段考詳解範圍：U3～U5（對數、對數函數與指數對數的應用）

南山高中 111 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 3 題（每題 5 分）、多重選擇題 1 題（5 分；錯一個選項得 3 分、錯二個選項得 1 分）、選填題 15 題（第 5～19 題，每題 5 分）、第四大題 1 題（第 20 題，須寫出過程，原卷未印配分）。卷面注意事項：請以最簡分數作答，否則不予計分。答案已與學校公布的答案逐題核對。

單選題：每題只有一個正確選項，答對得5分。

試問以下各數何者為真？

(1) $2^{l o g_{2} (- 4)} = - 4$
(2) $lo g_{3} 8^{\frac{1}{2}} = lo g_{3} 8$
(3) $2 lo g 5 + lo g 2 = 2$
(4) $lo g_{2} 3 = lo g_{2} 3$
(5) $lo g_{2} 5 \times lo g_{25} 8 = lo g_{5} 4$

一份試卷共有

10

題單選題，每題有

5

個選項，其中只有一個選項是正確答案。假設小明以隨機猜答的方式回答此試卷，且各題猜答方式互不影響。試估計小明全部答對的機率最接近下列哪一選項？（

lo g 2 \approx 0.3010

）

(1) $1 0^{- 5}$
(2) $1 0^{- 6}$
(3) $1 0^{- 7}$
(4) $1 0^{- 8}$
(5) $1 0^{- 9}$

試問有多少個整數

x

滿足

1 0^{9} < 2^{x} < 9^{10}

？（

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

）

(1) $1$ 個
(2) $2$ 個
(3) $3$ 個
(4) $4$ 個
(5) $0$ 個

二、多重選擇題：每題有5個選項，其中至少有一個選項是正確的，全對得5分、錯一個選項得3分、錯二個選項得1分、其餘得0分。

坐標平面上，

Γ_{1}

為

y = lo g_{2} x

的圖形，

Γ_{2}

為

y = lo g_{\frac{1}{2}} x

的圖形。下列關於

Γ_{1}

與

Γ_{2}

的敘述，試選出正確的選項。

(1) $Γ_{1}$ 的圖形凹口向下
(2) $Γ_{2}$ 的圖形凹口向下
(3) $Γ_{1}$ 的圖形均在 $x$ 軸的上方
(4) $Γ_{2}$ 的圖形均在 $y$ 軸的右方
(5) $Γ_{1}$ 與 $Γ_{2}$ 恰交於一點

選填題：5至19，共15題，每題5分

10 0^{l o g 9} =

？

lo g \frac{50}{7} - lo g \frac{7}{30} + lo g \frac{49}{15} =

？

若

x = lo g_{3} 4

，則

2 7^{x} + 3^{- x} =

？

試求方程式

lo g x^{2} + lo g x - 6 = 0

的解。

假設

0 < x < 1

，試求方程式

(lo g 10 x) (lo g x) = 6

的解。

不等式

lo g_{3} (x + 8) > 2 + lo g_{3} x

的解為？

已知函數

y = lo g_{a} x

通過點

(3, 2)

，則

a =

？

設

a > 1

，函數

f (x) = a^{x}

與

g (x) = lo g_{a} x

。在坐標平面上，水平線

y = 1

分別與這兩個函數的圖形交於

A

、

B

兩點；水平線

y = 3

分別與這兩個函數的圖形交於

C

、

D

兩點。若

\overline{A B} = 3

，則

\overline{C D} =

？

如圖，過原點

O

的直線

L

與

y = lo g x

的圖形交於

A

，

B

兩點，若

\overline{O A} : \overline{A B} = 1 : 2

，則

A

點的

x

坐標為？

載入中...

在金融應用上，有所謂的

70

法則，若每期利率為

x

％，且以複利計算，則本利和達到原來本金的兩倍所需時間大約要

\frac{70}{x}

期。假設年利率為

2.5

％，以半年為一期，每期複利一次，若按照

70

法則，則至少需多少期其本利和才會達到本金的

2

倍。

研究鮭魚迴游現象的科學家發現，鮭魚的游速

v

（公尺／秒）與其耗氧量單位數

x

有以下的關係：

v = \frac{lo g \frac{x}{100}}{2 lo g 3}

，試求當鮭魚的耗氧量是

2700

個單位時，此時牠的游速是多少公尺／秒？

一般病患服用某種藥品，服藥

x

小時候，殘留在胃裡的藥量有

f (x) = c \times a^{x}

（毫克），其關係圖如圖。試問數對

(a, c) =

？

載入中...

