南山高中 112 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

① 點 $(a,b,c)$ 到 $xy$ 平面的距離就是 $|c|$。

② 五個選項的距離依序為 $2$、$6$、$4$、$4$、$3$。

最近的是 $(1,2,-2)$，答案 (1)。

① 第 1 列乘各行：$1\cdot 2+3\cdot 1=5$，$1\cdot 0+3\cdot 3=9$。

② 第 2 列乘各行：$0\cdot 2+1\cdot 1=1$，$0\cdot 0+1\cdot 3=3$。

$$AB=\left[\begin{array}{cc}5& 9\\ 1& 3\end{array}\right]$$

答案 (4)。

① 手電筒射出的光是一個以燈泡為頂點的圓錐，圓錐的軸就是照射方向。

② 照射方向平行地面，所以地面這個平面與圓錐的軸平行，且不過頂點。

③ 平面與圓錐的軸平行時，截痕是雙曲線；光只有朝前的一個錐，所以照到的是雙曲線的一支。

答案 (4)。

① $4$ 在 $-9\le x\le 9$ 這一段：$f(4)=4^2-2\cdot |4|=16-8=8$。

② $-15<-9$，用最下面一段：$f(-15)=2\cdot (-15)+4=-26$。

③ $f(4)+f(-15)=8+(-26)=-18$。

答案 (5)。

① $x=1$ 時 $3-3x-x^2=-1<0$，所以 $x$ 在 $1$ 附近時 $3-3x-x^2$ 是負的。

② 這時絕對值要變號：$\left|3-3x-x^2\right|=x^2+3x-3$。

③ 分子 $=x^2+3x-3-1=x^2+3x-4=(x+4)(x-1)$。

$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(x+4)(x-1)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }(x+4)=5$$

答案 (2)。

正立方體的下底 $EFGH$ 在平面 $M$ 上，上底 $ABCD$ 在正上方。

(1) 依學校答案判為錯誤。 $AE$ 是鉛直的稜，$CD$ 在上底，兩線不相交也不平行，是歪斜線。

把 $CD$ 平移到過 $A$ 的 $AB$，$AE\perp AB$，兩線的夾角是直角。

照課本定義，夾角為直角的歪斜線也稱垂直，(1) 正確；學校答案只把相交成直角的兩直線算作垂直，所以不選 (1)。

(2) 正確。 $AE$ 垂直平面 $M$，$EG$ 在 $M$ 上且過 $E$，所以 $AE\perp EG$。

(3) 正確。 $EF\parallel AB$，$AB\parallel CD$，所以 $EF\parallel CD$。

(4) 錯誤。 $CD$ 在上底，與 $M$ 平行，不是垂直。

(5) 正確。 正立方體上下兩底平行，所以平面 $ABCD$ 與 $M$ 平行。

答案 (2)(3)(5)（學校答案）。

(1) 錯誤。 $P$ 到 $y$ 軸的垂足是 $(0,3,0)$，距離 $\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，不是 $2\sqrt{3}$。

(2) 正確。 到 $yz$ 平面的距離是 $|x|=2$。

(3) 正確。 對 $y$ 軸對稱：$y$ 不變，$x$、$z$ 變號，得 $(-2,3,-4)$。

(4) 正確。 對 $yz$ 平面對稱：只有 $x$ 變號，得 $(-2,3,4)$。

(5) 錯誤。 到原點的距離 $\sqrt{4+9+16}=\sqrt{29}$，不是 $9$。

答案 (2)(3)(4)。

(1) 正確。 平面與軸線 $L$ 垂直時，截痕是圓。

(2) 正確。 平面斜切（與 $L$ 不垂直也不平行）時，截痕是橢圓。

(3) 錯誤。 平面不與 $L$ 平行時，截痕都落在圓柱上一段有限的範圍內，是封閉的圓或橢圓，不會像拋物線那樣無限延伸。

(4) 錯誤。 理由同 (3)，雙曲線也會無限延伸，不可能。

(5) 正確。 平面與 $L$ 平行且穿過圓柱內部時，截痕是兩條與 $L$ 平行的直線。

答案 (1)(2)(5)。

① 點數大於 $2$（$3,4,5,6$）的機率 $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，從甲袋抽；否則機率 $\frac{1}{3}$，從乙袋抽。

