段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數、對數與對數律、對數函數、指對數方程式與不等式、常用對數的應用）

明倫高中 113 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 明倫高中 113 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 明倫高中 113 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 3 題 k 等於 5 時除了 x 等於 8 還有一個很靠近 0 的解，(B) 要說明曲線 y＝log₂x 始終在直線 y＝x＋1 下方；多選第 5 題要先算出漸近線 x 等於 a 減 1 與 x 截距 x 等於 a，再分底數大於 1 與小於 1 兩種；填充第 7 題要看出兩個互為反函數的圖形交在 y 等於 x 上；多選第 1～3 題學校印的答案與題目對不上，本頁寫本站計算的答案。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，練滿 15 題就能產生考前藍圖 PDF →

這一章有整理好的單元冊：《指數與對數函數》

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 5 題與填充題 8 題合併依答對題數計分（答對 1～13 題依序得 8、16、24、30、36、42、46、50、54、58、62、66、70 分），多重選擇題 5 題（每題 5 分），素養題 2 題（共 6 分，第 1 題 2 分、第 2 題 4 分）；本頁第 1～5 題為原卷單選 1～5，第 6～13 題為填充 1～8，第 14～18 題為多重選擇 1～5，第 19、20 題為素養題 1、2。答案已與學校公布的答案逐題核對，4 題不同：多重選擇第 1～3 題學校印的答案代回本卷題目都不成立（前兩題疑為答案欄錯位），本頁寫本站計算的答案並附註學校所印；素養題第 1 題卷面問氣泡排序法，學校答案是合併排序法的時間，本頁照學校答案寫並附註。

一、單選題

關於對數律的使用，下列選項何者正確？

(A) $lo g (- 10)^{4} = 4$
(B) $(lo g_{2} 5)^{2} = 2 (lo g_{2} 5)$
(C) $lo g_{2} (- 2) + lo g (- 5) = lo g (- 2 \times - 5)$
(D) $lo g \frac{3}{5} = \frac{lo g 3}{lo g 5}$
(E) $lo g_{27} 4 \times lo g_{2} 9 = lo g_{3} 2$ 。

將函數

f (x) = (\frac{1}{2})^{x}

的圖形依序做下列操作步驟 1：將

y = f (x)

的函數圖形對

y

軸做對稱，得到

y = g (x)

步驟 2：將

y = g (x)

的函數圖形對直線

y = x

做對稱，得到

y = h (x)

步驟 3：將

y = h (x)

向上平移

1

單位再向左平移

5

單位，得到

y = k (x)

則

(A) $k (x) = 1 + lo g_{2} (x - 5)$
(B) $k (x) = 1 + lo g_{2} (x + 5)$
(C) $k (x) = 1 + lo g_{\frac{1}{2}} (x + 5)$
(D) $k (x) = 1 + 2^{x + 5}$
(E) $k (x) = 1 - 2^{x + 5}$

滿足不等式

(π)^{x^{2} - 3 x - 12} < (π)^{2 x - 6}

的整數解共有

n

個，下列選項何者正確？

(A) $n = 3$
(B) $n = 4$
(C) $n = 5$
(D) $n = 6$
(E) $n$ 為無限多。

設

a = (\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}}

、

b = (\frac{1}{2})^{a}

、

c = a^{\frac{1}{2}}

，下列大小關係，哪個選項正確？

(A) $a > b > c$
(B) $a > c > b$
(C) $b > a > c$
(D) $b > c > a$
(E) $c > a > b$ 。

請選擇合適的實數

a

，使得對於所有的實數

x

，不等式

lo g_{3} (x^{2} + a x + 2 a - 2) > 0

恆成立。

(A) $a = 0$
(B) $a = 2$
(C) $a = 4$
(D) $a = 6$
(E) $a = 8$

二、填充題

如下圖，函數

y = lo g_{a} (x - 1)

過

(3, 1)

、

(b, 0)

、

(9, c)

則

a + b + c =

____。（本站補註：原卷圖上此點標作

(a, 0)

）

載入中...