同上，試問：該藥服用

\frac{3}{2}

小時後，殘留在體內的藥量有多少毫克？

生物學家透過觀察 DNA 甲基化的速度，得到拉布拉多犬的年齡

x

（歲）所對應的人類年齡

y

（歲）會滿足

y = 37 lo g x + 31

，其中

x

必須大於或等於

1

。根據上述法則，請問：

12

歲的拉布拉多犬相當於人類多少歲？（四捨五入至整數位）（已知

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

）

天文學以「星等」區分星星的亮度，先選擇某一特定的星光強度

F_{0}

為標準，對於發出強度為

F

的星體，定義其「星等」為

m = - 2.5 \cdot lo g \frac{F}{F _{0}}

，並稱該星體為「

m

等星」。已知天狼星為

- 1.4

等星，北極星為

2

等星，則天狼星的星光強度大約是北極星的幾倍？（己知

lo g 1.3 \approx 0.1139

，

lo g 2.3 \approx 0.3617

，

lo g 3.3 \approx 0.5185

）

四、手寫題------請寫於答案卡後面，無過程，不給分。

某銀行定期存款的年利率為

5

％，每一年為一期，複利計息。某人存進

10, 000

元後，在經過

10

年之後，某人可以領回的金額為【　　　　】元。（已知

lo g 1.05 \approx 0.0212

，

lo g 1.63 \approx 0.2120

）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(4)

第 2 題(3)

第 3 題(2)

第 4 題(1)(4)(5)

第 5 題

81

第 6 題

2

第 7 題

\frac{257}{4}

第 8 題

100

第 9 題

\frac{1}{1000}

第 10 題

0 < x < 1

第 11 題

3

第 12 題

26

第 13 題

3

第 14 題

56

第 15 題

\frac{3}{2}

第 16 題

(\frac{16}{25}, 500)

第 17 題

256

第 18 題

71

第 19 題

23

第 20 題

16300

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題 1～3

第 1 題

答案 (4)。逐項檢查：

(1) 對數的真數必須是正數， $lo g_{2} (- 4)$ 沒有意義，等式不成立。

(2) 左邊 $lo g_{3} 8^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} lo g_{3} 8$ 。令 $t = lo g_{3} 8$ ，因為 $3 < 8 < 9$ ，所以 $1 < t < 2$ 。若 $\frac{1}{2} t = t$ ，兩邊平方得 $\frac{1}{4} t^{2} = t$ ，只有 $t = 0$ 或 $t = 4$ ，都不在 $1$ 到 $2$ 之間，等式不成立。

(3) $2 lo g 5 + lo g 2 = lo g 25 + lo g 2 = lo g 50$ ，而 $2 = lo g 100$ ，不相等。

(4) $lo g_{2} 3 = \frac{lo g 3}{lo g 2} = \frac{\frac{1}{2} lo g 3}{\frac{1}{2} lo g 2} = \frac{lo g 3}{lo g 2} = lo g_{2} 3$ ，成立。

(5) 換底： $lo g_{2} 5 \times lo g_{25} 8 = \frac{lo g 5}{lo g 2} \times \frac{3 lo g 2}{2 lo g 5} = \frac{3}{2}$ ；而 $4 < 5$ ， $lo g_{5} 4 < 1$ ，不相等。

只有 (4) 為真。

(4) 也可以直接用

lo g_{a^{k}} b^{k} = lo g_{a} b

：底數與真數同時開平方，值不變。(2) 是把「指數拿到前面」誤當成「開根號拿到外面」。

第 2 題

答案 (3)。每題猜對的機率是 $\frac{1}{5}$ ，各題互不影響，全部答對的機率是 $(\frac{1}{5})^{10}$ 。取常用對數：

$lo g (\frac{1}{5})^{10} = - 10 lo g 5 = - 10 (1 - lo g 2) \approx - 10 \times 0.6990 = - 6.990$

所以機率約為 $1 0^{- 6.990} = 1 0^{0.010} \times 1 0^{- 7}$ ，而 $1 0^{0.010}$ 只比 $1$ 大一點點（約 $1.02$ ），最接近 $1 0^{- 7}$ 。

lo g 5 = lo g \frac{10}{2} = 1 - lo g 2

。指數

- 6.99

和

- 7

只差

0.01

，和

- 6

差

0.99

，所以選

1 0^{- 7}

而不是

1 0^{- 6}

。

第 3 題

答案 (2)。三邊都是正數，取常用對數不改變大小順序：

$9 < x lo g 2 < 10 lo g 9 = 20 lo g 3$

代入近似值： $9 < 0.3010 x < 9.542$ ，所以

$\frac{9}{0.3010} < x < \frac{9.542}{0.3010}$

即 $29.9 \dots < x < 31.7 \dots$ 。整數 $x$ 只有 $30$ 、 $31$ ，共 $2$ 個。

驗證：

2^{30} \approx 1.07 \times 1 0^{9}

剛好超過

1 0^{9}

；

2^{31} \approx 2.15 \times 1 0^{9}

，

2^{32} \approx 4.29 \times 1 0^{9}

，而

9^{10} \approx 3.49 \times 1 0^{9}

，所以

x = 32

已經超過。

比較很大或很小的數，先取常用對數變成加減乘除；對數的真數一定要是正數。

02多重選擇題 4

第 4 題

答案 (1)(4)(5)。因為 $lo g_{\frac{1}{2}} x = \frac{lo g x}{lo g \frac{1}{2}} = - lo g_{2} x$ ， $Γ_{2}$ 就是 $Γ_{1}$ 對 $x$ 軸的鏡射。兩者的定義域都是 $x > 0$ ，都通過 $(1, 0)$ 。

