南山高中 111 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (4)。一個向量由起點和終點決定。從 $5$ 點中選一點當起點、另一點當終點，有 $5\times 4=20$ 種有序的選法，每一種都是非零向量。

$\overrightarrow{PQ}$ 與 $\overrightarrow{QP}$ 方向相反，不相等，所以不能除以 $2$。題目要的是「不相等」的向量，一般情形下這 $20$ 個向量互不相等，共 $20$ 個。

答案 (1)（照學校公布的答案）。設 $t={\log }_{a}b$，由換底公式 ${\log }_{b}a=\frac{1}{t}$。代入條件：

$$t=\frac{25}{16}\cdot \frac{1}{t}\Rightarrow t^2=\frac{25}{16}$$

$a$、$b$ 都大於 $1$，$t>0$，所以 $t=\frac{5}{4}$，即 ${\log }_{a}b=\frac{5}{4}$，$b=a^{\frac{5}{4}}$，兩邊四次方得 $b^4=a^5$，選 (1)。

但要注意：$b=a^{\frac{5}{4}}$ 而 $a>1$，會得到 $b>a$，和題設的 $a>b>1$ 不合。事實上，$a>b>1$ 時 $0<{\log }_{a}b<1$，而 $t^2=\frac{25}{16}$ 的兩個解 $\pm \frac{5}{4}$ 都不在這個範圍，題設和等式不能同時成立。學校答案 (1) 是只用等式與 $a,b>1$ 算出的關係；若題設改成 $b>a>1$，(1) 就完全成立。

答案 (3)(4)。由圖：$y=a^x$ 的圖形遞減，所以 $0<a<1$；$y=b^x$、$y=c^x$ 都遞增，所以 $b>1$、$c>1$，且在 $x>0$ 的地方 $y=b^x$ 的圖形較高，所以 $b>c$。

(1) 指數函數的底數必須是正數（且不等於 $1$），$0<a<1$，錯誤。

(2) $x=0$ 時 $y=-a^0=-1$，圖形通過 $(0,-1)$，不是 $(0,1)$，錯誤。

(3) $b>c>1>a$，正確。

(4) 點 $(x,y)$ 在 $y=a^x$ 上，則 $(x,-y)$ 在 $y=-a^x$ 上，兩圖形對稱於 $x$ 軸，正確。

(5) 對稱於 $y=x$ 的圖形要把 $x$、$y$ 對調；$y=b^x$ 對 $y=x$ 的對稱圖形是 $y={\log }_{b}x$，不是 $y=-a^x$。另外 $y=b^x$ 通過 $(0,1)$，對稱點 $(1,0)$ 不在 $y=-a^x$ 上（$y=-a^x$ 的值恆為負），錯誤。

答案 (1)(4)(5)。

(1) 底數 $2>1$，$y=2^x$ 嚴格遞增，正確。

(2) $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ 的值恆大於 $0$，且 $x$ 越大越接近 $0$ 但取不到 $0$，所以沒有最小值，錯誤。

(3) 由算幾不等式 $3^x+3^{-x}\ge 2\sqrt{3^x\cdot 3^{-x}}=2$，而 $\sqrt{3}<2$，所以 $3^x+3^{-x}=\sqrt{3}$ 沒有實數解，錯誤。

(4) 兩邊同除以 $2^{3.1}$：左邊為 $1+2^{0.2}$，右邊為 $2^{1.1}=2\cdot 2^{0.1}$。設 $u=2^{0.1}$，$u>1$，

$$\left(1+u^2\right)-2u=(u-1{)}^2>0$$

所以左邊較大，$2^{3.1}+2^{3.3}>2^{4.2}$，正確。

(5) 右邊四項都不超過 $7^{100}$，所以右邊小於 $4\cdot 7^{100}$。又 ${\left(\frac{9}{7}\right)}^2=\frac{81}{49}>1.6$，${\left(\frac{9}{7}\right)}^6>1.6^3=4.096>4$，所以 $9^{100}>{\left(\frac{9}{7}\right)}^6\cdot 7^{100}>4\cdot 7^{100}$。左邊比 $9^{100}$ 還大，故左邊大於右邊，正確。

