明倫高中 113 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (C)。

用 $\pi \approx 3.14$ 把三個角化成銳角來比較：

$3$ 在 $\frac{\pi }{2}$ 與 $\pi$ 之間（第二象限），$\sin 3=\sin (\pi -3)$，而 $\pi -3\approx 0.14$，所以 $\sin 3$ 是正的、很小。

$6$ 在 $\frac{3\pi }{2}\approx 4.71$ 與 $2\pi \approx 6.28$ 之間（第四象限），$\sin 6=-\sin (2\pi -6)$，而 $2\pi -6\approx 0.28$，所以 $\sin 6$ 是負的。

$9-2\pi \approx 2.72$，在 $\frac{\pi }{2}$ 與 $\pi$ 之間，$\sin 9=\sin (9-2\pi )=\sin (3\pi -9)$，而 $3\pi -9\approx 0.42$，所以 $\sin 9$ 是正的。

$0<0.14<0.42<\frac{\pi }{2}$，正弦在 $0$ 到 $\frac{\pi }{2}$ 之間遞增，所以 $\sin 9>\sin 3>0>\sin 6$。

答案 (D)。

從圖讀出：最大值 $3$、最小值 $-3$，振幅 $3$；圖形通過原點 $O$，而且從原點往右是先往下走；在 $0$ 到 $\pi$ 之間就完整走了一個「先下後上」的循環，週期是 $\pi$。

(A)(B)(E) 的週期都是 $2\pi$，不合；(A) 的振幅也不是 $3$。

(C) $x=0$ 時 $y=3\sin \left(-\frac{\pi }{2}\right)=-3$，圖形不通過原點，不合。

(D) $y=-3\sin 2x$：週期 $\frac{2\pi }{2}=\pi$，振幅 $3$，$x=0$ 時 $y=0$；$x$ 從 $0$ 稍微增加時 $\sin 2x>0$，$y<0$，先往下走；$x=\frac{\pi }{4}$ 時 $y=-3$ 為最低點、$x=\frac{3\pi }{4}$ 時 $y=3$ 為最高點，與圖相符。

答案 (B)。

底半徑 $r=3$，高 $6\sqrt{2}$，斜高 $\ell =\sqrt{3^2+(6\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{9+72}=9$。

展開後的扇形半徑是斜高 $9$，弧長是底圓周長 $2\pi \times 3=6\pi$。圓心角 $\theta =\frac{\text{弧長}}{\text{半徑}}=\frac{6\pi }{9}=\frac{2}{3}\pi$。

答案 (E)。

沿過 $B$ 的母線 $AB$ 剪開，側面展開成半徑 $9$、圓心角 $\frac{2}{3}\pi$（即 $120^{\circ }$）的扇形，點 $B$ 變成扇形兩條半徑的端點 $B$ 與 $B^{\prime }$。小蟲繞一圈回到 $B$ 的路徑展開後是從 $B$ 走到 $B^{\prime }$ 的曲線，最短的是線段 $\overline{B{B}^{\prime }}$。

由餘弦定理： $${\overline{B{B}^{\prime }}}^2=9^2+9^2-2\times 9\times 9\cos 120^{\circ }=81+81+81=243$$ 所以 $\overline{B{B}^{\prime }}=9\sqrt{3}$。

因為扇形圓心角 $120^{\circ }$ 小於 $180^{\circ }$，線段 $\overline{B{B}^{\prime }}$ 整段都在扇形內，捲回圓錐就是一條真的路徑。

答案 (A)。

$\sin (30\pi x)$ 的週期是 $\frac{2\pi }{30\pi }=\frac{1}{15}$ 秒，$\sin (5\pi x)$ 的週期是 $\frac{2\pi }{5\pi }=\frac{2}{5}=\frac{6}{15}$ 秒。