② 甲袋抽到紅球 $\frac{2}{5}$，乙袋抽到紅球 $\frac{4}{5}$。

$$P(\text{紅})=\frac{2}{3}\cdot \frac{2}{5}+\frac{1}{3}\cdot \frac{4}{5}=\frac{4}{15}+\frac{4}{15}=\frac{8}{15}$$

答案 8/15。

① 取到白球的機率 $\frac{1}{3}$，黑球 $\frac{2}{3}$。

② 是白球時，甲、乙都說白球＝兩人都說實話：$\frac{1}{3}\cdot \frac{7}{8}\cdot \frac{3}{5}=\frac{7}{40}$。

③ 是黑球時，甲、乙都說白球＝兩人都說謊：$\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{8}\cdot \frac{2}{5}=\frac{1}{30}$。

④ 在「兩人都說白球」的條件下：

$$P=\frac{\frac{7}{40}}{\frac{7}{40}+\frac{1}{30}}=\frac{21}{21+4}=\frac{21}{25}$$

答案 21/25。

① 設再招收 $x$ 名高一女生，高一女生變成 $5+x$ 人。

② 性別與年級獨立，表示男生、女生中「高二：高一」的比例相同：

$$15:10=12:(5+x)$$

③ $15(5+x)=120$，$5+x=8$，$x=3$。

答案 3 名。

① $P$ 在 $xy$ 平面上的投影點是 $(1,3,0)$；$Q$ 的投影點相同，所以 $Q=(1,3,z)$。

② $Q$ 到原點的距離為 $7$：$1^2+3^2+z^2=49$，$z^2=39$。

③ $z>0$，所以 $z=\sqrt{39}$。

答案 $(1,3,\sqrt{39})$。

① 以 $E$ 為原點，$EF$、$EH$、$EA$ 的方向分別為 $x$、$y$、$z$ 軸正向，長 $5$、寬 $2$、高 $4$。

② $A(0,0,4)$、$D(0,2,4)$，中點 $P(0,1,4)$。

③ $C(5,2,4)$、$G(5,2,0)$，中點 $Q(5,2,2)$。

$$\overline{PQ}=\sqrt{5^2+1^2+(-2{)}^2}=\sqrt{30}$$

答案 $\sqrt{30}$。

$Q$ 在稜 $CG$ 上，離底面 $4$。從 $A$ 走到 $Q$ 要經過兩個面，把它們攤平後量直線距離。

① 經前面 $ABFE$ 再到右側面 $BCGF$：攤平後橫向 $7+7=14$，縱向 $4$，距離 $\sqrt{14^2+4^2}=\sqrt{212}$。

② 經底面 $ABCD$ 再到右側面 $BCGF$：把側面以 $BC$ 為軸攤平到底面旁，$Q$ 離 $A$ 橫向 $7+4=11$，縱向 $7$，距離 $\sqrt{11^2+7^2}=\sqrt{170}$。

③ 經左側面再到後面、或經底面再到後面，與上面兩種對稱，長度相同。

④ $\sqrt{170}<\sqrt{212}$。

答案 $\sqrt{170}$。

① 北緯 $45^{\circ }$：$A$ 的高度 $z=4\sin 45^{\circ }=2\sqrt{2}$，$A$ 到 $z$ 軸的距離 $4\cos 45^{\circ }=2\sqrt{2}$。

