段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數及其圖形、對數與對數律、對數函數及其圖形、指數與對數的應用）

正義高中 112 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 27 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 27 題，照原卷順序

單一選擇題 5 題（每題 3 分，共 15 分）、多重選擇題 5 題（每題 5 分，學校答案卷印每答對一選項得 1 分，答錯不倒扣，共 25 分）、填充題 8 題共 14 格（共 50 分；學校答案卷印答對 1～14 格依序得 10、20、24、28、32、34、36、38、40、42、44、46、48、50 分）、素養題 3 小題（卷面與學校答案卷都印「10%」與「每小題 5 分」，兩者對不上，學校未說明各小題配分，本頁照卷面原字）。本頁第 1～5 題為原卷單選 1～5，第 6～10 題為多選 1～5，第 11～24 題為填充 1～8 的 14 格，第 25～27 題為素養題（一）與（二）的 (1)(2)。答案已與學校公布的答案逐題核對，27 題中 26 題相同；第 9 題（原卷多選 4）的 (B) 選項本站看法不同，答案照學校公布的寫，兩種看法見詳解。

第一部分：單一選擇題（每題 3 分，共 15 分）

附圖為函數

y = a + lo g_{b} x

之部分圖形，其中

a

，

b

皆為常數，則下列何者為真？

(A) $a < 0$ ， $b > 1$
(B) $a > 0$ ， $b > 1$
(C) $a > 0$ ， $0 < b < 1$
(D) $a < 0$ ， $0 < b < 1$

載入中...

設

x

為實數，方程式

x - 1 = lo g_{2} x

有幾個實根？

(A) $0$
(B) $1$
(C) $2$
(D) $3$

設

0 < a < 1

，指數函數

y = a^{x}

之圖形與對數函數

y = lo g_{a} x

之圖形對稱於下列哪一個？

(A) $x$ 軸
(B) $y$ 軸
(C) 直線 $y = - x$
(D) 直線 $y = x$

請問下列哪一個數的值最大？

(A) $0. 9^{- π}$
(B) $0. 9^{- 3}$
(C) $0. 9^{1.5}$
(D) $0. 9^{2}$

設

a > 1

，關於函數

f (x) = lo g_{a} x

，選出錯誤的選項：

(A) $α > 1 \Rightarrow f (α) < 0$
(B) $f (x) = lo g_{a} x$ 的圖形以 $y$ 軸為漸近線
(C) $f (x)$ 的圖形通過點 $(1, 0)$
(D) $f (x)$ 的圖形在 $y$ 軸的右方

第二部分：多重選擇題（每題 5 分，共 25 分）

觀察相關的函數圖形，判斷下列選項何者為真？

(A) $1 0^{x} = x$ 有實數解
(B) $1 0^{x} = x^{2}$ 有實數解
(C) $x$ 為實數時， $1 0^{x} > x$ 恆成立
(D) $x > 0$ 時， $1 0^{x} > x^{2}$ 恆成立
(E) $1 0^{x} = - x$ 有實數解

下列哪些函數的圖形與

x - y = 0

有交點？

(A) $y = 3^{x - 2}$
(B) $y = - 3^{x}$
(C) $y = 3^{- x}$
(D) $y = 3^{∣ x ∣}$
(E) $y = 3^{x} - 2$

請選出正確的選項？

(A) $lo g_{- 2} 1 = 0$
(B) $\frac{lo g 8}{lo g 2} = 4$
(C) $lo g_{4} \frac{2}{4} = - \frac{3}{4}$
(D) $lo g_{a} 5 = 2$ ，則 $a = \pm 5$
(E) $lo g_{0.2} \frac{5}{2} = lo g_{5} 0.4$

下列函數

f (x)

，哪些選項是「指數型成長」？

(A) $x f (x) 11233547$
(B) $x f (x) 18243241$
(C) $x f (x) 1 0.2 2 0.4 3 0.8 4 1.6$
(D) $x f (x) 1 0.2 2 0.04 3 0.008 4 0.016$
(E) $x f (x) 14210328482$

設

a > 1 > b > 0

，關於下列不等式，請選出正確的選項。

(A) $(- a)^{7} > (- a)^{9}$
(B) $b^{- 9} > b^{- 7}$
(C) $lo g_{10} \frac{1}{a} > lo g_{10} \frac{1}{b}$
(D) $lo g_{a} 1 > lo g_{b} 1$
(E) $lo g_{a} b \geq lo g_{b} a$