$f(x)$ 的週期要同時是兩者的整數倍：$\frac{1}{15}$ 與 $\frac{6}{15}$ 的最小公倍數是 $\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$（$\frac{2}{5}$ 恰為 $\frac{1}{15}$ 的 $6$ 倍）。所以 $f(x)$ 的週期是 $\frac{2}{5}$ 秒。

錯。左邊的 ${\pi }^2$ 是弧度：${\pi }^2\approx 9.87$，$9.87-2\pi \approx 3.59$，介於 $\pi \approx 3.14$ 與 $\frac{3\pi }{2}\approx 4.71$ 之間，是第三象限角，所以 $\cos {\pi }^2<0$。

右邊的 ${\pi }^{\circ }$ 約為 $3.14^{\circ }$，是很小的銳角，$\cos {\pi }^{\circ }$ 接近 $1$，是正的。

所以 $\cos {\pi }^2<\cos {\pi }^{\circ }$。

對。當 $x$ 是負數且越來越小時，$2^x$ 是越來越接近 $0$ 的正數；而 $y=\sin \pi x$ 的週期為 $2$，在每一段長度 $2$ 的區間都會從 $1$ 降到 $-1$ 再回到 $1$。

例如在每一段 $-2n\le x\le -2n+\frac{1}{2}$（$n$ 為正整數）：左端 $\sin \pi x=0<2^x$，右端 $\sin \pi x=1>2^x$，兩條連續的曲線在這段之間一定相交。$n=1,2,3,\cdots$ 都成立，交點有無限多個。

對。$\sin (x-\pi )=-\sin (\pi -x)=-\sin x$，所以 $y=\frac{1}{2}\sin (x-\pi )=-\frac{1}{2}\sin x$。

點 $(x,y)$ 在圖形上時，$-\frac{1}{2}\sin (-x)=\frac{1}{2}\sin x=-y$，點 $(-x,-y)$ 也在圖形上，所以圖形對稱於原點。

答案 (C)(E)。

(A) 錯誤。 $1$ 弳 $={\left(\frac{180}{\pi }\right)}^{\circ }\approx 57.2958^{\circ }$，$57.3^{\circ }$ 只是近似值，不能寫等號。

(B) 錯誤。 $90$ 沒有度的記號，是 $90$ 弧度，不是 $90^{\circ }$。例如 $\theta =0$ 時，左邊 $\sin 90$：$90-28\pi \approx 2.04$，$\sin 90=\sin (90-28\pi )\approx 0.89$，右邊 $\cos 0=1$，不相等。

(C) 正確。 $8\pi \approx 25.13$，$\theta +8\pi \approx 0.13>0$；而 $\theta +6\pi \approx -6.15<0$。所以 $\theta +8\pi$ 是最小的正同界角。

(D) 錯誤。 $\sin 100\pi =0$，$\cos 100\pi =1$，左邊等於 $0$，不大於 $0$。

(E) 正確。 時針 $12$ 小時（$720$ 分鐘）轉一圈 $2\pi$，$70$ 分鐘轉 $2\pi \times \frac{70}{720}=\frac{7}{36}\pi$。

答案 (A)(B)(D)。

$D$、$E$ 在半徑 $\overline{AB}$ 上，$G$ 在半徑 $\overline{AC}$ 上，$F$ 在弧上（由圖）。設正方形邊長為 $s$。

$\overline{GD}\perp \overline{AB}$ 且 $\angle A=45^{\circ }$，所以 $\overline{AD}=\overline{DG}=s$，$\overline{AE}=2s$。$F$ 在弧上，$\overline{AF}$ 是半徑： $${\overline{AF}}^2={\overline{AE}}^2+{\overline{EF}}^2=4s^2+s^2=5s^2=(8\sqrt{5}{)}^2=320$$ 得 $s=8$。