② $A$ 在 $xy$ 平面上的投影 $A^{\prime }$ 與原點距離 $2\sqrt{2}$，且 $\overrightarrow{O{A}^{\prime }}$ 從 $x$ 軸正向往東轉 $120^{\circ }$。

③ $x=2\sqrt{2}\cos 120^{\circ }=-\sqrt{2}$，$y=2\sqrt{2}\sin 120^{\circ }=\sqrt{6}$。

答案 $(-\sqrt{2},\sqrt{6},2\sqrt{2})$。

① $\det A=2\cdot 3-5\cdot 1=1\ne 0$，$A$ 有反方陣：

$$A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}3& -5\\ -1& 2\end{array}\right]$$

② 兩邊左乘 $A^{-1}$：$X=A^{-1}(AX)$。

$$X=\left[\begin{array}{cc}3& -5\\ -1& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}-11& 12& 13\\ -7& 7& 7\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 4\\ -3& 2& 1\end{array}\right]$$

答案 $\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 4\\ -3& 2& 1\end{array}\right]$。

① 分母 $x-1\to 0$ 而極限存在，分子也要趨近 $0$：$f(1)=0$，所以 $f(x)=(x-1)g(x)$，$g(x)$ 是二次、最高次係數 $1$。

② $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }g(x)=g(1)=0$，所以 $g(x)=(x-1)(x+k)$。

③ $f(x)=(x-1{)}^2(x+k)$，$f(0)=k=3$，得 $f(x)=(x-1{)}^2(x+3)$。

④ $x\to 4$ 時分母趨近 $2\ne 0$，直接代入：

$$\underset{x\to 4}{\lim }\frac{f(x)}{x-2}=\frac{f(4)}{2}=\frac{9\cdot 7}{2}=\frac{63}{2}$$

答案 63/2。

① $x\to \infty$：分子分母同除以 $x^2$，極限為 $\frac{a}{1}=2$，得 $a=2$。

② $x\to 2$：分母 $x^2+x-6=(x+3)(x-2)\to 0$，極限存在，分子也要趨近 $0$：$4a+2b+c=0$，即 $8+2b+c=0$。

③ 分子有因式 $x-2$，設 $2x^2+bx+c=(x-2)(2x+m)$：

$$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{(x-2)(2x+m)}{(x+3)(x-2)}=\frac{4+m}{5}=1$$

④ $m=1$，分子 $=(x-2)(2x+1)=2x^2-3x-2$，$b=-3$，$c=-2$。

⑤ $a-b-c=2+3+2=7$。

答案 7。

① 由 $P(2,4,3)$，長方體在 $x$、$y$、$z$ 方向的長分別是 $2$、$4$、$3$，一個頂點在原點。

② 圖(二) 的展開圖都在 $xy$ 平面上，底面留在原位：$0\le x\le 2$，$0\le y\le 4$。

③ 從底面沿 $x$ 軸負向依序接上：後面（寬 $3$，即高）、上面（寬 $2$）、前面（寬 $3$），所以最遠的邊在 $x=-3-2-3=-8$。

④ 側面接在前面旁、往 $y$ 軸負向，寬是 $x$ 方向的長 $2$，所以 $B$ 的 $y$ 坐標為 $-2$。

⑤ 展開圖在 $xy$ 平面上，$z=0$。

答案 $(-8,-2,0)$。

① 加密是 $Y=AX$，所以原始矩陣 $X=A^{-1}Y$。

② $\det A=1\cdot 2-1\cdot 3=-1$：

$$A^{-1}=\frac{1}{-1}\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ -3& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-2& 1\\ 3& -1\end{array}\right]$$

③ 解密：

$$X=\left[\begin{array}{cc}-2& 1\\ 3& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}3& 9& 6& 5\\ 7& 18& 13& 11\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 1\\ 2& 9& 5& 4\end{array}\right]$$

④ 每一行讀成兩位數號碼：$12$、$09$、$15$、$14$，對應字母 l、i、o、n。

原始訊息為 lion。