段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數及其圖形、對數與對數律、換底公式、對數函數及其圖形、指數與對數的應用）

正義高中 112 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 正義高中 112 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 27 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 正義高中 112 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 9 題指數型成長要看相鄰兩項的比值是否固定，而且學校把比值小於 1 的也算進去；第 18 題三點共線的分點要考慮內分與外分；第 16 題對數不等式要先確認真數為正；第 24 題要把兩個不同底的對數合成一個，再求真數的最大值。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 27 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，練滿 15 題就能產生考前藍圖 PDF →

這一章有整理好的單元冊：《指數與對數函數》

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 27 題，照原卷順序

單一選擇題 5 題（每題 3 分，共 15 分）、多重選擇題 5 題（每題 5 分，共 25 分；學校答案卷標每答對一選項得 1 分，答錯不倒扣）、填充題 11 題共 14 格（共 50 分；學校答案卷的給分表為答對 1～14 格依序得 10、20、24、28、30、32、34、36、38、40、42、44、46、50 分）、素養題 2 題（共 10 分，學校答案卷標每小題 5 分，第 2 題第一小題 2 分、第二小題 3 分），合計 100 分。卷面各大題各自從 1 編號，本頁題號全卷連續：多選 1～5 為第 6～10 題，填充第 1 題 (1)～(4) 為第 11～14 題，填充 2～11 為第 15～24 題，素養題 1 為第 25 題、素養題 2 的 (1)(2) 為第 26、27 題。答案已與學校公布的答案逐題核對，1 題看法不同：第 9 題學校答案為 (B)(C)，若「指數型成長」只指遞增則只有 (C)，本頁照學校答案並在詳解說明。

第一部分：單一選擇題 (每題 3 分，共 15 分)

下圖為函數

y = a + lo g_{b} x

之部分圖形，其中

a

，

b

皆為常數，則下列何者為真

(A) $a < 0$ ， $b > 1$
(B) $a > 0$ ， $b > 1$
(C) $a > 0$ ， $0 < b < 1$
(D) $a < 0$ ， $0 < b < 1$

載入中...

設

x

為實數，方程式

x - 1 = lo g_{2} x

有幾個實根？

(A) $0$
(B) $1$
(C) $2$
(D) $3$

設

0 < a < 1

，指數函數

y = a^{x}

之圖形與對數函數

y = lo g_{a} x

之圖形對稱於下列哪一個？

(A) $x$ 軸
(B) $y$ 軸
(C) 直線 $y = - x$
(D) 直線 $y = x$

設

a > 1

，關於函數

f (x) = a^{x}

，選出錯誤的選項：

(A) $f (x)$ 的圖形在 $x$ 軸的上方
(B) $f (x) = a^{x}$ 的圖形以 $x$ 軸為漸近線
(C) $f (x)$ 的圖形通過點 $(1, 0)$
(D) $f (2) > 1$

設

a > 1

，關於函數

f (x) = lo g_{a} x

，選出錯誤的選項：

(A) $α > 1 \Rightarrow f (α) < 0$
(B) $f (x) = lo g_{a} x$ 的圖形以 $y$ 軸為漸近線
(C) $f (x)$ 的圖形通過點 $(1, 0)$
(D) $f (x)$ 的圖形在 $y$ 軸的右方

第二部分：多重選擇題 (每題 5 分，共 25 分)

判斷下列選項何者為真？

(A) $1 0^{x} = x$ 有實數解
(B) $1 0^{x} = x^{2}$ 有實數解
(C) $x$ 為實數時， $1 0^{x} > x$ 恆成立
(D) $x > 0$ 時， $1 0^{x} > x^{2}$ 恆成立
(E) $1 0^{x} = - x$ 有實數解

下列哪些函數的圖形與

x - y = 0

有交點？

(A) $y = 3^{x - 2}$
(B) $y = - 3^{x}$
(C) $y = 3^{- x}$
(D) $y = 3^{∣ x ∣}$
(E) $y = 3^{x} - 2$

設

f (x) = lo g_{2} x

，

g (x) = lo g_{\frac{1}{2}} x

，則下列何者為真？

(A) $f (x)$ 的圖形恆在 $g (x)$ 的圖形的下方
(B) $g (x)$ 的圖形恆在 $f (x)$ 的圖形的下方
(C) $f (x)$ 的圖形與 $g (x)$ 的圖形對稱於 $x$ 軸
(D) $f (x)$ 的圖形與 $g (x)$ 的圖形恰交於一點
(E) $f (x)$ 的圖形與 $g (x)$ 的圖形均在 $y$ 軸的右方