第三部分：填充題（50 分）

填充第 1 題（第 11～13 題）　試計算下列各小題的值：

(1)

(3)^{2 x - 3} = 2 7^{x + 1}

，得

x =

______。

(2)

(\frac{1}{10})^{3 x - 1} = 1 0^{- 2 x + \frac{3}{2}}

，得

x =

______。

(3)

3^{2 x} - 8 \cdot 3^{x} - 9 = 0

，得

x =

______。

填充第 2 題（第 14～16 題）　試解下列各不等式：（求各小題的

x

值範圍）

(1) 解不等式

(\frac{1}{4})^{x} > \frac{1}{256}

。

(2) 解不等式

(0.2)^{x^{2} - x} \leq (0.04)^{2 x + 3}

。

(3) 解不等式

9^{x} - 12 \cdot 3^{x} + 27 < 0

。

填充第 3 題（第 17～19 題）　試利用「對數定律」計算下列各式：

(1)

2 lo g_{10} 2 + lo g_{10} 15 - lo g_{10} 6 =

______。

(2)

(lo g 5)^{2} + lo g 2 \cdot lo g 50 =

______。

(3)

(lo g_{2} 3 + lo g_{4} 9) (lo g_{3} 2 + lo g_{9} \frac{1}{8}) =

______。

將

y = 3^{x}

的圖形，向左平移

1

單位，再向上平移

2

單位，得到

y = 3^{x - h} + k

的圖形，則數對

(h, k) =

______。

某商品的廣告效應的模型可用對數函數來表示：

N (x) = 1000 + 500 lo g_{2} (x + 1)

，其中

N (x)

為銷售數量（單位：個），

x

為廣告費用（單位：萬元），若希望銷售量達到

2000

個的時候，試問要花費______元的廣告費。

解不等式：

lo g_{2} (x - 1) < lo g_{4} (3 - x)

設

x

、

y

均為正數且滿足

x + y = 4

，則

lo g_{2} x + lo g_{2} y

的最大值為______。

設實數

x

滿足

0 < x < 1

，且

lo g_{x} 4 - lo g_{2} x = 1

，則

x =

______。（化成最簡分數）

第四部分：素養題 10%【務必將計算過程寫在答案卷，才予以計分，每小題 5 分】

某品牌鮮奶的保鮮時間

y

（小時）會隨著儲藏的溫度

x

（℃）而有所不同。當儲藏溫度為

x

℃時，可保鮮

y = f (x) = c \times a^{x}

小時，其中

c

，

a

（

a > 0

）是常數。附圖是

y = f (x)

的部分圖形。若夏季時室溫達

30

℃，此時鮮奶的保鮮時間是多少小時。

載入中...

素養題（二）（第 26～27 題）　放射物的質量變為原來的一半所需的時間，稱為該物質的半衰期。鐳（Radium）是一種放射性物質，最穩定的同位素為鐳-226，半衰期為

1600

年。假設剛開始鐳的質量為

10

公克，試求：

(1)

6400

年後的質量為幾公克？

(2) 衰變到剩下

8

公克時，需要幾年？（四捨五入至整數位）（已知

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(D)

第 2 題(C)

第 3 題(D)

第 4 題(A)

第 5 題(A)

第 6 題(B)(C)(D)(E)

第 7 題(A)(B)(C)(E)

第 8 題(C)(E)

第 9 題(B)(C)（學校答案；依課本用語 (B) 公比 1/2 屬指數型衰減，若只算成長則只有 (C)，見詳解）

第 10 題(A)(B)

第 11 題

- \frac{9}{4}

第 12 題

2

第 13 題

2

第 14 題

x < 4

第 15 題

x \leq - 1

或

x \geq 6

第 16 題

1 < x < 2

第 17 題

1

第 18 題

1

第 19 題

- 1

第 20 題

(- 1, 2)