(A) 正確。 $\angle ADG=90^{\circ }$，$\overline{AD}=\overline{DG}$，是等腰直角三角形。

(B) 正確。 $F$ 在扇形的弧上，$\overline{AF}$ 等於半徑 $8\sqrt{5}$。

(C) 錯誤。 弧 $BC$ 長為 $8\sqrt{5}\times \frac{\pi }{4}=2\sqrt{5}\pi$；若指弦 $\overline{BC}$，它比弧短，且 ${\overline{BC}}^2=320+320-2\times 320\cos 45^{\circ }=640-320\sqrt{2}$，也不等於 $(\sqrt{5}\pi {)}^2=5{\pi }^2$。兩種解讀都不等於 $\sqrt{5}\pi$。

(D) 正確。 扇形面積 $=\frac{1}{2}\times (8\sqrt{5}{)}^2\times \frac{\pi }{4}=\frac{1}{2}\times 320\times \frac{\pi }{4}=40\pi$。

(E) 錯誤。 圖中的陰影是 $\overline{GF}$ 上方到弧之間的部分，以及 $\overline{EF}$ 右側到弧之間的部分，也就是扇形扣掉 $△ADG$ 與正方形： $$40\pi -\frac{1}{2}\times 8\times 8-8^2=40\pi -32-64=40\pi -96$$ 不是 $40\pi -64$。

答案 (A)(B)(C)。

(A) 正確。 $y=a\sin x-\sqrt{2}$ 的圖形在 $y=-\sqrt{2}-|a|$ 與 $y=-\sqrt{2}+|a|$ 之間上下擺動，中間的基線是 $y=-\sqrt{2}$。

(B) 正確。 兩者 $x$ 的係數都是 $1$，週期都是 $2\pi$；平移與鉛直伸縮不改變週期。

(C) 正確。 振幅 $|a|=\frac{13}{10}$，函數的最大值是 $-\sqrt{2}+\frac{13}{10}$。因為 $\sqrt{2}\approx 1.414>1.3$，最大值小於 $0$，整個圖形在 $x$ 軸下方，沒有交點。

(D) 錯誤。 $y=\sin (x+1)$ 是把 $y=\sin x$ 向左平移 $1$ 個單位；上移 $1$ 個單位得到的是 $y=\sin x+1$。

(E) 錯誤。 水平伸縮為原來的 $4$ 倍，要把 $x$ 換成 $\frac{x}{4}$，得 $y=\sin \frac{x}{4}$，週期變成 $8\pi$；$y=\sin 4x$ 是水平伸縮為原來的 $\frac{1}{4}$ 倍。

答案 (C)(D)(E)。

在單位圓上，$|\cos \theta |=\frac{1}{4}$ 的點橫坐標為 $\pm \frac{1}{4}$，四個象限各一個，彼此對稱於 $x$ 軸、$y$ 軸或原點。設 ${\theta }_1$ 為第一象限的那個角（$\cos {\theta }_1=\frac{1}{4}$），則 $${\theta }_2=\pi -{\theta }_1,{\theta }_3=\pi +{\theta }_1,{\theta }_4=2\pi -{\theta }_1$$

(A) 錯誤。 $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}>\frac{1}{4}=\cos {\theta }_1$；在第一象限，餘弦值越小角越大，所以 ${\theta }_1>\frac{\pi }{6}$。

(B) 錯誤。 ${\sin }^2{\theta }_4=1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}$，第四象限 $\sin {\theta }_4<0$，$\sin {\theta }_4=-\frac{\sqrt{15}}{4}$，不是 $-\frac{3}{4}$。

(C) 正確。 ${\theta }_1+{\theta }_2={\theta }_1+(\pi -{\theta }_1)=\pi$。

(D) 正確。 ${\theta }_3-{\theta }_1=(\pi +{\theta }_1)-{\theta }_1=\pi$。

(E) 正確。 ${\theta }_2+\pi =2\pi -{\theta }_1={\theta }_4$。

答案 (A)(B)(D)(E)。

從圖讀出：最大值 $3$、最小值 $1$，所以 $a=\frac{3-1}{2}=1$，$b=\frac{3+1}{2}=2$。圖形在 $x=-\frac{\pi }{6}$ 與 $x=\frac{5\pi }{6}$ 由下往上穿過中線 $y=2$，兩處之間恰為一個完整循環，週期 $\frac{5\pi }{6}-\left(-\frac{\pi }{6}\right)=\pi$，$\omega =\frac{2\pi }{\pi }=2$。