下列函數

f (x)

，哪些選項是“指數型成長”？

(A) $x f (x) 11233547$
(B) $x f (x) 18243241$
(C) $x f (x) 1 0.2 2 0.4 3 0.8 4 1.6$
(D) $x f (x) 1 0.2 2 0.04 3 0.008 4 0.016$
(E) $x f (x) 14210328482$

設

a > 1 > b > 0

，關於下列不等式，請選出正確的選項。

(A) $(- a)^{7} > (- a)^{9}$
(B) $b^{- 9} > b^{- 7}$
(C) $lo g_{10} \frac{1}{a} > lo g_{10} \frac{1}{b}$
(D) $lo g_{a} 1 > lo g_{b} 1$
(E) $lo g_{a} b \geq lo g_{b} a$

第三部分：填充題 (50 分)

填充第 1 題（第 11～14 題）　試計算下列各小題的值：

(1)

(\frac{1}{10})^{3 x - 1} = 1 0^{- 2 x + \frac{3}{2}}

，得

x =

____。

(2)

(lo g 5)^{2} + lo g 2 \cdot lo g 50 =

____。

(3)

(lo g_{2} 3 + lo g_{4} 9) (lo g_{3} 2 + lo g_{9} \frac{1}{8}) =

____。

(4) 解不等式

9^{x} - 12 \cdot 3^{x} + 27 < 0

。____。

若

lo g_{2} 3 = a

，

lo g_{9} 2 = \frac{1}{k a}

，則

k =

____。

所有滿足

lo g_{2} (x^{2} + 2 x) \leq 3

的

x

值之範圍為 ____。

坐標平面上，直線

x = k

與

x = k + 3

分別與

y = lo g x

的圖形交於

A

、

B

兩點，且與

x

軸分別交於

C

、

D

兩點，其中

k > 1

。若四邊形

A C D B

的面積為

\frac{3}{2}

，則

k

之值為 ____。

設

k > 1

，在坐標平面上，已知

A (0, 11)

、

B (k, 0)

，且

C

為

y = lo g_{2} x

圖形上一點，若

A

、

B

、

C

三點共線並滿足

\overline{A C} : \overline{B C} = 8 : 3

，則

k =

____。

試求

lo g_{2} (4 + 23 - 4 - 23)

之值

=

____。

設

a = lo g_{2} 5

，

b = lo g_{5} 7

，試以

a

、

b

表示

lo g_{20} 14

。____

兩直線

x = 3

和

x = 12

分別與

y = lo g_{2} x

圖形相交於

A

，

B

兩點，則

A B

的斜率為 ____。

解方程式

lo g_{x} 8 - lo g_{2} x = - 2

且

0 < x < 1

，則

x =

____。

連續投擲一公正骰子兩次，設出現的點數依序為

a

，

b

。試問發生

lo g (a^{2}) + lo g b > 1

的機率為 ____。

設

x > 0

，

y > 0

且

x + 2 y = 6

，求

lo g_{2} x + lo g_{4} y

的最大值

=

____。

第四部分：素養題(10 分，需寫出詳細計算過程)

警方於某日上午

6 : 30

在愛河發現了一具屍體，此時測量屍體溫度為

30^{\circ} C

。當日

7 : 30

時，法醫到達命案現場，此時測得屍體溫度是

28^{\circ} C

。法醫表示：「我們可以根據牛頓冷卻定律來推估死亡時間，牛頓冷卻定律為

T (t) = H + (T_{0} - H) \cdot e^{- k t}

，其中

T (t)

為物體經過

t

小時後的溫度，

T_{0}

為物體的初始溫度，

H

為物體周遭環境的溫度，

e

及

k

皆為常數。」若當時命案現場環境的溫度

20^{\circ} C

，且人活著時的正常體溫為

36^{\circ} C

，則下列選項何者最接近此人的死亡時間？(已知

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

)