第 21 題

30000

（學校答案寫

3

萬元，兩者相同）

第 22 題

1 < x < 2

第 23 題

2

第 24 題

\frac{1}{4}

第 25 題

5.25

小時

第 26 題

\frac{5}{8}

公克

第 27 題

516

年

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～5：指數與對數函數的圖形與性質

第 1 題答案 (D)。圖形由左往右下降，

y = lo g_{b} x

遞減，所以

0 < b < 1

。又

x = 1

時

lo g_{b} 1 = 0

，

y = a

；圖上曲線在

x = 1

之前就穿過

x

軸，

x = 1

時的點在

x

軸下方，所以

a < 0

。

y = a + lo g_{b} x

是把

y = lo g_{b} x

上下平移

a

；

y = lo g_{b} x

本來通過

(1, 0)

，現在

x = 1

的點在下方，表示往下平移。

第 2 題答案 (C)。在同一坐標平面畫

y = lo g_{2} x

與直線

y = x - 1

。

x = 1

時兩邊都是

0

，

x = 2

時兩邊都是

1

，所以

(1, 0)

、

(2, 1)

是交點。再看其他範圍：

0 < x < 1

時，例如

x = \frac{1}{2}

，

lo g_{2} \frac{1}{2} = - 1 < - \frac{1}{2}

；

x > 2

時，例如

x = 4

，

lo g_{2} 4 = 2 < 3

，

x = 8

，

lo g_{2} 8 = 3 < 7

，對數圖形愈來愈平，直線一直在上方。所以恰有

2

個實根。

1 < x < 2

時對數圖形在直線上方，例如

x = 2

時

lo g_{2} 2 = 0.5 > 2 - 1 \approx 0.414

。

第 3 題答案 (D)。

y = lo g_{a} x

就是

x = a^{y}

，把

y = a^{x}

的

x

、

y

對調。點

(p, q)

在

y = a^{x}

上時，

(q, p)

在

y = lo g_{a} x

上，兩點對稱於直線

y = x

。這與

a

大於或小於

1

無關。

第 4 題答案 (A)。底數

0.9 < 1

，

y = 0. 9^{x}

是遞減函數，指數愈小值愈大。四個指數

- π \approx - 3.14

、

- 3 \approx - 1.73

、

1.5

、

2

中

- π

最小，所以

0. 9^{- π}

最大。

0. 9^{- π} = (\frac{10}{9})^{π} > 1

，而

0. 9^{1.5}

、

0. 9^{2}

都小於

1

。

第 5 題

答案 (A)。

(A) 錯誤。 $a > 1$ 時 $y = lo g_{a} x$ 遞增， $α > 1$ 時 $f (α) = lo g_{a} α > lo g_{a} 1 = 0$ ，應是 $f (α) > 0$ 。

(B) 正確。 $x$ 從右邊愈接近 $0$ ， $lo g_{a} x$ 愈往下無限延伸，圖形愈來愈靠近 $y$ 軸但不相交， $y$ 軸是漸近線。

(D) 正確。 真數 $x > 0$ ，圖形全部在 $y$ 軸的右方。

選項 (A) 卷面用希臘字母

α

表示一個實數，與底數

a

是不同的數；即使讀成

a

，

f (a) = 1 > 0

，(A) 一樣錯誤。

對數函數先看底數決定遞增或遞減，再用「通過

(1, 0)

」「真數大於

0

」判斷位置。

02多選 1、2：用圖形判斷方程式有沒有實數解

第 6 題

答案 (B)(C)(D)(E)。

(A) 錯誤。 由 (C)， $1 0^{x} > x$ 對所有實數都成立，兩邊永遠不相等。

(B) 正確。 在 $x < 0$ 的範圍， $x$ 由 $0$ 往左， $1 0^{x}$ 由 $1$ 遞減趨近 $0$ ， $x^{2}$ 由 $0$ 遞增； $x = 0$ 時 $1 0^{0} = 1 > 0$ ， $x = - 1$ 時 $1 0^{- 1} = 0.1 < 1$ ，兩個圖形在 $- 1 < x < 0$ 之間相交，有實數解。

(C) 正確。 $x \leq 0$ 時 $1 0^{x} > 0 \geq x$ ； $0 < x \leq 1$ 時 $1 0^{x} > 1 \geq x$ ； $x > 1$ 時由 (D) 得 $1 0^{x} > x^{2} > x$ 。

