正義高中 112 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (1)。$xf(x)$ 在 $x=2$ 附近的一次近似是 $3x-4=3(x-2)+2$，表示把 $xf(x)$ 依 $x-2$ 的次方展開時，常數項是 $2$、$(x-2)$ 的係數是 $3$。

設 $f(x)=(x-2{)}^{2}g(x)+m(x-2)+k$，所求的一次近似就是 $y=m(x-2)+k$。因為 $x=(x-2)+2$，

$$xf(x)=x(x-2{)}^{2}g(x)+m(x-2{)}^2+2m(x-2)+k(x-2)+2k$$

含 $(x-2{)}^2$ 的部分不影響一次近似，所以常數項 $2k=2$，$(x-2)$ 的係數 $2m+k=3$，得 $k=1$、$m=1$。

$f(x)$ 在 $x=2$ 附近的一次近似為 $y=(x-2)+1=x-1$。

答案 (4)（照學校公布的答案）。

先照卷面看：$f$ 有最小值，圖形開口向上。四個函數值都是 $8$ 或 $-8$，而二次函數取同一個值最多兩次，所以恰好兩個是 $8$、兩個是 $-8$；取同一值的兩點對稱於對稱軸，兩組的中點都要是對稱軸。把 $1,3,5,8$ 分成兩組：$\{1,8\}$ 與 $\{3,5\}$ 的中點是 $4.5$ 與 $4$，$\{1,5\}$ 與 $\{3,8\}$ 是 $3$ 與 $5.5$，$\{1,3\}$ 與 $\{5,8\}$ 是 $2$ 與 $6.5$，都不相等，所以依卷面所印的數字，這樣的二次函數不存在。

學校答案 (4) 與第四個條件為 $|f(7)|=8$ 相符：此時 $\{1,7\}$ 與 $\{3,5\}$ 的中點都是 $4$，對稱軸 $x=4$。靠近對稱軸的 $3$、$5$ 取 $-8$，較遠的 $1$、$7$ 取 $8$。設 $f(x)=a(x-4{)}^2+k$：

$$a+k=-8,9a+k=8$$

得 $a=2$、$k=-10$，$f(x)$ 的最小值是 $-10$。$f(x-6)$ 的圖形是 $f(x)$ 的圖形向右平移 $6$，最小值不變，仍是 $-10$。

答案 (3)。$3^n$ 是 $49$ 位數 $⟺10^{48}\le 3^n<10^{49}⟺48\le n\log 3<49$。

$\log 3\approx 0.4771$：$\frac{48}{0.4771}\approx 100.6$，$\frac{49}{0.4771}\approx 102.7$，所以 $n=101$ 或 $102$。

檢查：$101\times 0.4771=48.1871$，$102\times 0.4771=48.6642$，都在 $48$ 與 $49$ 之間；$100\times 0.4771=47.71$、$103\times 0.4771=49.1413$ 都不在。總和 $101+102=203$。

答案 (2)。同色粉筆視為相同，設取白 $w$、紅 $r$、黃 $y$、藍 $b$ 枝，$w+r+y+b=4$，且 $y\le 1$、$b\le 2$（白、紅至少 $4$ 枝，不受限）。

不管上限的非負整數解有 $H_4^4=C_4^7=35$ 組。扣掉 $y\ge 2$ 的：令 $y^{\prime }=y-2$，$w+r+y^{\prime }+b=2$，有 $H_2^4=C_2^5=10$ 組；扣掉 $b\ge 3$ 的：令 $b^{\prime }=b-3$，總和 $1$，有 $H_1^4=4$ 組；$y\ge 2$ 且 $b\ge 3$ 時總和已超過 $4$，沒有重複扣。

$35-10-4=21$ 種。

答案 (4)。$y$ 對 $x$ 的迴歸直線為

$$y-{\mu }_y=r\cdot \frac{{\sigma }_y}{{\sigma }_x}(x-{\mu }_x)$$

代入 ${\mu }_x=31$、${\mu }_y=120$、${\sigma }_x=2$、${\sigma }_y=10$：$y-120=5r(x-31)$。$x=30$ 時 $y=116$：$116-120=5r(30-31)$，$-4=-5r$，$r=0.8$。