(A) 早上 $1 : 30$
(B) 早上 $2 : 30$
(C) 早上 $3 : 30$
(D) 早上 $4 : 30$
(E) 早上 $5 : 30$

素養題第 2 題（第 26～27 題）　傳統相機的鏡頭上會標示光圈值(

F

)，我們現在使用數位單眼相機拍照，或是某些可以設定的手機相機，也能調整光圈值來進行攝影。所謂的光圈值(

F

)是鏡頭焦距長度(

F L

)與光圈直徑(

D

)的比值，即

F = \frac{F L}{D}

。而光圈的直徑愈大，入光量就愈多，入光量與光圈面積成正(假設光圈為一個圓)，請回答下列問題：

(1) 有一鏡頭的焦距為

50

mm，現在設定光圈值為

2

，則此時鏡頭的光圈直徑為多少 mm？

(2) 有一鏡頭的光圈值

F_{n}

滿足

F_{n} = (2)^{n}

，其中

n = 1

，

2

，

3

，

4

，

\dots\dots

，在鏡頭上標示的光圈值

1.4

，

2

，

2.8

，

4

，

5.6

，

\dots\dots

，為

F_{n} = (2)^{n}

的近似值，即轉至光圈

2.8

時，實際的光圈值為

(2)^{3} = 22 \approx 2.8

。在鏡頭焦距不變的條件下，光圈值

n = 3

的入光量為

n = 8

的入光量之幾倍？

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(D)

第 2 題(C)

第 3 題(D)

第 4 題(C)

第 5 題(A)

第 6 題(B)(C)(D)(E)

第 7 題(A)(B)(C)(E)

第 8 題(C)(D)(E)

第 9 題(B)(C)（學校答案；依課本用語 (B) 公比 1/2 屬指數型衰減，若只算成長則只有 (C)，見詳解）

第 10 題(A)(B)

第 11 題

2

第 12 題

1

第 13 題

- 1

第 14 題

1 < x < 2

第 15 題

2

第 16 題

- 4 \leq x < - 2

或

0 < x \leq 2

第 17 題

2

第 18 題

11

第 19 題

2

第 20 題

\frac{1 + ab}{2 + a}

第 21 題

\frac{2}{9}

第 22 題

\frac{1}{2}

第 23 題

\frac{3}{4}

第 24 題

2

第 25 題(D)

第 26 題

25

第 27 題

32

倍

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊

04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～3：對數函數的圖形

第 1 題答案 (D)。圖形由左往右下降，

y = lo g_{b} x

是遞減函數，所以

0 < b < 1

。在

x = 1

時

lo g_{b} 1 = 0

，

y = a

；由圖，曲線在

x = 1

處位於

x

軸下方（曲線與

x

軸的交點在

0

與

1

之間），所以

a < 0

。

也可以看成

y = lo g_{b} x

的圖形向下平移

∣ a ∣

：原本通過

(1, 0)

，平移後與

x

軸的交點跑到

1

的左邊，表示向下移。

第 2 題答案 (C)。

x = 1

時兩邊都是

0

，

x = 2

時兩邊都是

1

，所以

x = 1

、

x = 2

都是根。直線

y = x - 1

通過

y = lo g_{2} x

圖形上的

(1, 0)

與

(2, 1)

兩點；由圖形可看出

y = lo g_{2} x

的圖形向上凸，在這兩點之間曲線在直線上方，兩點之外曲線在直線下方，不會再相交（代點佐證：

x = 2

時曲線在直線上方，

x = \frac{1}{2}

、

x = 4

時曲線在直線下方，見下方附註）。共

2

個實根。

例如

x = 4

：

lo g_{2} 4 = 2 < 3 = 4 - 1

；

x = \frac{1}{2}

：

lo g_{2} \frac{1}{2} = - 1 < - \frac{1}{2}

；

x = 2

：

lo g_{2} 2 = \frac{1}{2} > 2 - 1 \approx 0.41

。

第 3 題答案 (D)。

y = lo g_{a} x

是

y = a^{x}

的反函數：

(p, q)

在

y = a^{x}

上，表示

q = a^{p}

，即

p = lo g_{a} q

，所以

(q, p)

在

y = lo g_{a} x

上。

(p, q)

與

(q, p)

對稱於直線

y = x

。這個關係與底數

a

大於或小於

1

無關。

對數函數的底數決定遞增或遞減，圖形一定通過 (1,0)；與同底的指數函數對稱於 y=x。

02單選 4～5：指數函數與對數函數的基本性質

第 4 題答案 (C)。(A)

a^{x} > 0

，圖形在

x

軸上方，正確。(B)

x

往負的方向走時

a^{x}

趨近

0

但不等於

0

，以

x

軸為漸近線，正確。(C)

f (1) = a \neq = 0

，圖形通過的是

(0, 1)

與

(1, a)

，不通過

(1, 0)