(D) 正確。 $0 < x \leq 1$ 時 $1 0^{x} > 1 \geq x^{2}$ 。 $x$ 在 $k < x \leq k + 1$ （ $k$ 為正整數）時， $1 0^{x} > 1 0^{k}$ 而 $x^{2} \leq (k + 1)^{2}$ ；又 $1 0^{1} = 10 > 2^{2}$ ， $1 0^{2} = 100 > 3^{2}$ ，之後 $k$ 每加 $1$ ， $1 0^{k}$ 變成 $10$ 倍， $(k + 1)^{2}$ 變大不到 $3$ 倍，所以一直有 $1 0^{k} > (k + 1)^{2}$ ，因此 $1 0^{x} > x^{2}$ 。

(E) 正確。 在 $x < 0$ 的範圍， $1 0^{x}$ 介於 $0$ 與 $1$ 之間且遞增， $- x$ 為正且遞減； $x = - 1$ 時 $1 0^{- 1} = 0.1 < 1$ ， $x = 0$ 時 $1 > 0$ ，兩圖形在 $- 1 < x < 0$ 之間相交。

(D) 中

k \geq 1

時

\frac{( k + 2 ) ^{2}}{( k + 1 ) ^{2}} = (1 + \frac{1}{k + 1})^{2} \leq \frac{9}{4} < 10

，所以比較的差距只會愈拉愈大。

第 7 題

答案 (A)(B)(C)(E)。 $x - y = 0$ 就是直線 $y = x$ 。

(A) 正確。 $x = 3$ 時 $3^{3 - 2} = 3$ ，交點 $(3, 3)$ 。

(B) 正確。 $y = - 3^{x}$ 遞減， $y = x$ 遞增。 $x = - 1$ 時 $- 3^{- 1} = - \frac{1}{3} > - 1$ ， $x = 0$ 時 $- 1 < 0$ ，所以兩圖形在 $- 1 < x < 0$ 之間相交一次。

(D) 錯誤。 $3^{∣ x ∣} \geq 1$ 。 $x < 1$ 時 $3^{∣ x ∣} \geq 1 > x$ ； $k \leq x < k + 1$ （ $k$ 為正整數）時 $3^{∣ x ∣} = 3^{x} \geq 3^{k} \geq k + 1 > x$ （ $3^{1} = 3 \geq 2$ ，之後 $3^{k}$ 每次乘 $3$ ， $k + 1$ 每次只加 $1$ ）。圖形永遠在 $y = x$ 上方，沒有交點。

(E) 正確。 $x = 1$ 時 $3^{1} - 2 = 1$ ，交點 $(1, 1)$ 。

判斷「有沒有交點」，找到一個交點或兩端一上一下的位置就夠了；判斷「沒有交點」則要說明整條圖形都在同一側。

方程式

f (x) = g (x)

的實數解就是兩圖形的交點；用遞增、遞減與幾個代入值的大小就能判斷有沒有交點。

03多選 3～5：對數求值、指數型變化、不等式

第 8 題

答案 (C)(E)。

(A) 錯誤。 對數的底數必須大於 $0$ 且不等於 $1$ ， $lo g_{- 2} 1$ 沒有意義。

(B) 錯誤。 $\frac{lo g 8}{lo g 2} = lo g_{2} 8 = 3$ ，不是 $4$ 。

(C) 正確。 $\frac{2}{4} = 2^{\frac{1}{2} - 2} = 2^{- \frac{3}{2}} = 4^{- \frac{3}{4}}$ ，所以 $lo g_{4} \frac{2}{4} = - \frac{3}{4}$ 。

(D) 錯誤。 $a^{2} = 5$ ，但底數 $a > 0$ ，只有 $a = 5$ ，不能取 $- 5$ 。

(E) 正確。 $0.2 = 5^{- 1}$ ， $lo g_{0.2} \frac{5}{2} = \frac{lo g _{5} \frac{5}{2}}{lo g _{5} 5 ^{- 1}} = - lo g_{5} \frac{5}{2} = lo g_{5} \frac{2}{5} = lo g_{5} 0.4$ 。

第 9 題

學校公布的答案 (B)(C)。指數型變化的特徵是： $x$ 每增加 $1$ ， $f (x)$ 都乘上同一個倍數（相鄰兩項的比固定）。逐一計算相鄰兩項的比：

(A) 錯誤。 $1, 3, 5, 7$ 每次加 $2$ （差固定），比是 $3$ 、 $\frac{5}{3}$ 、 $\frac{7}{5}$ ，不固定，是線性變化。