答案 (4)。停止時，被吃空的那一盒剛好被選了 $3$ 次，而且最後一次一定選到它；另一盒被選了 $3-X$ 次。

以 $A$ 先吃空為例：前面 $3-1+(3-X)=5-X$ 次中，$A$ 出現 $2$ 次、$B$ 出現 $3-X$ 次，排法有 $C_2^{5-X}$ 種，每一種的機率是 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{6-X}$。$B$ 先吃空的情形同理，所以

$$P(X=k)=2\cdot C_2^{5-k}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{6-k}$$

$k=3$：$2\cdot 1\cdot \frac{1}{8}=\frac{1}{4}$；$k=2$：$2\cdot 3\cdot \frac{1}{16}=\frac{3}{8}$；$k=1$：$2\cdot 6\cdot \frac{1}{32}=\frac{3}{8}$。三者和為 $1$。

$$E(X)=1\cdot \frac{3}{8}+2\cdot \frac{3}{8}+3\cdot \frac{1}{4}=\frac{3+6+6}{8}=\frac{15}{8}$$

所以是 $\frac{15}{8}$ 顆。

答案 (3)(5)。

(1) 錯誤。 ${\log }_{\frac{1}{a}}x=\frac{\log x}{\log \frac{1}{a}}=-{\log }_{a}x$，兩圖形對稱於 $x$ 軸，不是 $y$ 軸（例如 $a=2$：$(2,1)$ 在 $y={\log }_{2}x$ 上，$(-2,1)$ 不在任何對數圖形上）。

(2) 錯誤。 ${\left(\frac{1}{a}\right)}^x=a^{-x}$，兩圖形對稱於 $y$ 軸，不是 $x$ 軸（$a^x$ 恆正，對稱於 $x$ 軸的圖形會在 $x$ 軸下方）。

(3) 正確。 $(p,q)$ 在 $y=a^x$ 上 $⟺q=a^p⟺p={\log }_{a}q⟺(q,p)$ 在 $y={\log }_{a}x$ 上，兩圖形對稱於直線 $y=x$。

(4) 錯誤。 ${\log }_a(8x)={\log }_{a}8+{\log }_{a}x$，而 ${\log }_{a}8\ne 0$，兩圖形是上下平移的關係，對同一個 $x$ 值永遠差 ${\log }_{a}8$，沒有交點。

(5) 正確。 直線 $y=7x$ 對直線 $y=x$ 的對稱圖形是 $x=7y$，即 $y=\frac{1}{7}x$；$y=a^x$ 對 $y=x$ 的對稱圖形是 $y={\log }_{a}x$。兩個交點對 $y=x$ 對稱過去仍是相異兩點，而且是 $y={\log }_{a}x$ 與 $y=\frac{1}{7}x$ 的交點；反過來每個交點也對稱回原本的交點，所以恰交於相異兩點。

答案 (1)(2)(3)(5)。

(1) 正確。 $\overrightarrow{c}\perp \overrightarrow{a}⟺|\overrightarrow{a}{|}^2-t\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0$。當 $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\ne 0$ 時取 $t=\frac{|\overrightarrow{a}{|}^2}{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}$ 即可，所以有可能。（若 $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$，則 $\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}=|\overrightarrow{a}{|}^2\ne 0$，這時做不到；「可能」指有這樣的情形。）

(2) 正確。 取 $t=0$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}$，與 $\overrightarrow{a}$ 平行。

(3) 正確。 $\overrightarrow{c}\perp \overrightarrow{b}⟺\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}-t|\overrightarrow{b}{|}^2=0$，取 $t=\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}{|}^2}$ 一定做得到。

(4) 錯誤。 若 $\overrightarrow{a}-t\overrightarrow{b}=k\overrightarrow{b}$，則 $\overrightarrow{a}=(t+k)\overrightarrow{b}$，與 $\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$ 不平行矛盾。（$\overrightarrow{c}$ 也不會是零向量，理由相同。）