正弦曲線由下往上穿過中線時，括號內的角是 $2\pi$ 的整數倍：$2\times \left(-\frac{\pi }{6}\right)+\varphi =2n\pi$，$\varphi =\frac{\pi }{3}+2n\pi$；在 $0\le \varphi <2\pi$ 內只有 $\varphi =\frac{\pi }{3}$。所以 $f(x)=\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)+2$。

(A) 正確。 $-1\le \sin (\omega x+\varphi )\le 1$，$a>0$，所以 $b-a\le f(x)\le b+a$（即 $1\le f(x)\le 3$）。

(B) 正確。 $\omega =2$。

(C) 錯誤。 $\varphi =\frac{\pi }{3}$。

(D) 正確。 正弦曲線對稱於通過最高點或最低點的鉛直線。$2x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}$ 時 $x=\frac{\pi }{12}$ 為最高點，相鄰的最低點在 $\frac{\pi }{12}+\frac{\pi }{2}=\frac{7\pi }{12}$（此時 $2x+\frac{\pi }{3}=\frac{3\pi }{2}$），所以圖形對稱於 $x=\frac{7\pi }{12}$。

(E) 正確。 $-\frac{5\pi }{3}=\frac{\pi }{3}-2\pi$，所以 $\sin \left(2x-\frac{5\pi }{3}\right)=\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$，兩個函數完全相同，圖形重疊。

$\sin \left(-\frac{\pi }{2}\right)=-1$；$\cos 3\pi =\cos (3\pi -2\pi )=\cos \pi =-1$；$\frac{3\pi }{4}$ 在第二象限，$\tan \frac{3\pi }{4}=-\tan \frac{\pi }{4}=-1$。

相加得 $-1-1-1=-3$。

設半徑為 $r$，弧長為 $r\theta =\frac{2}{3}r$。周長 $=2r+\frac{2}{3}r=\frac{8}{3}r=16$，得 $r=6$。

面積 $=\frac{1}{2}{r}^2\theta =\frac{1}{2}\times 36\times \frac{2}{3}=12$（平方單位）。

$\sin x=\sin 4x$。在單位圓上，正弦值相同的兩個角，終邊重合或對稱於 $y$ 軸，所以 $$4x=x+2n\pi \text{或}4x=(\pi -x)+2n\pi (n\text{ 為整數})$$

第一類：$x=\frac{2n\pi }{3}$。在 $-2\pi \le x\le 2\pi$ 內 $n=-3,-2,\cdots ,3$，共 $7$ 個。

第二類：$x=\frac{(2n+1)\pi }{5}$。$-10\le 2n+1\le 10$，$2n+1$ 可為 $-9,-7,\cdots ,7,9$，共 $10$ 個。

兩類有沒有重複？若 $\frac{2n}{3}=\frac{2m+1}{5}$，則 $10n=3(2m+1)$，左邊是偶數、右邊是奇數，不可能，所以沒有重複。

共 $7+10=17$ 個。

學校答案為 $\left(\pi ,\frac{\pi }{12},6\right)$。

週期 $P=\frac{2\pi }{2}=\pi$。

$-1\le \sin 2\left(x+\frac{2\pi }{3}\right)\le 1$，乘上 $-5$ 後最大值在 $\sin 2\left(x+\frac{2\pi }{3}\right)=-1$ 時取得，$M=-5\times (-1)+1=6$。

此時 $2x+\frac{4\pi }{3}=\frac{3\pi }{2}+2n\pi$，$x=\frac{\pi }{12}+n\pi$。在 $0\le k<2\pi$ 內，$k=\frac{\pi }{12}$ 或 $k=\frac{13\pi }{12}$。