(B) 學校判正確。 $8, 4, 2, 1$ 的比都是 $\frac{1}{2}$ ，是 $f (x) = 16 (\frac{1}{2})^{x}$ ，屬於指數型變化，學校依此判為正確。但函數值是遞減的，依課本用語公比 $\frac{1}{2}$ 屬於指數型衰減；若只算成長，照這個看法答案只有 (C)。

(D) 錯誤。 比是 $0.2$ 、 $0.2$ 、 $2$ ，最後一格不同，不是指數型。

(E) 錯誤。 比是 $\frac{10}{4} = 2.5$ 、 $\frac{28}{10} = 2.8$ 、 $\frac{82}{28} \approx 2.93$ ，不固定。（它的差 $6, 18, 54$ 是等比， $f (x) = 3^{x} + 1$ ，多了常數 $1$ 就不是固定比例。）

本頁答案照學校公布的 (B)(C)；學校把比值固定的變化都算成指數型。依課本用語 (B) 屬於指數型衰減，若只算成長，答案為 (C)。(D) 若最後一格是

0.0016

，比值會都是

0.2

；卷面印的是

0.016

，本頁照卷面。

第 10 題

答案 (A)(B)。

(A) 正確。 $(- a)^{7} = - a^{7}$ ， $(- a)^{9} = - a^{9}$ 。 $a > 1$ 時 $a^{9} > a^{7}$ ，加負號後 $- a^{7} > - a^{9}$ 。

(B) 正確。 $0 < b < 1$ ， $y = b^{x}$ 遞減； $- 9 < - 7$ ，所以 $b^{- 9} > b^{- 7}$ 。

(D) 錯誤。 $lo g_{a} 1 = lo g_{b} 1 = 0$ ，兩邊相等。

(E) 錯誤。 不一定成立。例如 $a = 2$ ， $b = \frac{1}{8}$ ： $lo g_{2} \frac{1}{8} = - 3$ ， $lo g_{\frac{1}{8}} 2 = - \frac{1}{3}$ ， $- 3 < - \frac{1}{3}$ 。

(E) 兩邊互為倒數：設

t = lo g_{a} b < 0

，則

lo g_{b} a = \frac{1}{t}

，

t \geq \frac{1}{t}

只在

- 1 \leq t < 0

時成立，例如

b = \frac{1}{a}

時兩邊都是

- 1

。

對數的底數要大於

0

且不等於

1

；判斷指數型看相鄰兩項的比是否固定；底數小於

1

的指數、對數比較大小時方向相反。

04填充 1、2：指數方程式與指數不等式

第 11 題化成以

3

為底：

(3)^{2 x - 3} = 3^{\frac{2 x - 3}{2}}

，

2 7^{x + 1} = 3^{3 x + 3}

。指數相等：

\frac{2 x - 3}{2} = 3 x + 3

，

2 x - 3 = 6 x + 6

，

x = - \frac{9}{4}

。

第 12 題

\frac{1}{10} = 1 0^{- \frac{1}{2}}

，左邊

= 1 0^{- \frac{3 x - 1}{2}}

。指數相等：

- \frac{3 x - 1}{2} = - 2 x + \frac{3}{2}

，兩邊乘

2

：

- 3 x + 1 = - 4 x + 3

，

x = 2

。

第 13 題令

t = 3^{x} > 0

，

3^{2 x} = t^{2}

，方程式變成

t^{2} - 8 t - 9 = 0

，

(t - 9) (t + 1) = 0

。

t = - 1

不合（

t > 0

），所以

3^{x} = 9 = 3^{2}

，

x = 2

。

第 14 題

\frac{1}{256} = (\frac{1}{4})^{4}

，不等式為

(\frac{1}{4})^{x} > (\frac{1}{4})^{4}

。底數

\frac{1}{4} < 1

，函數遞減，不等號反向：

x < 4

。

第 15 題

$0.04 = (0.2)^{2}$ ，右邊 $= (0.2)^{4 x + 6}$ 。底數 $0.2 < 1$ ，不等號反向：

$x^{2} - x \geq 4 x + 6$

即 $x^{2} - 5 x - 6 \geq 0$ ， $(x - 6) (x + 1) \geq 0$ ，得 $x \leq - 1$ 或 $x \geq 6$ 。