，錯誤。(D)

a > 1

，

f (2) = a^{2} > 1

，正確。

第 5 題答案 (A)。

a > 1

時

lo g_{a} x

是遞增函數，且

lo g_{a} 1 = 0

。(A)

α > 1

時

f (α) > f (1) = 0

，不是小於

0

，錯誤。(B)

x

由右邊趨近

0

時，

lo g_{a} x

往負無限大走，圖形以

y

軸為漸近線，正確。(C)

lo g_{a} 1 = 0

，通過

(1, 0)

，正確。(D) 定義域是

x > 0

，圖形在

y

軸右方，正確。

指數函數過 (0,1)、對數函數過 (1,0)，兩者互為反函數，點的坐標也互換。

03多選 1～2：指數函數圖形與其他圖形的交點

第 6 題

答案 (B)(C)(D)(E)。先說明一件事： $x > 0$ 時 $1 0^{\frac{x}{2}} > x$ 。設 $k$ 為整數且 $k < x \leq k + 1$ （ $k \geq 0$ ）。若 $k = 0$ ，則 $1 0^{\frac{x}{2}} > 1 0^{0} = 1 \geq x$ ；若 $k \geq 1$ ，則 $1 0^{\frac{x}{2}} > 1 0^{\frac{k}{2}} > 3^{k} \geq 1 + 2 k \geq k + 1 \geq x$ （ $3^{k} = (1 + 2)^{k} \geq 1 + 2 k$ ）。

(D) 正確。 $x > 0$ 時把 $1 0^{\frac{x}{2}} > x > 0$ 兩邊平方，得 $1 0^{x} > x^{2}$ 。

(A) 錯誤。 由 (C)， $1 0^{x}$ 永遠大於 $x$ ，方程式 $1 0^{x} = x$ 無實數解。

(B) 正確。 在 $- 1 \leq x \leq 0$ 上， $y = 1 0^{x}$ 由 $0.1$ 遞增到 $1$ ， $y = x^{2}$ 由 $1$ 遞減到 $0$ ： $x = - 1$ 時 $1 0^{x} < x^{2}$ ， $x = 0$ 時 $1 0^{x} > x^{2}$ ，兩圖形在 $- 1$ 與 $0$ 之間相交，有負的實數解。

(E) 正確。 $y = 1 0^{x}$ 遞增， $y = - x$ 遞減； $x = - 1$ 時 $0.1 < 1$ ， $x = 0$ 時 $1 > 0$ ，兩圖形在 $- 1$ 與 $0$ 之間恰交於一點。

(B) 的解約為

x \approx - 0.54

，而由 (D)，正數

x

都不是解。

第 7 題

答案 (A)(B)(C)(E)。 $x - y = 0$ 就是直線 $y = x$ 。

(A) 正確。 $x = 3$ 時 $3^{3 - 2} = 3$ ，交點 $(3, 3)$ 。

(B) 正確。 $y = - 3^{x}$ 遞減、 $y = x$ 遞增； $x = - 1$ 時 $- 3^{- 1} = - \frac{1}{3} > - 1$ ， $x = 0$ 時 $- 3^{0} = - 1 < 0$ ，兩圖形在 $- 1$ 與 $0$ 之間相交。

(D) 錯誤。 $x \leq 0$ 時 $3^{∣ x ∣} \geq 1 > x$ 。 $x > 0$ 時設 $k < x \leq k + 1$ （ $k \geq 0$ 為整數）， $3^{∣ x ∣} = 3^{x} > 3^{k} \geq 1 + 2 k \geq k + 1 \geq x$ 。所以 $3^{∣ x ∣}$ 永遠大於 $x$ ，沒有交點。

(E) 正確。 $x = 1$ 時 $3^{1} - 2 = 1$ ，交點 $(1, 1)$ 。

(E) 另有一個負的交點（約

x \approx - 1.9

），選項只問有沒有交點，找到一個就夠了。

判斷有沒有交點：一個遞增、一個遞減時，找兩個點的大小關係互換；要說明永遠沒有交點，就證明一邊恆大於另一邊。

04多選 3～5：對數圖形的對稱、指數型變化、大小比較

第 8 題

答案 (C)(D)(E)。換底： $g (x) = lo g_{\frac{1}{2}} x = \frac{lo g _{2} x}{lo g _{2} \frac{1}{2}} = - lo g_{2} x = - f (x)$ 。

