段考詳解範圍：指數與對數函數（指數與指數函數、對數與對數律、對數函數、常用對數的應用）

明倫高中 112 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 明倫高中 112 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 21 題的答案，是非題 5 題附對錯一覽；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 明倫高中 112 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 5 題的最高位數字依卷首四位參考數據算是 8，以更精確的 log 2 計算其實是 9，學校答案採前者；是非第 1 題對數的底數不可為負；是非第 5 題 x 小於 1 時兩個對數都是負的，算幾不等式不能用；填充第 6 題右端要確認 2 的 35 次方仍小於 10 乘 9 的 10 次方；填充第 7 題要先寫真數條件 x 大於 3。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 21 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，練滿 15 題就能產生考前藍圖 PDF →

這一章有整理好的單元冊：《指數與對數函數》

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 21 題，照原卷順序

多重選擇題 5 題（每題 5 分，共 25 分）、是非題 5 題（每題 1 分，共 5 分）、填充題 9 題 12 格（每格 5 分，共 60 分）、混合題 1 題（共 10 分，(1) 5 分、(2) 3 分與 2 分），合計 100 分；本頁第 1～5 題為原卷多重選擇題 1～5，第 6～10 題為是非題 1～5，第 11～19 題為填充題 1～9，第 20、21 題為混合題第 1 題的 (1)(2)。答案已與學校公布的答案逐題核對，1 題有不同看法：第 5 題 (E) 依卷首參考數據判斷成立，以更精確的對數值計算則不成立，答案照學校公布的寫，詳解說明兩種算法。

一. 多重選擇題：共 25 分(每題 5 分)。※所有選項均答對得 5 分；答錯 1 個選項得 3 分；答錯 2 個選項得 1 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

試問下列選項中，哪些函數圖形的凹口是向下的？

(A) $y = 3^{x}$
(B) $y = - 3^{x}$
(C) $y = 3^{- x}$
(D) $y = lo g_{3} x$
(E) $y = lo g_{3} (- x)$

下列數值比

1

大的選項有哪些？

(A) $lo g_{3} π$
(B) $lo g_{4} π$
(C) $lo g_{0.3} 0.2$
(D) $lo g_{\frac{2}{3}} \frac{7}{9}$
(E) $lo g_{\frac{2}{3}} \frac{1}{3}$

下列敘述何者正確？

(A) 函數 $y = 1 0^{x}$ 與 $y = 1 0^{- x}$ 圖形對稱於 $y$ 軸
(B) 函數 $y = 1 0^{- x}$ 與 $y = - lo g x$ 圖形對稱於 $y = - x$
(C) 若 $a > 1$ ，無論 $a$ 值為何， $y = lo g_{a} x$ 圖形與水平直線 $y = 2023$ 一定有交點
(D) $\frac{1 0 ^{2022} + 1 0 ^{2024}}{2} > 1 0^{2023}$
(E) $\frac{lo g 2022 + lo g 2024}{2} > lo g 2023$ 。

選出下列正確的選項？

(A) $lo g (3 - π)^{2} = 2 lo g (3 - π)$
(B) $lo g_{5} 3 = lo g_{7} 3 \times lo g_{5} 7$
(C) $lo g_{2} 5^{4} = (lo g_{2} 5)^{4}$
(D) $\frac{lo g 3}{lo g 5} = \frac{lo g _{2} 3}{lo g _{2} 5}$
(E) $lo g_{\frac{1}{2}} 5 = lo g_{2} \frac{1}{5}$

若

a = 2^{2023} - 112 = b \times 1 0^{n}

，其中

1 < b < 10

，

n

是整數，經電腦計算得知

a

值是一個

m

位數的整數，則下列敘述何者正確？（卷首參考數據：

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

）

(A) $a$ 值的個位數字為 $6$
(B) $n = 608$
(C) $m = 608$
(D) $m = 609$
(E) $8 < b < 9$

二. 是非題：共 5 分(每題 1 分) ※對的請填「○」，錯的請填「×」。

若

lo g_{a} 11 = 2

，則

a = \pm 11

設

m > 1

且

n > 0

，則

lo g_{\frac{1}{m}} \frac{1}{n} = lo g_{m} n

設

lo g β = - 3.849

，則可知

β

在小數點後第

3

位開始才開始出現不為

0

之數字

已知

r = lo g_{3} 7

為無理數，則

s = lo g_{7} 3

與

lo g_{r} s

皆為無理數

設

x > 0

，

x \neq = 1

，則

lo g_{2} x + lo g_{x} 2 \geq 2

恆成立。

三. 填充題：共 60 分，每格 5 分。

試計算下列各式的值： (1)

