明倫高中 112 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (3)。由圖，$y=f(x)$ 先遞減、再遞增、再遞減：極小點在 $y$ 軸右側（設在 $x=p$，$p>0$），極大點在更右邊（設在 $x=q$，$q>p$）。

所以 $f^{\prime }(x)$ 在 $x<p$ 與 $x>q$ 為負、在 $p<x<q$ 為正，且 $f^{\prime }(p)=f^{\prime }(q)=0$。三次函數的導函數是二次函數，故 $f^{\prime }(x)=k(x-p)(x-q)$，其中 $k<0$：開口向下、與 $x$ 軸的兩個交點都在原點右側，因此 $f^{\prime }(0)<0$，圖形與 $y$ 軸交在原點下方。這是圖 (3)。

答案 (2)。把方程式改寫成 $2x^3-3x^2-12x+3=k$，令 $g(x)=2x^3-3x^2-12x+3$，方程式的根就是 $y=g(x)$ 與水平線 $y=k$ 交點的 $x$ 坐標。

$$g^{\prime }(x)=6x^2-6x-12=6(x+1)(x-2)$$

$g$ 在 $(-\infty ,-1]$ 遞增、在 $[-1,2]$ 遞減、在 $[2,\infty )$ 遞增，$g(-1)=10$，$g(0)=3$，$g(2)=-17$。

要兩個相異負根：水平線在 $x<0$ 的部分要和圖形交兩次，一次在 $x<-1$、一次在 $-1<x<0$。$g$ 在 $[-1,0]$ 由 $10$ 遞減到 $3$，所以要 $3<k<10$。此時 $g$ 在 $[0,2]$ 的值都小於等於 $3$，沒有交點；$g$ 在 $[2,\infty )$ 由 $-17$ 遞增到無限大，恰有一個交點，是正根。$k=3$ 時有一根是 $0$，不合。故 $3<k<10$。

答案 (4)。$f^{\prime }(x)=3x^2+6x+a+2$。$f$ 恆為遞增，要 $f^{\prime }(x)\ge 0$ 對所有實數 $x$ 都成立（且只在個別點等於 $0$）。開口向上的二次式恆不小於 $0$，判別式要小於等於 $0$：

$$36-12(a+2)\le 0\Rightarrow a\ge 1$$

$a=1$ 時 $f^{\prime }(x)=3(x+1{)}^2$，只在 $x=-1$ 等於 $0$，其他地方都大於 $0$，$f$ 仍是遞增函數，所以等號要取。

$f^{\prime }(x)=12x^3+48x^2+12x-72=12(x^3+4x^2+x-6)=12(x-1)(x+2)(x+3)$。

$f^{\prime }(x)\le 0$ 的範圍是 $x\le -3$ 或 $-2\le x\le 1$；$f^{\prime }(x)\ge 0$ 的範圍是 $-3\le x\le -2$ 或 $x\ge 1$。所以 $f$ 在 $(-\infty ,-3]$ 與 $[-2,1]$ 遞減，在 $[-3,-2]$ 與 $[1,\infty )$ 遞增。

由圖，極小點的 $x$ 坐標 $\beta <0$，極大點的 $x$ 坐標 $\alpha >0$，且 $|\alpha |<|\beta |$。$\alpha$、$\beta$ 是 $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c=0$ 的兩根，由根與係數關係：

$$\alpha +\beta =-\frac{2b}{3a},\alpha \beta =\frac{c}{3a}$$

$f^{\prime }(x)=6x^2-18x+12=6(x-1)(x-2)$。$f^{\prime }$ 在 $x<1$ 為正、$1<x<2$ 為負、$x>2$ 為正，所以 $x=1$ 有極大值：

$$f(1)=2-9+12+7=12$$

$x=-1$ 時 $x^2+4x-3=1-4-3=-6<0$，多項式連續，所以在 $x=-1$ 附近 $x^2+4x-3<0$，

$$f(x)=-(x^2+4x-3)=-x^2-4x+3$$

$f^{\prime }(x)=-2x-4$，$f^{\prime }(-1)=-2$，$f(-1)=6$。切線 $y-6=-2(x+1)$，即 $y=-2x+4$，$(a,b)=(-2,4)$。

因為 $f(1)=0$，

$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(1+h)}{-2h}=-\frac{1}{2}\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=-\frac{1}{2}{f}^{\prime }(1)=-\frac{1}{2}\times (-6)=3$$

