南山高中 112 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

① 設 $B$ 表示「胖虎身上有蚊蟲」，$S$ 表示「儀器發出聲音」。題目給的是

$$P(B)=0.2,P(S\mid B)=0.98,P(S\mid B^{\prime })=0.05$$

② 依下圖的樹狀圖，「有蚊蟲且發聲」的機率是 $0.2\times 0.98=0.196$；「沒有蚊蟲但發聲」的機率是 $0.8\times 0.05=0.04$。

③ 儀器發聲的總機率 $P(S)=0.196+0.04=0.236$。

④ 由貝氏定理，

$$P(B\mid S)=\frac{0.196}{0.236}=\frac{196}{236}=\frac{49}{59}$$

答案 (1)。

① 把 $△ABP$ 的面積寫成二階行列式：

$$△ABP=\frac{1}{2}\left|\det \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AP}\right)\right|$$

② 代入 $\overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{AB}+(2-k)\overrightarrow{AC}$，因為 $\det \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AB}\right)=0$，

$$\det \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AP}\right)=(2-k)\det \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$$

③ $\det \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right|=-2$，所以 $△ABC=1$，而 $0<k<2$ 時 $△ABP=(2-k)\times 1$。

④ 由 $2-k=\frac{2}{3}$ 得 $k=\frac{4}{3}$。

答案 (4)。

① $E$ 是正方形對角線 $\overline{AC}$ 的中點，所以 $△ECD$ 是 $△ACD$ 的一半，也就是正方形的 $\frac{1}{4}$：

$$△ECD=\frac{1}{4}\times 1^2=\frac{1}{4}$$

② $\overline{PA}$ 垂直底面，所以四面體 $P-ECD$ 以 $△ECD$ 為底時，高就是 $\overline{PA}=2$。

③ 體積 $=\frac{1}{3}\times \frac{1}{4}\times 2=\frac{1}{6}$。

答案 (3)。

① 坐標化：以 $O$ 為原點，$\overrightarrow{OR}$ 方向為 $x$ 軸、$\overrightarrow{RS}$ 方向為 $y$ 軸、鉛直向上為 $z$ 軸。題目用到的點為

$$\begin{array}{llll}A(0,1,2)& B(1,1,2)& F(3,1,2)& I(1,1,1)\\ J(0,0,1)& K(1,0,1)& M(2,0,1)& N(3,0,1)\\ L(3,1,1)& Q(2,0,0)& S(3,1,0)& O(0,0,0)\end{array}$$

② (1) 錯誤。 $\overrightarrow{AM}=(2,-1,-1)$，$\overline{AM}=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}$。

③ (2) 錯誤。 $\overrightarrow{AO}=(0,-1,-2)$，$\overrightarrow{AM}=(2,-1,-1)$，$\cos \angle OAM=\frac{0+1+2}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{6}}=\frac{3}{\sqrt{30}}$。

④ (3) 錯誤。 $\overrightarrow{AJ}=(0,-1,-1)=\overrightarrow{BK}$，且 $B$ 不在直線 $AJ$ 上，兩直線平行，不是歪斜線。

⑤ (4) 正確。 $\overrightarrow{AJ}=(0,-1,-1)$，$\overrightarrow{SN}=(0,-1,1)$，兩直線不平行。

兩直線分別在平面 $x=0$ 與 $x=3$ 上，而 $\overline{JN}$ 沿 $x$ 軸方向，同時垂直兩直線；$J$ 在 $AJ$ 上、$N$ 在 $SN$ 上，所以距離 $=\overline{JN}=3$。

⑥ (5) 錯誤。 平面 $BIO$ 含鉛直線 $BI$ 與原點，方程式為 $x-y=0$；平面 $FLQ$ 含鉛直線 $FL$ 與 $Q$，方程式為 $x-y=2$。兩平行平面的距離 $=\frac{|2-0|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$。

答案 (4)。

① 設 $Q(a,b,0)$，則

$$\cos \angle POQ=\frac{3a+4b}{\sqrt{50}\sqrt{a^2+b^2}}$$

② 五個選項的 $\angle POQ$ 都是銳角，餘弦越小，角越大。逐一計算 $\frac{3a+4b}{\sqrt{a^2+b^2}}$（再同除以 $\sqrt{50}$ 不影響大小）：

$$\begin{array}{cccccc}Q& (3,3,0)& (3,4,0)& (4,3,0)& (5,12,0)& (12,5,0)\\ \frac{3a+4b}{\sqrt{a^2+b^2}}& \frac{21}{3\sqrt{2}}\approx 4.95& 5& \frac{24}{5}=4.8& \frac{63}{13}\approx 4.85& \frac{56}{13}\approx 4.31\end{array}$$