(lo g_{7} 49) (lo g_{3} 81) (lo g_{5} 5) =

____ (2)

(lo g_{2} 48 - lo g_{8} 27) (lo g_{3} 54 + lo g_{\frac{1}{9}} 36) =

____ (3)

3^{l o g 4} \times 3^{l o g 25} \times lo g_{27} 256 \times lo g_{16} 243 =

____

設

α

為正實數，且

a^{l o g 3} = 10

，則

a^{(l o g 3)^{2}} =

____。（化簡至最簡根式）（本站補註：卷面此處印

α

，應即題中的

a

）

設常用對數函數

f (x) = lo g x

的圖形上有兩點

A (a, r)

，

B (b, s)

，已知直線

A B

的斜率為

\frac{1}{5}

，而

b - a = 10

，則

\frac{b}{a} =

____

試解下列方程式：

(0.4)^{x^{2} - x} \geq (0.16)^{2 x + 3}

，則

x =

____。

(1)

a = 4^{3}

，

b = 8^{2}

，

c = 1 6^{\frac{π}{2}}

，試比較

a

、

b

、

c

之大小，則

a

、

b

、

c

之大小關係為 ____。 (2)

p = (\frac{1}{5})^{\frac{1}{3}}

，

q = (\frac{1}{7})^{\frac{1}{4}}

，

r = (\frac{1}{8})^{\frac{1}{4}}

，試比較

p

、

q

、

r

之大小，則

p

、

q

、

r

之大小關係為 ____。

若滿足不等式

1 0^{9} < 2^{x} < 10 \times 9^{10}

的整數解

x

n

個，則

n =

____（卷首參考數據：

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

）

試解下列不等式：

lo g_{2} (x - 1) + lo g_{2} (x - 3) \leq 3

，則

x

之解為 ____。

假設光線通過一塊厚度

0.1

公分的透明板，它的強度就會減弱

10%

，現在把

n

塊透明板重疊在一起，使通過這

n

塊透明板的光線強度減弱

\frac{1}{2}

以上(含)，則疊加的透明板厚度最少為 ____ 公分（卷首參考數據：

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

）

將函數

f (x) = 10 (\frac{1}{1000})^{x}

的圖形向下平移

0.0001

，試求平移後的圖形與

x

軸的交點坐標為 ____。

四. 混合題：共 10 分 ※必須寫出計算過程或理由，否則將酌予扣分。

混合題第 1 題（第 20～21 題）　設

f (x) = 4^{x + 2} - 3 \times 2^{x + 5} + 168

，且

0 \leq x \leq 2

，

(1) 令

2^{x} = t

，請將

f (x)

表示成

A (t - h)^{2} + k

的形式。(5 分)

(2) 若在

x = α

時，

f (x)

有最小值為

m

，則

m =

____(3 分)，

α =

____(2 分)。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：○＝正確、×＝錯誤（照原卷作答規定）

6×

7○

8×

9×

10×

第 1 題(B)(D)(E)

第 2 題(A)(C)(E)

第 3 題(A)(C)(D)

第 4 題(B)(D)(E)

第 5 題(A)(B)(D)(E)（依卷首參考數據；精確計算 (E) 不成立）

第 11 題(1)

4

；(2)

8

；(3)

30

第 12 題

3

第 13 題

100

第 14 題

- 1 \leq x \leq 6

第 15 題(1)

c > b > a

；(2)

q > r > p

第 16 題

6

第 17 題

3 < x \leq 5

第 18 題

0.7

公分

第 19 題

(\frac{5}{3}, 0)

第 20 題

f (x) = 16 (t - 3)^{2} + 24

第 21 題

m = 24

，

α = lo g_{2} 3

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊

04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多重選擇第 1～3 題：凹口方向、和 1 比大小、圖形的對稱與交點