學校答案取 $k=\frac{\pi }{12}$；嚴格來說 $0\le k<2\pi$ 包含兩個週期，$k=\frac{13\pi }{12}$ 也符合題意，數對 $\left(\pi ,\frac{13\pi }{12},6\right)$ 同樣成立。

$y=\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$ 是把 $y=\sin x$ 的圖形向右平移 $\frac{\pi }{4}$，振幅 $1$、週期 $2\pi$ 不變。

描點：$x-\frac{\pi }{4}$ 為 $0$、$\pi$、$2\pi$ 等時 $y=0$，得與 $x$ 軸的交點 $x=-\frac{7\pi }{4}$、$-\frac{3\pi }{4}$、$\frac{\pi }{4}$、$\frac{5\pi }{4}$；$x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+2n\pi$ 時最高 $y=1$，得 $x=-\frac{5\pi }{4}$、$\frac{3\pi }{4}$；$x-\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{2}+2n\pi$ 時最低 $y=-1$，得 $x=-\frac{\pi }{4}$、$\frac{7\pi }{4}$。

兩端點：$x=\pm 2\pi$ 時 $y=\sin \left(\pm 2\pi -\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$；$x=0$ 時 $y=-\frac{\sqrt{2}}{2}$。用平滑曲線依序連起來。

先畫 $y=\frac{1}{2}\sin x$：把 $y=\sin x$ 鉛直方向縮為一半，在 $-\frac{1}{2}$ 與 $\frac{1}{2}$ 之間擺動，週期 $2\pi$。

再取絕對值：$\frac{1}{2}\sin x\ge 0$ 的部分（$0\le x\le \pi$、$-2\pi \le x\le -\pi$）不變；$\frac{1}{2}\sin x<0$ 的部分（$-\pi <x<0$、$\pi <x<2\pi$）對 $x$ 軸翻到上方。

結果是一串相同的「拱形」：與 $x$ 軸相接於 $x=-2\pi$、$-\pi$、$0$、$\pi$、$2\pi$，每個拱的最高點 $y=\frac{1}{2}$ 在 $x=\pm \frac{\pi }{2}$、$\pm \frac{3\pi }{2}$。週期變成 $\pi$，最大值 $\frac{1}{2}$、最小值 $0$。

摩天輪半徑 $40$ 公尺，中心離地 $30+40=70$ 公尺。每 $48$ 分鐘轉一圈（$360^{\circ }$），$28$ 分鐘轉過 $$360^{\circ }\times \frac{28}{48}=210^{\circ }$$

小柔從最低點出發，轉 $180^{\circ }$ 到最高點，再多轉 $30^{\circ }$，此時車廂與中心的連線和鉛直向上的方向夾 $30^{\circ }$。車廂比中心高 $40\cos 30^{\circ }=20\sqrt{3}$ 公尺，離地 $70+20\sqrt{3}$ 公尺（約 $104.6$ 公尺）。

最高 $110$、最低 $30$：振幅 $a=\frac{110-30}{2}=40$，中線 $d=\frac{110+30}{2}=70$。

週期 $48$ 分鐘：$\frac{2\pi }{b}=48$，$b=\frac{\pi }{24}$。

$t=0$ 時在最低點 $y=30$：$40\sin c+70=30$，$\sin c=-1$；在 $|c|<\pi$ 內只有 $c=-\frac{\pi }{2}$。

所以 $a=40$，$b=\frac{\pi }{24}$，$c=-\frac{\pi }{2}$，$d=70$，即 $y=40\sin \left(\frac{\pi }{24}t-\frac{\pi }{2}\right)+70$。

檢查表格：$t=12$ 時 $40\sin 0+70=70$；$t=24$ 時 $40\sin \frac{\pi }{2}+70=110$；$t=36$ 時 $40\sin \pi +70=70$；$t=48$ 時 $40\sin \frac{3\pi }{2}+70=30$，全部相符。