③ $(12,5,0)$ 的值最小，所以 $\angle POQ$ 最大。

答案 (5)。

① 光源 $S(1,2,-3)$，入射點 $H(-1,0,0)$（代入 $E$：$-1-0+0+1=0$，確實在 $E$ 上）。先求 $S$ 對 $E$ 的對稱點 $S^{\prime }$。

② $E$ 的法向量 $\vec{n}=(1,-1,2)$。設 $S^{\prime }=S+2t\vec{n}$，中點 $S+t\vec{n}=(1+t,2-t,-3+2t)$ 在 $E$ 上：

$$(1+t)-(2-t)+2(-3+2t)+1=0\Rightarrow 6t-6=0\Rightarrow t=1$$

所以 $S^{\prime }=(3,0,1)$。

③ 反射光從 $H$ 出發，方向與 $\overrightarrow{S^{\prime }H}=(-4,0,-1)$ 相同，反射光為

$$(x,y,z)=(-1-4s,0,-s),s\ge 0$$

④ (1) 正確。 $s=1$ 得 $(-5,0,-1)$。

⑤ (2) 錯誤。 要 $s=-\frac{1}{2}<0$，這一點在 $H$ 的另一邊（代入 $x-y+2z+1$ 得 $3$，與光源的 $-6$ 異號，在 $E$ 的另一側），反射光不會到達。

⑥ (3) 正確。 $s=\frac{1}{2}$ 得 $\left(-3,0,-\frac{1}{2}\right)$。

⑦ (4) 正確。 $s=3$ 得 $(-13,0,-3)$。

⑧ (5) 錯誤。 $x=-9$ 要 $s=2$，此時 $z=-2\ne -4$。

答案 (1)(3)(4)。

① $△ABC$ 的面積：$\overrightarrow{AB}=(1,-2)$，$\overrightarrow{AC}=(2,-1)$，

$$△ABC=\frac{1}{2}\left|\left|\begin{array}{cc}1& -2\\ 2& -1\end{array}\right|\right|=\frac{1}{2}|-1+4|=\frac{3}{2}$$

② 對每個選項，用 $\overrightarrow{DA}$、$\overrightarrow{DB}$、$\overrightarrow{DC}$ 兩兩的行列式算三個三角形面積。

③ (1) 錯誤。 $D(0,0)$：$△ABD=\frac{1}{2}|2\cdot 0-2\cdot 3|=3$，$△BCD=\frac{1}{2}|3\cdot 1-0\cdot 4|=\frac{3}{2}$，不相等。

④ (2) 正確。 $D(3,1)$：$\overrightarrow{DA}=(-1,1)$，$\overrightarrow{DB}=(0,-1)$，$\overrightarrow{DC}=(1,0)$，三個行列式的絕對值都是 $1$，面積都是 $\frac{1}{2}$。$D$ 是重心 $G$。

⑤ (3) 正確。 $D(5,-1)$：$\overrightarrow{DA}=(-3,3)$，$\overrightarrow{DB}=(-2,1)$，$\overrightarrow{DC}=(-1,2)$，三個行列式的絕對值都是 $3$，面積都是 $\frac{3}{2}$。

⑥ (4) 正確。 $D(3,3)$：$\overrightarrow{DA}=(-1,-1)$，$\overrightarrow{DB}=(0,-3)$，$\overrightarrow{DC}=(1,-2)$，三個行列式的絕對值都是 $3$，面積都是 $\frac{3}{2}$。

⑦ (5) 正確。 $D(1,1)$：$\overrightarrow{DA}=(1,1)$，$\overrightarrow{DB}=(2,-1)$，$\overrightarrow{DC}=(3,0)$，三個行列式的絕對值都是 $3$，面積都是 $\frac{3}{2}$。

答案 (2)(3)(4)(5)。

① $L_1$ 過 $P(-2,3,-3)$，方向 $\vec{u}=(1,2,-2)$；$L_2$ 過 $Q(2,-2,0)$，方向 $\vec{v}=(-3,4,1)$。