第 1 題

答案 (B)(D)(E)。

(A) 錯誤。 底數 $3 > 1$ 的指數函數圖形凹口向上。

(B) 正確。 $y = - 3^{x}$ 是 $y = 3^{x}$ 對 $x$ 軸作鏡射，凹口向上變成凹口向下。

(D) 正確。 底數 $3 > 1$ 的對數函數圖形凹口向下。

(E) 正確。 $y = lo g_{3} (- x)$ 是 $y = lo g_{3} x$ 對 $y$ 軸作鏡射，左右翻轉不改變凹口方向，仍然向下。

凹口方向可以用「兩點中點」檢查：對

y = lo g_{3} x

取

x = 1

、

9

，中點的函數值

lo g_{3} 5 \approx 1.46

大於兩端函數值的平均

\frac{0 + 2}{2} = 1

，圖形在弦的上方，凹口向下。

第 2 題

答案 (A)(C)(E)。

(A) 正確。 底數 $3 > 1$ ， $lo g_{3} x$ 遞增； $π > 3$ ，所以 $lo g_{3} π > lo g_{3} 3 = 1$ 。

(B) 錯誤。 $π < 4$ ，所以 $lo g_{4} π < lo g_{4} 4 = 1$ 。

(D) 錯誤。 底數 $\frac{2}{3}$ 時遞減； $\frac{2}{3} = \frac{6}{9} < \frac{7}{9}$ ，所以 $lo g_{\frac{2}{3}} \frac{7}{9} < lo g_{\frac{2}{3}} \frac{2}{3} = 1$ 。

(E) 正確。 $\frac{1}{3} < \frac{2}{3}$ ，遞減，所以 $lo g_{\frac{2}{3}} \frac{1}{3} > lo g_{\frac{2}{3}} \frac{2}{3} = 1$ 。

用參考數據驗算 (C)：

lo g_{0.3} 0.2 = \frac{lo g 2 - 1}{lo g 3 - 1} \approx \frac{- 0.6990}{- 0.5229} \approx 1.34

。

第 3 題

答案 (A)(C)(D)。

(A) 正確。 點 $(t, 1 0^{t})$ 在 $y = 1 0^{x}$ 上，則 $(- t, 1 0^{t})$ 在 $y = 1 0^{- x}$ 上，兩點對稱於 $y$ 軸。

(B) 錯誤。 $y = 1 0^{- x}$ 寫成 $x = - lo g y$ ，再把 $x$ 、 $y$ 互換得 $y = - lo g x$ ，所以兩者互為反函數，圖形對稱於 $y = x$ 。若對稱於 $y = - x$ ，點 $(0, 1)$ 會對應到 $(- 1, 0)$ ，但 $y = - lo g x$ 在 $x = - 1$ 沒有定義。

(D) 正確。 $1 0^{2022}$ 與 $1 0^{2024}$ 是相異正數，由算幾不等式 $\frac{1 0 ^{2022} + 1 0 ^{2024}}{2} > 1 0^{2022} \cdot 1 0^{2024} = 1 0^{2023}$ 。

(E) 錯誤。 $\frac{lo g 2022 + lo g 2024}{2} = lo g 2022 \times 2024$ ，而 $2022 \times 2024 = 202 3^{2} - 1 < 202 3^{2}$ ，所以左邊小於 $lo g 2023$ 。

(D)(E) 正好對應兩種凹口：

y = 1 0^{x}

凹口向上，兩端平均高於中點；

y = lo g x

凹口向下，兩端平均低於中點。

02多重選擇第 4～5 題：對數律的辨別、2 的 2023 次方

第 4 題

答案 (B)(D)(E)。

(A) 錯誤。 $3 - π < 0$ ，右邊 $lo g (3 - π)$ 沒有定義。正確的寫法是 $lo g (3 - π)^{2} = 2 lo g ∣3 - π ∣ = 2 lo g (π - 3)$ 。

(B) 正確。 換底： $lo g_{7} 3 \times lo g_{5} 7 = \frac{lo g 3}{lo g 7} \times \frac{lo g 7}{lo g 5} = \frac{lo g 3}{lo g 5} = lo g_{5} 3$ 。

(C) 錯誤。 $lo g_{2} 5^{4} = 4 lo g_{2} 5$ ； $lo g_{2} 5 > 2$ ，所以 $(lo g_{2} 5)^{4} > 2^{3} lo g_{2} 5 = 8 lo g_{2} 5 > 4 lo g_{2} 5$ ，兩邊不等。

(D) 正確。 兩邊都等於 $lo g_{5} 3$ （換底公式，底數換成 $10$ 或 $2$ 都可以）。

(E) 正確。 $lo g_{\frac{1}{2}} 5 = \frac{lo g 5}{lo g \frac{1}{2}} = - lo g_{2} 5$ ，而 $lo g_{2} \frac{1}{5} = - lo g_{2} 5$ ，兩邊相等。