(5) 正確。 $|\overrightarrow{c}{|}^2=|\overrightarrow{b}{|}^2{t}^2-2(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})t+|\overrightarrow{a}{|}^2$ 是 $t$ 的二次函數，開口向上，在 $t=\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}{|}^2}$ 有最小值。此時 $t\overrightarrow{b}=\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}{|}^2}\overrightarrow{b}$，正是 $\overrightarrow{a}$ 在 $\overrightarrow{b}$ 上的正射影。

答案 (1)(4)。$1$ 到 $2022$ 中奇數、偶數各 $1011$ 個，每個數是奇數的機率都是 $\frac{1}{2}$，而且四個數互相獨立。

$ad$ 為奇數 $⟺a$、$d$ 都是奇數，機率 $\frac{1}{4}$；$bc$ 同理。$ad-bc$ 為奇數 $⟺ad$、$bc$ 恰一個是奇數：

$$p=2\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}=\frac{3}{8},q=1-p=\frac{5}{8}$$

(1) 正確。 行列式的值不是奇數就是偶數，$p+q=1$。

(2) 錯誤。 $\frac{3}{8}\ne \frac{5}{8}$。

(3) 錯誤。 $\frac{3}{8}=0.375>\frac{1}{3}$。

(4) 正確。 $|p-q|=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}\ge \frac{1}{4}$。

(5) 錯誤。 $|2p-q|=\left|\frac{6}{8}-\frac{5}{8}\right|=\frac{1}{8}$，不小於 $\frac{1}{8}$。

答案 (2)(4)(5)。由圖，最大值 $1.2$、最小值 $0.2$，波峰在 $x=0.5$、$2.5$，波谷在 $x=1.5$、$3.5$。

$a>0$ 時 $a\sin bx+c$ 的最大值 $a+c$、最小值 $-a+c$：$a+c=1.2$、$-a+c=0.2$，得 $a=0.5$、$c=0.7$。相鄰兩波峰相距 $2$，週期為 $2$；$b>0$，$\frac{2\pi }{b}=2$，$b=\pi$。

(1) 錯誤。 振幅 $=a=0.5$。

(2) 正確。 週期 $2$。

(3) 錯誤。 $a=0.5$。

(4) 正確。 $b=\pi$。

(5) 正確。 $c=0.7$。

答案 (3)(4)。$A$ 是 $1\times 3$、$B$ 是 $3\times 2$、$C$ 是 $2\times 2$，所以 $ABC$ 一定是 $1\times 2$ 矩陣，(1)、(5) 的大小不對，錯誤。

設公差 $d$。$AB=\left[\begin{array}{cc}{a}_1+a_2+a_3& a_4+a_5+a_6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3a_2& 3a_5\end{array}\right]$，

$$ABC=\left[\begin{array}{cc}3a_2-3a_5& -3a_2+3a_5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-9d& 9d\end{array}\right]$$

兩個元素互為相反數，而 $-9d$ 可以是任何實數。

(2) 錯誤。 $9$ 與 $9$ 不互為相反數。

(3) 正確。 $d=-\frac{1}{3}$。

(4) 正確。 $d=\frac{2}{9}$。

答案 (1)(3)(4)。以邊長 $1$ 的正六邊形（上下兩邊水平）設坐標。

(1) 正確。 圖(一) 中 $O$ 是三個正六邊形共同的頂點，$\overline{OP}$、$\overline{OQ}$、$\overline{OR}$ 是三條長 $1$ 的邊，兩兩夾 $120^{\circ }$。取 $O$ 為原點，$\overrightarrow{OP}=(-1,0)$、$\overrightarrow{OQ}=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$、$\overrightarrow{OR}=\left(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$，三者相加為 $\overrightarrow{0}$。

接著看圖(二)，以 $A$ 為原點。從 $A$ 沿六邊形的邊數格子：每條水平邊是 $(\pm 1,0)$，每條斜邊是 $\left(\pm \frac{1}{2},\pm \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$。由圖得

$$\overrightarrow{AD}=(3,-\sqrt{3}),\overrightarrow{AE}=\left(\frac{5}{2},\frac{5\sqrt{3}}{2}\right),\overrightarrow{AB}=(3,2\sqrt{3}),\overrightarrow{AC}=\left(\frac{9}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$