② 公垂線的方向與兩直線都垂直：

$$\vec{u}\times \vec{v}=(2\cdot 1-(-2)\cdot 4,(-2)(-3)-1\cdot 1,1\cdot 4-2\cdot (-3))=(10,5,10)$$

取 $\vec{n}=(2,1,2)$，$|\vec{n}|=3$。

③ 距離是 $\overrightarrow{PQ}=(4,-5,3)$ 在 $\vec{n}$ 方向的投影長：

$$d=\frac{|4\cdot 2-5\cdot 1+3\cdot 2|}{3}=\frac{9}{3}=3$$

答案 3。

① 所求平面含直線 $AB$，所以法向量垂直 $\overrightarrow{AB}=(-1,1,-1)$。

② 所求平面垂直平面 $2x+2y+z=5$，所以法向量也垂直 $(2,2,1)$。

③ 法向量取兩者的外積：

$$(-1,1,-1)\times (2,2,1)=(1\cdot 1-(-1)\cdot 2,(-1)\cdot 2-(-1)\cdot 1,(-1)\cdot 2-1\cdot 2)=(3,-1,-4)$$

④ 平面 $3x-y-4z=c$ 過 $A(1,0,-1)$：$c=3+4=7$。所以 $a=-1$，$b=-4$，$c=7$。

⑤ $a+b+c=-1-4+7=2$。

答案 2。

① 令 $z=3x+5y$，則 $X(x,y,z)$ 在平面 $E:3x+5y-z=0$ 上，而且

$$(x-2{)}^2+(y-3{)}^2+(3x+5y-7{)}^2=(x-2{)}^2+(y-3{)}^2+(z-7{)}^2={\overline{XR}}^2$$

其中 $R(2,3,7)$。

② $x,y$ 任意變動時，$X$ 走遍整個平面 $E$，所以最小值是 $R$ 到 $E$ 距離的平方。

③ $$d(R,E)=\frac{|3\cdot 2+5\cdot 3-7|}{\sqrt{9+25+1}}=\frac{14}{\sqrt{35}}$$

④ 最小值 $=\frac{196}{35}=\frac{28}{5}$。

答案 $\frac{28}{5}$。

① 把係數和湊成 $1$：

$$\overrightarrow{AC}=4\left(\frac{3}{8}\overrightarrow{AB}+\frac{5}{8}\overrightarrow{AD}\right)$$

② 令 $\overrightarrow{AE}=\frac{3}{8}\overrightarrow{AB}+\frac{5}{8}\overrightarrow{AD}$，係數和為 $1$，所以 $E$ 在 $\overline{BD}$ 上，且 $\overline{BE}:\overline{ED}=5:3$。又 $\overrightarrow{AE}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$，$E$ 也在 $\overline{AC}$ 上，所以 $E$ 是兩對角線的交點。

③ 由 $\overline{BD}=2\sqrt{5}$：$\overline{BE}=\frac{5\sqrt{5}}{4}$，$\overline{ED}=\frac{3\sqrt{5}}{4}$。設 $\overline{AC}=x$，則 $\overline{AE}=\frac{x}{4}$，$\overline{EC}=\frac{3x}{4}$。

④ 圓內兩弦相交（相交弦定理）：$\overline{AE}\cdot \overline{EC}=\overline{BE}\cdot \overline{ED}$，

$$\frac{3x^2}{16}=\frac{75}{16}\Rightarrow x^2=25$$

⑤ $\overline{AC}=5$。

答案 5。

① $\overline{AP}\perp \overline{PQ}$、$\overline{BP}\perp \overline{PQ}$，所以二面角就是 $\angle APB=60^{\circ }$。

② 坐標化：$P(0,0,0)$，$Q(1,0,0)$，$A(0,1,0)$；$\overline{PB}=2$ 且與 $\overline{PA}$ 夾 $60^{\circ }$，取 $B(0,1,\sqrt{3})$，於是 $C=B+\overrightarrow{PQ}=(1,1,\sqrt{3})$。