第 5 題

學校答案為 (A)(B)(D)(E)；其中 (E) 依卷首參考數據成立，以更精確的 $lo g 2$ 計算則不成立，說明如下。

(A) 正確。 $2^{1}, 2^{2}, 2^{3}, 2^{4}$ 的個位數字依序為 $2, 4, 8, 6$ ，每 $4$ 次循環； $2023$ 除以 $4$ 餘 $3$ ，所以 $2^{2023}$ 的個位數字是 $8$ ，減去 $112$ 後個位數字為 $8 - 2 = 6$ 。

(B) 正確。 用參考數據， $lo g 2^{2023} = 2023 \times 0.3010 = 608.923$ 。 $2^{2023}$ 與 $a$ 只差 $112$ ， $lo g a$ 的首數仍是 $608$ ，所以 $a = b \times 1 0^{608}$ ， $n = 608$ 。

(E) 用參考數據： $lo g b \approx 0.923$ ，而 $lo g 8 = 3 \times 0.3010 = 0.9030$ 、 $lo g 9 = 2 \times 0.4771 = 0.9542$ ， $0.9030 < 0.923 < 0.9542$ ，得 $8 < b < 9$ ，學校據此判為正確。

但 $lo g 2$ 的值較精確是 $0.30103 \dots$ ，乘上 $2023$ 後誤差被放大： $2023 \times 0.30103 = 608.98 \dots$ ，此時 $lo g b \approx 0.98$ ，介於 $lo g 9 \approx 0.954$ 與 $1$ 之間，實際上 $9 < b < 10$ （ $b \approx 9.63$ ），(E) 不成立。

參考數據

lo g 2 \approx 0.3010

只有四位，誤差最多約

0.00005

，乘上

2023

後約

0.1

，足以改變

b

的整數部分；(B)(D) 的結論在兩種算法下都相同。題目說「經電腦計算得知」，以電腦精確計算

2^{2023}

的最高位數字是

9

。

03是非第 1～5 題：底數條件、換底、首數、無理數、算幾不等式

第 6 題×錯。由

lo g_{a} 11 = 2

得

a^{2} = 11

，但對數的底數必須

a > 0

且

a \neq = 1

，所以只有

a = 11

，不能取

- 11

。

第 7 題○對。換底：

lo g_{\frac{1}{m}} \frac{1}{n} = \frac{lo g \frac{1}{n}}{lo g \frac{1}{m}} = \frac{- lo g n}{- lo g m} = lo g_{m} n

；

lo g_{m} n = \frac{\frac{1}{2} lo g n}{\frac{1}{2} lo g m} = lo g_{m} n

。兩邊相等。

由

m > 1

知兩個底數

\frac{1}{m}

、

m

都是正數且不等於

1

；由

n > 0

知真數為正。

第 8 題×錯。

lo g β = - 3.849 = - 4 + 0.151

，所以

β = 1 0^{0.151} \times 1 0^{- 4}

，其中

1 < 1 0^{0.151} < 10

。

β

介於

1 0^{- 4}

與

1 0^{- 3}

之間，寫成小數是

0.000 \dots

，從小數點後第

4

位才開始出現不為

0

的數字。

1 0^{0.151} \approx 1.42

，

β \approx 0.000142

。

第 9 題×錯。

s = lo g_{7} 3 = \frac{1}{lo g _{3} 7} = \frac{1}{r}

；

r

是無理數，

\frac{1}{r}

也是無理數，所以

s

是無理數。但

lo g_{r} s = lo g_{r} \frac{1}{r} = - 1

是有理數，所以「皆為無理數」不成立。

r = lo g_{3} 7 > 1

，可以當對數的底數；

s > 0

可以當真數，

lo g_{r} s

有意義。

第 10 題×錯。令

t = lo g_{2} x

，則

lo g_{x} 2 = \frac{1}{t}

（

t \neq = 0

）。當

x > 1

時

t > 0

，由算幾不等式

t + \frac{1}{t} \geq 2

；但當

0 < x < 1

時

t < 0

，

t + \frac{1}{t} \leq - 2

。例如

x = \frac{1}{2}

：

lo g_{2} \frac{1}{2} + lo g_{\frac{1}{2}} 2 = - 1 + (- 1) = - 2 < 2

。所以不是恆成立。

04填充第 1～3 題：對數求值、指數的指數、圖形上兩點的斜率

第 11 題

(1) $lo g_{7} 49 = 2$ ， $lo g_{3} 81 = 4$ ， $lo g_{5} 5 = \frac{1}{2}$ ，乘積為 $2 \times 4 \times \frac{1}{2} = 4$ 。