令 $u(x)=x^2+x+2$，$v(x)=x^3-4x$。$u(2)=8$，$u^{\prime }(2)=5$，$v(2)=0$，$v^{\prime }(x)=3x^2-4$，$v^{\prime }(2)=8$。

$$f^{\prime }(2)=u^{\prime }(2)v(2)+u(2)v^{\prime }(2)=5\times 0+8\times 8=64$$

一次近似就是在 $x=3$ 的切線。$y(3)=-27+27-15+2=-13$；$y^{\prime }=-3x^2+6x-5$，$y^{\prime }(3)=-27+18-5=-14$。

$$y=-13-14(x-3)=-14x+29$$

所以 $(a,b)=(-14,29)$。

設 $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$。在 $x=0$ 的切線為 $y=2x+1$，所以 $f(0)=d=1$，$f^{\prime }(0)=c=2$。

反曲點在 $x=-1$：$f^{\prime \prime }(x)=6ax+2b$，$f^{\prime \prime }(-1)=-6a+2b=0$，得 $b=3a$。

反曲點在圖形上：$f(-1)=-a+b-c+d=-a+3a-2+1=2a-1=3$，得 $a=2$，$b=6$。

$$f(x)=2x^3+6x^2+2x+1,f(2)=16+24+4+1=45$$

設 $p(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$，$p^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$。

$p(1)=p(-1)=5$：兩式相減得 $2a+2c=0$，即 $c=-a$。

$p^{\prime }(1)=3a+2b+c=6$，$p^{\prime }(-1)=3a-2b+c=-4$。兩式相減得 $4b=10$，$b=\frac{5}{2}$；相加得 $6a+2c=2$，代入 $c=-a$ 得 $4a=2$，$a=\frac{1}{2}$。

反曲點的 $x$ 坐標是 $p^{\prime \prime }(x)=6ax+2b=0$ 的根：

$$x=-\frac{b}{3a}=-\frac{5/2}{3/2}=-\frac{5}{3}$$

所以 $a=-\frac{5}{3}$（這裡的 $a$ 是題目所說反曲點的 $x$ 坐標，與上面設的係數不同）。

在切線 $L$ 中令 $y=0$：$-f(a_n)=f^{\prime }(a_n)(a_{n+1}-a_n)$，所以

$$a_{n+1}=a_n-\frac{f(a_n)}{f^{\prime }(a_n)}$$

$f(x)=x^2-5$，$f^{\prime }(x)=2x$。

$a_1=3-\frac{9-5}{6}=3-\frac{2}{3}=\frac{7}{3}$。

$f\left(\frac{7}{3}\right)=\frac{49}{9}-5=\frac{4}{9}$，$f^{\prime }\left(\frac{7}{3}\right)=\frac{14}{3}$，

$$a_2=\frac{7}{3}-\frac{4/9}{14/3}=\frac{7}{3}-\frac{2}{21}=\frac{47}{21}$$

設容器的高為 $x$ 公分，也就是截去的四邊形中，內側頂點到兩邊的垂直距離。以頂點 $A$ 為例，截去的四邊形有兩個直角，$A$ 與內側頂點的連線平分 $60^{\circ }$ 角，所以從 $A$ 到垂足的長是 $x\cdot \frac{1}{\tan 30^{\circ }}=\sqrt{3}x$。

每一邊兩端各去掉 $\sqrt{3}x$，容器底面是邊長 $12-2\sqrt{3}x$ 的正三角形，$0<x<2\sqrt{3}$。容積

$$V(x)=\frac{\sqrt{3}}{4}(12-2\sqrt{3}x{)}^{2}x$$

$$V^{\prime }(x)=\frac{\sqrt{3}}{4}\left[(12-2\sqrt{3}x{)}^2-4\sqrt{3}x(12-2\sqrt{3}x)\right]=\frac{\sqrt{3}}{4}(12-2\sqrt{3}x)(12-6\sqrt{3}x)$$

在 $0<x<2\sqrt{3}$ 內，$V^{\prime }(x)=0$ 只有 $x=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$；$V^{\prime }$ 在它左邊為正、右邊為負，所以這裡是最大值。此時底面邊長 $12-4=8$，

$$V=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 64\times \frac{2\sqrt{3}}{3}=32$$

最大容積為 $32$ 立方公分。