(lo g_{3} 125 + lo g_{9} \frac{1}{25}) (lo g_{5} 81 + lo g_{25} \frac{1}{3}) =

____。

解方程式

2 lo g (x + 8) - lo g (x + 28) = 1

，

x =

____。

解方程式

lo g_{2} (9^{x} - 5) = lo g_{2} (3^{x} - 2) + 2

，

x =

____。

不等式

(lo g_{3} x + 1) (lo g_{\frac{1}{4}} x - 1) > 0

，則其解為 ____。

方程式

x^{l o g x^{2}} = 1 0^{3} x

，則

x =

____。(共 2 解)

已知

t

是實數且

t

是方程式

2^{- x} + lo g_{2} x = 0

的解，則

t^{1/ t} =

____。

資訊熵是資訊理論中的一個核心概念，用來量化一個系統中的不確定性或平均資訊量。熵的計算公式如下：

E = - (P_{1} lo g_{2} P_{1} + P_{2} lo g_{2} P_{2} + \dots + P_{n} lo g_{2} P_{n})

其中

E

為該系統的資訊熵；

P_{k}

，

1 \leq k \leq n

代表系統中，全部

n

種狀況，所各自對應的機率。例如：在丟擲一公正銅板實驗中，共有正面和反面

2

種狀態，正面機率

P_{1} = \frac{1}{2}

，反面機率

P_{2} = \frac{1}{2}

則此系統之資訊熵

E = - (\frac{1}{2} lo g_{2} \frac{1}{2} + \frac{1}{2} lo g_{2} \frac{1}{2}) = 1

。現有一編碼問題有

A, B, C, D

共

4

種狀態，其相對應機率分別為

P_{A} = (\frac{1}{2})^{7 - k}, P_{B} = (\frac{1}{2})^{5 - \frac{k}{2}}, P_{C} = (\frac{1}{2})^{6 - \frac{k}{2}}, P_{D} = (\frac{1}{2})^{6 - \frac{k}{2}}

則此編碼的資訊熵

E =

____。

三、多重選擇題(每題 5 分。錯 1 個選項得 3 分，錯 2 個選項得 1 分，錯 3 個選項以上得 0 分)

已知

a = 9 8^{100}

、

b = 10 0^{98}

，則下列選項哪些正確？(

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 7 \approx 0.8451

)

(A) $100 a < b$
(B) $a < b$
(C) $a > b$
(D) $a > 100 b$
(E) $a < 10000 b$

已知

lo g_{a} t = 4

、

lo g_{b} t = 6

、

lo g_{c} t = 9

其中

b > 1

、

a c > 0

且

t > 0

，則下列選項哪些正確？

(A) $c > b > a > 1$
(B) $a > b > c > 1$
(C) $c > b > 1 > a$
(D) $lo g_{ab c} t > 2$
(E) $lo g_{ab c} t < 2$ 。

已知方程式

lo g_{2} x + k = x

，其中

k

為實數。下列選項哪些正確？

(A) 當 $k = 1$ 時，方程式 $lo g_{2} x + k = x$ 有實數解
(B) 當 $k = - 1$ 時，方程式 $lo g_{2} x + k = x$ 有實數解
(C) 當 $k = 5$ 時，方程式 $lo g_{2} x + k = x$ 有唯一解 $x = 8$
(D) 若方程式 $lo g_{2} x + k = x$ 有實數解，則方程式 $lo g_{2} x + k = \frac{x}{10}$ 也有實數解
(E) 若方程式 $lo g_{2} x + k = x$ 有實數解，則方程式 $lo g_{2} x + k = 10 x$ 也有實數解

設函數

f (x) = b + 2^{x + a}

，其中

a, b

為實數且

a \times b \neq = 0

，

g (x) = 2^{x}

，下列選項哪些正確？

(A) 若 $a > 0$ 且 $b > 0$ ，則 $y = f (x)$ 與 $y = g (x)$ 二函數圖形有交點
(B) 若 $a > 0$ 且 $b < 0$ ，則 $y = f (x)$ 與 $y = g (x)$ 二函數圖形有交點
(C) 若 $a < 0$ 且 $b > 0$ ，則 $y = f (x)$ 與 $y = g (x)$ 二函數圖形有交點
(D) 若 $a < 0$ 且 $b < 0$ ，則 $y = f (x)$ 與 $y = g (x)$ 二函數圖形有交點
(E) 不存在實數序對 $(a, b)$ ，使得 $y = f (x)$ 與 $y = g (x)$ 二函數圖形交點個數等於或多於 $2$ 個。

已知函數

y = lo g_{a} (x + b)

其中

a + b = 1

，則下列選項中，何者可能為函數之圖形？

(A) 見圖 (A)
(B) 見圖 (B)
(C) 見圖 (C)
(D) 見圖 (D)
(E) 見圖 (E)

載入中...