(1) 正確。 底數 $2 > 1$ ， $y = lo g_{2} x$ 隨 $x$ 增加而上升，但越來越平緩，圖形凹口向下。

(2) 錯誤。 $Γ_{2}$ 是 $Γ_{1}$ 上下翻過來，凹口向上。

(3) 錯誤。 當 $0 < x < 1$ 時 $lo g_{2} x < 0$ ，例如 $(\frac{1}{2}, - 1)$ 在 $Γ_{1}$ 上，位於 $x$ 軸下方。

(4) 正確。 真數必須為正， $Γ_{2}$ 上每一點都有 $x > 0$ ，都在 $y$ 軸右方。

(5) 正確。 交點滿足 $lo g_{2} x = - lo g_{2} x$ ，即 $lo g_{2} x = 0$ ， $x = 1$ ，只有一個交點 $(1, 0)$ 。

y = lo g_{\frac{1}{a}} x

與

y = lo g_{a} x

的圖形對

x

軸對稱，兩者只交於

(1, 0)

。

03選填題 5～10

第 5 題答案

81

。

10 0^{l o g 9} = (1 0^{2})^{l o g 9} = (1 0^{l o g 9})^{2} = 9^{2} = 81

。

關鍵是

1 0^{l o g a} = a

。

第 6 題

答案 $2$ 。用對數律合併：

$lo g \frac{50}{7} - lo g \frac{7}{30} + lo g \frac{49}{15} = lo g (\frac{50}{7} \times \frac{30}{7} \times \frac{49}{15}) = lo g \frac{50 \times 30 \times 49}{7 \times 7 \times 15}$

分子 $50 \times 30 \times 49 = 73500$ ，分母 $735$ ，相除得 $100$ ，所以原式 $= lo g 100 = 2$ 。

第 7 題

答案 $\frac{257}{4}$ 。由 $x = lo g_{3} 4$ 得 $3^{x} = 4$ 。

$2 7^{x} = (3^{3})^{x} = (3^{x})^{3} = 64$ ， $3^{- x} = \frac{1}{3 ^{x}} = \frac{1}{4}$ 。

所以 $2 7^{x} + 3^{- x} = 64 + \frac{1}{4} = \frac{257}{4}$ 。

第 8 題

答案 $x = 100$ 。要 $lo g x$ 有意義， $x > 0$ 。此時 $lo g x^{2} = 2 lo g x$ ，方程式變成

$2 lo g x + lo g x - 6 = 0$

即 $3 lo g x = 6$ ， $lo g x = 2$ ， $x = 100$ ，符合 $x > 0$ 。

這裡的

lo g x^{2}

是

x^{2}

取對數，不是

(lo g x)^{2}

。若是後者，方程式會變成

(lo g x)^{2} + lo g x - 6 = 0

，得

x = 100

或

\frac{1}{1000}

兩個解。

第 9 題

答案 $x = \frac{1}{1000}$ 。 $lo g 10 x = lo g 10 + lo g x = 1 + lo g x$ 。令 $t = lo g x$ ，方程式變成

$(1 + t) t = 6$

即 $t^{2} + t - 6 = 0$ ， $(t + 3) (t - 2) = 0$ ， $t = - 3$ 或 $t = 2$ 。因為 $0 < x < 1$ ， $lo g x < 0$ ，只取 $t = - 3$ ，所以 $x = 1 0^{- 3} = \frac{1}{1000}$ 。

第 10 題

答案 $0 < x < 1$ 。先看定義域： $x + 8 > 0$ 且 $x > 0$ ，合起來是 $x > 0$ 。

右邊 $2 + lo g_{3} x = lo g_{3} 9 + lo g_{3} x = lo g_{3} 9 x$ ，不等式變成 $lo g_{3} (x + 8) > lo g_{3} 9 x$ 。底數 $3 > 1$ ，對數函數遞增，所以

$x + 8 > 9 x$

得 $x < 1$ 。再和定義域 $x > 0$ 取交集，解為 $0 < x < 1$ 。

常見錯誤：只解出

x < 1

，忘了真數

x

要大於

0

。

對數方程式與不等式：先寫定義域，再用對數律把兩邊化成同底的單一對數，或令

t = lo g x

變成二次式。

04選填題 11～13

第 11 題答案

a = 3

。把

(3, 2)

代入：

2 = lo g_{a} 3

，即

a^{2} = 3

。底數

a > 0

且

a \neq = 1

，所以

a = 3

。

第 12 題

答案 $26$ 。

水平線 $y = 1$ ： $a^{x} = 1$ 得 $x = 0$ ， $A (0, 1)$ ； $lo g_{a} x = 1$ 得 $x = a$ ， $B (a, 1)$ 。所以 $\overline{A B} = a = 3$ 。