答案 (2)(5)。

(1) $\frac{1}{2}<1$，$\log \frac{1}{2}<0$，錯誤。

(2) 左邊大於 $\frac{3}{2}$，而 $\frac{3}{2}>\frac{1}{9}$，正確。

(3) $\frac{\log 3+\log 5}{2}=\frac{\log 15}{2}=\log \sqrt{15}$，兩邊相等，不是大於，錯誤。

(4) $\log \frac{1}{3}<0$、$\log \frac{1}{5}<0$，左邊是兩個負數的平均，為負數；右邊是正數的平方根，為正數。負數不會大於或等於正數，錯誤。

(5) 底數 $\sqrt{103}>1$，$y={\left(\sqrt{103}\right)}^x$ 遞增，$-5<-4$，所以 ${\left(\sqrt{103}\right)}^{-5}<{\left(\sqrt{103}\right)}^{-4}$，正確。

答案 (1)(2)。$\overrightarrow{OA}=(4,0)$、$\overrightarrow{OB}=(7,6)$，以它們為兩邊的平行四邊形面積為 $\left|4\cdot 6-0\cdot 7\right|=24$。

(1) $0<x<1$、$0<y<1$：$P$ 形成以 $\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$ 為兩邊的平行四邊形內部，面積 $24$，正確。

(2) $-1<x<1$、$0<y<\frac{1}{2}$：$P$ 形成以 $2\overrightarrow{OA}$、$\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}$ 為兩邊的平行四邊形內部（從 $-\overrightarrow{OA}$ 的位置開始），面積 $2\times \frac{1}{2}\times 24=24$，正確。

(3) $x=1$、$y=1$：只有一點 $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，面積 $0$，錯誤。

(4) $0<x<1$、$y=1$：$P$ 形成一條線段，面積 $0$，錯誤。

(5) $x=1$、$0<y<1$：也是一條線段，面積 $0$，錯誤。

答案 $\sqrt{34}$。$\vec{a}-2\vec{b}=(-3-2,-1-2)=(-5,-3)$，

$$\left|\vec{a}-2\vec{b}\right|=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}$$

答案 $3$。$t(3,2)+s(1,3)=(7,7)$，得聯立方程式

$$3t+s=7,2t+3s=7$$

第一式乘 $3$ 減第二式：$7t=14$，$t=2$，代回得 $s=1$。$t+s=3$。

答案 $(-4,-1)$。$\overrightarrow{AB}=(8-2,2-(-1))=(6,3)$，而 $\overrightarrow{AD}=(2,1)=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$，$D$ 在 $\overline{AB}$ 上，$\overline{AD}:\overline{AB}=1:3$。

$\overline{DE}$ 平行 $\overline{BC}$，$△ADE$ 與 $△ABC$ 相似，相似比 $1:3$，所以 $\overrightarrow{DE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$。

$\overrightarrow{BC}=(-4-8,-1-2)=(-12,-3)$，$\overrightarrow{DE}=(-4,-1)$。

答案 $7$。$\overline{AP}:\overline{BP}=3:1$ 且 $P$ 不在 $\overline{AB}$ 上，$P$ 是外分點，而 $\overline{AP}>\overline{BP}$，所以 $P$ 在 $B$ 的外側，$B$ 是 $\overline{AP}$ 上的點，$\overline{AB}:\overline{BP}=2:1$。

由分點公式 $B=\frac{1\cdot A+2\cdot P}{3}$，得 $P=\frac{3B-A}{2}$：

$$P=\left(\frac{3-(-3)}{2},\frac{15-7}{2}\right)=(3,4)$$

$a+b=3+4=7$。

答案 $\frac{8}{3}$。設現在 $A$、$B$ 的質量分別為 $m_A$、$m_B$，$m_A=\frac{4}{3}{m}_B$。

半衰期 $10$ 天，經過 $60$ 天是 $6$ 個半衰期，質量變成原來的 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^6$，所以 $60$ 天前 $A$ 的質量是 $2^6{m}_A$。