四、素養題(共 6 分，需有完整計算過程，否則不計分)

素養題（第 19～20 題）　在資訊科學中，將

n

筆資料由小到大做排序，「氣泡排序法」與「合併排序法」為常見的兩種排序演算法。此二種方法排列

n

筆資料所需要的時間分別為

T_{氣泡} (n) = 1 0^{- 8} \times n^{2}

與

T_{合併} (n) = 1 0^{- 5} \times n lo g_{2} n

，即使用「氣泡排序法」排序

10000

筆資料所需要的時間為

T_{氣泡} (10000) = 1 0^{- 8} \times 1000 0^{2} = 1

(秒)，請依上述資訊回答下列問題：(令

lo g 2 \approx 0.3

)

(2 分) 使用「氣泡排序法」排序

10000

筆資料，需要多少時間？(精確至小數點後第

2

位，第

3

位四捨五入)（本站補註：題首已給氣泡排序法排序

10000

筆為

1

秒，學校答案為合併排序法的時間）

(4 分) 將

2^{m}

(

m

為整數)筆資料做排序，當

m \leq k

時，「氣泡排序法」排序速度較快(花費較少時間)當

m \geq k + 1

時，「合併排序法」排序速度較快(花費較少時間)，則

k =

？

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)

第 2 題(B)

第 3 題(D)

第 4 題(E)

第 5 題(C)

第 6 題

7

第 7 題

7

第 8 題

12

第 9 題

1

第 10 題

\frac{1}{4} < x < \frac{1}{3}

第 11 題

\frac{1}{10}

或

1010

第 12 題

\frac{1}{2}

第 13 題

\frac{7}{4}

第 14 題(C)(D)(E)（學校答案印 (B)(E)，疑為答案欄錯位）

第 15 題(B)(E)（學校答案印 (A)(D)，疑為答案欄錯位）

第 16 題(A)(D)（學校答案印 (B)(C)，兩個選項代回本題都有反例）

第 17 題(B)(C)(E)

第 18 題(B)(E)

第 19 題

1.33

秒（照學校答案，即合併排序法；字面的氣泡排序法為

1

秒）

第 20 題

13

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1～3 題：對數律的條件、圖形的對稱與平移、指數不等式

第 1 題

答案 (A)。

(A) 正確。 $(- 10)^{4} = 10000$ ，所以 $lo g (- 10)^{4} = lo g 10000 = 4$ 。真數是 $(- 10)^{4}$ ，為正數，有意義。

(B) 錯誤。 若相等，則 $lo g_{2} 5 = 2$ ，即 $5 = 4$ ，矛盾。 $2 (lo g_{2} 5) = lo g_{2} 25$ 才是 $lo g_{2} 5^{2}$ 。

(D) 錯誤。 $lo g \frac{3}{5} = lo g 3 - lo g 5$ ，不是 $\frac{lo g 3}{lo g 5}$ ；後者是 $lo g_{5} 3$ 。

(E) 錯誤。 $lo g_{27} 4 = \frac{2 lo g 2}{3 lo g 3}$ ， $lo g_{2} 9 = \frac{2 lo g 3}{lo g 2}$ ，乘積為 $\frac{4}{3}$ ，而 $lo g_{3} 2 < 1$ ，兩者不相等。

(A) 的寫法

lo g (- 10)^{4}

是指

lo g [(- 10)^{4}]

；本題為單選，其他四個選項都不成立。

第 2 題

答案 (B)。

步驟 1：對 $y$ 軸對稱，把 $x$ 換成 $- x$ ： $g (x) = (\frac{1}{2})^{- x} = 2^{x}$ 。

步驟 2：對 $y = x$ 對稱，得 $g$ 的反函數：由 $y = 2^{x}$ 得 $x = lo g_{2} y$ ，所以 $h (x) = lo g_{2} x$ 。

步驟 3：向上平移 $1$ ，函數值加 $1$ ；向左平移 $5$ ，把 $x$ 換成 $x + 5$ ：

$k (x) = 1 + lo g_{2} (x + 5)$

第 3 題

答案 (D)。

底數 $π > 1$ ， $y = π^{x}$ 遞增，不等號方向不變：

$x^{2} - 3 x - 12 < 2 x - 6$

即 $x^{2} - 5 x - 6 < 0$ ， $(x - 6) (x + 1) < 0$ ， $- 1 < x < 6$ 。整數解為 $0, 1, 2, 3, 4, 5$ ，共 $6$ 個， $n = 6$ 。