水平線 $y = 3$ ： $3^{x} = 3$ 得 $x = 1$ ， $C (1, 3)$ ； $lo g_{3} x = 3$ 得 $x = 27$ ， $D (27, 3)$ 。

所以 $\overline{C D} = 27 - 1 = 26$ 。

f

與

g

互為反函數，圖形對直線

y = x

對稱；但

A

、

B

在同一條水平線上，不是對稱點，要分別解。

第 13 題

答案 $3$ 。由圖， $O$ 、 $A$ 、 $B$ 依序在直線 $L$ 上， $A$ 在 $O$ 與 $B$ 之間。 $\overline{O A} : \overline{A B} = 1 : 2$ ，所以 $\overline{O B} = 3 \overline{O A}$ ，而 $O$ 是原點， $B$ 的坐標正好是 $A$ 的 $3$ 倍。

設 $A (t, lo g t)$ ，則 $B (3 t, 3 lo g t)$ 。 $B$ 也在 $y = lo g x$ 上：

$lo g 3 t = 3 lo g t = lo g t^{3}$

所以 $3 t = t^{3}$ 。 $t > 0$ ，兩邊除以 $t$ 得 $t^{2} = 3$ ， $t = 3$ 。

驗算：

A (3, \frac{1}{2} lo g 3)

，

B (33, \frac{3}{2} lo g 3)

，坐標正好是

3

倍，三點共線且

\overline{O A} : \overline{A B} = 1 : 2

。

過原點的直線上，長度比可以直接變成坐標的倍數；點在圖形上就把坐標代進函數。

05選填題 14～19

第 14 題

答案 $56$ 期。以半年為一期，每期利率是 $2.5% \div 2 = 1.25%$ ，所以 $x = 1.25$ 。依 $70$ 法則，所需期數約為

$\frac{70}{1.25} = 56$

所以約需 $56$ 期。

第 15 題

答案 $\frac{3}{2}$ 公尺／秒。 $x = 2700$ 時 $\frac{x}{100} = 27 = 3^{3}$ ， $lo g 27 = 3 lo g 3$ ，所以

$v = \frac{3 lo g 3}{2 lo g 3} = \frac{3}{2}$

第 16 題

答案 $(a, c) = (\frac{16}{25}, 500)$ 。圖形通過 $(0, 500)$ ： $f (0) = c \times a^{0} = c = 500$ 。

再通過 $(0.5, 400)$ ： $500 \times a^{\frac{1}{2}} = 400$ ， $a^{\frac{1}{2}} = \frac{4}{5}$ ，兩邊平方得 $a = \frac{16}{25}$ 。

第 17 題

答案 $256$ 毫克。由上一題 $f (x) = 500 \times (\frac{16}{25})^{x}$ ，且 $(\frac{16}{25})^{\frac{1}{2}} = \frac{4}{5}$ ，所以

$f (\frac{3}{2}) = 500 \times (\frac{4}{5})^{3} = 500 \times \frac{64}{125} = 256$

每經過半小時，藥量變成原來的

\frac{4}{5}

：

500 \to 400 \to 320 \to 256

。

第 18 題

答案 $71$ 歲。 $lo g 12 = lo g (2^{2} \times 3) = 2 lo g 2 + lo g 3 \approx 0.6020 + 0.4771 = 1.0791$ 。

$y = 37 \times 1.0791 + 31 = 39.9267 + 31 = 70.9267$

四捨五入到整數位得 $71$ 。

第 19 題

答案約 $23$ 倍。設天狼星、北極星的強度分別為 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，則

$- 1.4 = - 2.5 lo g \frac{F _{1}}{F _{0}}, 2 = - 2.5 lo g \frac{F _{2}}{F _{0}}$

兩式相減： $- 1.4 - 2 = - 2.5 (lo g \frac{F _{1}}{F _{0}} - lo g \frac{F _{2}}{F _{0}}) = - 2.5 lo g \frac{F _{1}}{F _{2}}$ ，所以

$lo g \frac{F _{1}}{F _{2}} = \frac{3.4}{2.5} = 1.36$

$\frac{F _{1}}{F _{2}} = 1 0^{1.36} = 10 \times 1 0^{0.36}$ 。題目給的三個值中 $lo g 2.3 \approx 0.3617$ 最接近 $0.36$ ，所以 $1 0^{0.36} \approx 2.3$ ，天狼星的強度約為北極星的 $23$ 倍。