第 16 題令

t = 3^{x} > 0

，

9^{x} = t^{2}

：

t^{2} - 12 t + 27 < 0

，

(t - 3) (t - 9) < 0

，

3 < t < 9

。即

3^{1} < 3^{x} < 3^{2}

，底數

3 > 1

，得

1 < x < 2

。

指數方程式、不等式先化成同底；底數小於

1

時比較指數要把不等號反向；出現

a^{2 x}

與

a^{x}

就令

t = a^{x}

，並記得

t > 0

。

05填充 3：對數律與換底公式

第 17 題

2 lo g_{10} 2 + lo g_{10} 15 - lo g_{10} 6 = lo g_{10} \frac{2 ^{2} \times 15}{6} = lo g_{10} 10 = 1

。

第 18 題

lo g 50 = lo g 5 + lo g 10 = lo g 5 + 1

。原式

= (lo g 5)^{2} + lo g 2 \cdot lo g 5 + lo g 2 = lo g 5 (lo g 5 + lo g 2) + lo g 2 = lo g 5 + lo g 2 = lo g 10 = 1

。

關鍵是

lo g 2 + lo g 5 = lo g 10 = 1

。

第 19 題

lo g_{4} 9 = \frac{lo g _{2} 3 ^{2}}{lo g _{2} 4} = \frac{2 lo g _{2} 3}{2} = lo g_{2} 3

，第一個括號

= 2 lo g_{2} 3

。

lo g_{9} \frac{1}{8} = \frac{lo g _{3} 2 ^{- 3}}{lo g _{3} 9} = - \frac{3}{2} lo g_{3} 2

，第二個括號

= lo g_{3} 2 - \frac{3}{2} lo g_{3} 2 = - \frac{1}{2} lo g_{3} 2

。相乘：

2 lo g_{2} 3 \times (- \frac{1}{2} lo g_{3} 2) = - lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 2 = - 1

。

lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 2 = 1

（換底後分子分母相消）。

看到

lo g 2

與

lo g 5

同時出現，想到兩者相加等於

1

；不同底的對數先用換底公式化成同一個底。

06填充 4～6：圖形平移、對數模型、對數不等式

第 20 題向左平移

1

單位：

x

換成

x + 1

，得

y = 3^{x + 1}

；再向上平移

2

單位：

y = 3^{x + 1} + 2

。與

y = 3^{x - h} + k

比較，

- h = 1

，

k = 2

，所以

(h, k) = (- 1, 2)

。

向左平移是

x

換成

x + 1

，所以

h

是負的。

第 21 題

1000 + 500 lo g_{2} (x + 1) = 2000

，

lo g_{2} (x + 1) = 2

，

x + 1 = 4

，

x = 3

（萬元）。題目空格的單位是「元」，

3

萬元

= 30000

元。

學校答案寫「

3

（萬元）」，與

30000

元相同。

第 22 題

先看真數： $x - 1 > 0$ 且 $3 - x > 0$ ，所以 $1 < x < 3$ 。化成以 $4$ 為底： $lo g_{2} (x - 1) = lo g_{4} (x - 1)^{2}$ 。不等式變成 $lo g_{4} (x - 1)^{2} < lo g_{4} (3 - x)$ ，底數 $4 > 1$ ：

$(x - 1)^{2} < 3 - x$

即 $x^{2} - x - 2 < 0$ ， $(x - 2) (x + 1) < 0$ ， $- 1 < x < 2$ 。與 $1 < x < 3$ 取交集，得 $1 < x < 2$ 。

lo g_{2} (x - 1) = \frac{lo g _{4} ( x - 1 )}{lo g _{4} 2} = 2 lo g_{4} (x - 1)

，在

x - 1 > 0

時可以寫成

lo g_{4} (x - 1)^{2}

。

對數不等式第一步寫出真數大於

0

的範圍，最後一定要與它取交集。

07填充 7、8：算幾不等式與換底後解方程式

第 23 題

lo g_{2} x + lo g_{2} y = lo g_{2} (x y)