(2) $lo g_{8} 27 = \frac{lo g 3 ^{3}}{lo g 2 ^{3}} = lo g_{2} 3$ ，所以 $lo g_{2} 48 - lo g_{8} 27 = lo g_{2} \frac{48}{3} = lo g_{2} 16 = 4$ 。

$lo g_{\frac{1}{9}} 36 = \frac{lo g 6 ^{2}}{lo g 3 ^{- 2}} = - lo g_{3} 6$ ，所以 $lo g_{3} 54 + lo g_{\frac{1}{9}} 36 = lo g_{3} \frac{54}{6} = lo g_{3} 9 = 2$ 。乘積為 $4 \times 2 = 8$ 。

(3) $3^{l o g 4} \times 3^{l o g 25} = 3^{l o g 4 + l o g 25} = 3^{l o g 100} = 3^{2} = 9$ 。

$lo g_{27} 256 \times lo g_{16} 243 = \frac{8 lo g 2}{3 lo g 3} \times \frac{5 lo g 3}{4 lo g 2} = \frac{40}{12} = \frac{10}{3}$ 。

所以原式 $= 9 \times \frac{10}{3} = 30$ 。

第 12 題

a^{(l o g 3)^{2}} = (a^{l o g 3})^{l o g 3} = 1 0^{l o g 3} = 3

。

最後一步用的是

1 0^{l o g x} = x

。卷面寫「設

α

為正實數」，題中其餘都用

a

，依題意就是同一個正數

a

。答案為整數

3

，不需根號。

第 13 題

$A$ 、 $B$ 在 $y = lo g x$ 上，所以 $r = lo g a$ 、 $s = lo g b$ 。斜率

$\frac{s - r}{b - a} = \frac{lo g b - lo g a}{10} = \frac{1}{5}$

得 $lo g b - lo g a = 2$ ，即 $lo g \frac{b}{a} = 2$ ，所以 $\frac{b}{a} = 100$ 。

可以再求出

a

、

b

確認存在：

b = 100 a

、

b - a = 99 a = 10

，

a = \frac{10}{99}

、

b = \frac{1000}{99}

，都是正數。

05填充第 4～6 題：指數不等式、比較大小、整數解個數

第 14 題

$0.16 = (0.4)^{2}$ ，不等式化為 $(0.4)^{x^{2} - x} \geq (0.4)^{4 x + 6}$ 。底數 $0.4$ 介於 $0$ 與 $1$ 之間， $y = (0.4)^{x}$ 遞減，比較指數時不等號反向：

$x^{2} - x \leq 4 x + 6$

$x^{2} - 5 x - 6 \leq 0$ ， $(x - 6) (x + 1) \leq 0$ ，所以 $- 1 \leq x \leq 6$ 。

第 15 題

(1) 化成以 $2$ 為底： $a = 2^{23}$ ， $b = 2^{32}$ ， $c = 2^{4 \cdot \frac{π}{2}} = 2^{2 π}$ 。比較指數： $(23)^{2} = 12$ ， $(32)^{2} = 18$ ，所以 $23 < 32$ ；又 $32 = 18 < 36 = 6 < 2 π$ 。底數 $2 > 1$ 遞增，所以 $c > b > a$ 。

(2) $q$ 、 $r$ 指數相同： $\frac{1}{7} > \frac{1}{8}$ ，所以 $q > r$ 。比較 $p$ 、 $r$ ：同取 $12$ 次方， $p^{12} = (\frac{1}{5})^{4} = \frac{1}{625}$ ， $r^{12} = (\frac{1}{8})^{3} = \frac{1}{512}$ ； $\frac{1}{512} > \frac{1}{625}$ ，而 $p$ 、 $r$ 都是正數，所以 $r > p$ 。得 $q > r > p$ 。