星等越小越亮：天狼星是負的星等，比北極星亮得多。

應用題先把題目給的公式寫清楚、代入數字；兩個對象比較時把兩式相減，標準量

F_{0}

會消掉。

06第四大題 20

第 20 題

答案 $16300$ 元。年利率 $5%$ 、每年複利一次， $10$ 年後本利和為 $A = 10000 \times 1.0 5^{10}$ 。取常用對數：

$lo g A = lo g 1 0^{4} + 10 lo g 1.05 \approx 4 + 10 \times 0.0212 = 4.212$

而 $0.212 = 0.2120 \approx lo g 1.63$ ，所以 $lo g A \approx 4 + lo g 1.63 = lo g (1.63 \times 1 0^{4})$ ，

$A \approx 1.63 \times 1 0^{4} = 16300$

可以領回約 $16300$ 元。

過程要寫出：本利和的式子

10000 \times 1.0 5^{10}

、取對數、拆成整數部分

4

與小數部分

0.212

，最後用

lo g 1.63

換回真數。

複利

n

期的本利和是本金乘以

(1 + r)^{n}

；取對數後整數部分決定位數，小數部分查表換回有效數字。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

南山高中 111 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

南山高中 111 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 13 題最難：要看出 A 是 OB 的三等分點，B 的坐標正好是 A 的三倍，再代回對數函數解方程式。第 19 題星等要把兩顆星的式子相減，消掉標準強度，再用給的近似值反推倍數。第 12 題要先由 AB 的長求出底數，第 1 題第 (2)、(5) 項的對數律也容易套錯。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自南山高中 111 學年度上學期高二第二次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：U3～U5（對數、對數函數與指數對數的應用）

南山高中 111 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題：每題只有一個正確選項，答對得5分。

試問以下各數何者為真？

(1) $2^{l o g_{2} (- 4)} = - 4$
(2) $lo g_{3} 8^{\frac{1}{2}} = lo g_{3} 8$
(3) $2 lo g 5 + lo g 2 = 2$
(4) $lo g_{2} 3 = lo g_{2} 3$
(5) $lo g_{2} 5 \times lo g_{25} 8 = lo g_{5} 4$

一份試卷共有

10

題單選題，每題有

5

lo g 2 \approx 0.3010

）

(1) $1 0^{- 5}$
(2) $1 0^{- 6}$
(3) $1 0^{- 7}$
(4) $1 0^{- 8}$
(5) $1 0^{- 9}$

試問有多少個整數

x

滿足

1 0^{9} < 2^{x} < 9^{10}

？（

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

）

(1) $1$ 個
(2) $2$ 個
(3) $3$ 個
(4) $4$ 個
(5) $0$ 個

二、多重選擇題：每題有5個選項，其中至少有一個選項是正確的，全對得5分、錯一個選項得3分、錯二個選項得1分、其餘得0分。

坐標平面上，

Γ_{1}

為

y = lo g_{2} x

的圖形，

Γ_{2}

為

y = lo g_{\frac{1}{2}} x

的圖形。下列關於

Γ_{1}

與

Γ_{2}

的敘述，試選出正確的選項。

(1) $Γ_{1}$ 的圖形凹口向下
(2) $Γ_{2}$ 的圖形凹口向下
(3) $Γ_{1}$ 的圖形均在 $x$ 軸的上方
(4) $Γ_{2}$ 的圖形均在 $y$ 軸的右方
(5) $Γ_{1}$ 與 $Γ_{2}$ 恰交於一點

選填題：5至19，共15題，每題5分

10 0^{l o g 9} =

？

lo g \frac{50}{7} - lo g \frac{7}{30} + lo g \frac{49}{15} =

？

若

x = lo g_{3} 4

，則

2 7^{x} + 3^{- x} =

？

試求方程式

lo g x^{2} + lo g x - 6 = 0

的解。

假設

0 < x < 1

，試求方程式

(lo g 10 x) (lo g x) = 6

的解。

不等式

lo g_{3} (x + 8) > 2 + lo g_{3} x

的解為？

已知函數

y = lo g_{a} x

通過點

(3, 2)

，則

a =

？

設

a > 1

，函數

f (x) = a^{x}

與

g (x) = lo g_{a} x

。在坐標平面上，水平線

y = 1

分別與這兩個函數的圖形交於

A

、

B

兩點；水平線

y = 3

分別與這兩個函數的圖形交於

C

、

D

兩點。若

\overline{A B} = 3

，則

\overline{C D} =

？

如圖，過原點

O

的直線

L

與

y = lo g x

的圖形交於

A

，

B

兩點，若

\overline{O A} : \overline{A B} = 1 : 2

，則

A

點的

x

坐標為？

載入中...

在金融應用上，有所謂的

70

法則，若每期利率為

x

％，且以複利計算，則本利和達到原來本金的兩倍所需時間大約要

\frac{70}{x}

期。假設年利率為

2.5

％，以半年為一期，每期複利一次，若按照

70

法則，則至少需多少期其本利和才會達到本金的

2

倍。

研究鮭魚迴游現象的科學家發現，鮭魚的游速

v

（公尺／秒）與其耗氧量單位數

x

有以下的關係：

v = \frac{lo g \frac{x}{100}}{2 lo g 3}

，試求當鮭魚的耗氧量是

2700

個單位時，此時牠的游速是多少公尺／秒？

一般病患服用某種藥品，服藥

x

小時候，殘留在胃裡的藥量有

f (x) = c \times a^{x}

（毫克），其關係圖如圖。試問數對

(a, c) =

？

載入中...