(A) 錯誤。 $x = 2$ 時 $f (2) = 1 > g (2) = - 1$ ， $f$ 在 $g$ 上方。

(B) 錯誤。 $x = \frac{1}{2}$ 時 $g (\frac{1}{2}) = 1 > f (\frac{1}{2}) = - 1$ ， $g$ 在 $f$ 上方。

(D) 正確。 $f (x) = g (x)$ 即 $f (x) = - f (x)$ ， $f (x) = 0$ ， $x = 1$ ，只交於 $(1, 0)$ 一點。

(E) 正確。 兩者的定義域都是 $x > 0$ ，圖形都在 $y$ 軸右方。

第 9 題

答案 (B)(C)（學校公布的答案）。指數型的變化是 $f (x) = c \cdot r^{x}$ 的形式， $x$ 每增加 $1$ ，函數值都乘以同一個數 $r$ ，所以要看相鄰兩項的比值是否固定。

(A) 錯誤。 $1, 3, 5, 7$ 相鄰兩項的差都是 $2$ ，比值 $3, \frac{5}{3}, \frac{7}{5}$ 不固定，是線性變化。

(B) 正確（照學校答案）。 $8, 4, 2, 1$ 相鄰比值都是 $\frac{1}{2}$ ， $f (x) = 16 \cdot (\frac{1}{2})^{x}$ ，是指數型的變化，只是函數值遞減（衰減）。

(D) 錯誤。 比值依序是 $\frac{0.04}{0.2} = 0.2$ 、 $\frac{0.008}{0.04} = 0.2$ 、 $\frac{0.016}{0.008} = 2$ ，不固定。

(E) 錯誤。 比值 $\frac{10}{4} = 2.5$ 、 $\frac{28}{10} = 2.8$ 、 $\frac{82}{28} \approx 2.93$ ，不固定（其實是 $f (x) = 3^{x} + 1$ ，加了常數就不是指數型）。

學校答案把 (B) 也算進「指數型成長」，也就是把比值固定的變化都算進去，不論比值大於或小於

1

。若把「成長」限定為函數值遞增（比值大於

1

），(B) 是指數型衰減，答案就只有 (C)。(D) 若最後一格是

0.0016

，比值會都是

0.2

；卷面印的是

0.016

，學校答案也沒有選 (D)，本頁照卷面。

第 10 題

答案 (A)(B)。

(A) 正確。 $(- a)^{7} = - a^{7}$ ， $(- a)^{9} = - a^{9}$ 。 $a > 1$ 時 $a^{9} > a^{7}$ ，所以 $- a^{7} > - a^{9}$ 。

(B) 正確。 $b^{- 9} = (\frac{1}{b})^{9}$ ， $b^{- 7} = (\frac{1}{b})^{7}$ ； $0 < b < 1$ 時 $\frac{1}{b} > 1$ ，底數大於 $1$ ，指數大的比較大。

(D) 錯誤。 $lo g_{a} 1 = lo g_{b} 1 = 0$ ，兩者相等。

(E) 錯誤。 設 $t = lo g_{a} b$ ，則 $lo g_{b} a = \frac{1}{t}$ ，且 $t < 0$ （ $a > 1$ ， $b < 1$ ）。例如 $a = 2$ ， $b = \frac{1}{4}$ ： $lo g_{a} b = - 2$ ， $lo g_{b} a = - \frac{1}{2}$ ， $- 2 < - \frac{1}{2}$ ，不等式不成立。

(E) 只有在

- 1 \leq t < 0

時成立：例如

a = 4

，

b = \frac{1}{2}

時

lo g_{a} b = - \frac{1}{2} \geq lo g_{b} a = - 2

；所以不是恆成立。

指數型變化看比值固定；比較大小時先統一底數，再看底數大於或小於 1 決定方向。

05填充 1：指數方程式、對數律與指數不等式

第 11 題

$\frac{1}{10} = 1 0^{- \frac{1}{2}}$ ，左邊 $= 1 0^{- \frac{1}{2} (3 x - 1)}$ 。指數相等：

$- \frac{3 x - 1}{2} = - 2 x + \frac{3}{2}$

兩邊乘 $2$ ： $- 3 x + 1 = - 4 x + 3$ ，得 $x = 2$ 。

驗算：

x = 2

時左邊

= 1 0^{- \frac{5}{2}}

，右邊

= 1 0^{- 4 + \frac{3}{2}} = 1 0^{- \frac{5}{2}}

。

第 12 題

lo g 50 = lo g 5 + lo g 10 = 1 + lo g 5

。原式

= (lo g 5)^{2} + lo g 2 (1 + lo g 5) = lo g 5 (lo g 5 + lo g 2) + lo g 2 = lo g 5 \cdot lo g 10 + lo g 2 = lo g 5 + lo g 2 = 1