(2) 錯誤。 $2\overrightarrow{OP}-2\overrightarrow{OR}=(-2,0)-(1,-\sqrt{3})=(-3,\sqrt{3})=-\overrightarrow{AD}$，方向相反。

(3) 正確。 $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AE}=3\cdot \frac{5}{2}+(-\sqrt{3})\cdot \frac{5\sqrt{3}}{2}=\frac{15}{2}-\frac{15}{2}=0$。

(4) 正確。 $|\overrightarrow{AB}{|}^2=9+12=21$，$|\overrightarrow{AC}{|}^2=\frac{81}{4}+\frac{3}{4}=21$，$\overrightarrow{BC}=\left(\frac{3}{2},-\frac{5\sqrt{3}}{2}\right)$，$|\overrightarrow{BC}{|}^2=\frac{9}{4}+\frac{75}{4}=21$，三邊等長。

(5) 錯誤。 拼出來的多邊形，邊都在正六邊形的邊上、頂點都是正六邊形的頂點。每個頂點有三條邊兩兩夾 $120^{\circ }$，所以多邊形在每個頂點的內角只能是 $120^{\circ }$ 或 $240^{\circ }$（不會是 $180^{\circ }$）。設有 $x$ 個 $120^{\circ }$、$y$ 個 $240^{\circ }$ 的內角，邊數 $n=x+y$，內角和

$$(n-2)\cdot 180^{\circ }=120^{\circ }x+240^{\circ }y$$

$180x+180y-360=120x+240y$，得 $x-y=6$，$n=2y+6$ 一定是偶數，不可能是 $2023$ 邊形。

由 $A$ 點作圓的兩條切線，切線長相等：$\overline{AQ}=\overline{AP}=15$。

以 $A$ 為原點、地面為 $x$ 軸，圓在 $A$ 的左側：$Q=(-15,0)$，圓心 $(-15,r)$，$r$ 為半徑。$P$ 離地 $9$ 且 $\overline{AP}=15$，所以 $P$ 的橫坐標為 $-\sqrt{15^2-9^2}=-12$，$P=(-12,9)$。

$P$ 在圓上：$(-12+15{)}^2+(9-r{)}^2=r^2$，$9+81-18r=0$，$r=5$。直徑為 $10$ 公尺。

卷面印的 $\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ 會得到 $2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{0}$，與 $\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AD}$ 不平行矛盾；依題意與圖應為 $\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$。

$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=10\cdot 20\cdot \cos 60^{\circ }=100$，

$$|\overrightarrow{AC}{|}^2=9|\overrightarrow{AB}{|}^2+6\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}+|\overrightarrow{AD}{|}^2=900+600+400=1900$$

$\overline{AC}=\sqrt{1900}=10\sqrt{19}$ 公尺。

每個數字換成兩個數字，所以 $a_{n+1}$ 的最後六個數字只由 $a_n$ 的最後三個數字決定。

$a_4=01101001$ 的最後三個是 $001$，換成 $010110$，所以 $a_5$ 結尾是 $010110$，最後五個為 $10110$、最後三個為 $110$（與題目的 $a_5$ 相符）。

$a_5$ 的最後三個 $110$ 換成 $101001$，所以 $a_6$ 結尾是 $101001$，最後五個為 $01001$、最後三個又是 $001$。

因此從 $a_4$ 起，最後三個數字在 $001$ 與 $110$ 之間輪流：$n$ 為偶數時以 $001$ 結尾、最後五個為 $01001$；$n$ 為奇數時最後五個為 $10110$。$100$ 是偶數，$a_{100}$ 的最後五個數字為 $01001$。

$A\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x+y\\ ry\end{array}\right]$：上面加上下面，下面乘以 $r$。從 $B=\left[\begin{array}{c}1\\ r\end{array}\right]$ 開始：

$$AB=\left[\begin{array}{c}1+r\\ r^2\end{array}\right],A^{2}B=\left[\begin{array}{c}1+r+r^2\\ r^3\end{array}\right],\cdots ,A^{n}B=\left[\begin{array}{c}1+r+\cdots +r^n\\ r^{n+1}\end{array}\right]$$