02單選第 4～5 題：指數比大小、對數不等式恆成立

第 4 題

答案 (E)。

三個數都寫成以 $\frac{1}{2}$ 為底： $a = (\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}}$ ， $b = (\frac{1}{2})^{a}$ ， $c = a^{\frac{1}{2}} = (\frac{1}{2})^{\frac{1}{4}}$ 。

$y = (\frac{1}{2})^{x}$ 遞減，指數越大值越小。先估 $a$ 的大小： $a = \frac{1}{2} = \frac{2}{2}$ ，而 $\frac{1}{2} < \frac{2}{2} < 1$ ，所以三個指數的大小為

$\frac{1}{4} < \frac{1}{2} < a$

因此 $c > a > b$ 。

數值檢查：

a \approx 0.707

，

b \approx 0.613

，

c \approx 0.841

。

第 5 題

答案 (C)。

底數 $3 > 1$ ， $lo g_{3} u > 0$ 等價於 $u > 1$ 。所以要對所有實數 $x$ 都有

$x^{2} + a x + 2 a - 2 > 1$

即 $x^{2} + a x + 2 a - 3 > 0$ 對所有實數 $x$ 成立（此時真數也一定是正的）。開口向上的二次式恆正，判別式要小於 $0$ ：

$a^{2} - 4 (2 a - 3) < 0, a^{2} - 8 a + 12 < 0, (a - 2) (a - 6) < 0$

得 $2 < a < 6$ 。選項中只有 $a = 4$ 符合。

端點

a = 2

時

x^{2} + 2 x + 1 = (x + 1)^{2}

，在

x = - 1

等於

0

，不是恆大於

0

；

a = 6

時

x^{2} + 6 x + 9 = (x + 3)^{2}

也一樣。

03填充第 1～3 題：圖形上的點、換底化簡、對數方程式

第 6 題

過 $(3, 1)$ ： $lo g_{a} (3 - 1) = 1$ ，即 $lo g_{a} 2 = 1$ ， $a = 2$ 。

過 $(b, 0)$ ： $lo g_{2} (b - 1) = 0$ ， $b - 1 = 1$ ， $b = 2$ 。

過 $(9, c)$ ： $c = lo g_{2} (9 - 1) = lo g_{2} 8 = 3$ 。

所以 $a + b + c = 2 + 2 + 3 = 7$ 。

原卷圖上

x

軸上的點標作

(a, 0)

，依題目文字是

(b, 0)

；本題

a = b = 2

，兩種寫法的坐標相同。圖為示意，未照實際比例。

第 7 題

換成以 $3$ 與以 $5$ 為底：

$lo g_{3} 125 + lo g_{9} \frac{1}{25} = 3 lo g_{3} 5 - \frac{2}{2} lo g_{3} 5 = 2 lo g_{3} 5$

$lo g_{5} 81 + lo g_{25} \frac{1}{3} = 4 lo g_{5} 3 - \frac{1}{2} lo g_{5} 3 = \frac{7}{2} lo g_{5} 3$

相乘： $2 lo g_{3} 5 \times \frac{7}{2} lo g_{5} 3 = 7 \times (lo g_{3} 5 \times lo g_{5} 3) = 7 \times 1 = 7$ 。

第 8 題

真數條件： $x + 8 > 0$ 且 $x + 28 > 0$ ，即 $x > - 8$ 。

$2 lo g (x + 8) - lo g (x + 28) = 1$ 化為 $lo g \frac{( x + 8 ) ^{2}}{x + 28} = lo g 10$ ，所以

$(x + 8)^{2} = 10 (x + 28), x^{2} + 6 x - 216 = 0, (x + 18) (x - 12) = 0$

$x = - 18$ 不符合 $x > - 8$ ，所以 $x = 12$ 。

代回：

2 lo g 20 - lo g 40 = lo g \frac{400}{40} = lo g 10 = 1

。

04填充第 4～6 題：代換成二次、對數不等式、取對數解方程式

第 9 題

令 $u = 3^{x} > 0$ ，則 $9^{x} = u^{2}$ 。右邊 $lo g_{2} (u - 2) + 2 = lo g_{2} [4 (u - 2)]$ ，所以