同理

q^{12} = \frac{1}{343}

，三數的

12

次方由大到小是

\frac{1}{343} > \frac{1}{512} > \frac{1}{625}

，與結果一致。

第 16 題

三邊取常用對數（ $lo g$ 遞增，不等號方向不變）：

$9 < x lo g 2 < 1 + 10 lo g 9 = 1 + 20 lo g 3$

用參考數據： $9 < 0.3010 x < 1 + 20 \times 0.4771 = 10.542$ ，所以 $\frac{9}{0.3010} < x < \frac{10.542}{0.3010}$ ，約為 $29.9 < x < 35.02$ 。整數解 $x = 30, 31, 32, 33, 34, 35$ ，共 $6$ 個， $n = 6$ 。

兩端用實際數值檢查：

2^{29} = 536870912 < 1 0^{9} < 2^{30} = 1073741824

；

2^{35} = 34359738368 < 10 \times 9^{10} = 34867844010 < 2^{36}

。

06填充第 7～9 題：對數不等式、光線衰減、平移後的交點

第 17 題

真數條件： $x - 1 > 0$ 且 $x - 3 > 0$ ，所以 $x > 3$ 。

在此條件下，原式化為 $lo g_{2} (x - 1) (x - 3) \leq 3 = lo g_{2} 8$ ，底數 $2 > 1$ ，得 $(x - 1) (x - 3) \leq 8$ ， $x^{2} - 4 x - 5 \leq 0$ ， $(x - 5) (x + 1) \leq 0$ ， $- 1 \leq x \leq 5$ 。

與 $x > 3$ 取交集，得 $3 < x \leq 5$ 。

第 18 題

每通過一塊，強度變為原來的 $0.9$ 倍；通過 $n$ 塊後是原來的 $(0.9)^{n}$ 倍。「減弱 $\frac{1}{2}$ 以上(含)」即 $(0.9)^{n} \leq \frac{1}{2}$ 。

取常用對數： $n lo g 0.9 \leq - lo g 2$ 。 $lo g 0.9 = lo g \frac{9}{10} = 2 lo g 3 - 1 \approx - 0.0458$ ，兩邊除以負數，不等號反向：

$n \geq \frac{lo g 2}{- lo g 0.9} \approx \frac{0.3010}{0.0458} \approx 6.57$

所以 $n$ 最少為 $7$ 塊，厚度最少為 $7 \times 0.1 = 0.7$ 公分。

檢查：

(0.9)^{6} = 0.531441 > \frac{1}{2}

，

(0.9)^{7} = 0.4782969 \leq \frac{1}{2}

。

第 19 題

向下平移 $0.0001$ 後的函數為 $y = 10 (\frac{1}{1000})^{x} - 0.0001$ 。令 $y = 0$ ：

$10 \cdot 1 0^{- 3 x} = 1 0^{- 4}$

即 $1 0^{1 - 3 x} = 1 0^{- 4}$ ， $1 - 3 x = - 4$ ， $x = \frac{5}{3}$ 。交點坐標為 $(\frac{5}{3}, 0)$ 。

07混合題第 1 題：以 2 的 x 次方代換求最小值

第 20 題

$4^{x + 2} = 16 \cdot (2^{x})^{2} = 16 t^{2}$ ， $3 \times 2^{x + 5} = 3 \times 32 \cdot 2^{x} = 96 t$ ，所以

$f (x) = 16 t^{2} - 96 t + 168 = 16 (t^{2} - 6 t + 9) - 144 + 168 = 16 (t - 3)^{2} + 24$

即 $A = 16$ 、 $h = 3$ 、 $k = 24$ 。

第 21 題

0 \leq x \leq 2

，

y = 2^{x}

遞增，所以

t = 2^{x}

的範圍是

1 \leq t \leq 4

。

f = 16 (t - 3)^{2} + 24

是開口向上的二次函數，頂點

t = 3

落在

1 \leq t \leq 4

內，所以

t = 3

時有最小值

m = 24

。此時

2^{α} = 3

，

α = lo g_{2} 3

（介於

0

與

2

之間，符合範圍）。

端點值：

t = 1

時

f = 16 \cdot 4 + 24 = 88

，

t = 4

時

f = 16 + 24 = 40

，都比

24

大。

看到

4^{x}

與

2^{x}

同時出現，就令

t = 2^{x}

化成二次函數；先由

x

的範圍求出

t

的範圍，再看頂點是否落在範圍內。

這一章的單元冊

每個題型挑各校段考原題當例題（少數改寫會註明），由易到難；每一題都附圖或表，詳解寫到每一步。PDF 電子檔，可以先下載試閱。

《指數與對數函數》單元冊 09・高二上（數A）

同一次段考的其他學校

同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

明倫高中 112 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？