同上，試問：該藥服用

\frac{3}{2}

小時後，殘留在體內的藥量有多少毫克？

生物學家透過觀察 DNA 甲基化的速度，得到拉布拉多犬的年齡

x

（歲）所對應的人類年齡

y

（歲）會滿足

y = 37 lo g x + 31

，其中

x

必須大於或等於

1

。根據上述法則，請問：

12

歲的拉布拉多犬相當於人類多少歲？（四捨五入至整數位）（已知

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

）

天文學以「星等」區分星星的亮度，先選擇某一特定的星光強度

F_{0}

為標準，對於發出強度為

F

的星體，定義其「星等」為

m = - 2.5 \cdot lo g \frac{F}{F _{0}}

，並稱該星體為「

m

等星」。已知天狼星為

- 1.4

等星，北極星為

2

等星，則天狼星的星光強度大約是北極星的幾倍？（己知

lo g 1.3 \approx 0.1139

，

lo g 2.3 \approx 0.3617

，

lo g 3.3 \approx 0.5185

）

四、手寫題------請寫於答案卡後面，無過程，不給分。

某銀行定期存款的年利率為

5

％，每一年為一期，複利計息。某人存進

10, 000

元後，在經過

10

年之後，某人可以領回的金額為【　　　　】元。（已知

lo g 1.05 \approx 0.0212

，

lo g 1.63 \approx 0.2120

）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(4)

第 2 題(3)

第 3 題(2)

第 4 題(1)(4)(5)

第 5 題

81

第 6 題

2

第 7 題

\frac{257}{4}

第 8 題

100

第 9 題

\frac{1}{1000}

第 10 題

0 < x < 1

第 11 題

3

第 12 題

26

第 13 題

3

第 14 題

56

第 15 題

\frac{3}{2}

第 16 題

(\frac{16}{25}, 500)

第 17 題

256

第 18 題

71

第 19 題

23

第 20 題

16300

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題 1～3

第 1 題

答案 (4)。逐項檢查：

(1) 對數的真數必須是正數， $lo g_{2} (- 4)$ 沒有意義，等式不成立。

(3) $2 lo g 5 + lo g 2 = lo g 25 + lo g 2 = lo g 50$ ，而 $2 = lo g 100$ ，不相等。

(4) $lo g_{2} 3 = \frac{lo g 3}{lo g 2} = \frac{\frac{1}{2} lo g 3}{\frac{1}{2} lo g 2} = \frac{lo g 3}{lo g 2} = lo g_{2} 3$ ，成立。

(5) 換底： $lo g_{2} 5 \times lo g_{25} 8 = \frac{lo g 5}{lo g 2} \times \frac{3 lo g 2}{2 lo g 5} = \frac{3}{2}$ ；而 $4 < 5$ ， $lo g_{5} 4 < 1$ ，不相等。

只有 (4) 為真。

(4) 也可以直接用

lo g_{a^{k}} b^{k} = lo g_{a} b

：底數與真數同時開平方，值不變。(2) 是把「指數拿到前面」誤當成「開根號拿到外面」。

第 2 題

答案 (3)。每題猜對的機率是 $\frac{1}{5}$ ，各題互不影響，全部答對的機率是 $(\frac{1}{5})^{10}$ 。取常用對數：

$lo g (\frac{1}{5})^{10} = - 10 lo g 5 = - 10 (1 - lo g 2) \approx - 10 \times 0.6990 = - 6.990$

所以機率約為 $1 0^{- 6.990} = 1 0^{0.010} \times 1 0^{- 7}$ ，而 $1 0^{0.010}$ 只比 $1$ 大一點點（約 $1.02$ ），最接近 $1 0^{- 7}$ 。