。

第 13 題

lo g_{4} 9 = \frac{lo g _{2} 9}{lo g _{2} 4} = \frac{2 lo g _{2} 3}{2} = lo g_{2} 3

，第一個括號是

2 lo g_{2} 3

。

lo g_{9} \frac{1}{8} = \frac{lo g _{3} \frac{1}{8}}{lo g _{3} 9} = \frac{- 3 lo g _{3} 2}{2}

，第二個括號是

lo g_{3} 2 - \frac{3}{2} lo g_{3} 2 = - \frac{1}{2} lo g_{3} 2

。乘積

= 2 lo g_{2} 3 \cdot (- \frac{1}{2} lo g_{3} 2) = - lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 2 = - 1

。

第 14 題設

t = 3^{x} > 0

，

9^{x} = t^{2}

。不等式化成

t^{2} - 12 t + 27 < 0

，即

(t - 3) (t - 9) < 0

，

3 < t < 9

。也就是

3^{1} < 3^{x} < 3^{2}

，底數

3 > 1

，所以

1 < x < 2

。

指數方程式化成同底比指數；含 9^x 與 3^x 的式子用 t=3^x 化成二次式，最後記得 t>0。

06填充 2～5：換底、對數不等式、對數圖形上的面積與分點

第 15 題

lo g_{9} 2 = \frac{lo g _{2} 2}{lo g _{2} 9} = \frac{1}{2 lo g _{2} 3} = \frac{1}{2 a}

。和

\frac{1}{k a}

比較，

k = 2

。

第 16 題真數條件：

x^{2} + 2 x > 0

，

x (x + 2) > 0

，

x < - 2

或

x > 0

。底數

2 > 1

，不等式等價於

x^{2} + 2 x \leq 2^{3} = 8

，

x^{2} + 2 x - 8 \leq 0

，

(x + 4) (x - 2) \leq 0

，

- 4 \leq x \leq 2

。兩者取交集：

- 4 \leq x < - 2

或

0 < x \leq 2

。

x = - 2

與

x = 0

會讓真數為

0

，不可包含；

x = - 4

與

x = 2

時真數為

8

，

lo g_{2} 8 = 3

，可以包含。

第 17 題

$A (k, lo g k)$ 、 $B (k + 3, lo g (k + 3))$ 、 $C (k, 0)$ 、 $D (k + 3, 0)$ 。 $k > 1$ ，兩個對數都是正數，四邊形 $A C D B$ 是上底 $\overline{A C} = lo g k$ 、下底 $\overline{B D} = lo g (k + 3)$ 、高 $\overline{C D} = 3$ 的梯形：

$\frac{lo g k + lo g ( k + 3 )}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2}$

得 $lo g k (k + 3) = 1$ ， $k^{2} + 3 k = 10$ ， $(k + 5) (k - 2) = 0$ ，又 $k > 1$ ，所以 $k = 2$ 。

第 18 題

$A$ 、 $B$ 、 $C$ 共線且 $\overline{A C} : \overline{B C} = 8 : 3$ ， $C$ 可能在線段 $\overline{A B}$ 上（內分），也可能在 $\overline{A B}$ 的延長線上（外分）。

內分： $C = \frac{3 A + 8 B}{11} = (\frac{8 k}{11}, \frac{33}{11}) = (\frac{8 k}{11}, 3)$ 。代入 $y = lo g_{2} x$ ： $lo g_{2} \frac{8 k}{11} = 3$ ， $\frac{8 k}{11} = 8$ ， $k = 11$ 。

外分： $\overline{A C} > \overline{B C}$ ， $C$ 在 $B$ 的外側， $\overline{A B} : \overline{B C} = 5 : 3$ ， $C = A + \frac{8}{5} (B - A) = (\frac{8 k}{5}, - \frac{33}{5})$ 。代入得 $lo g_{2} \frac{8 k}{5} = - \frac{33}{5}$ ， $\frac{8 k}{5} = 2^{- \frac{33}{5}} < 1$ ， $k < \frac{5}{8}$ ，不合 $k > 1$ 。

所以 $k = 11$ 。

驗算：

k = 11

時

C (8, 3)