所以 $r^{n+1}=1024$，$1+r+\cdots +r^n=1023$。前者減後者：$r^{n+1}-(1+r+\cdots +r^n)=1$。

$r=1$ 時 $r^{n+1}=1\ne 1024$；$r\ge 2$ 時 $1+r+\cdots +r^n=\frac{r^{n+1}-1}{r-1}=\frac{1023}{r-1}=1023$，得 $r=2$，$2^{n+1}=1024$，$n=9$。$(n,r)=(9,2)$。

設打 BNT 的有 $k$ 人：$\frac{C_2^k}{C_2^{40}}=\frac{k(k-1)}{40\cdot 39}=\frac{1}{10}$，$k(k-1)=156$，$k=13$；打莫德納的有 $27$ 人。

$3$ 人中兩種都有，就是扣掉「全是 BNT」與「全是莫德納」：

$$1-\frac{C_3^{13}+C_3^{27}}{C_3^{40}}=1-\frac{286+2925}{9880}=\frac{6669}{9880}=\frac{27}{40}$$

第 $1$、$8$、$15$ 天不停水，可停的是第 $2$～$7$ 天與第 $9$～$14$ 天兩段，各 $6$ 天。第 $7$ 天與第 $9$ 天中間隔著第 $8$ 天，不相鄰，所以兩段可以分開算。

在連續 $6$ 天中選 $k$ 天且互不相鄰：先排好不選的 $6-k$ 天，選的 $k$ 天插進 $6-k+1$ 個空隙，有 $C_k^{7-k}$ 種，即選 $1$ 天 $6$ 種、選 $2$ 天 $C_2^5=10$ 種、選 $3$ 天 $C_3^4=4$ 種。

$3$ 天的分法：$3+0$ 或 $0+3$：$4+4=8$ 種；$2+1$ 或 $1+2$：$10\cdot 6+6\cdot 10=120$ 種。共 $128$ 種。

$A$ 在 $O$ 的正南方，$B$ 在 $O$ 的北偏東 $60^{\circ }$，所以 $\angle AOB=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$。在 $△AOB$ 中，$\overline{OA}=6$，$\overline{OB}=10$，由餘弦定理

$${\overline{AB}}^2=6^2+10^2-2\cdot 6\cdot 10\cos 120^{\circ }=36+100+60=196$$

所以 $\overline{AB}=14$，$A$、$B$ 兩鄉鎮相距 $14$ 公里。

設 $\overline{OM}=x$，$\overline{ON}=y$，$\overline{MN}=c$，$\angle MON=120^{\circ }$。航線 $\overline{MN}$ 不可進入淺水區，所以 $O$ 到 $\overline{MN}$ 的距離 $h$ 至少為 $3$。

用兩種方法算 $△OMN$ 的面積：

$$\frac{1}{2}xy\sin 120^{\circ }=\frac{1}{2}ch\ge \frac{1}{2}\cdot 3c$$

得 $\frac{\sqrt{3}}{4}xy\ge \frac{3}{2}c$，即 $xy\ge 2\sqrt{3}c$。

由餘弦定理 $c^2=x^2+y^2-2xy\cos 120^{\circ }=x^2+y^2+xy$。由算幾不等式 $x^2+y^2\ge 2xy$，所以

$$c^2\ge 3xy\ge 3\cdot 2\sqrt{3}c=6\sqrt{3}c$$

$c>0$，得 $c\ge 6\sqrt{3}$。

等號成立時 $x=y$，且 $O$ 到 $\overline{MN}$ 的距離恰為 $3$：$x=y$ 時 $c^2=3x^2$、$c=\sqrt{3}x$，代回 $\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^2=\frac{3}{2}c=\frac{3\sqrt{3}}{2}x$，得 $x=y=6$。$\overline{OM}=6\le \overline{OA}$、$\overline{ON}=6\le \overline{OB}$，碼頭位置合理，此時 $\overline{MN}$ 與淺水區的圓弧相切。

最短航程為 $6\sqrt{3}$ 公里。