$u^{2} - 5 = 4 (u - 2), u^{2} - 4 u + 3 = 0, u = 1 或 3$

真數條件要 $u - 2 > 0$ （ $u^{2} - 5 > 0$ 也要成立）， $u = 1$ 不合，只有 $u = 3$ ，即 $3^{x} = 3$ ， $x = 1$ 。

代回：

lo g_{2} (9 - 5) = lo g_{2} 4 = 2

，

lo g_{2} (3 - 2) + 2 = 0 + 2 = 2

。

第 10 題

真數條件 $x > 0$ 。兩個因式：

$lo g_{3} x + 1 > 0 ⟺ lo g_{3} x > - 1 ⟺ x > \frac{1}{3}$ （底數 $3 > 1$ ，方向不變）。

$lo g_{\frac{1}{4}} x - 1 > 0 ⟺ lo g_{\frac{1}{4}} x > 1 ⟺ 0 < x < \frac{1}{4}$ （底數 $\frac{1}{4} < 1$ ，方向相反）。

乘積大於 $0$ ，兩因式同號：

同正： $x > \frac{1}{3}$ 且 $x < \frac{1}{4}$ ，不可能。

同負： $x < \frac{1}{3}$ 且 $x > \frac{1}{4}$ ，得 $\frac{1}{4} < x < \frac{1}{3}$ 。

所以解為 $\frac{1}{4} < x < \frac{1}{3}$ 。

第 11 題

$x$ 是底數， $x > 0$ ，兩邊都是正數，可以取常用對數：

$lo g x^{2} \cdot lo g x = lo g (1 0^{3} x) = 3 + lo g x$

令 $u = lo g x$ ， $lo g x^{2} = 2 u$ ： $2 u^{2} = 3 + u$ ， $2 u^{2} - u - 3 = 0$ ， $(2 u - 3) (u + 1) = 0$ ，得 $u = \frac{3}{2}$ 或 $u = - 1$ 。

所以 $x = 1 0^{\frac{3}{2}} = 1010$ 或 $x = 1 0^{- 1} = \frac{1}{10}$ 。

代回

x = \frac{1}{10}

：左邊

(\frac{1}{10})^{l o g \frac{1}{100}} = (1 0^{- 1})^{- 2} = 100

，右邊

1000 \times \frac{1}{10} = 100

。指數

lo g x^{2}

若讀成

(lo g x)^{2}

，會得到

u^{3} - u - 3 = 0

，只有一個不漂亮的實根，與「共 2 解」不符。

05填充第 7～8 題：互為反函數的交點、資訊熵

第 12 題

方程式 $2^{- x} + lo g_{2} x = 0$ 改寫為

$(\frac{1}{2})^{x} = - lo g_{2} x = lo g_{\frac{1}{2}} x$

所以 $t$ 是 $y = (\frac{1}{2})^{x}$ 與 $y = lo g_{\frac{1}{2}} x$ 兩圖形交點的 $x$ 坐標。這兩個函數互為反函數，圖形對稱於直線 $y = x$ ；底數為 $\frac{1}{2}$ 時兩圖形只交於一點，且交點落在 $y = x$ 上，所以

$t = (\frac{1}{2})^{t}$

兩邊同取 $\frac{1}{t}$ 次方（ $t > 0$ ）： $t^{1/ t} = \frac{1}{2}$ 。

數值檢查：

t \approx 0.6412

，

2^{- t} \approx 0.6412

，

lo g_{2} t \approx - 0.6412

，兩者和為

0

；

t^{1/ t} \approx 0.5

。提醒：底數小於 1 時，互為反函數的兩圖形不一定只交在

y = x

上（例如底數

\frac{1}{16}

有三個交點）；本題底數

\frac{1}{2}

，數值檢查只有

t \approx 0.6412

一個解。

第 13 題

四個機率的和必須為 $1$ 。 $k$ 越大，四個指數都越小，四個機率都越大，所以和只在一個 $k$ 值等於 $1$ 。試 $k = 6$ ：

$P_{A} = (\frac{1}{2})^{1} = \frac{1}{2}, P_{B} = (\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}, P_{C} = P_{D} = (\frac{1}{2})^{3} = \frac{1}{8}$