。由算幾不等式，

\frac{x + y}{2} \geq x y

，

x y \leq (\frac{4}{2})^{2} = 4

，等號在

x = y = 2

時成立。

lo g_{2}

遞增，所以最大值為

lo g_{2} 4 = 2

。

第 24 題令

t = lo g_{2} x

，

0 < x < 1

，所以

t < 0

。

lo g_{x} 4 = \frac{lo g _{2} 4}{lo g _{2} x} = \frac{2}{t}

。方程式為

\frac{2}{t} - t = 1

，兩邊乘

t

：

2 - t^{2} = t

，

t^{2} + t - 2 = 0

，

(t + 2) (t - 1) = 0

。

t = 1

不合，

t = - 2

，

x = 2^{- 2} = \frac{1}{4}

。

代回檢查：

lo g_{\frac{1}{4}} 4 = - 1

，

lo g_{2} \frac{1}{4} = - 2

，

- 1 - (- 2) = 1

。

對數的和先合成一個對數再找極值；底數含未知數時換成固定的底，令

t = lo g_{2} x

化成二次方程式，並由

x

的範圍決定

t

的正負。

08素養題（一）、（二）：保鮮時間與半衰期

第 25 題

圖形通過 $(0, 168)$ ： $c \times a^{0} = 168$ ， $c = 168$ 。圖形通過 $(18, 21)$ ： $168 a^{18} = 21$ ， $a^{18} = \frac{1}{8} = 2^{- 3}$ ，所以 $a^{6} = \frac{1}{2}$ （ $a > 0$ ）。

$f (30) = 168 a^{30} = 168 (a^{6})^{5} = 168 \times (\frac{1}{2})^{5} = \frac{168}{32} = \frac{21}{4} = 5.25$

室溫 $30$ ℃時，鮮奶可保鮮 $5.25$ 小時。

溫度每升高

6

℃，保鮮時間減半：

0

℃時

168

小時，

6

℃時

84

小時，

12

℃時

42

小時，

18

℃時

21

小時，與圖上的點相符。

第 26 題

經過 $t$ 年後的質量為 $10 (\frac{1}{2})^{\frac{t}{1600}}$ 公克。 $6400$ 年是 $\frac{6400}{1600} = 4$ 個半衰期：

$10 (\frac{1}{2})^{4} = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}$

所以 $6400$ 年後剩 $\frac{5}{8}$ 公克。

第 27 題

設需要 $n$ 年： $10 (\frac{1}{2})^{\frac{n}{1600}} = 8$ ，即 $(\frac{1}{2})^{\frac{n}{1600}} = \frac{8}{10}$ 。兩邊取常用對數：

$\frac{n}{1600} lo g \frac{1}{2} = lo g \frac{8}{10}$

$lo g \frac{1}{2} = - lo g 2 \approx - 0.3010$ ， $lo g \frac{8}{10} = 3 lo g 2 - 1 \approx - 0.0970$ 。

$n \approx 1600 \times \frac{0.0970}{0.3010} \approx 515.6$

四捨五入至整數位，約需 $516$ 年。

題目給的

lo g 3

這一問用不到。若不用題目給的近似值、改用更精確的對數值，得到約

515.1

；作答以題目給的

lo g 2 \approx 0.3010

計算。

指數模型先用圖上或題目給的兩個條件定出常數；求所需時間時兩邊取常用對數，把指數拿下來。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

正義高中 112 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 27 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

正義高中 112 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 9 題（多選 4）要逐格算相鄰兩項的比，比值固定才是指數型，第五個表格的差是等比但比值不固定。第 10 題（多選 5）的第五個選項兩邊互為倒數又都是負數，要舉例才看得出不一定成立。第 15 題（填充 2 第 2 小題）底數小於 1，比較指數時不等號要反向。第 22 題（填充 6）要先寫出真數的範圍再化成同底。第 27 題（素養題二第 2 小題）要取常用對數，並用題目給的近似值四捨五入。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自正義高中 112 學年度上學期高二第二次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

正義高中 112 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

原卷 27 題，照原卷順序

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01單選 1～5：指數與對數函數的圖形與性質

02多選 1、2：用圖形判斷方程式有沒有實數解

03多選 3～5：對數求值、指數型變化、不等式

04填充 1、2：指數方程式與指數不等式

05填充 3：對數律與換底公式

06填充 4～6：圖形平移、對數模型、對數不等式

07填充 7、8：算幾不等式與換底後解方程式

08素養題（一）、（二）：保鮮時間與半衰期

同一次段考的其他學校

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常見問題

正義高中 112 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

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正義高中 112 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

正義高中 112 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

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