，

lo g_{2} 8 = 3

；

\overline{A C} = 64 + 64 = 82

，

\overline{B C} = 9 + 9 = 32

，比為

8 : 3

。

對數不等式先寫真數條件，再看底數決定方向；三點共線的比例要想內分與外分兩種。

07填充 6～9：雙重根號、以對數表示、斜率、對數方程式

第 19 題

4 + 23 = (3 + 1)^{2}

，

4 - 23 = (3 - 1)^{2}

，所以

4 + 23 - 4 - 23 = (3 + 1) - (3 - 1) = 2

。

lo g_{2} 2 = 2

（因為

(2)^{2} = 2

）。

第 20 題

都換成以 $2$ 為底： $lo g_{2} 7 = lo g_{2} 5 \cdot lo g_{5} 7 = ab$ 。

$lo g_{20} 14 = \frac{lo g _{2} 14}{lo g _{2} 20} = \frac{lo g _{2} 2 + lo g _{2} 7}{lo g _{2} 4 + lo g _{2} 5} = \frac{1 + ab}{2 + a}$

第 21 題

A (3, lo g_{2} 3)

，

B (12, lo g_{2} 12)

，

lo g_{2} 12 = lo g_{2} 4 + lo g_{2} 3 = 2 + lo g_{2} 3

。斜率

= \frac{( 2 + lo g _{2} 3 ) - lo g _{2} 3}{12 - 3} = \frac{2}{9}

。

第 22 題設

t = lo g_{2} x

，

0 < x < 1

所以

t < 0

。

lo g_{x} 8 = \frac{lo g _{2} 8}{lo g _{2} x} = \frac{3}{t}

。方程式化成

\frac{3}{t} - t = - 2

，兩邊乘

t

：

3 - t^{2} = - 2 t

，

t^{2} - 2 t - 3 = 0

，

(t - 3) (t + 1) = 0

，

t = 3

或

t = - 1

。取

t = - 1

，

x = 2^{- 1} = \frac{1}{2}

。

t = 3

對應

x = 8

，不在

0 < x < 1

內。驗算：

lo g_{\frac{1}{2}} 8 = - 3

，

lo g_{2} \frac{1}{2} = - 1

，

- 3 - (- 1) = - 2

。

不同底的對數先用換底公式統一成同一個底，再用對數律合併或代換。

08填充 10～11：對數不等式與機率、對數式的最大值

第 23 題

$lo g (a^{2}) + lo g b = lo g (a^{2} b) > 1 = lo g 10$ ，等價於 $a^{2} b > 10$ 。逐一數 $a$ ：

$a = 1$ ： $b > 10$ ， $0$ 種； $a = 2$ ： $4 b > 10$ ， $b \geq 3$ ， $4$ 種； $a = 3$ ： $9 b > 10$ ， $b \geq 2$ ， $5$ 種； $a = 4, 5, 6$ ： $a^{2} b \geq 16 > 10$ ，各 $6$ 種。

共 $0 + 4 + 5 + 18 = 27$ 種，機率 $= \frac{27}{36} = \frac{3}{4}$ 。

第 24 題

$lo g_{4} y = \frac{lo g _{2} y}{lo g _{2} 4} = \frac{1}{2} lo g_{2} y$ ，所以 $lo g_{2} x + lo g_{4} y = \frac{1}{2} (2 lo g_{2} x + lo g_{2} y) = \frac{1}{2} lo g_{2} (x^{2} y)$ 。底數 $2 > 1$ ，只要求 $x^{2} y$ 的最大值。

由 $x + 2 y = 6$ ， $y = \frac{6 - x}{2}$ ， $0 < x < 6$ ， $x^{2} y = \frac{x ^{2} ( 6 - x )}{2}$ 。而

$32 - x^{2} (6 - x) = x^{3} - 6 x^{2} + 32 = (x - 4)^{2} (x + 2) \geq 0$

所以 $x^{2} (6 - x) \leq 32$ ， $x^{2} y \leq 16$ ，等號在 $x = 4$ 、 $y = 1$ 時成立。最大值為 $\frac{1}{2} lo g_{2} 16 = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ 。

也可以用三個正數的算術平均數不小於幾何平均數：

\frac{\frac{x}{2} + \frac{x}{2} + 2 y}{3} = 2 \geq 3 \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} \cdot 2 y