和為 $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = 1$ ，所以 $k = 6$ 。

$lo g_{2} \frac{1}{2} = - 1$ ， $lo g_{2} \frac{1}{4} = - 2$ ， $lo g_{2} \frac{1}{8} = - 3$ ，代入公式：

$E = - [\frac{1}{2} (- 1) + \frac{1}{4} (- 2) + \frac{1}{8} (- 3) + \frac{1}{8} (- 3)] = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{3}{8} + \frac{3}{8} = \frac{7}{4}$

06多重選擇第 1～2 題：大數比大小、由對數值比較底數

第 14 題

本站答案 (C)(D)(E)；學校答案印 (B)(E)，(B) 與下面的計算矛盾，(C)(D) 也被漏掉，疑為答案欄錯位（(B)(E) 恰是下一題的答案）。

$lo g 98 = lo g (2 \times 7^{2}) = lo g 2 + 2 lo g 7 \approx 0.3010 + 1.6902 = 1.9912$ ，所以

$lo g a = 100 lo g 98 \approx 199.12, lo g b = 98 lo g 100 = 196$

$lo g a - lo g b \approx 3.12$ ，即 $\frac{a}{b} \approx 1 0^{3.12}$ ，介於 $1 0^{3}$ 與 $1 0^{4}$ 之間。

(A) 錯誤。 $100 a < b$ 等於 $\frac{a}{b} < 1 0^{- 2}$ ，不對。

(B) 錯誤。 $\frac{a}{b} > 1$ ，所以 $a > b$ 。

(D) 正確。 $\frac{a}{b} > 1 0^{3} > 100$ 。

(E) 正確。 $\frac{a}{b} < 1 0^{4}$ ，所以 $a < 10000 b$ 。

第 15 題

本站答案 (B)(E)；學校答案印 (A)(D)，與下面的計算相反，疑為答案欄錯位（(A)(D) 恰是下一題的答案）。

先定 $t$ ： $lo g_{b} t = 6 > 0$ 且 $b > 1$ ，所以 $t > 1$ 。再由 $lo g_{a} t = 4 > 0$ 、 $t > 1$ 得 $a > 1$ （若 $0 < a < 1$ ， $lo g_{a} t$ 會是負的）；同理 $c > 1$ 。

換底： $lo g_{t} a = \frac{1}{4}$ ， $lo g_{t} b = \frac{1}{6}$ ， $lo g_{t} c = \frac{1}{9}$ 。 $t > 1$ 時 $lo g_{t}$ 遞增， $\frac{1}{4} > \frac{1}{6} > \frac{1}{9} > 0$ ，所以 $a > b > c > 1$ 。

(A) 錯誤。 順序相反。

(B) 正確。

$lo g_{t} (ab c) = \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{9} = \frac{9 + 6 + 4}{36} = \frac{19}{36}$ ，所以 $lo g_{ab c} t = \frac{36}{19}$ 。

(D) 錯誤。 $\frac{36}{19} < 2$ 。

(E) 正確。 $\frac{36}{19} < \frac{38}{19} = 2$ 。

07多重選擇第 3～5 題：交點判斷解、平移後的交點、可能的圖形

第 16 題

本站答案 (A)(D)；學校答案印 (B)(C)，兩個選項都舉得出反例（見下），判定學校答案有誤。

方程式等價於 $lo g_{2} x = x - k$ ，看曲線 $y = lo g_{2} x$ 與直線 $y = x - k$ 的交點。

(A) 正確。 $k = 1$ ： $x = 1$ 時 $lo g_{2} 1 = 0 = 1 - 1$ ， $x = 1$ 就是解（ $x = 2$ 也是）。

(B) 錯誤。 $k = - 1$ ：要 $lo g_{2} x = x + 1$ 。曲線 $y = lo g_{2} x$ 凹口向下，過 $(1, 0)$ 、 $(2, 1)$ ，而直線 $y = x - 1$ 正好過這兩點；在 $1 \leq x \leq 2$ 之間 $lo g_{2} x \leq 1 < x + 1$ ，在其他地方曲線在直線 $y = x - 1$ 的下方， $lo g_{2} x < x - 1 < x + 1$ 。所以沒有實數解。

