{x}

，分子是

u^{3} - u^{- 3} = (u - u^{- 1}) (u^{2} + u \cdot u^{- 1} + u^{- 2}) = (u - u^{- 1}) (u^{2} + 1 + u^{- 2})

。約掉

u - u^{- 1}

，原式

= a^{2 x} + 1 + a^{- 2 x} = 11 + 1 + \frac{1}{11} = \frac{133}{11}

。

a^{2 x} = 11 \neq = 1

，所以

a^{x} \neq = a^{- x}

，分母不是

0

，可以約分。

第 24 題解

- \frac{1}{3} \leq x \leq 3

的中點是

\frac{4}{3}

，端點到中點的距離是

\frac{5}{3}

，所以解等於

x - \frac{4}{3} \leq \frac{5}{3}

。兩邊乘以

\frac{3}{2}

：

\frac{3}{2} x - 2 \leq \frac{5}{2}

，也就是

- \frac{3}{2} x + 2 \leq \frac{5}{2}

。和

∣ a x + 2∣ \leq b

對照，常數項要是

+ 2

，所以

a = - \frac{3}{2}

、

b = \frac{5}{2}

。

驗算：

x = 3

時

- \frac{9}{2} + 2 = \frac{5}{2}

；

x = - \frac{1}{3}

時

\frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}

，兩個端點都剛好取等號。

第 25 題

x \geq 0

時

∣5 x ∣ = 5 x

，不等式是

8 x < 114

，

x < 14.25

，整數

x = 0, 1, \dots, 14

共

15

個。

x < 0

時

∣5 x ∣ = - 5 x

，不等式是

- 2 x < 114

，

x > - 57

，整數

x = - 56, - 55, \dots, - 1

共

56

個。合計

15 + 56 = 71

個。

x > - 57

不含

- 57

，負整數從

- 56

算起；

0

只在

x \geq 0

那一段算一次。

07計算證明 26～27：對數的定義與算幾不等式

第 26 題(1)

lo g 3 = t

表示

1 0^{t} = 3

。

9 = 3^{2} = (1 0^{t})^{2} = 1 0^{2 t}

，和

9 = 1 0^{p}

比較，

p = 2 t

。(2) 由

9 = 1 0^{p}

知

lo g 9 = p = 2 t = 2 lo g 3

。假設

lo g 9

是有理數，則

lo g 3 = \frac{lo g 9}{2}

是有理數除以

2

，也是有理數，這和已知「

lo g 3

為無理數」矛盾。所以

lo g 9

是無理數。

(2) 的關鍵是有理數的封閉性：有理數除以非零有理數仍是有理數。

第 27 題

3^{x} > 0

、

3^{- x} > 0

，由算幾不等式

\frac{3 ^{x} + 3 ^{- x}}{2} \geq 3^{x} \cdot 3^{- x} = 3^{0} = 1

，所以

t \geq 2

。等號在

3^{x} = 3^{- x}

時成立，即

x = - x

，

x = 0

；這時

t = 1 + 1 = 2

。所以最小值

k = 2

，此時

h = 0

，

(h, k) = (0, 2)

。

用算幾不等式求極值，一定要寫出等號成立的條件，並確認真的取得到。數對的順序是

(h, k)

：先寫

x

的值，再寫最小值。

兩個正數的乘積固定時，算幾不等式給出和的最小值；等號成立的條件就是兩數相等。

同一次段考的其他學校

同樣是高一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

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常見問題

彰化高中 113 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 27 題的答案，是非題 10 題附對錯一覽；答案由御藍教育逐題重新計算。

彰化高中 113 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 21 題要分三段解絕對值方程式，解出來之後還要用相異四點的條件把重合的那個解去掉；第 11 題的選項 5 要先把式子配成兩個括號相乘再減 3，範圍還要注意負數乘正數；第 24 題要由解的中點和半徑回推，並配合常數項是正 2 決定 a 的正負；第 18 題要把兩個半衰期的次方合併成同一個底數。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自彰化高中 113 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

彰化高中 113 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 27 題，照原卷順序

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每一題，錯在哪一步

01是非 1～5：有理數、無理數與絕對值

02是非 6～10：指數律、根式與 log 的意義

03多選 11～12：範圍的運算、科學記號與 log

04填充 13～17：循環小數、乘法公式、雙重根號、算幾不等式與分點

05填充 18～21：半衰期、同底比大小、log 的意義與絕對值方程式

06填充 22～25：對稱式求值、絕對值不等式

07計算證明 26～27：對數的定義與算幾不等式

同一次段考的其他學校

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常見問題

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彰化高中 113 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

彰化高中 113 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

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