，得

x^{2} y \leq 16

，等號在

\frac{x}{2} = 2 y

時成立。

兩個對數相加先合成一個對數，最大值問題就變成真數的最大值問題。

09素養題 1：牛頓冷卻定律推估死亡時間

第 25 題

答案 (D)。環境溫度 $H = 20$ 。

從 $6 : 30$ 到 $7 : 30$ 經過 $1$ 小時，以 $6 : 30$ 的 $30^{\circ} C$ 為初始溫度： $28 = 20 + (30 - 20) e^{- k}$ ，得 $e^{- k} = \frac{4}{5}$ 。

設死亡時間在 $6 : 30$ 之前 $t$ 小時，以死亡時的 $36^{\circ} C$ 為初始溫度： $30 = 20 + (36 - 20) e^{- k t}$ ，得 $e^{- k t} = \frac{5}{8}$ ，即 $(\frac{4}{5})^{t} = \frac{5}{8}$ 。

兩邊取常用對數： $t lo g \frac{4}{5} = lo g \frac{5}{8}$ 。 $lo g \frac{4}{5} = 2 lo g 2 - (1 - lo g 2) = 3 lo g 2 - 1 \approx - 0.0970$ ， $lo g \frac{5}{8} = (1 - lo g 2) - 3 lo g 2 = 1 - 4 lo g 2 \approx - 0.2040$ 。

$t \approx \frac{0.2040}{0.0970} \approx 2.10$

約 $2$ 小時 $6$ 分鐘，死亡時間約在早上 $4 : 24$ ，最接近 早上 4:30。

lo g 5 = 1 - lo g 2 \approx 0.6990

，

lo g 8 = 3 lo g 2 \approx 0.9030

。題目給的

lo g 3

這題用不到。

牛頓冷卻定律裡溫差按固定比例縮小：先用一段已知時間求出每小時的比例，再取對數求經過的時間。

10素養題 2：光圈值與入光量

第 26 題

F = \frac{F L}{D}

，

F L = 50

，

F = 2

：

2 = \frac{50}{D}

，

D = 25

（mm）。

第 27 題

焦距不變時 $D = \frac{F L}{F}$ ，光圈直徑與光圈值成反比。光圈是圓，面積 $= π (\frac{D}{2})^{2}$ ，入光量與面積成正比，也就與 $D^{2}$ 成正比、與 $F^{2}$ 成反比。

$\frac{n = 3 的入光量}{n = 8 的入光量} = (\frac{D _{3}}{D _{8}})^{2} = (\frac{F _{8}}{F _{3}})^{2} = (\frac{( 2 ) ^{8}}{( 2 ) ^{3}})^{2} = ((2)^{5})^{2} = 2^{5} = 32$

所以是 $32$ 倍。

光圈值每加一級（

n

增加

1

），

F

變成

2

倍，入光量變成

\frac{1}{2}

；從

n = 3

到

n = 8

差

5

級，入光量差

2^{5} = 32

倍。

入光量與直徑的平方成正比，光圈值與直徑成反比，所以入光量與光圈值的平方成反比。

這一章的單元冊

每個題型挑各校段考原題當例題（少數改寫會註明），由易到難；每一題都附圖或表，詳解寫到每一步。PDF 電子檔，可以先下載試閱。

《指數與對數函數》單元冊 09・高二上（數A）

同一次段考的其他學校

同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

正義高中 112 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 27 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

正義高中 112 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 9 題指數型成長要看相鄰兩項的比值是否固定，而且學校把比值小於 1 的也算進去；第 18 題三點共線的分點要考慮內分與外分；第 16 題對數不等式要先確認真數為正；第 24 題要把兩個不同底的對數合成一個，再求真數的最大值。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自正義高中 112 學年度上學期高二第二次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

正義高中 112 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

原卷 27 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01單選 1～3：對數函數的圖形

02單選 4～5：指數函數與對數函數的基本性質

03多選 1～2：指數函數圖形與其他圖形的交點

04多選 3～5：對數圖形的對稱、指數型變化、大小比較

05填充 1：指數方程式、對數律與指數不等式

06填充 2～5：換底、對數不等式、對數圖形上的面積與分點

07填充 6～9：雙重根號、以對數表示、斜率、對數方程式

08填充 10～11：對數不等式與機率、對數式的最大值

09素養題 1：牛頓冷卻定律推估死亡時間

10素養題 2：光圈值與入光量

這一章的單元冊

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

正義高中 112 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

正義高中 112 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

正義高中 112 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

正義高中 112 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

正義高中 112 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？