lo g 5 = lo g \frac{10}{2} = 1 - lo g 2

。指數

- 6.99

和

- 7

只差

0.01

，和

- 6

差

0.99

，所以選

1 0^{- 7}

而不是

1 0^{- 6}

。

第 3 題

答案 (2)。三邊都是正數，取常用對數不改變大小順序：

$9 < x lo g 2 < 10 lo g 9 = 20 lo g 3$

代入近似值： $9 < 0.3010 x < 9.542$ ，所以

$\frac{9}{0.3010} < x < \frac{9.542}{0.3010}$

即 $29.9 \dots < x < 31.7 \dots$ 。整數 $x$ 只有 $30$ 、 $31$ ，共 $2$ 個。

驗證：

2^{30} \approx 1.07 \times 1 0^{9}

剛好超過

1 0^{9}

；

2^{31} \approx 2.15 \times 1 0^{9}

，

2^{32} \approx 4.29 \times 1 0^{9}

，而

9^{10} \approx 3.49 \times 1 0^{9}

，所以

x = 32

已經超過。

比較很大或很小的數，先取常用對數變成加減乘除；對數的真數一定要是正數。

02多重選擇題 4

第 4 題

(1) 正確。 底數 $2 > 1$ ， $y = lo g_{2} x$ 隨 $x$ 增加而上升，但越來越平緩，圖形凹口向下。

(2) 錯誤。 $Γ_{2}$ 是 $Γ_{1}$ 上下翻過來，凹口向上。

(3) 錯誤。 當 $0 < x < 1$ 時 $lo g_{2} x < 0$ ，例如 $(\frac{1}{2}, - 1)$ 在 $Γ_{1}$ 上，位於 $x$ 軸下方。

(4) 正確。 真數必須為正， $Γ_{2}$ 上每一點都有 $x > 0$ ，都在 $y$ 軸右方。

(5) 正確。 交點滿足 $lo g_{2} x = - lo g_{2} x$ ，即 $lo g_{2} x = 0$ ， $x = 1$ ，只有一個交點 $(1, 0)$ 。

y = lo g_{\frac{1}{a}} x

與

y = lo g_{a} x

的圖形對

x

軸對稱，兩者只交於

(1, 0)

。

03選填題 5～10

第 5 題答案

81

。

10 0^{l o g 9} = (1 0^{2})^{l o g 9} = (1 0^{l o g 9})^{2} = 9^{2} = 81

。

關鍵是

1 0^{l o g a} = a

。

第 6 題

答案 $2$ 。用對數律合併：

$lo g \frac{50}{7} - lo g \frac{7}{30} + lo g \frac{49}{15} = lo g (\frac{50}{7} \times \frac{30}{7} \times \frac{49}{15}) = lo g \frac{50 \times 30 \times 49}{7 \times 7 \times 15}$

分子 $50 \times 30 \times 49 = 73500$ ，分母 $735$ ，相除得 $100$ ，所以原式 $= lo g 100 = 2$ 。

第 7 題

答案 $\frac{257}{4}$ 。由 $x = lo g_{3} 4$ 得 $3^{x} = 4$ 。

$2 7^{x} = (3^{3})^{x} = (3^{x})^{3} = 64$ ， $3^{- x} = \frac{1}{3 ^{x}} = \frac{1}{4}$ 。

所以 $2 7^{x} + 3^{- x} = 64 + \frac{1}{4} = \frac{257}{4}$ 。

第 8 題

答案 $x = 100$ 。要 $lo g x$ 有意義， $x > 0$ 。此時 $lo g x^{2} = 2 lo g x$ ，方程式變成

$2 lo g x + lo g x - 6 = 0$

即 $3 lo g x = 6$ ， $lo g x = 2$ ， $x = 100$ ，符合 $x > 0$ 。

這裡的

lo g x^{2}

是

x^{2}

取對數，不是

(lo g x)^{2}

。若是後者，方程式會變成

(lo g x)^{2} + lo g x - 6 = 0

，得

x = 100

或

\frac{1}{1000}

兩個解。

第 9 題

答案 $x = \frac{1}{1000}$ 。 $lo g 10 x = lo g 10 + lo g x = 1 + lo g x$ 。令 $t = lo g x$ ，方程式變成

$(1 + t) t = 6$

即 $t^{2} + t - 6 = 0$ ， $(t + 3) (t - 2) = 0$ ， $t = - 3$ 或 $t = 2$ 。因為 $0 < x < 1$ ， $lo g x < 0$ ，只取 $t = - 3$ ，所以 $x = 1 0^{- 3} = \frac{1}{1000}$ 。

第 10 題

答案 $0 < x < 1$ 。先看定義域： $x + 8 > 0$ 且 $x > 0$ ，合起來是 $x > 0$ 。

右邊 $2 + lo g_{3} x = lo g_{3} 9 + lo g_{3} x = lo g_{3} 9 x$ ，不等式變成 $lo g_{3} (x + 8) > lo g_{3} 9 x$ 。底數 $3 > 1$ ，對數函數遞增，所以

$x + 8 > 9 x$

得 $x < 1$ 。再和定義域 $x > 0$ 取交集，解為 $0 < x < 1$ 。

常見錯誤：只解出

x < 1

，忘了真數

x

要大於

0

。

對數方程式與不等式：先寫定義域，再用對數律把兩邊化成同底的單一對數，或令

t = lo g x

變成二次式。

04選填題 11～13

第 11 題答案

a = 3

。把

(3, 2)

代入：

2 = lo g_{a} 3

，即

a^{2} = 3

。底數

a > 0

且

a \neq = 1

，所以

a = 3

。

第 12 題

答案 $26$ 。

水平線 $y = 1$ ： $a^{x} = 1$ 得 $x = 0$ ， $A (0, 1)$ ； $lo g_{a} x = 1$ 得 $x = a$ ， $B (a, 1)$ 。所以 $\overline{A B} = a = 3$ 。