半衰期 $12$ 天，經過 $60$ 天是 $5$ 個半衰期，$60$ 天前 $B$ 的質量是 $2^5{m}_B$。

$$\frac{a}{b}=\frac{2^6{m}_A}{2^5{m}_B}=2\cdot \frac{4}{3}=\frac{8}{3}$$

答案 $39$（學校答案印 $60$）。

$\log 2^{100}=100\times 0.301=30.1$，$2^{100}=10^{30.1}\approx 1.26\times 10^{30}$。

$\log 3^{60}=60\times 0.4771=28.626$，$3^{60}=10^{28.626}\approx 4.2\times 10^{28}=0.042\times 10^{30}$。

兩數相加約 $1.30\times 10^{30}$，所以是 $31$ 位數，$a=31$，最高位數字 $b=1$。

個位數字：$2$ 的次方個位依 $2,4,8,6$ 循環，$100$ 是 $4$ 的倍數，$2^{100}$ 個位是 $6$；$3$ 的次方個位依 $3,9,7,1$ 循環，$60$ 是 $4$ 的倍數，$3^{60}$ 個位是 $1$。相加個位 $c=7$。

$a+b+c=31+1+7=39$。

學校答案印 $60$：若題目是 $2^{100}+3^{100}$，$\log 3^{100}=47.71$，$3^{100}\approx 5.1\times 10^{47}$ 遠大於 $2^{100}$，和為 $48$ 位數、最高位 $5$、個位 $6+1=7$，$48+5+7=60$。學校答案與這個情形相符，與卷面印的 $3^{60}$ 不合。

答案 $\frac{1}{4}$。先化簡雙重根號：

$$\sqrt{2+\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{4+2\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}},\sqrt{2-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}$$

相減得 $\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}$。

$${\log }_4\sqrt{2}={\log }_{2^2}{2}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$$

答案 $\frac{1}{100}$。由換底公式 $\frac{{\log }_{2}100}{{\log }_{2}x}={\log }_{x}100=\frac{\log 100}{\log x}=\frac{2}{\log x}$。

設 $t=\log x$，$0<x<1$，所以 $t<0$。方程式變成

$$\frac{2}{t}-t=1\Rightarrow 2-t^2=t\Rightarrow t^2+t-2=0$$

$(t+2)(t-1)=0$，$t=-2$ 或 $t=1$；$t<0$，取 $t=-2$，$x=10^{-2}=\frac{1}{100}$。

答案 (2)。每一期的利率是 $100\%\times \frac{1}{x}=\frac{1}{x}$，每期本利和變成前一期的 $\left(1+\frac{1}{x}\right)$ 倍；一年有 $x$ 期，所以一年後本利和為

$$10000{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x$$

答案 $A<B$。

步驟一：由上一題，$A=10000{\left(1+\frac{1}{200}\right)}^{200}=10^4{\left(\frac{201}{200}\right)}^{200}$，取常用對數

$$\log A=4+200\log \frac{201}{200}$$

所以 $a=\frac{201}{200}$。

步驟二：同理 $B=10^4{\left(\frac{301}{300}\right)}^{300}$，$\log B=4+300\log \frac{301}{300}$，所以 $b=\frac{301}{300}$。

步驟三：

$$c=\log A-\log B=200\log \frac{201}{200}-300\log \frac{301}{300}=100\left[\log {\left(\frac{201}{200}\right)}^2-\log {\left(\frac{301}{300}\right)}^3\right]$$

$$=100\log \frac{201^2\times 300^3}{200^2\times 301^3}=100\log \frac{40401\times 27000000}{40000\times 27270901}$$

分子 $40401\times 27000000=1090827000000$，分母 $40000\times 27270901=1090836040000$，分子小於分母，真數小於 $1$，所以 $c<0$。

$\log A<\log B$，常用對數是遞增函數，所以 $A<B$。