③ $\overrightarrow{QA}=(-1,1,0)$，$\overrightarrow{QC}=(0,1,\sqrt{3})$：

$$\cos \angle AQC=\frac{0+1+0}{\sqrt{2}\cdot 2}=\frac{1}{2\sqrt{2}}$$

④ ${\cos }^2\angle AQC=\frac{1}{8}$。

答案 $\frac{1}{8}$。

① $\overrightarrow{OA}=(1,0)$、$\overrightarrow{OB}=(1,2)$，$0\le x\le 2$、$0\le y\le 2$，所以 $S$ 是以 $O(0,0)$、$(2,0)$、$(4,4)$、$(2,4)$ 為頂點的平行四邊形，面積

$$\left|\left|\begin{array}{cc}2& 0\\ 2& 4\end{array}\right|\right|=8$$

② 四邊形 $ABCD$ 的邊 $\overline{BC}$ 在直線 $y=2x$ 上，而 $S$ 的一邊（從 $O$ 到 $(2,4)$）也在這條直線上，兩個圖形都在這條線的右下方。

③ $ABCD$ 另外三邊是 $x=1$、$x=4$、$y=0$；$S$ 的點都滿足 $y\ge 0$、$x\le 4$。

所以 $S$ 中不在 $ABCD$ 裡的部分只有 $x<1$ 那一塊，即以 $O$、$A(1,0)$、$B(1,2)$ 為頂點的三角形，面積 $\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 2=1$。

④ 重疊面積 $=8-1=7$。

答案 7。

① 以 $A$ 為起點，記 $\vec{b}=\overrightarrow{AB}$、$\vec{c}=\overrightarrow{AC}$、$\vec{d}=\overrightarrow{AD}$，則 $\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{AC}=(\vec{d}-\vec{b})\cdot \vec{c}$。

② 把四邊長平方寫成向量：

$${\overline{AB}}^2=|\vec{b}{|}^2,{\overline{DA}}^2=|\vec{d}{|}^2,{\overline{BC}}^2=|\vec{c}-\vec{b}{|}^2,{\overline{CD}}^2=|\vec{d}-\vec{c}{|}^2$$

③ 計算

$${\overline{DA}}^2+{\overline{BC}}^2-{\overline{AB}}^2-{\overline{CD}}^2=2\vec{c}\cdot \vec{d}-2\vec{b}\cdot \vec{c}=2(\vec{d}-\vec{b})\cdot \vec{c}$$

④ 所以

$$\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{AC}=\frac{25+9-4-16}{2}=7$$

答案 7。

① 先確認 $A$ 與 $L$ 都在 $E$ 上：$3+4+3=10$；$L$ 過 $(3,5,2)$，$3+5+2=10$。

$L$ 的方向 $(2,-3,1)$ 的分量和為 $0$，所以 $L$ 整條在 $E$ 上，把平面 $E$ 分成兩邊。

② 作含 $L$ 且垂直 $E$ 的平面 $M$：法向量取 $(2,-3,1)\times (1,1,1)=(-4,-1,5)$，

$$M:-4(x-3)-(y-5)+5(z-2)=0$$

整理得 $-4x-y+5z+7=0$，這就是平面 $M$。

③ $E$ 上的點在 $L$ 的哪一邊，就看代入 $f(x,y,z)=-4x-y+5z+7$ 的正負。$A$：$f=-12-4+15+7=6>0$。

④ (1) 錯誤。 小饅頭 $f(7,2,1)=-18<0$，在水溝另一邊。

⑤ (2) 正確。 潔牙骨 $f(1,2,7)=36>0$。

⑥ (3) 錯誤。 魚肉乾 $f(2,7,1)=-3<0$。

⑦ (4) 錯誤。 雞軟骨 $f(0,10,0)=-3<0$。

⑧ (5) 正確。 牛肉丸 $f(0,0,10)=57>0$。

答案 (2)(5)。

① (1) $L$ 過 $(3,5,2)$、方向 $(2,-3,1)$，參數式為

$$\{\begin{array}{l}x=3+2t\\ y=5-3t\\ z=2+t\end{array},t\in R$$

即 $Q(3+2t,5-3t,2+t)$。

② (2) $\overrightarrow{AQ}=(2t,1-3t,-1+t)$。最短時 $\overrightarrow{AQ}$ 垂直 $L$ 的方向：

$$2(2t)-3(1-3t)+(-1+t)=14t-4=0\Rightarrow t=\frac{2}{7}$$

③ 此時 $\overrightarrow{AQ}=\left(\frac{4}{7},\frac{1}{7},-\frac{5}{7}\right)$，

$$\overline{AQ}=\frac{\sqrt{16+1+25}}{7}=\frac{\sqrt{42}}{7}$$

答案 (1) $Q(3+2t,5-3t,2+t)$，$t\in R$；(2) $\frac{\sqrt{42}}{7}$。