水平線 $y = 3$ ： $3^{x} = 3$ 得 $x = 1$ ， $C (1, 3)$ ； $lo g_{3} x = 3$ 得 $x = 27$ ， $D (27, 3)$ 。

所以 $\overline{C D} = 27 - 1 = 26$ 。

f

與

g

互為反函數，圖形對直線

y = x

對稱；但

A

、

B

在同一條水平線上，不是對稱點，要分別解。

第 13 題

設 $A (t, lo g t)$ ，則 $B (3 t, 3 lo g t)$ 。 $B$ 也在 $y = lo g x$ 上：

$lo g 3 t = 3 lo g t = lo g t^{3}$

所以 $3 t = t^{3}$ 。 $t > 0$ ，兩邊除以 $t$ 得 $t^{2} = 3$ ， $t = 3$ 。

驗算：

A (3, \frac{1}{2} lo g 3)

，

B (33, \frac{3}{2} lo g 3)

，坐標正好是

3

倍，三點共線且

\overline{O A} : \overline{A B} = 1 : 2

。

過原點的直線上，長度比可以直接變成坐標的倍數；點在圖形上就把坐標代進函數。

05選填題 14～19

第 14 題

答案 $56$ 期。以半年為一期，每期利率是 $2.5% \div 2 = 1.25%$ ，所以 $x = 1.25$ 。依 $70$ 法則，所需期數約為

$\frac{70}{1.25} = 56$

所以約需 $56$ 期。

第 15 題

答案 $\frac{3}{2}$ 公尺／秒。 $x = 2700$ 時 $\frac{x}{100} = 27 = 3^{3}$ ， $lo g 27 = 3 lo g 3$ ，所以

$v = \frac{3 lo g 3}{2 lo g 3} = \frac{3}{2}$

第 16 題

答案 $(a, c) = (\frac{16}{25}, 500)$ 。圖形通過 $(0, 500)$ ： $f (0) = c \times a^{0} = c = 500$ 。

再通過 $(0.5, 400)$ ： $500 \times a^{\frac{1}{2}} = 400$ ， $a^{\frac{1}{2}} = \frac{4}{5}$ ，兩邊平方得 $a = \frac{16}{25}$ 。

第 17 題

答案 $256$ 毫克。由上一題 $f (x) = 500 \times (\frac{16}{25})^{x}$ ，且 $(\frac{16}{25})^{\frac{1}{2}} = \frac{4}{5}$ ，所以

$f (\frac{3}{2}) = 500 \times (\frac{4}{5})^{3} = 500 \times \frac{64}{125} = 256$

每經過半小時，藥量變成原來的

\frac{4}{5}

：

500 \to 400 \to 320 \to 256

。

第 18 題

答案 $71$ 歲。 $lo g 12 = lo g (2^{2} \times 3) = 2 lo g 2 + lo g 3 \approx 0.6020 + 0.4771 = 1.0791$ 。

$y = 37 \times 1.0791 + 31 = 39.9267 + 31 = 70.9267$

四捨五入到整數位得 $71$ 。

第 19 題

答案約 $23$ 倍。設天狼星、北極星的強度分別為 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，則

$- 1.4 = - 2.5 lo g \frac{F _{1}}{F _{0}}, 2 = - 2.5 lo g \frac{F _{2}}{F _{0}}$

兩式相減： $- 1.4 - 2 = - 2.5 (lo g \frac{F _{1}}{F _{0}} - lo g \frac{F _{2}}{F _{0}}) = - 2.5 lo g \frac{F _{1}}{F _{2}}$ ，所以

$lo g \frac{F _{1}}{F _{2}} = \frac{3.4}{2.5} = 1.36$

星等越小越亮：天狼星是負的星等，比北極星亮得多。

應用題先把題目給的公式寫清楚、代入數字；兩個對象比較時把兩式相減，標準量

F_{0}

會消掉。

06第四大題 20

第 20 題

答案 $16300$ 元。年利率 $5%$ 、每年複利一次， $10$ 年後本利和為 $A = 10000 \times 1.0 5^{10}$ 。取常用對數：

$lo g A = lo g 1 0^{4} + 10 lo g 1.05 \approx 4 + 10 \times 0.0212 = 4.212$

而 $0.212 = 0.2120 \approx lo g 1.63$ ，所以 $lo g A \approx 4 + lo g 1.63 = lo g (1.63 \times 1 0^{4})$ ，

$A \approx 1.63 \times 1 0^{4} = 16300$

可以領回約 $16300$ 元。

過程要寫出：本利和的式子

10000 \times 1.0 5^{10}

、取對數、拆成整數部分

4

與小數部分

0.212

，最後用

lo g 1.63

換回真數。

複利

n

期的本利和是本金乘以

(1 + r)^{n}

；取對數後整數部分決定位數，小數部分查表換回有效數字。

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