(C) 錯誤。 $k = 5$ ： $x = 8$ 確實是解（ $lo g_{2} 8 = 3 = 8 - 5$ ）。但 $x = \frac{1}{32}$ 時 $lo g_{2} x = - 5 < x - 5$ ； $x = \frac{1}{16}$ 時 $lo g_{2} x = - 4 > x - 5$ 。曲線在這兩點之間由直線下方穿到上方，所以在 $\frac{1}{32}$ 與 $\frac{1}{16}$ 之間還有一個解，不唯一。

(D) 正確。 設 $x_{0}$ 是原方程式的解， $x_{0} > 0$ ，則 $lo g_{2} x_{0} + k = x_{0} > \frac{x _{0}}{10}$ ，曲線 $y = lo g_{2} x + k$ 在 $x_{0}$ 處位於直線 $y = \frac{x}{10}$ 上方；而 $x$ 很接近 $0$ 時 $lo g_{2} x + k$ 非常小，曲線在直線下方。曲線是連續的，所以在 $0$ 與 $x_{0}$ 之間一定穿過直線，有實數解。

(E) 錯誤。 反例 $k = 1$ （由 (A) 知原方程式有解）：要 $lo g_{2} x + 1 = 10 x$ 。當 $0 < x \leq \frac{1}{2}$ 時 $lo g_{2} x + 1 \leq 0 < 10 x$ ；當 $x > \frac{1}{2}$ 時 $lo g_{2} x < x$ （曲線 $y = lo g_{2} x$ 在直線 $y = x$ 下方），所以 $lo g_{2} x + 1 < x + 1 < 10 x$ 。沒有實數解。

x \approx 0.0319

。(B) 中「曲線在

y = x - 1

下方」用的是凹口向下：曲線在弦的上方只發生在兩交點之間。

第 17 題

答案 (B)(C)(E)。

$f (x) = g (x)$ 即 $b + 2^{x} \cdot 2^{a} = 2^{x}$ ，整理成

$b = 2^{x} (1 - 2^{a})$

$2^{x}$ 可以是任何正數。所以有交點 $⟺$ $b$ 與 $1 - 2^{a}$ 同號（ $b \neq = 0$ ）。而 $1 - 2^{a} > 0 ⟺ a < 0$ ， $1 - 2^{a} < 0 ⟺ a > 0$ 。

(A) 錯誤。 $a > 0$ 時 $1 - 2^{a} < 0$ ，與 $b > 0$ 異號，無交點。

(B) 正確。 $a > 0$ 、 $b < 0$ ，同號， $2^{x} = \frac{b}{1 - 2 ^{a}} > 0$ 有解。

(D) 錯誤。 $a < 0$ 、 $b < 0$ ，異號，無交點。

(E) 正確。 有交點時 $2^{x} = \frac{b}{1 - 2 ^{a}}$ 是一個固定的正數， $y = 2^{x}$ 是一對一，只有一個 $x$ ，交點至多 $1$ 個。

第 18 題

答案 (B)(E)。

$b = 1 - a$ ，函數為 $y = lo g_{a} (x + 1 - a)$ （ $a > 0$ ， $a \neq = 1$ ）。

漸近線： $x + 1 - a = 0$ ，即 $x = a - 1$ 。

與 $x$ 軸交點： $x + 1 - a = 1$ ，即 $x = a$ 。所以 $x$ 截距恰好在漸近線右方 $1$ 單位。

情形一 $a > 1$ ：圖形遞增，漸近線 $x = a - 1 > 0$ 在 $y$ 軸右方， $x$ 截距 $a > 1$ 在點 $(1, 1)$ 的右方。

情形二 $0 < a < 1$ ：圖形遞減，漸近線 $x = a - 1$ 介於 $- 1$ 與 $0$ ，在 $y$ 軸左方； $x$ 截距 $a$ 介於 $0$ 與 $1$ ，在點 $(1, 1)$ 的左方，與 $y$ 軸交於正的位置。

(A) 錯誤。 遞減，但與 $x$ 軸的交點在點 $(1, 1)$ 的右方，不符合 $x$ 截距 $a < 1$ 。

(B) 正確。 遞增，漸近線在 $y$ 軸右方， $x$ 截距在點 $(1, 1)$ 右方，符合情形一（例如 $a = 2$ 、 $b = - 1$ ， $y = lo g_{2} (x - 1)$ ）。

(D) 錯誤。 遞減，但漸近線在 $y$ 軸右方，與 $0 < a < 1$ 時漸近線在 $y$ 軸左方矛盾。

(E) 正確。 遞減，漸近線略在 $y$ 軸左方， $x$ 截距在 $0$ 與 $1$ 之間，符合情形二（例如 $a = 0.6$ 、 $b = 0.4$ ）。

圖形一定不過

(1, 1)

：

y = 1

時

x = 2 a - 1

，等於

1

要

a = 1

，不合。圖中的點

(1, 1)

是比較位置用的參考點。

08素養題：兩種排序法的時間

第 19 題

學校答案為 1.33 秒，是用「合併排序法」排序 $10000$ 筆的時間；卷面字面問「氣泡排序法」，而題首已算出 $T_{氣泡} (10000) = 1$ 秒，字面答案就是 $1.00$ 秒。下面寫合併排序法的計算。

$lo g_{2} 10000 = \frac{lo g 1 0 ^{4}}{lo g 2} \approx \frac{4}{0.3} = \frac{40}{3} \approx 13.33$

$T_{合併} (10000) = 1 0^{- 5} \times 1 0^{4} \times lo g_{2} 10000 \approx 0.1 \times \frac{40}{3} = \frac{4}{3} \approx 1.33 （秒）$

題首已給的氣泡排序法時間是

1

秒，第

1

小題若照字面作答就是

1.00

秒；配合「精確至小數點後第

2

位」與參考數據

lo g 2 \approx 0.3

，學校的答案取合併排序法。

第 20 題

$n = 2^{m}$ 時， $lo g_{2} n = m$ ：

$T_{氣泡} = 1 0^{- 8} \cdot 2^{2 m}, T_{合併} = 1 0^{- 5} \cdot m \cdot 2^{m}$

氣泡較快 $⟺ 1 0^{- 8} \cdot 2^{2 m} < 1 0^{- 5} \cdot m \cdot 2^{m} ⟺ 2^{m} < 1000 m$ （ $m \geq 1$ ，兩邊同除以正數 $1 0^{- 8} \cdot 2^{m}$ ）。

逐一檢查，用 $2^{10} = 1024$ ：

$m = 13$ ： $2^{13} = 8192 < 13000$ ，氣泡較快。

$m = 14$ ： $2^{14} = 16384 > 14000$ ，合併較快。

$m \geq 14$ 以後， $m$ 每加 $1$ ，左邊 $2^{m}$ 變成 $2$ 倍，右邊 $1000 m$ 只增加 $1000$ ；由 $2^{m} > 1000 m$ 得 $2^{m + 1} > 2000 m \geq 1000 (m + 1)$ ，所以之後一直是合併較快。

$1 \leq m \leq 13$ 時： $m \leq 10$ 時 $2^{m} \leq 1024 < 2000 \leq 1000 m$ （ $m \geq 2$ ）， $m = 1$ 時 $2 < 1000$ ； $m = 11, 12, 13$ 時 $2048 < 11000$ 、 $4096 < 12000$ 、 $8192 < 13000$ ，都是氣泡較快。

所以 $k = 13$ 。

用參考數據也可以比較：

lo g 2^{13} \approx 3.9

，

lo g 13000 \approx 4.11

；

lo g 2^{14} \approx 4.2

，

lo g 14000 \approx 4.15

。

m = 0

時只有

1

筆資料，

lo g_{2} 1 = 0

，不在討論範圍。

比較

n^{2}

與

n lo g_{2} n

這類成長速度，令

n = 2^{m}

把對數化成整數

m

，再逐一代入找分界。

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多選第 3 題 k 等於 5 時除了 x 等於 8 還有一個很靠近 0 的解，(B) 要說明曲線 y＝log₂x 始終在直線 y＝x＋1 下方；多選第 5 題要先算出漸近線 x 等於 a 減 1 與 x 截距 x 等於 a，再分底數大於 1 與小於 1 兩種；填充第 7 題要看出兩個互為反函數的圖形交在 y 等於 x 上；多選第 1～3 題學校印的答案與題目對不上，本頁寫本站計算的答案。詳解逐題寫在本頁。

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04填充第 4～6 題：代換成二次、對數不等式、取對數解方程式

05填充第 7～8 題：互為反函數的交點、資訊熵

06多重選擇第 1～2 題：大數比大小、由對數值比較底數

07多重選擇第 3～5 題：交點判斷解、平移後的交點、可能的圖形

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